高中数学 小问题集中营 专题2.1 两边取对数
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解(K12教育文档)

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对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:如果a b=N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b 。
(2)指数式与对数式的关系:a b=N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0)。
两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化。
(3)对数运算性质: ①log a (MN )=log a M +log a N 。
②log a NM =log a M -log a N .③log a M n=n log a M 。
(M >0,N >0,a >0,a ≠1) ④对数换底公式:log b N =bNa a log log (a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0).2.对数函数(1)对数函数的定义函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。
注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是,根据对数定义: log a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数(比如log 1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log (—2) 4^(—2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16) (2)对数函数的图象高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解(word 版可编辑修改)x y> Oxy<a <y = l o g x a 111())x 轴对称。
对数及对数函数要点及解题技巧讲解

的最大值与最小值之差为12,则 a 等于( )
人
A. 2
B.2 或12
教
B
版
C.2 2
D.4 或14
分析:∵a>1 与 0<a<1 时,f(x)的单调性不同,∴最
小值、最大值也不同,故需分类讨论.
第2章 函数
高考数学总复习
解析:当 0<a<1 时,f(x)在[a,2a]上单调递减,由题意
得,logaa-loga2a=12,∴loga2=-12,∴a=14.
人 教
B
当 a>1 时,∴f(x)=logax 在[a,2a]上为增函数,
版
∴loga2a-logaa=12,解得 a=4,故选 D.
答案:D
第2章 函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)=|log2x|,正实 数 m、n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x)在区间[m2,
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y=logax(a>0,a≠1)
人 教
B
版
图象
第2章 函数
高考数学总复习
(1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R
(3)过点(1,0),即当 x=1 时,y=0.
人
性质 (4)当 a>1 时,在(0,+∞)是增函数;
教
B
当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数.
B
版
(2)原式=llgg23+llgg29·llgg34+llgg38
=llgg23+2llgg23·2llgg32+3llgg32=32llgg23·56llgg32=54.
答案:(1)2
不等式两边取对数的原则

不等式两边取对数的原则嘿,伙计们!今天咱们来聊聊数学里那个让人又爱又恨的“魔法”——不等式两边取对数。
这个操作可是数学界的“大杀器”,不仅能解决复杂的问题,还能让你在解题时轻松不少。
别小看这“魔法”,它可是大有来头,下面我就带你们一起揭开它的神秘面纱。
首先得说说,为啥要这么做呢?因为不等式两边同时乘以或除以同一个正数或负数,结果不会变。
但是,如果加上了对数这一步,情况就不一样了。
对数啊,就像是给不等式打了个“魔法符”,让它变得更神奇了。
比如说,咱们有个不等式:a + b > c。
现在咱们把不等式的两边都乘以2,变成2a + 2b > 2c。
这时候,不等式的性质变了——变成了“如果a + b > c,那么2a + 2b > 4c”。
这就是说,原来的不等式两边乘以2后,不等号的方向并没有变,但等号右边的数字变大了。
再比如,咱们有另一个不等式:a b < c。
现在咱们把不等式的两边都除以2,变成2a 2b < 2c。
这时候,不等式的性质还是没变——依然是“如果a b < c,那么2a 2b <4c”。
也就是说,不等式的两边乘以2后,不等号的方向也没有变,但等号右边的数字变小了。
这下子,你是不是觉得“魔法”有点厉害?没错,这就是数学里的“同向放大”和“反向缩小”效果。
有了这个技巧,咱们在解一些看似复杂的不等式时,就能轻松很多,不再头疼了。
不过,虽然这个“魔法”听起来很神奇,但也要小心使用哦。
因为有时候,不等式的两边可能乘上一个负数或者除以一个负数,就会得到一个相反的结果。
所以,在使用这个“魔法”之前,咱们一定要先看清楚,确保不等式的两边都是正数或者负数哦。
还得提一下,这个“魔法”其实还有一个好处,就是它能帮咱们找到一些特殊的解。
比如,当a = 0,b = 0,c = 0时,原不等式就变成了0 + 0 > 0,这时候两边都乘以2,就变成了2 * 0 > 0。
高中数学对数和对数函数知识点.与例题讲解

对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:如果a b=N(a>0,a≠1),那么 b 叫做以 a 为底N 的对数,记作log a N=b.(2)指数式与对数式的关系:a b=N log a N=b(a>0,a≠1,N>0).两个式子表示的a、b、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.(3)对数运算性质:①log a(MN)=log a M+log a N.②log a MN=log a M-log a N.③log a M n=n log a M.(M>0,N>0,a>0,a≠1)④对数换底公式:log b N= loglogaaNb(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).2.对数函数(1)对数函数的定义函数y=log a x(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0 且不为 1对数函数的底数为什么要大于0 且不为 1 呢?在一个普通对数式里a<0, 或=1 的时候是会有相应 b 的值的。
但是,根据对数定义: log a a=1 ;如果a=1 或=0 那么log a a 就可以等于一切实数(比如log 1 1 也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0, 那么这个等式两边就不会成立(比如,log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16 ,另一个等于-1/16 )(2)对数函数的图象y yy=l og xa>( 1)a1O 1 x O xy=l og a x( < a<1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.(3)对数函数的性质:①定义域:(0,+∞).②值域:R.③过点(1,0),即当x=1 时,y=0.④当a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数.基础例题题型1(对数的计算)1.求下列各式的值.(1)35log +25 log 2 -12150log -514log ;(2)log52125×log318×log519.练习题1.计算:lg 12-lg58+lg12.5 -log 89·log 278;3.log 535+2 1log 2 -log5 1502 -log514; 3.log 2125×log318×log 519.1log log 4 log 3 4. 3 9 92 2 2. 5. lg 5 lg 2 lg 41(6).log 24 lg log 27 lg 2 log 332 22 7.2lg 2 lg31 11 lg 0.36 lg82 3例2.已知实数x、y、z 满足3x=4y=6z>1.(1) 求证:2x+1y=2z;(2) 试比较3x、4y、6z 的大小.练习题.已知log 18 9=a,18b=5,用a、b 表示log3645.题型二:(对数函数定义域值域问题)例1.已知函数f x log22xx1a a x的定义域为集合A,关于x的不等式22的解集为B,若A B,求实数a的取值范围.2.设函数2y log(ax2x2)定义域为A.2(1)若A R,求实数a的取值范围;(2)若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.2练习题1.已知函数2f x lg ax2x1(1)若f x的定义域是R,求实数a的取值范围及f x的值域;(2)若f x的值域是R,求实数a的取值范围及f x的定义域2 求函数y=2lg (x-2)-lg(x-3)的最小值.性)题型三(奇偶性及其单调例题1.已知定义域为R 的函数f(x) 为奇函数,且满足f(x+2)=-f(x) ,当x∈[0,1] 时,f(x) =2x-1.(1) 求f(x) 在[-1,0) 上的解析式;(2) 求f( 1log 24) 的值.24. 已知f(x)=log 1 [3-(x-1)2],求f(x)的值域及单调区间.35.已知y=log a(3-ax)在[0,2]上是x 的减函数,求 a 的取值范围.4.已知函数 f (x) lg(2 x) lg(2 x) .(Ⅰ)求函数y f ( x) 的定义域;(Ⅱ)判断函数y f (x) 的奇偶性;(Ⅲ)若f (m 2) f (m) ,求m的取值范围.练习题1.已知函数f(x) =log a(x+1)-log a(1 -x)(a >0,a≠1)(1) 求f(x) 的定义域;(2) 判断f(x) 的奇偶性,并给出证明;(3) 当a>1 时,求使f(x)>0 的x 的取值范围2.函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数, f (0) 0,当x 0时, 1f (x) log x .2 (1)求函数 f (x) 的解析式;(2)解不等式 2f (x1) 2 ;3.已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数,且x 0时, 1f (x) log ( x 1) .2(Ⅰ)求f (0) ,f (1);(Ⅱ)求函数 f (x) 的表达式;(Ⅲ)若 f (a 1) 1 ,求a 的取值范围.题型4(函数图像问题)例题 1.函数f(x)=|log 2x|的图象是y y1 11 x - 1 1 xO OA By y1 11 x 1 xO OC D6.求函数y=log 2|x|的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.3.设f(x)=|lg x| ,a,b 为实数,且0<a<b.(1) 求方程f(x) =1 的解;(2) 若a,b 满足f(a) =f(b)=2f a b2,求证:a·b=1,a b2>1.练习题:1.已知a 0且a 1,函数 f (x) log ( x 1)a ,1g(x) log a ,记F (x) 2 f (x) g(x)1 x(1)求函数 F (x)的定义域及其零点;(2)若关于x的方程 2F (x) 2m 3m 5 0 在区间[0, 1) 内仅有一解,求实数m 的取值范围. 2.已知函数f(x)=log 4(4x+1)+kx(k ∈R)是偶函数.(1) 求k 的值;(2)设g(x) =log 44xa ?2 - a ,若函数f(x) 与g(x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围.37.函数y=log 2|ax-1|(a≠0)的对称轴方程是x=-2,那么 a 等于题型五:函数方程1 方程lg x+lg (x+3 )=1 的解x=___________________.5.已知函数f(x)=1( )2x ,x4,则f(2+log 23)的值为f ( x 1), x 4,4.已知函数 f (x) log a (ax x )(a 0,a 1为常数).(Ⅰ)求函数f (x) 的定义域;(Ⅱ)若a 2 ,x 1,9 ,求函数 f (x) 的值域;(Ⅲ)若函数 f ( x)y a 的图像恒在直线y 2x 1的上方,求实数 a 的取值范围.1 x xy log log (2 x 8). 5.已知函数2 22 4 2(Ⅰ)令t log 2 x ,求y 关于t 的函数关系式及t的取值范围;(Ⅱ)求函数的值域,并求函数取得最小值时的x 的值.8.设函数f(x)=lg (1-x),g(x)=lg (1+x),在f(x)和g(x)的公共定义域内比较|f(x)|与|g(x)|的大小. 您好,欢迎您阅读我的文章,本WORD文档可编辑修改,也可以直接打印。
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b .(2)指数式与对数式的关系:a b =N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质:①log a (MN )=log a M +log a N .②log aNM=log a M -log a N . ③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1)④对数换底公式:log b N =bNa a log log (a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0).2.对数函数(1)对数函数的定义函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是,根据对数定义: log a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数(比如log 1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16) (2)对数函数的图象xy > Ox y<a <y = l o g x a 111()).(3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0.④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数.基础例题题型1(对数的计算)1.求下列各式的值. (1)355log +212log 1505log -145log ; (2)log 2125×log 318×log 519.练习题 1.计算:lg 12-lg 58+lg12.5-log 89·log 278;2.log 535+212log -log 5150-log 514; 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-. 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2.已知实数x 、y 、z 满足3x =4y =6z>1. (1)求证:2x +1y =2z; (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小.练习题.已知log 189=a ,18b=5,用a 、b 表示log 3645.题型二:(对数函数定义域值域问题)例1.已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ,关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ,若A B ⊆,求实数a 的取值范围.2.设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A .(1)若A R =,求实数a 的取值范围;(2)若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立,求实数a 的取值范围.练习题1.已知函数()()2lg 21f x ax x =++(1)若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域; (2)若()f x 的值域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.题型三(奇偶性及其单调性)例题1.已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数,且满足f(x +2)=-f(x),当x ∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)求f(x)在[-1,0)上的解析式; (2)求f(12log 24)的值.2. 已知f (x )=log 31[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间.3.已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围.4.已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. (Ⅰ)求函数()y f x =的定义域; (Ⅱ)判断函数()y f x =的奇偶性;(Ⅲ)若(2)()f m f m -<,求m 的取值范围.练习题1.已知函数f(x)=log a (x +1)-log a (1-x)(a >0,a≠1) (1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并给出证明;(3)当a >1时,求使f(x)>0的x 的取值范围2.函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(0)0f =,当0x >时,12()log f x x =.(1)求函数()f x 的解析式; (2)解不等式2(1)2f x ->-;3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且0x ≤时,12()log (1)f x x =-+.(Ⅰ)求(0)f ,(1)f ; (Ⅱ)求函数()f x 的表达式;(Ⅲ)若(1)1f a -<-,求a 的取值范围.题型4(函数图像问题)例题1.函数f (x )=|log 2x |的图象是11xy y y OA BC D2.求函数y =log 2|x |的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.3.设f(x)=|lg x|,a ,b 为实数,且0<a <b. (1)求方程f(x)=1的解; (2)若a ,b 满足f(a)=f(b)=2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭,求证:a·b=1,2a b+>1.练习题:1.已知0>a 且1≠a ,函数)1(log )(+=x x f a ,xx g a -=11log )(,记)()(2)(x g x f x F += (1)求函数)(x F 的定义域及其零点;(2)若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解,求实数m 的取值范围. 2.已知函数f(x)=log 4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求k 的值;(2)设g(x)=log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围.3.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于题型五:函数方程1方程lg x +lg (x +3)=1的解x =___________________.2.已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f (2+log 23)的值为4.已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数).(Ⅰ)求函数()f x 的定义域;(Ⅱ)若2a =,[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域; (Ⅲ)若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方,求实数a 的取值范围.5.已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ (Ⅰ)令x t 2log =,求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围; (Ⅱ)求函数的值域,并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和 g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小.。
