七年级数学竞赛讲座02 特殊的正整数

七年级数学竞赛讲座02 特殊的正整数

特殊的正整数

一、一、知识要点

1、 1、 完全平方数及其性质

定义1如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：

性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。

性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。

性质3 偶完全平方数是4的倍数。

性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。

性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。

2、 2、 质数与合数

定义2一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。 定义3一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。

1既不是质数也不是合数。

3、 3、 质数与合数的有关性质

(1) (1) 质数有无数多个

(2) (2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。

(3) (3) 若质数p ∣a •b ，则必有p ∣a 或p ∣b 。

(4) (4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p.

(5) (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：

k a k a a p p p n 2121=,

其中p 1

二、二、例题精讲

例1 有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是

解设所求的四位数为m 2，它的百位数字为a ，则有

m 2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)

因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)，

所以11∣(2a+5)，由题意 a+3≤9，故a ≤6，从而a=3

于是所求的四位数为4356

例2 一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如

4802÷2=2401=492=(48+1)2，则具有上述性质的最小四位数是

（1994年四川省初中数学联合竞赛试题）

解 设具有上述性质的四位数是100c 1+c 2，其中10≤c 1，c 2≤99，按题意，得

100c 1+c 2＝()22122122121c c c c c c c ++=+，∴100c 1= c 1c 2 (c 1+2)，

即210012+=

c c ，因而(c 1+2)∣100，又10≤c 1≤99，所以c 1=18，23，48，98

相应地c 2=5，4，2，1

于是符合题意的四位数是1805，2304，4802，9801，其中最小的是1805

评注：本题根据题意，列出不定方程，然后利用整数的整除性来求解。

例3 三个质数a 、b 、c 的乘积等于这三个质数和的5倍，则a 2+b 2+c 2=(1996年“希望杯”初

二试题)

分析：由题意得出abc=5(a+b+c)，由此显然得质数a 、b 、c 中必有一个是5，不妨设a=5，代入前式中再设法求b 、c

解因为abc=5(a+b+c)，所以在质数a 、b 、c 中必有一个是5，不妨设a=5，

于是5bc=5b+5c+25，即(b-1) (c-1)=6，而6=2⨯3=1⨯6，

则⎩⎨⎧=-=-3121c b ①或⎩⎨⎧=-=-6111c b ②由①得b=3,c=4，不合题意，由②得b=2,c=7，符合题意。所以所求的三个质数是5，2，7。于是a 2+b 2+c 2

=78

评注：质数问题常常通过分解质因数来解决。

例4 试证：一个整数的平方的个位数字为6时，十位数字必为奇数。

分析：一个整数的平方的个位数字为6，则这个整数的个位数字必为4或6，从而可设此数为a=10g+4或a=10g+6 (g 为整数)。

证明：设一个整数为a ，则由一个整数的平方的个位数字为6知，此数可设为

a=10g+4或a=10g+6 (g 为整数)

∴当a=10g+4时，a 2=(10g+4)2=100g 2+80g+16=10(10g 2+8g+1)+6

当a=10g+6时，a 2=(10g+6)2=100g 2+120g+36=10(10g 2+12g+3)+6

∴十位数字必为10g 2+8g+1和10g 2+12g+3的个位数字，显然是奇数。

评注：类似地，可以证明：一个整数的个位数字和十位数字都是奇数，则这个整数不是完全平方数。

例4 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍，已知糖的总块

数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求每人得糖的块数。（安徽省初中数学联赛试题）

分析：设出未知数，根据题意，列出方程和不等式组，再通过质数的性质来求解。 解 设甲、乙、丙分别得糖x 、y 、z 块，依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧++<+++==为质数，且

z y x z y x z y y x 50132

∵ 11＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6，故小于50且数字和为11的质数只可能是29和47 若x+y+z ＝29，则可得4y=42 ，y 不是整数，舍去。

若x+y+z ＝47，则可得4y=60，y ＝15，从而x=30，z=2

∴甲、乙、丙分别得糖30、15、2块.