导数定义及公式

lim Δ y ∆x →0 Δ x
=
lim f x+∆x −f(x) ∆x →0 ∆x
一、函数的单调性
一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间 (a， b)内， 如果f ‘ （x）> ０，那么函数 y=f（x）在这个区间内单调递增；如果 f ‘ （x）< ０那么函数 y = f x 在这个区间内单调递减。 １. 如果f ‘ （x）> ０，则 f（x）严格增函数；如果f ‘ （x） < ０，则 f（x）严格减函数。 ２. 如果在（a，b）内恒有f ‘ （x）＝０，那么 f（x）在（a， b）内是常数。 ３. f ‘ （x）> ０是 f（x）在此区间上为增函数的充分而不 必要条件。 求函数单调区间的步骤： １. 确定 y=f（x）的定义域； ２. 求导数f ‘ （x），求出f ‘ （x）＝０的根； ３. 函数的无定义点和f ‘ （x）＝０的根将 f（x）的定义域分成若干区 间，列表考查这若干区间内f ‘ （x）的符号，进而确定 f（x）的单 调区间。 注意：Ａ. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个 这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。 Ｂ. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数
的定义域。
二、函数的极值： １.定义，设函数 f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的
所有点，都有 f（x）< f（x0 ），则称f（x0 ）是函数 f（x）的一个 极大值；如果对x0 附近的所有点，都有 f（x）> f（x0 ），则称 f（x0 ）是函数 f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值 点，极大值和极小值统称极值。 ２.判断f（x0 ）是极大值或极小值的方法： 第一步，确定函数的定义域，求导数f ‘ （x）； 第二步，求方程f ‘ （x）＝０的根； 第三步，检查f ‘ （x）在f ‘ （x）＝０的根左右两侧的值的符号； １.如果“左正右负”，那么 f（x）在这个根处取到极大值； ２.如果“左负右正”，那么 f（x）在这个根处取到极小值； ３. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 f（x）在这 个根处无极值。 在此步聚中，最好利用方程f ‘ （x）＝０的根，顺次将函数的定 义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。
n→ ∞时，上
述和式无限接近某个常数，这个常数叫函数 y=f（x）在区间[a， b]上定积分，记作
lim n →∞ b b f （ x ） dx 。即 a a
f（x） dx＝
n b −a i=1 n f（ξi ）
其中 f（x）叫做被积函数，a 做积分下
限，b 做积分上限。 定积分
b a
f（x） dx不是一个表达式，是一个常数。
导数：
1.若 f(x)=c,则f ‘ （x）= 2. 若 f(x)=x n （n∈ Q∗ ），则f ‘ （x）= 3. 若 f(x)=sin x,则f ‘ （x）= 4.若 f(x)=cos x,则f ‘ （x）= 5. 若 f(x)= ax ,则f ‘ （x）= 6. 若 f(x)= ex ,则f ‘ （x）= 7. 若 f(x)= log a x,则f ‘ （x）= 8. 若 f(x)= ln x,则f ‘ （x）= 9. 【f x ± g(x)】 = 10. 【f x . g(x)】 = 11. 【
※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值点，
如函数 f（x）＝������ ������ ，点 x＝０就不是极值点，但������ ‘ （０）＝０；
※函数的极大值不一定大于极小值； ※在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也 可能不存在极值点。
三函数的最值： 设函数 y=f（x）是定义在区间[a，b]上的函数，y=f（x）在
区间（a，b）内有导数，求 y=f（x）在[a，b]上的最大值与最小值， 其步骤为： 先求函数 y=f（x）在（a，b）内的极值；再将函数 y=f（x）的 各极值与端点的函数值 f（a）、f（b ）比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。
如果在区间[a，b] 上，函数 y=f（x）的图象是一条连续不
������ ������（������） ������������ ������ ������ ������（������） ������������ ������
定积分几何意义：从几何上看，若函数 y=f（x）在区间[a，b] 上连续且恒有 f（x）≥０，那么定积分 积； 定积分性质：
b [f a b a b a b f（x） dx表示直线 a
x=a,x=b（a≠b），y=0 和曲线 y=f（x）所围成的曲边梯形的面
kf（x） dx=k
b a
f（x） dx(k 为常数) ±
y=f（x）在 x=x0 处的导数，记作：
lim Δ y ∆x →0 Δ x