指数型函数取对数问题(解析版)--2024高考数学压轴大题秒杀

指数型函数取对数问题考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数,直接求导运算非常复杂或不可解,这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解,特别是涉及到形如a f x 的函数取对数可以起到化繁为简的作用,此外有时取对数还可以改变式子结构,便于发现解题思路,故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算,再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于我们寻找解题思路,因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便,对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.1(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数f x =ln x+1 ax.(1)讨论f x 的单调性;(2)若ex1x2=ex2x1(e是自然对数的底数),且x1>0,x2>0,x1≠x2,证明:x21+x22>2.【解析】(1)函数f(x)=ln x+1ax的定义域为(0,+∞),求导得则f(x)=-ln xax2,由f (x)=0得x=1,若a<0,当0<x<1时,f (x)<0,则f(x)单调递减,当x>1时,f (x)>0,则f(x)单调递增,若a>0,当0<x<1时,f (x)>0,则f(x)单调递增,当x>1时,f (x)<0,则f(x)单调递减;所以当a<0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)由ex1x2=ex2x1,两边取对数得x2ln x1+1=x1ln x2+1,即ln x1+1x1=ln x2+1x2,由(1)知,当a=1时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)max=f(1)=1,而f1e=0,x>1时,f(x)>0恒成立,因此当a=1时,存在x1,x2且0<x1<1<x2,满足f x1=f x2,若x2∈[2,+∞),则x21+x22>x22≥4>2成立;若x2∈(1,2),则2-x2∈(0,1),记g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(1,2),则g (x)=f (x)+f (2-x)=-ln xx2-ln(2-x)(2-x)2>-ln xx2-ln(2-x)x2=-ln[-(x-1)2+1]x2>0,即有函数g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)>g(1)=0,即f(x)>f(2-x),于是f x1=f x2>f2-x2,而x2∈(1,2),2-x2∈(0,1),x1∈(0,1),函数f(x)在(0,1)上单调递增,因此x1>2-x2,即x1+x2>2,又x 21+1>2x 21=2x 1,x 22+1>2x 22=2x 2,则有x 21+1+x 22+1>2x 1+x 2 >4,则x 21+x 22>2,所以x 21+x 22>2.(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算,形如f a g b =h c f a >0,g b >0,f c >0 或f a g b >h c 的等式或不等式通过两边取对数,可以把乘积运算,转化为加法运算,使运算降级.2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a >0,b ∈R ,函数f x =ax ln x 和g x =b ln x +1 的图像共有三个不同的交点,且f x 有极大值1.(1)求a 的值以及b 的取值范围;(2)若曲线y =f x 与y =g x 的交点的横坐标分别记为x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3.证明:x 23x 1x 2<e 2b -2.【解析】(1)因为a >0,x ∈0,+∞ ,所以当x ≥1时,f x =ax ln x ,f x =a ln x +a >0,所以f x 在1,+∞ 上单调递增,无极大值;当x ∈0,1 时,f x =-ax ln x ,f x =-a ln x +1 ,所以当x ∈0,1e时,f x >0,f x 单调递增,当x ∈1e ,1时,f 'x <0,f x 单调递减,所以x =1e为极大值点,所以f 1e=-a ⋅1e ⋅ln 1e=1,解得a =e .因为f x ,g x 图像共有三个不同的交点,所以方程ex ln x =b ln x +1 有三个不等正实根.设t =ln x +1,则x =e t -1,且当x >0时,t 与x 一一对应,所以问题转化为关于t 的方程e t t -1 =b t 有三个不等实根.又0不满足方程e t t -1 =b t ,所以方程b =t -1te t有三个实根.设h t =t -1te t ,则函数h t =t -1t e t与函数y =b 的图像有三个交点,当t ≥1或t <0时,h t =t -1te t,∴h t =t 2-t +1t2e t>0,所以h t 在-∞,0 ,1,+∞ 上单调递增;当0<t <1时,h t =-t -1 ett,ht =-t 2-t +1t 2e t<0,所以h t 在0,1 上单调递减.当t ≠0,t ≠1时,h t >0,而h 1 =0;当t →-∞时,h t =1-1te t→0,无论t >0还是t <0,当t →0时,都有h t =1-1te t→+∞,当t →+∞时,h t =1-1te t→+∞.根据以上信息,画出函数h t 的大致图像如下图所示,所以当b >0时,函数h t =t -1te t与函数y =b 的图像有三个交点,故b 的取值范围为0,+∞ .(2)证明:要证x 23x 1x 2<e 2b -2,只需证2ln x 3-ln x 2+ln x 1<2b -2,只需证2ln x 3+1 -ln x 2+1 +ln x 1+1 <2b .设(1)中方程的b =t -1te t三个根分别为t 1,t 2,t 3,且t 1<t 2<t 3,t i =ln x i +1,i =1,2,3,从而只需证明2t 3-t 2+t 1<2b .又由(1)的讨论知t 1<0,0<t 2<1,t 3>1.下面先证明e x ≥x +1,设φx =e x -x -1,则φ x =e x -1.当x >0时,φ x >0,φx 在0,+∞ 上单调递增,当x <0时,φ x <0,φx 在-∞,0 上单调递增,所以φx ≥φ0 =0,所以当x ≠0时,e x >x +1,从而当t ≠0,t ≠1时,h t =t -1te t >t -1tt +1 .又由(1)知h t 在-∞,0 ,1,+∞ 上单调递增,h t 在0,1 上单调递减.所以当t>1时,h t >t2-1t=t-1t,令b=t-1t,解得t=b+b2+42,由h t3=b<hb+b2+42得t3<b+b2+42;当0<t<1时,h t >1t-t,令b=1t-t,解得t=-b+b2+42,由h t2=b<h-b+b2+42得t2>-b+b2+42;当t<0时,h t >t-1t,令b=t-1t,解得t=b-b2+42,由h t1=b<hb-b2+42得t1<b-b2+42.综上,2t3-t2+t1<b+b2+4--b+b2+42+b-b2+42=2b,得证.(三)把比较a,b a>0,b>0转化为比较ln a,ln b的大小比较两个指数式的大小,有时可以通过取对数,利用对数函数的单调性比较大小,如比较n n+1,n+1nn∈N∗,n>2的大小,可通过取对数转化为比较n+1ln n,n ln n+1的大小,再转化为比较ln n n,ln n+1n+1的大小,然后可以构造函数f x =ln xx,利用f x 的单调性比较大小.3一天,小锤同学为了比较ln1.1与110的大小,他首先画出了y=ln x的函数图像,然后取了离1.1很近的数字1,计算出了y=ln x在x=1处的切线方程,利用函数y=ln x与切线的图像关系进行比较. (1)请利用小锤的思路比較ln1.1与110大小(2)现提供以下两种类型的曲线y=ax2+b,y=kx+t,试利用小锤同学的思路选择合适的曲线,比较πe, e3的大小.【解析】(1)构造函数f(x)=ln x-x+1,由f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,得f(x)≤f(1)=0,即ln x≤x-1,取x=1,得ln1.1<0.1(2)通过取对数,把比较πe,e3的大小转化为比较e lnπ与3的大小,即比较lnπ与3e大小选y=ax2+b,令y=ln x与y=ax2+b公切于e则有ln e=ae2+b1e=-2ae3⇒a=-e22,b=32,∴y=-e22x2+3 2记g (x )=ln x +e 22x 2-32,g (x )=1x -e 2x 3=x 2-e 2x 3,∴g (x )在(0,e )上单调递减,在(e ,+∞)上单调递增,∴g (x )≥g (e )=0,∴ln x ≥-e 22x 2+32∴lnπ>-e 22π2+32,下证:32-e 22π2>3e 只需证3e +e 22π2<32∵3e +e 22π2<32.7+(2.72)22×(3.1)2=109+(2.72)22×(3.1)2只需证 2.723.1 2<79∵2.723.1<0.88,(0.88)2=0.7744而79=0.777>0.7744,∴lnπ>3e,即πe >e 3选y =kx +t ,通过取对数,把比较πe ,e 3的大小转化为比较e lnπ与3的大小,即比较lnπ与3e大小,即较ln1π与-3e大小令y =ln x 与y =kx +t 切于1e,则有ln 1e =k 1e +t e =k⇒k =e ,t =-2,∴y =ex -2令g (x )=ln x -ex +2,g (x )=1x -e =1-ex x∴g (x )在0,1e上单调递增,在1e ,+∞ 上单调递减,∴g (x )≤g 1e =0,∴ln x ≤ex -2,当x =1e取等∴ln 1π≤e π-2下证e π-2<-3e ,只需证e π+3e<2∵e π+3e <2.723.1+32.7<0.88+109,∵2-109=89=0.8 >0.88,∴ln 1π<-3e ,∴lnπ>3e,∴πe >e 3.三、典例展示1(2021全国甲卷高考试题)已知a >0且a ≠1,函数f (x )=x aa x (x >0).(1)当a =2时,求f x 的单调区间;(2)若曲线y =f x 与直线y =1有且仅有两个交点,求a 的取值范围.【解析】(1)当a =2时,f x =x 22x ,f x =2x ⋅2x -x 2⋅2x ln22x 2=x ⋅2x 2-x ln2 4x ,令f 'x =0得x =2ln2,当0<x <2ln2时,f x >0,当x >2ln2时,f x <0,∴函数f x 在0,2ln2上单调递增;2ln2,+∞ 上单调递减;(2)f x =x a a x=1⇔a x =x a⇔x ln a =a ln x ⇔ln x x =ln a a ,设函数g x=ln x x ,则g x =1-ln xx2,令g x =0,得x =e ,在0,e 内g x >0,g x 单调递增;在e ,+∞ 上g x <0,g x 单调递减;∴g x max =g e =1e,又g 1 =0,当x 趋近于+∞时,g x 趋近于0,所以曲线y =f x 与直线y =1有且仅有两个交点,即曲线y =g x 与直线y =aln a有两个交点的充分必要条件是0<ln a a <1e,这即是0<g a <g e ,所以a 的取值范围是1,e ∪e ,+∞ .2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f (x )=ax 2+(a +1)x ln x -1,g (x )=f (x )x.(1)讨论g x 的单调性;(2)若方程f (x )=x 2e x +x ln x -1有两个不相等的实根x 1,x 2,求实数a 的取值范围,并证明e x 1+x 2>e 2x 1x 2.【解析】(1)因为g (x )=ax +(a +1)ln x -1x,所以g x =a +a +1x +1x 2=(x +1)(ax +1)x 2(x >0),当a ≥0时,g x >0,所以g (x )在区间(0,+∞)上单调递增,当a <0时,令g x >0,得0<x <-1a ;令g x <0,得x >-1a,所以g (x )在区间0,-1a上单调递增,在区间-1a ,+∞ 上单调递减,综上当a ≥0时,g (x )在区间(0,+∞)上单调递增,当a <0时,g (x )在区间0,-1a上单调递增,在区间-1a ,+∞ 上单调递减.(2)方程f (x )=x 2e x +x ln x -1,即ax +a ln x =xe x ,等价于a ln xe x =xe x ,令t =xe x >0,其中x >0,则a ln t =t ,显然t ≠1,令h t =tln t,则ht =ln t-1ln2t,所以h t 在区间0,1上单调递减,且由x→0时h t <0可得在区间0,1上h(t)<0,h t 在区间(1,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增,所以h(t)极小值=h(e)=e,因为方程f(x)=x2e x+x ln x-1有两个实根x1,x2,所以关于t的方程a=tln t有两个实根t1,t2,且t1=x1e x1,t2=x2e x2,所以a∈(e,+∞),要证e x1+x2>e2x1x2,即证x1e x1⋅x2e x2>e2,即证t1t2>e2,只需证ln t1+ln t2>2,因为t1=a ln t1t2=a ln t2,所以t1-t2=a ln t1-ln t2t1+t2=a ln t1+ln t2,整理可得t1+t2t1-t2=ln t1+ln t2ln t1-ln t2,不妨设t1>t2>0,则只需证ln t1+ln t2=t1+t2t1-t2lnt1t2>2,即ln t1t2>2t1-t2t1+t2=2t1t2-1t1t2+1,令s=t1t2>1,p(s)=ln s-2(s-1)s+1,其中s>1,因为p s =1s-4(s+1)2=(s-1)2s(s+1)2>0,所以p s 在区间(1,+∞)上单调递增,所以h(s)>h(1)=0,故e x1+x2>e2x1x2.3已知函数,f x =ln x-x+m,m∈R.(1)求f x 的极值;(2)若f x 有两个零点a,b,且a<b,求证:e b+1b<2e m.【解析】(1)函数f x 的定义域为0,+∞,f x =1x-1.当0<x<1时,f x >0,则f x 在0,1上单调递增;当x>1时,f x <0,则f x 在1,+∞上单调递减,所以函数f x 的极大值为f1 =m-1,无极小值.(2)令f x =0,则m=x-ln x.设h x =x-ln x x>0,则h'x =1-1x=x-1x,易知函数h x 在0,1上单调递减,在1,+∞上单调递增.又h1 =1,所以h x ≥1,又f x 有两个零点,所以m >1.因为a <b ,所以0<a <1<b .要证e b +1b <2e m ,即证2e m -1>b +1b,即证ln2+m -1>lnb 2+1b=ln b 2+1 -ln b .又f b =0,则m =b -ln b ,故即证ln2+b -ln b -1>ln b 2+1 -ln b ,即证ln2-1>ln b 2+1 -b .设t b =ln b 2+1 -b ,b >1,则t 'b =2b b 2+1-1=-b -1 2b 2+1<0,所以t b 在1,+∞ 上单调递减,所以t b <t 1 =ln2-1,故e b +1b<2e m 得证.4设函数f x =-ln x .(1)设λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1,求证:对任意的x 1、x 2>0,总有x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2成立;(2)设x i >0,λi >0i =1,2,⋅⋅⋅,n ,且ni =1λi =1 ,求证:x λ11x λ22⋅⋅⋅x λn n ≤λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n .【解析】(1)证明:x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2⇔ln x λ11x λ22 ≤ln λ1x 1+λ2x 2 ⇔λ1ln x 1+λ2ln x 2≤ln λ1x 1+λ2x 2 ⇔f λ1x 1+λ2x 2 ≤λ1f x 1 +λ2f x 2 .不妨设0<x 1≤x 2,令g x =λ1f x +λ2f x 2 -f λ1x +λ2x 2 =ln λ1x +λ2x 2 -λ1ln x -λ2ln x 2,其中0<x ≤x 2,则g x =λ1λ1x +λ2x 2-λ1x =λ1x -λ1λ1x +λ2x 2 λ1x +λ2x 2 x =λ1x -λ1x -λ2x 2 λ1x +λ2x 2 x =λ1λ2x -x 2 λ1x +λ2x 2 x≤0,所以,函数g x 在区间0,x 2 上单调递减,因为x 1∈0,x 2 ,则g x 1 ≥g x 2 =ln x 2-ln x 2=0,所以,g x 1 =ln λ1x 1+λ2x 2 -λ1ln x 1-λ2ln x 2≥0,即λ1ln x 1+λ2ln x 2≤ln λ1x 1+λ2x 2 ,所以,当λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1,对任意的x 1、x 2>0,总有x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2成立.(2)证明:x i >0,λi >0i =1,2,⋅⋅⋅,n ,且ni =1λi =1 ,要证x λ11x λ22⋅⋅⋅x λnn ≤λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n .即证λ1ln x 1+λ2ln x 2+⋯+λn ln x n ≤ln λx 1+λ2x 2+⋯+λn x n ,即f λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n ≤λ1f x 1 +λ2f x 2 +⋅⋅⋅+λn f x n ,当n=2时,由(1)可知,不等式成立,假设当n=k k≥2,k∈N∗时不等式成立,即fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x k≤λ1f x1+λ2f x2+⋅⋅⋅+λk f x k,则当n=k+1时,设x k=λkλk+λk+1x k+λk+1λk+λk+1x k+1,由(1)可得f x k≤λkλk+λk+1f x k+λk+1λk+λk+1f x k+1,则fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x k+λk+1x k+1=fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk-1x k-1+λk+λk+1x k≤λ1f x1+⋅⋅⋅+λk-1f x k-1+λk+λk+1f x k≤λ1f x1+⋅⋅⋅+λk f x k+λk+1f x k+1,这说明当n=k+1时,结论也成立,故对任意的n∈N∗,fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x n≤λ1f x1+λ2f x2+⋅⋅⋅+λn f x n,所以,-lnλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n≤-λ1ln x1-λ2ln x2-⋯-λn ln x n,因此,λ1ln x1+λ2ln x2+⋯+λn ln x n≤lnλx1+λ2x2+⋯+λn x n,故当x i>0,λi>0i=1,2,⋅⋅⋅,n,且ni=1λi=1时,xλ11xλ22⋅⋅⋅xλn n≤λ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n.5已知函数f(x)=e x,g(x)=x+a ln x,a∈R(1)讨论g(x)的单调性;(2)若f x +2x≥g x +x a,对任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的最大值;【解析】(1)g (x)=1+ax=x+ax(x>0),当a≥0时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令g′(x)>0,解得x>-a,令g′(x)<0,解得0<x<-a,∴g(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增;综上,当a≥0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,g(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增;(2)f(x)+2x≥g(x)+x a即为e x+x≥a ln x+x a,即e x+ln e x≥ln x a+x a,设h(x)=ln x+x(x>0),则h (x)=1x+1=x+1x,易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(e x)≥h(x a),所以e x≥x a(两边取对数),即x≥a ln x,当x>1时,即为a≤xln x,设φ(x)=xln x(x>1),则φ (x)=ln x-1ln2x,易知函数φ(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,∴φ(x)≥φ(e)=e,∴a≤e,即a的最大值为e.6已知函数f (x )=x ln x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)设a ,b 为两个不相等的正数,且a b =b a ,证明:2e <1a +1b <1.