高中数学 小问题集中营 专题2.1 两边取对数

专题一 两边取对数一、问题的提出【2017课标1理11】设x 、y 、z 为正数，且235xyz==，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z该题解法中使用了两边取对数,这种方法是求解含有指数式的问题的一个常用方法,下面我们就来探讨这一方法在解题中的应用. 二、问题的探源一般来说,已知()()()0,1,0,1f x g x aba ab b =>≠>≠,可通过取对数,转化为()()log log c c f x a g x b = ,通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于我们寻找解题思路,因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法. 有时对数运算比指数运算来得方便,对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法. 除了等式可通过两边取对数,有时两边含有指数式的不等式也可以取对数进行变形,但要注意不等号是否改变方向.两边取对数的方法,除在函数中有着广泛应用,在后面的数列、导数中都有广泛应用. 三、问题的佐证【例1】【2014四川高考】已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 【解析】5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=， 所以ad cd a c=⇒=.选B. 【例2】设2a ＝5b＝m ,且1a ＋1b＝2,则m ＝________．【解析】由2a ＝5b＝m ,得a ＝log 2m ,b ＝log 5m ,又1a ＋1b ＝2,即1log 2m＋1log 5m ＝2,∴1lg m＝2,即m ＝10. 【例3】设y x ,均为正数,且1lg 1=+xxy (x ≠101),求lg(xy )的取值范围. 【解析】题中含有指数形式出现的式子,首先可以利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算,然后把lg(xy )看作关于x 的函数,从而把求lg(xy )的取值范围转化为求函数值域的问题. ∵x >0,y >0,1lg 1=+xxy,两边取对数得：y x x lg )lg 1(lg ++=0.即y lg =x x lg 1lg +-(x ≠101,lg x ≠-1).令lg x =t, 则y lg =tt+-1(t≠-1). ∴lg(xy )=lg x +lg y =1+-t t t =211)1(111-+++=++-=t t t t ,∵ 2111≥+++t t 或2111-≤+++t t ,∴lg(xy )的取值范围是),0[]4,(+∞-∞Y【例4】已知数列{}n x 中,21113,2n n nx x x x ++==则数列{}n x 的通项公式n x =四、问题的解决1.【2016高考四川】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B【解析】设从2015年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知 得()200130112%200, 1.12130nn ⨯+>∴>，两边取常用对数得 200lg 2lg1.30.30.11lg1.12lg, 3.8,4130lg1.120.05n n n -->∴>==∴≥，故选B. 2.【2017北京理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073 （D ）1093 【答案】D点睛：本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 3.求形如()()g x y f x =的函数的导数,我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+,于是得到：'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x =+,运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( ) A ．(),4e B ．()3,6C ．()0,eD ．()2,3【答案】C【解析】两边同取自然对数得：1ln ln y x x=,再两边同时求导得'2211111()'ln ln y x x y x x x x x=+⋅=-+, 得22111ln '(ln )x y x x x x x -=-+=,由1ln '0xy x -=>得01ln 0x x >⎧⎨->⎩解得0x e <<. 4.【2014高考陕西】已知42a=，lg x a =，则x =________.【解析】由42a=得12a =，所以1lg 2x =，解得x =【点晴】本题主要考查的是指数方程和对数方程，属于容易题；在解答时正确理解指数式和对数式的意义有助于正确完成此题. 5.已知lg3lg 22,3a b ==,则a,b 的大小关系为 .【答案】a=b【解析】由lg3lg 22,3a b ==可得lg lg3lg 2,lg lg 2lg3a b ==,所以lg lg a b a b =⇒=.6. 【2016高考浙江理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a，则a = ，b = . 【答案】4 2【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==7. 【2014高考重庆理第12题】函数2()log )f x x =的最小值为_________.【答案】14-8.已知532510a b c ==,且0abc ≠,则,,a b c 之间的关系式为 . 【答案】11153a b c+= 【解析】设532510a b c t ===,两边取对数得5lg 2,3lg5,lg a b t c t === 所以1lg 21lg5,5lg 3lg a t b t ==,所以11lg 2lg 51153lg lg lg a b t t t c+=+==. 9.()0,1xy aa a =>≠的定义域与值域均为[](),m n m n <,则实数a 的取值范围是 .【答案】 11ea e <<【提示】由题意知0<m<n,()0,1xy aa a =>≠是增函数,a>1,,m n a m a n ==,m,n 是方程x x a =的两个不同实根,两边取对数,将问题转化为()ln xg x x= 与直线ln y a = 有两个不交点, 作出()ln xg x x=的图象如下图：由图象可得10ln a e<<,所以11e a e << .10. 已知),0(,,+∞∈z y x 且zy x 643==.(1)比较x 3与y 4的大小；(2)求证：xz y 1121-=. 【解析】设z y x 643===t )1(>t ,取对数得：),0(lg lg 6lg ,lg 4lg ,lg 3lg >===t t z t y t x∴6lg lg ,4lg lg ,3lg lg t z t y t x ===, （1）4lg 3lg lg )3lg 44lg 3(4lg lg 43lg lg 343t t t y x -=-=-04lg 3lg lg )81lg 64(lg <-=t,∴ y x 43<.（2） ∵t t t x z lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11=-=-,tt t y lg 2lg lg 22lg 2lg 24lg 21===, ∴xz y 1121-= 11.解关于x 的不等式)10(23log ≠><a a x a x x a且【解析】（1）若10<<a ,两边取以a 为底的对数得xa x a log 23)(log 2+>, 即03log 2)(log 2>--xa x a ,∴1log 3log -<>xa x a 或, ∴30a x <<或ax 1>.12.已知m,n 为正整数,且1n m >> ,求证()()11nmm n +>+【解析】()()11n mm n +>+()()ln 1ln 1n m m n ⇔+>+ ()()ln 1ln 1m n m n++> 再根据()()ln 1x f x x+=在()0,+∞上是减函数证明.。