f ‘ （x）或y ‘ x = x0 。即 f ‘ （x0 ）=
=
lim f x +∆x −f(x ) 0 0 。 ∆x ∆x →0
##函数 y=f（x）在点x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x） 在点 P（x0 ，f（x0 ））处的切线斜率，也就是说曲线 y=f（x）在点 P（x0 ，f（x0 ））处的切线斜率是 f ‘ （x0 ）。相应地，过 p 点的切线 方程为： y-f（x0 ）=f ‘ （x0 ）（x-x0 ）
b f（x） dx a ‘
＝Ｆ（b）－Ｆ（a）。
定积分的简单应用： 一、 求平面图形面积的应用 １.定积分与平面图形面积的关系 通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也 可为０. （１） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴上方，定积分值取正值，且 等于曲边梯形的面积； （２） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴下方，定积分值取负值，且 等于曲边梯形面积的相反数； （３） 当位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积等于位于Ｘ轴下方的 曲边梯形的面积时，定积分的值为０，且等于位于Ｘ轴 上方的曲边梯形的面积减去位于Ｘ轴下方的曲边梯形的 面积。 ２.利用定积分求平面图形面积的步骤 （１） 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （２） 借助图形确定被积分函数，求出交点坐标，确定积分上、 下限； （３） 将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； （４） 计算并求出结果 二、 定积分在物理学中的应用 １.求变速直线运动的路程 ２.求变力 F 所做的功 s= w=
##导函数：如果函数 y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导， 就说函数 f（x）在开区间（a，b）内可导。若函数 f（x）在开区间 （a，b）内可导，则 f（x）在（a，b）内每一点的导数构成一个新 函数，把这一新函数叫做 f（x）在开区间（a，b）内的导函数（简 称导数）记作f ‘ （x）或y ‘ 或y ‘ x。 即f ‘ （x）=y ‘ =
四．定积分及应用 定积分定义：若函数 y=f（x）在区间[a，b]上连续用分点 a= x0 < x1 < ⋯ ⋯ < xi −1 < xi < xn =b,将区间[a，b]等分成 n 个 小区间，在每个小区间[xi −1 ，xi ]上任取一点ξi （i=1，2，3， ⋯ n），作和式
n n b −a i=1 f（ξi ） ∆x= i=1 n f（ξi ），当
b a
x ± g(ｘ)] dx=
b f（x） dx a
g（x） dx
f（x） dx =−
a f（x） dx b
以上是线性性质，下面是对区间可加性
c f（x） dx a
＝
b f（x） d来自百度文库 a
+
c f（x） dx b
（a< ������ < ������ ）
微积分基本定理－－牛顿－莱布尼兹公式 一般地，如果 f（x）在区间[a，b]上的连续函数，并且Ｆ （x）＝f （x），那么
断的曲线，则函数在[a，b] 上一定能够取得最大值和最小值，
并且函数的最值必在极值点或端点处取得。
※提示： １.若函数 y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则 f（a）为最小值，f（b） 为最大值；若若函数 y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，则 f（a）为最大值，f （b）为最小值。 ２.图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果 图象连续不断的函数在开区间（a，b）上只有一个极值，则该极值就是最值。 ３.函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为０的点讨论，其是极大值还是极小值， 只需将导数为０的点的函数和端点函数值时行比较。 在解决实际生活中优化问题注意事项：1 必须考虑是否符合实际意义２只 有一个点使f ‘ （x）＝０的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能 知道是最大（小）值。３不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来， 而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。
f x g(x) ′ ′
】=
′
′
12. 【cf x 】 = 13. y = f u , u = g(x)，则 y=f（g（x））； yx ′ = sin 2x= （e−x ） =
′
##导数：一般地，函数 y=f（x）在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim Δ y ∆x →0 Δ x
=
lim f x +∆x −f(x ) 0 0 ,称函数 ∆ x ∆x →0