【解析】 (1)f (x )=ln x +1,定义域为(0,+∞),由f (x )=0,解得x =1e ,由f (x )>0,解得x >1e,由f (x )<0,解得0<x <1e,所以f (x )的单调递增区间为1e ,+∞,单调递减区间为0,1e.(2)∵a ,b 为两个不相等的正数,且a b =b a ,∴b ln a =a ln b ,即1a ln 1a =1b ln 1b,由(1)可知f (x )min =f 1e =-1e,且f (1)=0,x →0时,f (x )→0,则令x 1=1a ,x 2=1b,则x 1,x 2为f (x )=k 的两根,且k ∈-1e ,0 ,不妨设x 1∈0,1e ,x 2∈1e ,1 ,则2e -x 1>1e,先证2e <x 1+x 2,即证x 2>2e -x 1,即证f x 2 =f x 1 >f 2e-x 1 ,令h (x )=f (x )-f 2e -x,即证在x ∈0,1e上,h (x )>0,则h (x )=f (x )-f 2e -x =ln x +ln 2e -x +2=ln -x 2+2ex +2,h (x )在0,1e上单调递增,即h (x )<h 1e =0,∴h (x )<0在0,1e上恒成立,即h (x )在0,1e 上单调递减,h (x )>h 1e =0,∴f (x )>f 2e -x,即可得x 2>2e-x 1;再证x 1+x 2<1,即证1e<x 2<1-x 1,由(1)f (x )单调性可得证f x 2 =f x 1 <f 1-x 1 ,令φ(x )=f (x )-f (1-x ),x ∈0,1e,φ (x )=ln x +ln (1-x )+2=ln -x 2+x +2,φ (x )在0,1e上单调递增,∴φ (x)=φ 1e>0,且当x→0,φ (x)<0,所以存在x0使得φ x0=0,即当x∈0,x0时,φ (x)<0,φ(x)单调递减,当x∈x0,1 e时,φ (x)>0,φ(x)单调递增,又有x→0,φ(x)<0,且φ1e=f1e -f1-1e<0,所以φ(x)<0恒成立,∴x 1+x2<1,则2e<1a+1b<1,即可证得.四、跟踪检测1已知函数f(x)=x ln x+a,(a∈R).(1)求函数f x 的单调区间;(2)当0<a<1e时,证明:函数f x 有两个零点;(3)若函数g(x)=f(x)-ax2-x有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2),证明:x1⋅x22>e3.【解析】(1)f x =ln x+1,x>0,当0<x<1e时,fx <0,当x>1e时,fx >0,所以函数f x 在0,1 e上递减,在1e,+∞上递增,所以函数f x 的单调区间为0,1 e和1e,+∞;(2)证明:由(1)知f x min=f1e=-1e+a,因为0<a<1e,所以f1e<0,又当x→0+时,f x >0,f e =e+a>0,所以函数在0,1 e上存在一个零点,在1e,e上存在一个零点,所以函数f x 有两个零点;(3)证明:g(x)=f(x)-ax2-x=x ln x--ax2-x+a,(x>0),则g x =ln x-2ax,因为函数g(x)有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2),所以ln x1=2ax1,ln x2=2ax2,要证x 1⋅x 22>e 3等价于证ln x 1⋅x 22 >ln e 3,即证ln x 1+2ln x 2>3,所以3<ln x 1+2ln x 2=2ax 1+4ax 2=2a x 1+2x 2 ,因为0<x 1<x 2,所以2a >3x 1+2x 2,又ln x 1=2ax 1,ln x 2=2ax 2,作差得ln x 1x 2=a x 1-x 2 ,所以a =ln x1x 2x 1-x 2,所以原不等式等价于要证明2ln x1x 2x 1-x 2>3x 1+2x 2,即2ln x 1x 2<3x 1-x 2 x 1+2x 2,令t =x 1x 2,t ∈0,1 ,则上不等式等价于要证:2ln t <3t -1t +2,t ∈0,1 ,令h t =2ln t -3t -1t +2,t ∈0,1 ,则ht =2t -9t +2 2=2t 2-t +8t t +2 2>0,t ∈0,1 ,所以函数h t 在0,1 上递增,所以h t <h 1 =0,所以2ln t <3t -1t +2,t ∈0,1 ,所以x 1⋅x 22>e 3.2形如y =f (x )g (x )的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数法:在函数解析式两边取对数得ln y =ln f (x )g (x )=g (x )ln f (x ),两边对x 求导数,得y y =g(x )ln f (x )+g (x )f x f x,于是y =f (x )g (x )g(x )ln f (x )+g (x )f x f x.已知f (x )=2e x ln x ,g (x )=x 2+1.(1)求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程;(2)若h (x )=f (x ),求h (x )的单调区间;(3)求证:∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立.【解析】(1)由幂指函数导数公式得f (x )=2e x ln x (ln x +1),所以f (1)=2,又f (1)=2,所以,曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =2x .(2)h (x )=f (x )=2e x ln x (ln x +1),x ∈(0,+∞),则h (x )=2e x ln x (ln x +1)+2e x ln x (ln x +1) =2e x ln x (ln x +1) (ln x +1)+2e x ln x ⋅1x=2e x ln x (ln x +1)2+1x>0,所以h (x )的单调增区间为(0,+∞),无单调减区间.(3)构造F (x )=f (x )-g (x ),x ∈(0,+∞),则F (x )=f (x )-g (x )=2e x ln x (ln x +1)-2x ,令H (x )=F (x )=2e x ln x (ln x +1)-2x ,x ∈(0,+∞),所以H (x )=2e x ln x (ln x +1)2+e(x -1)ln x-1 ,因为x -1与ln x 同号,所以(x -1)ln x ≥0,所以e (x -1)ln x-1≥0,又e x ln x (ln x +1)2≥0,所以H (x )≥0,所以H (x )即F (x )为(0,+∞)上增函数,又因为F (1)=0,所以,当x ∈(0,1)时,F (x )<F (1)=0;当x ∈(1,+∞)时,F (x )>F (1)=0.所以,F (x )为(0,1)上减函数,为(1,+∞)上增函数,所以,F (x )min =F (1)=0,即F (x )=f (x )-g (x )≥0,因此,∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立,即证.3已知函数f (x )=e x 2ln x (x >0).(1)求f (x )的极值点.(2)若有且仅有两个不相等的实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足f x 1 =f x 2 =e k .(i )求k 的取值范围(ⅱ)证明x e 2-2e2≤e-e 21x 1.【解析】(1)函数f (x )=e x 2ln x (x >0)的导函数为f (x )=xe x 2ln x (2ln x +1).当x ∈0,e -12时,f(x )<0,所以函数f (x )单调递减;当x ∈e -12,+∞ 时,f (x )>0,所以函数f (x )单调递增.所以x =e-12为f (x )的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足f x 1 =f x 2 =e k ,所以x 12ln x 1=x 22ln x 2=k .(i )问题转化为m (x )=x 2ln x -k 在(0,+∞)内有两个零点,则m x =x 1+2ln x .当x∈0,e-1 2时, m x <0,m(x)单调递减;当x∈e-12,+∞时, m x >0,m(x)单调递增.若m(x)有两个零点,则必有m e-1 2<0,解得:k>-12e.若k≥0,当0<x<e-12时,m x =x2ln x-k≤x2ln x<0,无法保证m(x)有两个零点;若-12e<k<0,又m e1k>0,m e-12<0,m1 =-k>0,故存在x1∈e 1 k,e-12使得m x1 =0,存在x2∈e-12,1使得m x2 =0.综上可知, k∈-12e ,0.(ⅱ)设t=x2x1则t∈(1,+∞).将t=x2x1代入x12ln x1=x22ln x2,可得ln x1=t2ln t1-t2,ln x2=ln t1-t2(*).欲证:x e2-2e2≤e-e21x1,需证ln xe2-2e2≤ln e-e2x1即证ln x1+(e2-2e)ln x2≤-e2,将(*)代入,则有(t2+e2-2e)ln t1-t2≤-e2,则只需要证明:(x+e2-2e)ln x1-x≤-e(x>1),即ln x≥e x-1x+e2-2e(x>1).构造φ(x)=x-1ln x-xe-e+2,则φ (x)=ln x-x-1xln2x-1e,φ(x)=(x+1)2(x-1)x+1-ln xx2ln3x(x>1).令ω(x)=2(x-1)x+1-ln x(x>1),则ω (x)=-(x-1)2x(x+1)2<0.所以ω(x)<ω(1)=0,则φ (x)<0,所以φ(x)在1,+∞内单减.又φ (e)=0,所以当x∈(1,e)时,有φ (x)>0,φ(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,有φ (x)<0,φ(x)单调递减;所以φ(x)≤φ(e)=0,因此x-1ln x-xe≤e-2,即ln x≤e x-1x+e2-2e(x>1).综上所述,命题得证.4已知f(x)=ln x-x,g(x)=mx+m.(1)记F(x)=f(x)+g(x),讨论F(x)的单调区间;(2)记G(x)=f(x)+m,若G(x)有两个零点a,b,且a<b.请在①②中选择一个完成.①求证:2e m-1>1b+b;②求证:2e m-1<1a+a【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞),F (x)=1x+m-1,当m≥1时,F (x)>0,F(x)在(0,+∞)单调递增;当m<1时,令F (x)<0,解得x>11-m,令F(x)>0,解得0<x<11-m,∴F (x )在0,11-m单调递增,在11-m ,+∞ 单调递减; 综上,当m ≥1时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞);当m <1时,f (x )的单调递增区间为0,11-m ,单调递减区间为11-m,+∞ (2)证明:因为G (x )=ln x -x +m ,令G (x )=0,则m =x -ln x ,设t (x )=x -ln x (x >0),则t (x )=1-1x =x -1x,函数t (x )在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,且x →0时,t (x )→+∞,当x →+∞时,t (x )→+∞,t (x )min =t (1)=1,∴m >1,又a <b ,则0<a <1<b ,若证①所证不等式,即2e m -1>b +1b,即证ln2+m -1>lnb 2+1b=ln b 2+1 -ln b ,又G (b )=0,则m =b -ln b ,故即证ln2+b -ln b -1>ln b 2+1 -ln b ,即证ln2-1>ln b 2+1 -b ,设h (b )=ln b 2+1 -b ,b >1,则h(b )=2b b 2+1-1=-(b -1)2b 2+1<0,∴h (b )在(1,+∞)上单调递减,∴h (b )<h (1)=ln2-1,即2e m -1>1b+b 得证;若证②所证不等式,即2em -1<a +1a ,即证ln2+m -1<ln a 2+1a,即证ln2+m -1<ln a 2+1 -ln a ,又G (a )=0,即m =a -ln a ,故即证ln2+a -ln a -1<ln a 2+1 -ln a ,即证ln2-1<ln a 2+1 -a ,设φ(a )=ln a 2+1 -a ,0<a <1,则φ(a )=2aa 2+1-1=-(a -1)2a 2+1<0,∴φ(a )在(0,1)单调递减,故φa >φ1 =ln2-1,即2e m -1<1a+a 得证.5已知a ∈R ,f (x )=x ⋅e -ax ,(其中e 为自然对数的底数).(1)求函数y =f (x )的单调区间;(2)若a >0,函数y =f (x )-a 有两个零点x ,x 2,求证:x 21+x 22>2e .【解析】(1)解:f ′(x )=e -ax -ax ⋅e -ax =e -ax (1-ax )∵a ∈R ,∴a <0时,f ′(x )=e -ax (1-ax )>0⇒x >1a ,f ′(x )=e -ax (1-ax )<0⇒x <1a∴a <0时,增区间为:1a ,+∞,减区间为:-∞,1a;a =0时,f ′(x )=e -ax (1-ax )=1>0,∴a =0时,增区间为:(-∞,+∞);a >0时,f ′(x )=e -ax (1-ax )>0⇒x <1a ,f ′(x )=e -ax (1-ax )<0⇒x >1a,∴a >0时,增区间为:-∞,1a ,减区间为:1a,+∞ ;(2)因为a >0时,函数y =f (x )-a 有两个零点x 1,x 2,则两个零点必为正实数,f (x )-a =0⇔xe -ax =a 两边取对数ln x -ax =ln a故问题转化为ln x -ax =ln a 有两个正实数解;令g (x )=ln x -ax -ln a (x >0)则g ′(x )=1x -a (x >0),g (x )在0,1a 单调递增,在1a ,+∞ 单调递减,且0<x 1<1a<x 2令G (x )=g (x )-g 2a -x ,x ∈1a,+∞ ,则G ′(x )=1x -a +12a -x -a =2x (2-ax )-2a >21a-2a =0所以G (x )在1a ,+∞ 单调递增,G (x )>G 1a=0又x 2>1a ,故g x 2 >g 2a -x 2 ,x 2∈1a,+∞ 又g x 1 =g x 2 ,所以g x 1 >g 2a-x 2 ,又0<x 1<1a <x 2,所以x 1,2a -x 2∈0,1a ,又g (x )在0,1a 单调递增,所以x 1+x 2>2a所以x 21+x 22>x 1+x 222>2a 2>2e .6已知函数f x =axe -x a ≠0 存在极大值1e.(1)求实数a 的值;(2)若函数F x =f x -m 有两个零点x 1,x 2x 1≠x 2 ,求实数m 的取值范围,并证明:x 1+x 2>2.【解析】(1)f x =a ⋅xe xx ∈R ,f x =a 1-x ex,令f x =0⇒x =1,f 1 =a e =1e ⇒a =1,此时f x =1-xex ,f x 在-∞,1 上f x >0,f x 递增;在1,+∞ 上f x <0,f x 递减,所以当x =1时,f x 取得极大值为f 1 =1e符合题意,所以a =1.(2)由(1)知:f x 在-∞,1 上递增,在1,+∞ 上递减,极大值为f 1 =1e.f x =x e x,f 0 =0,当x <0时,f x <0;当x >0时,f x >0;当x →+∞时,f x →0.由于函数F x =f x -m 有两个零点x 1,x 2x 1≠x 2 ,所以0<m <1e.因为x 1,x 2x 1≠x 2 是F x 的两个零点,则x 1>0,x 2>0.所以F x 1 =F x 2 ,x 1e x 1=x 2ex 2,e x 2e x 1=x 2x 1,e x 2-x 1=x 2x 1,两边取对数得x 2-x 1=ln x 2x 1,要证x 1+x 2>2,只需证明x 2-x 1x 2+x 1<12ln x2x 1,即证x 2x 1-1x 2x 1+1<12ln x 2x 1,不妨设x 1<x 2,令x 2x 1=t ,则t ∈1,+∞ ,即证t -1t +1<12ln t 对t ∈1,+∞ 恒成立.令g t =12ln t -t -1t +1,g t =12t -2t +12=t -1 22t t +1 2>0,所以g t 在1,+∞ 上递增,所以g t >g 1 =0,即12ln t -t -1t +1>0,所以t -1t +1<12ln t .从而x 1+x 2>2成立.7已知函数f (x )=x (e 2x -a ),g (x )=bx +ln x .(1)若y =2x 是曲线y =f (x )的切线,求a 的值;(2)若g (x )有两不同的零点,求b 的取值范围;(3)若b =1,且f (x )-g (x )≥1恒成立,求a 的取值范围.【解析】(1)依题意,设切点为(x 0,2x 0),则2x 0=x 0(e 2x 0-a ),f (x )=e 2x -a +x ⋅2e 2x ,于是得e 2x 0(2x 0+1)-a =2,则有x 0=0且a =-1,x 0≠0时,e 2x 0=a +2,(a +2)(2x 0+1)=a +2无解,所以a =-1;(2)由g (x )=0得-b =ln x x ,令h (x )=ln xx,x >0,则有h (x )=1-ln xx2,0<x <e 时h (x )>0,x >e 时h (x )<0,h (x )在(0,e )上递增,在(e ,+∞)上递减,h (x )max =h (e )=1e,又x >e 时,h (x )>0恒成立,于是得g (x )有两个不同的零点,等价于直线y =-b 与函数h (x )=ln xx,x >0图象有两个不同的公共点,即0<-b <1e ,-1e <b <0,所以g (x )有两不同的零点,b 的取值范围是-1e<b <0;(3)b =1,g (x )=x +ln x ,x >0,∀x >0,f (x )-g (x )≥1⇔x (e 2x -a )≥1+x +ln x ⇔a +1≤e 2x -1+ln xx,令φ(x )=e 2x-1+ln x x (x >0),φ (x )=2e 2x+ln x x 2=2x 2e 2x +ln x x 2,令F (x )=2x 2e 2x +ln x ,F (x )=(4x 2+4x )e 2x +1x>0,即F (x )在(0,+∞)上递增,而F 14=e 8-ln4<0,F (1)=2e 2>0,即∃t ∈(0,1),使得F (t )=0,0<x <t 时F (x )<0,φ (x )<0,x >t 时,F (x )>0,φ (x )>0,φ(x )在(0,t )上递减,在(t ,+∞)上递增,从而有φ(x )min =e 2t -1+ln tt,而F (t )=0,即2t 2e 2t +ln t =0,令t 2e 2t =p ,两边取对数得2t +2ln t =ln p ,则2p +ln t =0=2t +2ln t -ln p ,即有2p +ln p =2t +ln t ,显然函数y =2x +ln x 在(0,+∞)上单调递增,从而得p =t ,于是得t 2e 2t =t ⇔e 2t =1t 两边取对数 2t =-ln t ⇔ln t t=-2,φ(x )min =e 2t -1+ln t t =1t -1t -ln t t=2,所以a +1≤2,a ≤1.8已知函数f (x )=ax ln x ,a ∈R .(1)当a =1时,①求f (x )的极值;②若对任意的x ≥e 都有f (x )≥m xe mx ,m >0,求m 的最大值;(2)若函数g (x )=f (x )+x 2有且只有两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1x 2>e 2.【解析】(1)①a =1时,f (x )=x ln x ,则f ′(x )=ln x +1(x >0),令f ′(x )>0,解得:x >1e ,令f ′(x )<0,解得:0<x <1e,∴f (x )在0,1e递减,在1e ,+∞ 递增,故f (x )的极小值是f 1e =-1e ,没有极大值;②对任意x ≥e 都有f (x )≥m x e m x =e m x ln e m x,即f (x )≥f e mx 恒成立,由m >0,有mx>0,故e mx >1,由①知,f (x )在1e ,+∞ 单调递增,故x ≥e mx ,可得ln x ≥mx,即x ln x ≥m ,当x ≥e 时,f (x )的最小值是f (e )=e ,故m 的最大值是e ;(2)证明:要证x 1x 2>e 2,只需证明ln (x 1x 2)>2即可,由题意,x 1、x 2是方程ax ln x +x 2=0的两个不相等的实数根,又x >1,∴a ln x1+x1=0a ln x2+x2=0,消去a,整理得:ln(x1x2)=x1x2+1x1x 2-1⋅lnx1x2,不妨设x1>x2,令t=x1x2,则t>1,故只需证明当t>1时,t+1t-1⋅ln t>2,即证明ln t>2(t-1)t+1,设h(t)=ln t-2(t-1)t+1,则h′(t)=1t-2⋅t+1-(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,∴h(t)在(1,+∞)单调递增,从而h(t)>h(1)=0,故ln t>2(t-1)t+1,即x1x2>e2得证.9已知函数f(x)=x ln x-ax2-x,g(x)=f(x)x,a∈R.(1)讨论g(x)的单调性;(2)设f(x)有两个极值点x1,x2x1<x2,证明:x41x2>e3.(e=2.71828⋯为自然对数的底数)【解析】(1)g(x)=f(x)x=ln x-ax-1,g (x)=1x-a,①当a≤0时,g (x)>0,g(x)在(0,+∞)单调递增;②当a>0时,令g (x)=0解得x=1a,x∈0,1a时,g (x)>0,g(x)单调递增;x∈1a ,+∞时,g (x)<0,f(x)单调递减.综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)单调递增;当a>0时,g(x)在0,1 a上单调递增,在1a,+∞上单调递减,(2)由题意知,f (x)=ln x-2ax,x1,x2是f (x)的两根,即ln x1-2ax1=0,ln x2-2ax2=0,解得2a=ln x1-ln x2x1-x2(*),要证x41x2>e3,即证4ln x1+ln x2>3,即4⋅2ax1+2ax2>3,把(*)式代入得ln x1-ln x2x1-x24x1+x2>3x1<x2,所以应证ln x1x2<3x1-x24x1+x2=3x1x2-14x1x2+1,令t=x1x2,0<t<1,即证h(t)=ln t-3(t-1)4t+1<0(0<t<1)成立,而h (t)=1t-15(4t+1)2=16t2-7t+1t(4t+1)2=16t-7322+1564t(4t+1)2>0,所以h(t)在(0,1)上单调递增,所以h(t)<h(1)=0,所以命题得证.10已知函数f x =e x -a ln xx-a (e 为自然对数的底数)有两个零点.(1)若a =1,求f x 在x =1处的切线方程;(2)若f x 的两个零点分别为x 1,x 2,证明:e 2-x 1-x 2-x 1x 2<0.【解析】(1)当a =1时,f x =e x -ln x x -1,f x =e x -1-ln xx 2,又f 1 =e -1,所以切点坐标为1,e -1 ,切线的斜率为k =f 1 =e -1.所以切线方程为y -e -1 =e -1 x -1 ,即y =e -1 x (2)由已知得f x =xe x -a ln x +xx=0有两个不等的正实跟.所以方程xe x -a ln x +x =0有两个不等的正实根,即xe x -a ln xe x =0有两个不等的正实根,a ln xe x =xe x ①要证x 1x 2>e 2ex 1+x 2,只需证x 1e x 1 ⋅x 2e x 2 >e 2,即证ln x 1e x 1 +ln x 2e x 2>2,令t 1=x 1e x 1,t 2=x 2e x 2,所以只需证ln t 1+ln t 2>2,由①得a ln t 1=t 1,a ln t 2=t 2,所以a ln t 2-ln t 1 =t 2-t 1,a ln t 2+ln t 1 =t 2+t 1,消去a 得ln t 2+ln t 1=t 2+t 1t 2-t 1ln t 2-ln t 1 =t 2t 1+1ln t2t 1t 2t 1-1,只需证t 2t 1+1ln t2t 1t 2t 1-1>2,设0<t 1<t 2,令t =t 2t 1,则t >1,则t +1 ln tt -1>2,即证ln t +4t +1-2>0构建h t =ln t +4t +1-2>0则h t =1t -4t +12=t -1 2t t +1 2>0,所以h t 在1,+∞ 上单调递增,则h t >h 1 =0,即当t >1时,ln t +4t +1-2>0成立,所以ln t 1+ln t 2>2,即x 1e x 1⋅x 2e x 2>e 2,即x 1x 2>e 2ex 1+x 2,所以e2-x 1-x 2-x 1x 2<0,证毕.11已知函数h x =x -a ln x a ∈R .(1)若h x 有两个零点,a 的取值范围;(2)若方程xe x-a ln x +x =0有两个实根x 1、x 2,且x 1≠x 2,证明:e x 1+x 2>e 2x 1x 2.【解析】(1)函数h x 的定义域为0,+∞ .当a=0时,函数h x =x无零点,不合乎题意,所以,a≠0,由h x =x-a ln x=0可得1a=ln xx,构造函数f x =ln xx,其中x>0,所以,直线y=1a与函数f x 的图象有两个交点,f x =1-ln xx2,由f x =0可得x=e,列表如下:x0,ee e,+∞f x +0-f x 增极大值1e减所以,函数f x 的极大值为f e =1e,如下图所示:且当x>1时,f x =ln xx>0,由图可知,当0<1a<1e时,即当a>e时,直线y=1a与函数f x 的图象有两个交点,故实数a的取值范围是e,+∞.(2)证明:因为xe x-a ln x+x=0,则xe x-a ln xe x=0,令t=xe x>0,其中x>0,则有t-a ln t=0,t =x+1e x>0,所以,函数t=xe x在0,+∞上单调递增,因为方程xe x-a ln x+x=0有两个实根x1、x2,令t1=x1e x1,t2=x2e x2,则关于t的方程t-a ln t=0也有两个实根t1、t2,且t1≠t2,要证e x1+x2>e2x1x2,即证x1e x1⋅xe x2>e2,即证t1t2>e2,即证ln t1+ln t2>2,由已知t1=a ln t1t2=a ln t2,所以,t1-t2=a ln t1-ln t2t1+t2=a ln t1+ln t2,整理可得t1+t2t1-t2=ln t1+ln t2ln t1-ln t2,不妨设t1>t2>0,即证ln t1+ln t2=t1+t2t1-t2lnt1t2>2,即证lnt1t2>2t1-t2t1+t2=2t1t2-1t1t2+1,令s=t1t2>1,即证ln s>2s-1s+1,其中s>1,构造函数g s =ln s-2s-1s+1,其中s>1,g s =1s -4s+12=s-12s s+12>0,所以,函数g s 在1,+∞上单调递增,当s>1时,g s >g1 =0,故原不等式成立.12已知函数f x =e x-2t-ln x+2(1)若x=1是f x 的极值点,求t的值,并讨论f x 的单调性;(2)当t≤1时,证明:f x >2.【解析】(1)函数f(x)的定义域(0,+∞),因为f′(x)=e x-2t-1x,x=1是f(x)的极值点,所以f′(1)=e1-2t-1=0,所以t=1 2,所以f′(x)=e x-1-1 x,因为y=e x-1和y=-1x在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f′(x)>0;0<x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)当t≤1时,f x =e x-2t-ln x+2≥e x-2-ln x+2,设g(x)=e x-2-ln x+2,则g′(x)=e x-2-1 x,因为y=e x-2和y=-1x在(0,+∞)上单调递增,所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g′1 =1e-1<0,g′2 =1-12=12>0,所以存在x0∈(1,2)使得g′(x0)=0,所以当0<x<x0时,g′(x)<0,当x>x0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,x0)单调递减,在x0,+∞上单调递增,所以g x ≥g x0,因为g′(x0)=0,即e x0-2=1x0,两边取对数得ln x0=2-x0,所以g(x0)=e x0-2-ln x0+2=1x0+x0,因为x0∈(1,2),所以g(x0)=1x0+x0>2,所以f(x)>2.。
高中数学 小问题集中营 专题2.2 数与式大小的比较-人教版高三全册数学试题

专题二 数与式大小的比较一、问题的提出【2016高考新课标1文数】若0a b >>,01c <<,则(A )log a c <log b c (B )log c a <log c b (C )a c<bc(D )c a >c b利用指数函数、对数函数、及幂函数的性质比较数与式的大小是高考中的热点,本题对此问题作深入探讨,帮助同学们掌握数与式大小的基本方法. 二、问题的探源本题解法:由01c <<可知log c y x =是减函数,又0a b >>,所以log log c c a b <.故选B.本题也可以 用特殊值代入验证.【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 一、思路点拨1.比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小. 2.若题中所给的对数式的底数相同时,可以考虑利用对数函数的单调性来比较大小,在比较时,一定要注意底数所在X 围对单调性的影响,即a >1时xa y log =是增函数,0<a <1时xa y log =是减函数,当对数底数为变量时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.3.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时,可以找一个中间量作为桥梁,通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小,.在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较,另外若题中既有对数式又有指数式,也常用中间量比较大小.4.比较复杂的数与式大小的比较有时可通过作差或作上比较大小 二、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来: 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为()0,1和()1,+∞(1)如果底数和真数均在()0,1中,或者均在()1,+∞中,那么对数的值为正数 (2)如果底数和真数一个在()0,1中,一个在()1,+∞中,那么对数的值为负数 例如:30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了3、比较大小的两个理念:(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如:1113423,4,5,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===,从而只需比较底数的大小即可(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如2log 3,可知2221log 2log 3log 42=<<=,进而可估计2log 3是一个1点几的数,从而便于比较4、常用的指对数变换公式:(1)nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)log log log a a a M N MN +=log log log a a a M M N N-= (3)()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>(4)换底公式:log log log c a c bb a=进而有两个推论:1log log a b b a =(令c b =) log log m n a a nN N m=三、问题的佐证【例1】已知a =⎝ ⎛⎭⎪⎫1223,b =2-43,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫1213,则下列关系式中正确的是( )A .c <a <bB .b <a <cC .a <c <bD .a <b <c【解析】把b 化简为b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1243,而函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数,43>23>13,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1243<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213,即b <a <c .【例2】已知a =5log 2 3.4,b =5log 4 3.6,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3,则( )A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >a >b【解析】选C.c =⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3=5-log 3 0.3=5log 3103.法一:在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示. 由图象知:log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y =5x为增函数,∴5log 23.4>5log 3103>5log 43.6,∴a >c >b .【例3】【2017某某高考】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==,则,,a b c 的大小关系为(A )a b c <<(B )b a c <<(C )c b a <<(D )c a b << 【答案】C【解析】由题意:()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,且:0.822log 5log 4.12,122>><<, 据此:0.822log 5log 4.12>>,结合函数的单调性有:()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,即,a b c c b a >><<,本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇函数的性质和对数运算法则,()2log 5a f =,再比较0.822log 5,log 4.1,2比较大小.【例4】【2016高考某某】已知a ,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log >1a b ,则( ) A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->【易错点睛】在解不等式log 1a b >时,一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论,否则很容易出现错误. 四、问题的解决1. 【2016高考新课标Ⅲ文数】 已知4213332,3,25a b c ===,则( ) (A) b a c << (B)a b c <<(C) b c a << (D) c a b <<【答案】A【解析】因为423324a ==,1233255c ==,又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数,所以222333345<<,即b a c <<,故选A .【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断,如果两个数指数相同,底数不同,则考虑幂函数的单调性;如果指数不同,底数相同,则考虑指数函数的单调性;如果涉及到对数,则联系对数的单调性来解决. 2.已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9,c 1.1a b ===,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c << B .a c b << C .b a c << D .c a b << 【答案】C【解析】0.900.70.7 1.10log 0.8log 0.71,log 0.90,c 1.1 1.11a b <=<==<=>=⇒b a c <<,故选C .3.【2014某某文3】已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 【答案】C 【解析】因为132(0,1)a -=∈,221log log 103b =<=,112211log log 132c =>=,故c a b >>.【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质,比较函数值大小问题,往往结合函数的单调性,通过引入“-1,0,1”等作为“媒介”.本题属于基础题,注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用. 4. 【2015高考某某】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===,,,则a b c ,,的大小关系是( ) (A )a b c << (B ) a c b <<(C )b a c << (D )b c a << 【答案】C【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知, 1.50.600.60.61<<<,又0.61.51>,故选C .5. 【2014某某文5】设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则( )A .c a b <<B .b a c <<C .a b c <<D .b c a << 【答案】B .【点睛】指对数比较大小也是高考中常见的考题,常见的方法有:①比较同底数对数的大小利用函数单调性;②底数不同的对数比较,利用函数图像及相互位置关系比较大小;③既有指数又有对数,或对数底数与真数都不同时,常采用放缩法或找中间值法,多选0和1等. 6.【2014某某高考】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 【答案】C.【解析】因为2221122log log 21,log log 10,(0,1),a b c πππ-=>==<==∈所以b c a >>,选C.7.已知01a <<,log 2log 3a a x =1log 52a y =,log 21log 3a a z =,则( )A .x y z >>B .z y x >>C .y x z >>D .z x y >>【解析】log 6,a x =log 5,a y =log 7,a z =由01a <<知xa y log =为减函数,y x z ∴>>,选C.8. 【2014某某高考】已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >>B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>【答案】C【解析】1032122110221,log 0,log log 31,33a b c -<=<==<==>所以c a b >>,故选C .9.【2014某某高考】 已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<,则下列关系式恒成立的是( ) A.33xy > B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)xy +>+ D.221111x y >++ 【答案】A10.【2015高考某某】设()ln ,0f x x a b =<<,若)p f ab =,()2a bq f +=, 1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q =>【答案】C【解析】1()ln 2p f ab ab ab ===;()ln 22a b a b q f ++==;11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>,由()ln f x x =是个递增函数,()(2a bf f ab +> 所以q p r >=,故答案选C【点睛】1.本题考查函数单调性,因为函数()ln f x x =是个递增函数,所以只需判断2a b+和ab 的大小关系即可;2.本题属于中档题,注意运算的准确性.11.已知)(x f 的定义在()+∞,0的函数,对任意两个不相等的正数21,x x ,都有0)()(212112<--x x x f x x f x ,记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===,则( ) A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 【答案】.C【解析】因为函数)(x f 的定义在()+∞,0的函数,对任意两个不相等的正数21,x x , 都有0)()(212112<--x x x f x x f x ,所以函数()f x y x=是()+∞,0上的减函数. 又因为0.22122,00.21<<<<,2log 52>,所以20.220.22log 5<<,c a b ∴<<,故选C.12.【2017某某高考理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )a b c <<(B )c b a <<(C )b a c <<(D )b c a << 【答案】C【点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解不等式. 13. 【2015高考,文10】32-,123,2log 5三个数中最大数的是. 【答案】2log 5【解析】31218-=<,12331=>,22log 5log 423>>>,所以2log 5最大.14. 【2014某某,理9】若2132)(x x x f -=,则满足0)(<x f 的x 取值X 围是. 【答案】(0,1)【点睛】1.幂函数y =x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α的正负:α>0时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0时,图像不过原点,在第一象限的图像下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 15.已知()1145279722,,,log 979xxf x a b c --⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )【答案】()()()f c f b f a <<【解析】()22xxf x -=-为单调递增函数,而11144527997,log 09779a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()()()f c f b f a <<,选B .。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析

第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理(吃透教材)模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质;2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程;3.理解对数的运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;4.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念:如果x a N =(0a >且1a ≠),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质(1)当0a >,且1a ≠时,x a N =⇔log a x N =;(2)负数和0没有对数,即0>N ;(3)特殊值:1的对数是0,即log 1a =0(0a >,且1a ≠);底数的对数是1,即log 1a a =(0a >,且1a ≠);(4)对数恒等式:log a N a N =;(5)log ba ab =.知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质:0>a ,且1≠a ,0,0>>N M (1)N M MN a a a log log )(log +=;(2)N M NMa a alog log log -=;(3)M n M a na log log =2、换底公式(1)换底公式:abb c c a log log log =(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).(2)可用换底公式证明以下结论:①ab b a log 1log =; ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ;③b b a na n log log =;④b n mb a ma n log log =; ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则(1)将真数和底数化成指数幂形式,使真数和底数最简,用公式log log m n a a nM b m=化简合并;(2)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式;(3)将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂;(4)如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式,一般改写成几个对数相加减的形式,然后进行化简合并;(5)对数真数中的小数一般要化成分数,分数一般写成对数相减的形式.2、对数运算中的几个运算技巧(1)lg 2lg 51+=的应用技巧:在对数运算中如果出现lg 2和lg 5,则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+,再应用公式lg 2lg 51+=进行化简;(2)log log 1a b b a ⋅=的应用技巧:对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒,则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简;(3)指对互化的转化技巧:对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件,求函数(),,f x y z 的值的问题,通常设(0)x y za b c k k ===>,则log a x k =,log b y k =,log c z k =,将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解.考点一:对数的概念及辨析例1.(23-24高一上·全国·专题练习)(多选)下列选项中错误的是( )A .零和负数没有对数B .任何一个指数式都可以化成对数式C .以10为底的对数叫做自然对数D .以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】(23-24高一上·贵州贵阳·月考)使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是( )A .2x >B .123x <<C .123x <<且23x ≠D .2x <,【变式1-2】(23-24高一上·吉林延边·期中)在对数式()()3log 5a b a -=-中,实数a 的取值范围是( )A .()(),35,-∞⋃+∞B .()3,5C .()3,4D .()()3,44,5【变式1-3】(22-23高一上·江苏宿迁·期中)在下列四个命题中,正确的是( )A .若M N =则log log a a M N =;B .若log log a a M N =,则M N =;C .22log log a a M N =,则M N =;D .若M N =,则22log log a a M N =.考点二:对数式与指数式互化例2.(23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末)将3log 0.81x =化成指数式可表示为( )A .30.81x =B .0.813x =C .0.813x=D .30.81x=【变式2-1】(23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中)将328=化为对数式正确的是( )A .2log 38=B .2log 83=C .8log 23=D .3log 28=【变式2-2】(23-24高一上·江苏连云港·期中)已知)4x =,则x =( )A .2-B .0C .2D .4【变式2-3】(23-24高一上·江西宁冈·期中)(多选)下列指数式与对数式的互化,正确的一组是( )A .0e 1=与ln1=0B .131273-=与2711log 33=-C .2log 42=与1242=D .5log 5=1与155=考点三:利用对数性质解对数方程例3.(23-24高一·江苏·假期作业)方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为( )A .3-B .3C .1-或3D .1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考)方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】(23-24高一上·广东深圳·期中)已知a ,b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根,则log log a b b a +=.【变式3-3】(23-24高一上·全国·练习)已知a ,b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根,试给出关于a ,b 的一个结论.考点四:利用对数运算性质化简例4.(23-24高一下·云南昆明·期中)下列等式正确的是( )A .22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B .335log 5log 2log 93⋅⋅=C.ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】(23-24高一下·浙江·期中)化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】(23-24高一上·贵州毕节·期末)计算:(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-;(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】(24-25高一上·全国·课后作业)计算:(1)420.5251log log 3log 95+-;(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--.考点五:用已知对数表示其他对数例5.(23-24高一下·江苏盐城·期末)若lg2a =,lg3b =,则用a ,b 表示lg12=( )A .2a bB .2abC .2+a bD .2a b+【变式5-1】(23-24高一上·江苏淮安·期中)已知25a=,则lg 2=( )A .1aa +B .1a a -C .11a +D .1a a -【变式5-2】(23-24高一上·江苏宿迁·期末)已知2log 3a =,27b =,用a ,b 表示42log 56为( )A .3b a b++B .3b a b+C .31b a b +++D .31b a b ++【变式5-3】(23-24高一上·甘肃武威·月考)已知lg2,lg3a b ==,则30log 18=( )A .21a bb +-B .21a b b ++C .21a b b --D .21a b b -+考点六:利用换底公式证明等式例6.(23-24高一上·山东淄博·期末)设a ,b ,c 都是正数,且346a b c ==,那么下列关系正确的是( )A .2a b c+=B .2ac bc ab+=C .1112a b c+=D .112a b c+=【变式6-1】(23-24高一上·全国·随堂练习)求证:28log 643log 64=.【变式6-2】(23-24高一上·全国·随堂练习)设0a >,0b >,0α≠,且1a ≠,1b ≠,利用对数的换底公式证明:(1)1log log a b b aαα=;(2)log log a a b b αββα=.【变式6-3】(23-24高一上·河北石家庄·月考)设000a b a >>≠,,,且11a b ≠≠,,利用对数的换底公式证明:(1)log log a a b b αββα=;(2)1log log a b b aαα=;(3)计算:若2log 32x =,求33x x -+的值.一、单选题1.(23-24高一上·全国·专题练习)在()log 5a b a =-中,实数a 的取值范围是( )A .5a >或a<0B .01a <<或15a <<C .01a <<D .15a <<2.(23-24高一下·湖南株洲·月考)若lg a (0a >)与lgb (0b >)互为相反数,则( )A .1a b +=B .0a b -=C .1ab =D .1ab=3.(23-24高一上·全国·课后作业)将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是( )A .121log 38=B .121log 38=C .181log 32=D .311log 28=4.(23-24高一下·陕西西安·月考)1lg 22+=( )A .12B .1C .lg 5D.5.(23-24高一上·北京·月考)若1ab >,则下列等式中正确是的是( )A .()lg lg lg ab a b=+B .lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .()21lg()lg 2a b a b +=+D .()1lg log 10ab ab =6.(23-24高一上·天津·期末)化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为( )A .1B .3C .4D .8二、多选题7.(23-24高一上·贵州安顺·期末)下列运算正确的有( )A .lg 2lg 3lg 5+=B .33log 10010log 10=C .4log 545=D .34log 4log 31⋅=8.(23-24高一上·吉林延边·期中)下列命题中正确的是( )A .已知25a=,8log 3b =,则34a b -=259B .222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C .若3log 41x =,则44x x -+的值为103D .若23m n k ==且112m n+=,则k =6三、填空题9.(23-24高一下·上海嘉定·月考)已知2log 3a =,25b =则12log 45= .(用含,a b的式子表示)10.(23-24高一下·云南昆明·期中)若4312,log 12a b ==,则11a b+=.11.(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)设m ,n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根,则mn =.四、解答题12.(22-23高一上·新疆喀什·期末)求值:(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13.(23-24高一上·安徽蚌埠·期末)(1)若3515a b ==,求55a b+的值;(2)求值:()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理(吃透教材)模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质;2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程;3.理解对数的运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;4.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念:如果x a N =(0a >且1a ≠),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质(1)当0a >,且1a ≠时,x a N =⇔log a x N =;(2)负数和0没有对数,即0>N ;(3)特殊值:1的对数是0,即log 1a =0(0a >,且1a ≠);底数的对数是1,即log 1a a =(0a >,且1a ≠);(4)对数恒等式:log a N a N =;(5)log ba ab =.知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质:0>a ,且1≠a ,0,0>>N M (1)N M MN a a a log log )(log +=;(2)N M NMa a alog log log -=;(3)M n M a na log log =2、换底公式(1)换底公式:abb c c a log log log =(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).(2)可用换底公式证明以下结论:①ab b a log 1log =; ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ;③b b a na n log log =;④b n mb a ma n log log =; ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则(1)将真数和底数化成指数幂形式,使真数和底数最简,用公式log log m n a a nM b m=化简合并;(2)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式;(3)将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂;(4)如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式,一般改写成几个对数相加减的形式,然后进行化简合并;(5)对数真数中的小数一般要化成分数,分数一般写成对数相减的形式.2、对数运算中的几个运算技巧(1)lg 2lg 51+=的应用技巧:在对数运算中如果出现lg 2和lg 5,则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+,再应用公式lg 2lg 51+=进行化简;(2)log log 1a b b a ⋅=的应用技巧:对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒,则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简;(3)指对互化的转化技巧:对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件,求函数(),,f x y z 的值的问题,通常设(0)x y za b c k k ===>,则log a x k =,log b y k =,log c z k =,将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解.考点一:对数的概念及辨析例1.(23-24高一上·全国·专题练习)(多选)下列选项中错误的是( )A .零和负数没有对数B .任何一个指数式都可以化成对数式C .以10为底的对数叫做自然对数D .以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A :由对数的定义可知:零和负数没有对数.故A 正确;对于B :只有符合0a >,且10a N ≠>,,才有log xa a N x N =⇔=,故B 错误;对于C :以10为底的对数叫做常用对数,故C 错误;对于D :以e 为底的对数叫做自然对数,故D 错误.故选:BCD.【变式1-1】(23-24高一上·贵州贵阳·月考)使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是( )A .2x >B .123x <<C .123x <<且23x ≠D .2x <,【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义,则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩,解得123x <<且23x ≠.故选:C.【变式1-2】(23-24高一上·吉林延边·期中)在对数式()()3log 5a b a -=-中,实数a 的取值范围是( )A .()(),35,-∞⋃+∞B .()3,5C .()3,4D .()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义,需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩,解得34a <<或45a <<,所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 .故选:D.【变式1-3】(22-23高一上·江苏宿迁·期中)在下列四个命题中,正确的是( )A .若M N =则log log a a M N =;B .若log log a a M N =,则M N =;C .22log log a a M N =,则M N =;D .若M N =,则22log log a a M N =.【答案】B【解析】对A ,若0M N =≤,则log ,log a a M N 均无意义,故A 错;对B ,若log log a a M N =,说明0M N =>,则B 项正确;对C ,若22log log a a M N =,则22M N =,不一定能推出M N =,故C 错;对D ,若0M N ==,则22log ,log a a M N 无意义,故D 错.故选:B考点二:对数式与指数式互化例2.(23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末)将3log 0.81x =化成指数式可表示为( )A .30.81x =B .0.813x =C .0.813x=D .30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式,为30.81x =.故选:A .【变式2-1】(23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中)将328=化为对数式正确的是( )A .2log 38=B .2log 83=C .8log 23=D .3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=,故选:B .【变式2-2】(23-24高一上·江苏连云港·期中)已知)4x =,则x =( )A .2-B .0C .2D .4【答案】C【解析】由)4x =得42x =,即22x x =,又0x >且1x ≠,所以2x =,故选:C .【变式2-3】(23-24高一上·江西宁冈·期中)(多选)下列指数式与对数式的互化,正确的一组是( )A .0e 1=与ln1=0B .131273-=与2711log 33=-C .2log 42=与1242=D .5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知,ABD 正确;对于C ,22log 4242=⇔=,故C 错误.故选:ABD考点三:利用对数性质解对数方程例3.(23-24高一·江苏·假期作业)方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为( )A .3-B .3C .1-或3D .1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+,得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩,即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩,解得3x =,所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选:B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考)方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+,得()133log 94log 3x x +-=,所以1943x x +-=,即()23433x x -=⋅,即()()34310x x-+=,所以34x =或31x =-(舍去),所以3log 4x =.故答案为:3log 4.【变式3-2】(23-24高一上·广东深圳·期中)已知a ,b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根,则log log a b b a += .【答案】52/2.5【解析】方法一:因为a ,b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根,由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=,3ln ln 2a b +=,则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅,即5log log 2a b b a +=;方法二:因为22310t t -+=的根为1t =或12t =,不妨设ln 1a =,1ln 2b =,则e a =,b =,所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=.故答案为:52.【变式3-3】(23-24高一上·全国·练习)已知a ,b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根,试给出关于a ,b 的一个结论 .【答案】1081a b +=(答案不唯一)【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-,即33114133log log x x ++=-+,令3g 1lo x t +=,则1433t t +=-,解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-,解得19x =或181x =.故答案为:1081a b +=(答案不唯一)考点四:利用对数运算性质化简例4.(23-24高一下·云南昆明·期中)下列等式正确的是( )A .22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B .335log 5log 2log 93⋅⋅=C.ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中,由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=,所以A 正确;对于B 中,由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠,所以B 错误;对于C中,由ln 27e log 825ππ=++-≠,所以C 错误;对于D 中,122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠,所以D错误.故选:A【变式4-1】(23-24高一下·浙江·期中)化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为:1.【变式4-2】(23-24高一上·贵州毕节·期末)计算:(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-;(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0;(2)6【解析】(1)原式=1122234937(1()1021644+-=+-=(2)原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6.【变式4-3】(24-25高一上·全国·课后作业)计算:(1)420.5251log log 3log 95+-;(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--.【答案】(1)0;(2)2【解析】(1)420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭;(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五:用已知对数表示其他对数例5.(23-24高一下·江苏盐城·期末)若lg2a =,lg3b =,则用a ,b 表示lg12=( )A .2a bB .2abC .2+a bD .2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+,故选:D.【变式5-1】(23-24高一上·江苏淮安·期中)已知25a=,则lg 2=( )A .1aa +B .1a a -C .11a +D .1a a -【答案】C 【解析】由25a=得,2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===,则1lg 21a =+,故选:C .【变式5-2】(23-24高一上·江苏宿迁·期末)已知2log 3a =,27b =,用a ,b 表示42log 56为( )A .3b a b++B .3b a b+C .31b a b +++D .31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =,所以2log 7=b ,2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选: C.【变式5-3】(23-24高一上·甘肃武威·月考)已知lg2,lg3a b ==,则30log 18=( )A .21a bb +-B .21a b b ++C .21a b b --D .21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++,故选:B.考点六:利用换底公式证明等式例6.(23-24高一上·山东淄博·期末)设a ,b ,c 都是正数,且346a b c ==,那么下列关系正确的是( )A .2a b c +=B .2ac bc ab+=C .1112a b c+=D .112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===,得3log a k =,4log b k =,6log c k =,1log 3k a=,1log 4k b =,1log 6k c =,则11log 4log 222k k b ==,根据log 3log 2log 6k k k +=可知,1112a b c+=.故选:C 【变式6-1】(23-24高一上·全国·随堂练习)求证:28log 643log 64=.【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===,右边362263log 23log 263==⨯⨯=,所以左边=右边,得证.【变式6-2】(23-24高一上·全国·随堂练习)设0a >,0b >,0α≠,且1a ≠,1b ≠,利用对数的换底公式证明:(1)1log log a b b aαα=;(2)log log a a b b αββα=.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【解析】(1)log 1log log log b a b b b b a aααα==,所以等式成立;(2)log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===,所以等式成立.【变式6-3】(23-24高一上·河北石家庄·月考)设000a b a >>≠,,,且11a b ≠≠,,利用对数的换底公式证明:(1)log log a a b b αββα=;(2)1log log a b b aαα=;(3)计算:若2log 32x =,求33x x -+的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)174【解析】(1)因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===,所以命题log log a ab b αββα=得证.(2)因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==,所以命题1log log ab b a αα=得证.(3)因为2log 32x =,所以22322log 22log 4log 3log 3x ===,故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=,即33x x -+的值为174.一、单选题1.(23-24高一上·全国·专题练习)在()log 5a b a =-中,实数a 的取值范围是( )A .5a >或a<0B .01a <<或15a <<C .01a <<D .15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩,解得05a <<,且1a ≠,故选:B .2.(23-24高一下·湖南株洲·月考)若lg a (0a >)与lg b (0b >)互为相反数,则( )A .1a b +=B .0a b -=C .1ab =D .1a b=【答案】C【解析】因为lg a (0a >)与lg b (0b >)互为相反数,所以lg lg lg 0a b ab +==,所以1ab =.故选:C.3.(23-24高一上·全国·课后作业)将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是( )A .121log 38=B .121log 38=C .181log 32=D .311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式:121log 38=,故选:B 4.(23-24高一下·陕西西安·月考)1lg 22+=( )A .12B .1C .lg 5D.【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选:A5.(23-24高一上·北京·月考)若1ab >,则下列等式中正确是的是( )A .()lg lg lg ab a b=+B .lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .()21lg()lg 2a b a b +=+D .()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时,ABC 均不成立,由换底公式知D 正确.故选:D .6.(23-24高一上·天津·期末)化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为( )A .1B .3C .4D .8【答案】B【解析】由题意可得:2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选:B.二、多选题7.(23-24高一上·贵州安顺·期末)下列运算正确的有( )A .lg 2lg 3lg 5+=B .33log 10010log 10=C .4log 545=D .34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ,lg 2lg 3lg 6+=,故A 错误;对B ,33log 1002log 10=,故B 错误;对C ,4log 545=正确;对D ,34log 4log 31⋅=正确.故选:CD8.(23-24高一上·吉林延边·期中)下列命题中正确的是( )A .已知25a=,8log 3b =,则34a b -=259B .222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C .若3log 41x =,则44x x -+的值为103D .若23m n k ==且112m n+=,则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=,则2log 5a =,且821log 3log 33b ==,则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====,故A 正确;()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=,故B 正确;由3log 41x =可得431log 3log 4x ==,则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=,故C 正确;因为23m n k ==,则23log ,log m k n k ==,则11log 2,log 3k k m n==,所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==,所以k =D 错误;故选:ABC 三、填空题9.(23-24高一下·上海嘉定·月考)已知2log 3a =,25b =则12log 45=.(用含,a b的式子表示)【答案】22a b a ++【解析】因为25b =,所以2log 5b =,又2log 3a =,所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为:22a b a ++10.(23-24高一下·云南昆明·期中)若4312,log 12ab ==,则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =,所以3log 12a =,所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为:1.11.(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)设m ,n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根,则mn =.【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=,即()2lg 3lg 10x x -+=,设lg t x =,由题意lg lg m n ,是方程2310t t -+=的两个根,由根与系数关系得lg lg 3m n +=,即lg 3mn =,所以1000mn =.故答案为:1000.四、解答题12.(22-23高一上·新疆喀什·期末)求值:(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-;(2)52;(3)2【解析】(1)()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-(2)2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=(3)()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13.(23-24高一上·安徽蚌埠·期末)(1)若3515a b ==,求55a b+的值;(2)求值:()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】(1)5;(2)13π-【解析】(1)因为3515a b ==,所以35log 15,log 15==a b ,3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==,则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭;(2)()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-.。
对数的运算法则高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

方法归纳
选择适当的对数运算法则求值,注意掌握一些对数的性质:loga1=
0,logaa=1,alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).
角度2 对数运算法则的综合应用
例3 计算下列各式的值.
(1)lg
7
14-2lg +lg
3
lg
(2);
(3)lg
7-lg 18;
27+lg 8-3lg
lg 1.2
2
2
5 + lg
3
10
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
方法归纳
1.对于同底的对数的化简,常用方法是:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、
变形应用公式的习惯,lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时
x
1
1
(3)loga =loga -loga(yz)= logax-(logay+logaz )= logax-logay-logaz;
yz
2
2
x2 y
1
1
2
(4)loga 3 =logax +loga -loga 3 =2logax+ logay- logaz.
2
3
方法归纳
运用对数运算法则进行对数式的化简,要注意只有当式子中所有的
A.-2 B.2
C. 2 D.log62
)
答案:B
解析:原式=log618+log62=log636=2.故选B.
4.log
3 45-log 3 5=________.
高考数学热点问题专题练习——指对数比较大小知识归纳及典型例题分析

指对数比较大小一、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来: 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为()0,1和()1,+∞(1)如果底数和真数均在()0,1中,或者均在()1,+∞中,那么对数的值为正数 (2)如果底数和真数一个在()0,1中,一个在()1,+∞中,那么对数的值为负数 例如:30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了3、比较大小的两个理念:(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如:1113423,4,5,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===,从而只需比较底数的大小即可(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如2log 3,可知2221log 2log 3log 42=<<=,进而可估计2log 3是一个1点几的数,从而便于比较 4、常用的指对数变换公式:(1)nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=(3)()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> (4)换底公式:log log log c a c bb a=进而有两个推论:1log log a b b a = (令c b =) log log m n a a nN N m=典型例题例1:设323log ,log log a b c π===则,,a b c 的大小关系是______________ 思路:可先进行0,1分堆,可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<,从而a 肯定最大,只需比较,b c 即可,观察到,b c 有相同的结构:真数均带有根号,抓住这个特点,利用对数公式进行变换:223311log log 3,log log 222b c ====,从而可比较出32log 21log 3<<,所以c b < 答案:c b a <<例2:设123log 2,ln 2,5a b c -===,则,,a b c 的大小关系是___________ 思路:观察发现,,a b c 均在()0,1内,,a b 的真数相同,进而可通过比较底数得到大小关系:a b <,在比较和c 的大小,由于c 是指数,很难直接与对数找到联系,考虑估计,,a b c值得大小:12152c -==<=,可考虑以12为中间量,则331log 2log 2a =>=,进而12a c >>,所以大小顺序为b ac >> 答案:b a c >>例3:设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D.思路:观察到,,a b c 都是以e 为底的对数,所以将其系数“放”进对数之中,再进行真数的比较。
高中数学 小问题集中营 专题2.1 两边取对数-人教版高三全册数学试题

专题一 两边取对数一、问题的提出【2017课标1理11】设x 、y 、z 为正数,且235xyz==,则 A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z该题解法中使用了两边取对数,这种方法是求解含有指数式的问题的一个常用方法,下面我们就来探讨这一方法在解题中的应用. 二、问题的探源一般来说,已知()()()0,1,0,1f x g x aba ab b =>≠>≠,可通过取对数,转化为()()log log c c f x a g x b = ,通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于我们寻找解题思路,因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法. 有时对数运算比指数运算来得方便,对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法. 除了等式可通过两边取对数,有时两边含有指数式的不等式也可以取对数进行变形,但要注意不等号是否改变方向.两边取对数的方法,除在函数中有着广泛应用,在后面的数列、导数中都有广泛应用. 三、问题的佐证【例1】【2014某某高考】已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d=,则下列等式一定成立的是( )A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 【解析】5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a ab c c==,又5510,log 10d d =∴=, 所以ad cd a c=⇒=.选B.【例2】设2a =5b=m ,且1a +1b=2,则m =________.【解析】由2a =5b=m ,得a =log 2m ,b =log 5m ,又1a +1b =2,即1log 2m +1log 5m =2,∴1lg m=2,即m =10. 【例3】设y x ,均为正数,且1lg 1=+xxy (x ≠101),求lg(xy )的取值X 围. 【解析】题中含有指数形式出现的式子,首先可以利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算,然后把lg(xy )看作关于x 的函数,从而把求lg(xy )的取值X 围转化为求函数值域的问题. ∵x >0,y >0,1lg 1=+xxy,两边取对数得:y x x lg )lg 1(lg ++=0.即y lg =x x lg 1lg +-(x ≠101,lg x ≠-1).令lg x =t, 则y lg =tt+-1(t≠-1). ∴lg(xy )=lg x +lg y =1+-t t t =211)1(111-+++=++-=t t t t ,∵ 2111≥+++t t 或2111-≤+++t t ,∴lg(xy )的取值X 围是),0[]4,(+∞-∞【例4】已知数列{}n x 中,21113,2n n nx x x x ++==则数列{}n x 的通项公式n x =四、问题的解决1.【2016高考某某】某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B【解析】设从2015年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知 得()200130112%200, 1.12130nn ⨯+>∴>,两边取常用对数得 200lg 2lg1.30.30.11lg1.12lg, 3.8,4130lg1.120.05n n n -->∴>==∴≥,故选B. 2.【2017理8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)(A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093 【答案】D点睛:本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系,以及指数与对数运算的关系,难点是36180310x =时,两边取对数,对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=,log log log a a aM M N N-=,log log na a M n M =. 3.求形如()()g x yf x 的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:ln ()ln ()y g x f x ,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+,于是得到: '''1()[()ln ()()()]()yf xg x f x g x f x f x ,运用此方法求得函数1xyx 的一个单调递增区间是( ) A .(),4e B .()3,6C .()0,eD .()2,3【答案】C【解析】两边同取自然对数得:1ln ln y x x=,再两边同时求导得'2211111()'ln ln y x x y x x x x x=+⋅=-+, 得22111ln '(ln )x y x x x x x -=-+=,由1ln '0xy x -=>得01ln 0x x >⎧⎨->⎩解得0x e <<. 4.【2014高考某某】已知42a=,lg x a =,则x =________.10【解析】由42a=得12a =,所以1lg 2x =,解得10x =10【点晴】本题主要考查的是指数方程和对数方程,属于容易题;在解答时正确理解指数式和对数式的意义有助于正确完成此题.5.已知lg3lg 22,3a b ==,则a,b 的大小关系为.【答案】a=b【解析】由lg3lg 22,3a b ==可得lg lg3lg 2,lg lg 2lg3a b ==,所以lg lg a b a b =⇒=.6. 【2016高考某某理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =52,a b =b a,则a =,b =. 【答案】42【解析】设log ,1b a t t =>则,因为21522t t a b t +=⇒=⇒=, 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 7. 【2014高考某某理第12题】函数22()log log (2)f x x x =⋅的最小值为_________.【答案】14-8.已知532510a b c ==,且0abc ≠,则,,a b c 之间的关系式为. 【答案】11153a b c+= 【解析】设532510a b c t ===,两边取对数得5lg 2,3lg5,lg a b t c t === 所以1lg 21lg5,5lg 3lg a t b t ==,所以11lg 2lg 51153lg lg lg a b t t t c+=+==. 9.()0,1xy aa a =>≠的定义域与值域均为[](),m n m n <,则实数a 的取值X 围是.【答案】11ea e <<【提示】由题意知0<m<n,()0,1xy aa a =>≠是增函数,a>1,,m n a m a n ==,m,n 是方程x x a =的两个不同实根,两边取对数,将问题转化为()ln xg x x= 与直线ln y a = 有两个不交点, 作出()ln xg x x=的图象如下图:由图象可得10ln a e<<,所以11e a e << .10. 已知),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==. (1)比较x 3与y 4的大小;(2)求证:xz y 1121-=. 【解析】设z y x 643===t )1(>t ,取对数得:),0(lg lg 6lg ,lg 4lg ,lg 3lg >===t t z t y t x∴6lg lg ,4lg lg ,3lg lg t z t y t x ===, (1)4lg 3lg lg )3lg 44lg 3(4lg lg 43lg lg 343t t t y x -=-=-04lg 3lg lg )81lg 64(lg <-=t,∴ y x 43<.(2) ∵t t t x z lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11=-=-,tt t y lg 2lg lg 22lg 2lg 24lg 21===, ∴xz y 1121-= 11.解关于x 的不等式)10(23log ≠><a a x a x x a且【解析】(1)若10<<a ,两边取以a 为底的对数得xa x a log 23)(log 2+>,即03log 2)(log 2>--xa x a ,∴1log 3log -<>xa x a 或, ∴30a x <<或ax 1>.12.已知m,n 为正整数,且1n m >> ,求证()()11nmm n +>+ 【解析】()()11nmm n +>+()()ln 1ln 1n m m n ⇔+>+()()ln 1ln 1m n m n++>再根据()()ln 1x f x x+=在()0,+∞上是减函数证明.。
方程两边取对数的条件

方程两边取对数的条件1. 方程两边取对数那首先得保证方程里的数都是正数哦。
就像你数钱,总不能数负数的钱吧,那多奇怪呀!比如说方程y = 2x(x > 0),这里x是正数,我们就可以考虑两边取对数啦。
2. 方程两边取对数的时候,要是有变量在底数位置,那这个底数得大于0且不等于1呢。
这就好比盖房子打地基,地基得符合要求才能往上盖呀。
像方程y = a^x(a > 0且a≠1),这里a就是底数的情况。
3. 你想在方程两边取对数,那方程中的表达式得有意义才行。
这就跟做菜一样,食材得新鲜能用,不然做出来的菜肯定不好吃。
例如方程y = √x + 1(x ≥ 0),只有x满足条件,整个方程才有意义,才有可能取对数。
4. 方程两边取对数如果方程里有分式,分母可不能为0哦。
这就像走路,你不能走到绝路上去,分母为0就像是绝路。
比如方程y = 1 / (x - 1)(x ≠ 1),只有x 不等于1的时候,方程两边才可能取对数。
5. 当方程两边取对数时,对于对数函数的真数部分,它必须是大于0的呀。
这就好像人要呼吸新鲜空气,不能是脏空气一样。
拿方程y = log₂(x + 3)来说,x + 3必须大于0,也就是x > - 3的时候才能考虑两边取对数。
6. 方程两边取对数呢,要是遇到指数形式的方程,指数部分得是实数才行。
这就如同火车在轨道上跑,轨道得是实实在在存在的。
例如方程y = 3^(2x - 1),2x - 1是实数的情况下,才好去想两边取对数的事儿。
7. 你如果要对方程两边取对数,方程里的函数值也得合理呀。
这有点像你穿衣服得合身,不合身就别扭。
像方程y = sinx + 2(这里sinx的值域是[-1,1],所以y 的值域是[1,3]),在这个合理的值域范围内才可能取对数。
8. 方程两边取对数的话,对于那种含有根式的方程,根式下的数要非负哦。
这就好比花朵需要合适的土壤,土壤要是不合适,花就长不好。
比如方程y =log₃(√x),这里x就必须大于等于0才能取对数。
高一数学对数及对数式运算5大常考题型总结(原卷版)

第18讲 对数及对数式运算5大常考题型总结【知识点梳理】 1.对数式的运算(1)对数的定义:一般地,如果(0x a N a =>且1)a ≠,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,读作以a 为底N 的对数,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)常见对数:①一般对数:以(0a a >且1)a ≠为底,记为log Na ,读作以a 为底N 的对数;①常用对数:以10为底,记为lg N ; ①自然对数:以e 为底,记为ln N ; (3) 对数的性质和运算法则:①特殊对数:1log 0a =;log 1aa =;其中0a >且1a ≠①对数恒等式:log Na a N =(其中0a >且1a ≠,0N >) ①对数换底公式:log log log c a cb b a= 如:252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==. (4)对数的运算法则:①外和内乘原理:log ()log log a a a MN M N =+; ①外差内除原理:log log log aa a MM N N=-; ①提公次方法:log log (m n a a nb b m m=,)n R ∈; ①指中有对,没心没肺:log a b a b =和log b a a b = 如:433log 81log 34==,2log 525=. (5)换底公式和对数运算的一些方法:①常用换底:log log log c a c b b a= 如:252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==. ①倒数原理:1log log a b b a =如:321log 2log 3=. ①约分法则:log log log a b a b c c ⋅= 如: 232log 3log 4log 4=2⋅=;35157log 15log 7log 5log 31⋅⋅⋅=.①归一法则:()2lg 2+lg51lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 2lg5+lg 2+lg5=lg5+lg 21=⇒⋅=.【题型目录】 题型一:对数的定义 题型二: 指数对数的互化 题型三: 对数的运算求值 题型四:换底公式的应用 题型五:对数式的应用题【典型例题】 题型一:对数的定义【例1】(2021·全国高一课前预习)在()()31log 32a b a -=-中,实数a 的取值范围为______.【题型专练】1.(2022江苏省江阴市第一中学高一期中)使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是( ) A .3x > B .3x <C .133x <<D .133x <<且23x ≠2.(2022全国·高一课时练习)若()()1log 1k k +-有意义,则实数k 的取值范围是______.题型二: 指数对数的互化【例1】(2022全国高一专题练习)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)53=125; (2)4-2=116; (3)log 3127=-3.【题型专练】1.(2022全国高一课前预习)把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)3128-=; (2)17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (3)1lg31000=-. 2.(2022全国高一课时练习)指数式和对数式互相转化:(1)4e a =⇒____________.(2)31327-=⇒____________. (3)21log 416=-⇒____________.(4)2log 83=⇒____________.题型三: 对数的运算求值【例1】(2022·浙江·高考真题)已知825,log 3ab ==,则34a b -=( )A .25B .5C .259 D .53【例2】(2022陕西·长安一中高一期中)设函数()212,1x f x x -=⎨≥⎪⎩,则2(2)(log 6)f f -⋅=( )A .3B .6C .9D .12【例3】(2022全国高一专题练习)计算:(1)659log 25log 3log 6⋅⋅=_________. (2)()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++=_________. (3)235111log log log 2589⋅⋅=_________. (4)()24892log 3log 9log 27log 3log 32n n n ++++⋅__________.(5)6log 2323)+-=__________.【例4】(2022·全国·高一课时练习)已知()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=,则222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+=______.【例5】(2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末(文))计算:0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++=__________【例6】(2021·江苏省沭阳高级中学高一期中)已知0x >,0y >,且lg 2lg8lg 2x y +=,则21x y +的最小值为___________.【题型专练】1.(2020全国卷①)设3log 42a =,则4a -=( ) A .116B .19C .18D .162.(2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末(文))若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则()()016f f +=_________.3.(2022长沙市明德中学高一开学考试)计算:2log 321lg252log ln1162+++=______4.(2022·江苏·高一)计算()32log 2lg 2lg 2lg5lg53-++-=___________6.(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设函数()22,2x f x x =⎨>⎩,则()()24log 5f f -+=( )A .5B .6C .7D .87.(2022江苏高二课时练习)若0a >,0b >,()lg lg lg 2a b a b +=+,则2a b +的最小值为( )A .9B .8C .7D .68.(2022全国高一课时练习)计算:22log 4log 1323lg 3log 2lg 5+-⋅-=________.9.(2022全国高一课时练习)计算:(()22222lg5lg 2lg 21+-+____.题型四:换底公式的应用【例1】(2022·全国·高一课时练习)已知53a =,32b =,则5log 10ab -=( ) A .1 B .2 C .5 D .4【例2】(2022全国高一课时练习)设25a b m ==,且112a b+=,则m =( )A 10B .10C .20D .100【例3】(2022·全国·高一课时练习)已知lg 2a =,lg3b =,则36log 5=( ) A .221a b a +- B .12aa b-+ C .22a a b -+ D .122a a b -+【例4】(2022·天津·高考真题)化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为( ) A .1 B .2C .4D .6【例5】(2021·江苏·高一专题练习)若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===,则下列式子正确的是A .122a b c +=B .221a b c +=C .112a b c +=D .212a b c+=【题型专练】1.(2022湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试)已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d =,则下列等式一定成立的是( ) A .d ac = B .a cd =C .c ab =D .d a c =+2.(2022湖北黄石·高一期中)已知1a b >>,若5log log ,2b a a b b a a b +==,则2+a b =___________.3.(2021·上海高一专题练习)已知3log 2m =,用含m 的式子表示32log 18=_________.4.(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))若23a b m ==,且112a b+=,则m =_____________.5.(2022·全国·高一单元测试)把满足()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+,*n ∈N 为整数的n 叫作“贺数”,则在区间()1,50内所有“贺数”的个数是______.6.若b a ,均为不等于1的正数,且满足b a b a nm 821,22==⎪⎭⎫⎝⎛=,且,则=+221n m .题型五:对数式的应用题【例1】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg 2Em m E -=,其中星等为k m 的星的亮度为(12)k E k =,.已知太阳的星等是26.7-,天狼星的星等是1.45-,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A .10.110B .10.1C .lg10.1D .10.110-【例2】(2020•全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)()1t K I t e --=+,其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln193≈)( ) A .60 B .63 C .66 D .69【例3】(2021•全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L =5+lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)( ) A .1.5 B .1.2C .0.8D .0.6【例4】(2022·全国·模拟预测)地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里氏震级标准.里氏震级()M 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的.里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-,其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).根据该公式可知,2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的( )倍(精确到1).(参考数据:0.410 2.512≈,0.510 3.162≈, 2.810631≈) A .794 B .631C .316D .251【例5】(2022·辽宁·抚顺市第二中学三模)一热水放在常温环境下经过t 分钟后的温度T 将合公式:()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,其中a T 是环境温度,0T 为热水的初始温度,h 称为半衰期.一杯85①的热水,放置在25①的房间中,如果热水降温到55①,需要10分钟,则一杯100①的热水放置在25①的房间中,欲降温到55①,大约需要多少分钟?( )(lg 20.3010,lg30.4771≈≈) A .11.3 B .13.2C .15.6D .17.1【题型专练】1.(2022·吉林一中高二阶段练习(理))深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为00G GL L D =,其中L 表示每一轮优化时使用的学习率,0L 表示初始学习率,D 表示衰减系数,G 表示训练迭代轮数,0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.1以下(不含0.1)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 20.3010≈)( ) A .128 B .130 C .132 D .1342.(2022·内蒙古包头·二模(理))在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,其中星等为k m 的星的亮度为k E ()1,2k =.已知星A 的星等是 3.5-,星B 的星等是 1.5-,则星A 与星B 的亮度的比值为( ) A .4510 B .4510-C .5410D .5410-3.(2022福建省安溪第一中学高一月考)某种类型的细胞按如下规律分裂:每经过1小时,有约占总数12的细胞分裂一次,分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞,现有100个细胞按上述规律分裂,要使细胞总数超过1010个,需至少经过( )(参考数据:lg 20.3010=,lg30.4771=)A .44小时B .45小时C .46小时D .47小时4.(2022河北高一期末)地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测振仪衡量地震能量等级,其计算公式0lg lg M A A =-,M 表示里氏震级,A 是被测地震的最大振幅,0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差),计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位,参考数据:lg398 2.6≈,lg1995 3.3≈,lg 7.80.89≈,lg30.48≈)A .1995B .398C .89D .485.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
巧取对数_妙解指数问题_彭世金

又p-2=log316-2=log3
16 9
,3-p=log3
27 16
,而
16 9
>
27 16
,
所以与p的差最小的整数是3.
a a a a (2) 因为3x-4y=lgk· 3 - 4 =lgk· 3 - 2
lg3 lg4
lg3 lg2
解 设M=(lg3)lg3·3lg(log310),等 式 两 边 分 别 取 对
数 ,得 lgM=lg(lg3)lg3 + lg3lg( = log310) lg3·lg(lg3)+ lg3· lg(log310)= lg3·[lg(lg3)+ lg(lg3)-1]= lg3·[lg(lg3) -lg(lg3)]=0,所以M=1,即(lg3)lg·3 3lg(log310)=1.
参考答案
16<33,所以2<p<3.
1. 14. 2. 0.
42
当0<a<1时,原不等式的解集为(0,a3)∪ 1 ,+∞ . a
lgk ,y= lgk ,z= lgk .因为x,y,z为正数,所以k>1. lg3 lg4 lg6
2lgk
(1) p= 2x = y
lg3 lgk
=
2lg4 lg3
=4log32=log316.因为32<
lg4
筲巩固练习
a a 1. 计算7lg20. 1 lg0.7的值. 2 2. 已知315a=55b=153c,求5ab-bc-3ac的值.
例2 设a,b,c均为不等于1的正数,若ax=by=cz,且
1 + 1 + 1 =0,求证:abc=1. xyz
=lgk·3lg2-2lg3 =lgk·lg8-lg9 <0,所以3x<4y.
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专题一 两边取对数一、问题的提出【2017课标1理11】设x 、y 、z 为正数,且235xyz==,则 A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z该题解法中使用了两边取对数,这种方法是求解含有指数式的问题的一个常用方法,下面我们就来探讨这一方法在解题中的应用. 二、问题的探源一般来说,已知()()()0,1,0,1f x g x aba ab b =>≠>≠,可通过取对数,转化为()()log log c c f x a g x b = ,通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于我们寻找解题思路,因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法. 有时对数运算比指数运算来得方便,对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法. 除了等式可通过两边取对数,有时两边含有指数式的不等式也可以取对数进行变形,但要注意不等号是否改变方向.两边取对数的方法,除在函数中有着广泛应用,在后面的数列、导数中都有广泛应用. 三、问题的佐证【例1】【2014四川高考】已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d=,则下列等式一定成立的是( )A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 【解析】5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a ab c c==,又5510,log 10d d =∴=, 所以ad cd a c=⇒=.选B. 【例2】设2a =5b=m ,且1a +1b=2,则m =________.【解析】由2a =5b=m ,得a =log 2m ,b =log 5m ,又1a +1b =2,即1log 2m+1log 5m =2,∴1lg m=2,即m =10. 【例3】设y x ,均为正数,且1lg 1=+xxy (x ≠101),求lg(xy )的取值范围. 【解析】题中含有指数形式出现的式子,首先可以利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算,然后把lg(xy )看作关于x 的函数,从而把求lg(xy )的取值范围转化为求函数值域的问题. ∵x >0,y >0,1lg 1=+xxy,两边取对数得:y x x lg )lg 1(lg ++=0.即y lg =x x lg 1lg +-(x ≠101,lg x ≠-1).令lg x =t, 则y lg =tt+-1(t≠-1). ∴lg(xy )=lg x +lg y =1+-t t t =211)1(111-+++=++-=t t t t ,∵ 2111≥+++t t 或2111-≤+++t t ,∴lg(xy )的取值范围是),0[]4,(+∞-∞Y【例4】已知数列{}n x 中,21113,2n n nx x x x ++==则数列{}n x 的通项公式n x =四、问题的解决1.【2016高考四川】某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B【解析】设从2015年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知 得()200130112%200, 1.12130nn ⨯+>∴>,两边取常用对数得 200lg 2lg1.30.30.11lg1.12lg, 3.8,4130lg1.120.05n n n -->∴>==∴≥,故选B. 2.【2017北京理8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)(A )1033(B )1053(C )1073 (D )1093 【答案】D点睛:本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系,以及指数与对数运算的关系,难点是36180310x =时,两边取对数,对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=,log log log a a aM M N N-=,log log na a M n M =. 3.求形如()()g x y f x =的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+,于是得到:'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x =+,运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( ) A .(),4e B .()3,6C .()0,eD .()2,3【答案】C【解析】两边同取自然对数得:1ln ln y x x=,再两边同时求导得'2211111()'ln ln y x x y x x x x x=+⋅=-+, 得22111ln '(ln )x y x x x x x -=-+=,由1ln '0xy x -=>得01ln 0x x >⎧⎨->⎩解得0x e <<. 4.【2014高考陕西】已知42a=,lg x a =,则x =________.【解析】由42a=得12a =,所以1lg 2x =,解得x =【点晴】本题主要考查的是指数方程和对数方程,属于容易题;在解答时正确理解指数式和对数式的意义有助于正确完成此题. 5.已知lg3lg 22,3a b ==,则a,b 的大小关系为 .【答案】a=b【解析】由lg3lg 22,3a b ==可得lg lg3lg 2,lg lg 2lg3a b ==,所以lg lg a b a b =⇒=.6. 【2016高考浙江理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =52,a b =b a,则a = ,b = . 【答案】4 2【解析】设log ,1b a t t =>则,因为21522t t a b t +=⇒=⇒=, 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==7. 【2014高考重庆理第12题】函数2()log )f x x =的最小值为_________.【答案】14-8.已知532510a b c ==,且0abc ≠,则,,a b c 之间的关系式为 . 【答案】11153a b c+= 【解析】设532510a b c t ===,两边取对数得5lg 2,3lg5,lg a b t c t === 所以1lg 21lg5,5lg 3lg a t b t ==,所以11lg 2lg 51153lg lg lg a b t t t c+=+==. 9.()0,1xy aa a =>≠的定义域与值域均为[](),m n m n <,则实数a 的取值范围是 .【答案】 11ea e <<【提示】由题意知0<m<n,()0,1xy aa a =>≠是增函数,a>1,,m n a m a n ==,m,n 是方程x x a =的两个不同实根,两边取对数,将问题转化为()ln xg x x= 与直线ln y a = 有两个不交点, 作出()ln xg x x=的图象如下图:由图象可得10ln a e<<,所以11e a e << .10. 已知),0(,,+∞∈z y x 且zy x 643==.(1)比较x 3与y 4的大小;(2)求证:xz y 1121-=. 【解析】设z y x 643===t )1(>t ,取对数得:),0(lg lg 6lg ,lg 4lg ,lg 3lg >===t t z t y t x∴6lg lg ,4lg lg ,3lg lg t z t y t x ===, (1)4lg 3lg lg )3lg 44lg 3(4lg lg 43lg lg 343t t t y x -=-=-04lg 3lg lg )81lg 64(lg <-=t,∴ y x 43<.(2) ∵t t t x z lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11=-=-,tt t y lg 2lg lg 22lg 2lg 24lg 21===, ∴xz y 1121-= 11.解关于x 的不等式)10(23log ≠><a a x a x x a且【解析】(1)若10<<a ,两边取以a 为底的对数得xa x a log 23)(log 2+>, 即03log 2)(log 2>--xa x a ,∴1log 3log -<>xa x a 或, ∴30a x <<或ax 1>.12.已知m,n 为正整数,且1n m >> ,求证()()11nmm n +>+【解析】()()11n mm n +>+()()ln 1ln 1n m m n ⇔+>+ ()()ln 1ln 1m n m n++> 再根据()()ln 1x f x x+=在()0,+∞上是减函数证明.。