导数定义及公式
导数的定义公式的变形
导数的定义公式的变形一、导数的定义。
1. 函数在某点的导数定义。
- 设函数y = f(x)在点x_0的某个邻域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量Δ x（点x_0+Δ x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δ y=f(x_0 + Δ x)-f(x_0)。
- 如果Δ y与Δ x之比当Δ xto0时的极限存在，则称函数y = f(x)在点x_0处可导，并称这个极限为函数y = f(x)在点x_0处的导数，记作f^′(x_0)，即f^′(x_0)=limlimits_Δ xto0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ xto0(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)。
2. 函数在区间上的导数。
- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数y = f(x)在开区间(a,b)内可导。
- 对于区间(a,b)内的每一个x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，于是在区间(a,b)内就定义了一个新的函数，这个函数称为原函数y = f(x)的导函数，记作y^′,f^′(x),(dy)/(dx)或(d)/(dx)f(x)，即f^′(x)=limlimits_Δ xto0(f(x+Δ x)-f(x))/(Δ x)。
二、导数定义公式的变形。
1. 用h表示增量。
- 令Δ x = h，则函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_hto0(f(x_0 + h)-f(x_0))/(h)。
- 函数y = f(x)的导函数f^′(x)=limlimits_hto0(f(x + h)-f(x))/(h)。
2. 从x到x_0的变形。
- 我们也可以写成f^′(x_0)=limlimits_xto x_0(f(x)-f(x_0))/(x - x_0)。
这种变形在一些证明和计算中非常有用，例如证明函数在某点的导数存在性等。
3. 负增量形式。
- 令Δ x=-h，当hto0时，Δ xto0。
导数的概念和定义
导数的概念和定义导数的概念和定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数可以用来求解函数的最大值、最小值、拐点等问题。
本文将从以下几个方面详细介绍导数的概念和定义。
一、导数的基本概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在该点处的切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)其中，“lim”表示极限，“(x-a)”表示自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时所取得的差值，“f(x)-f(a)”表示因变量y沿着这个方向所取得的差值。
二、导数的几何意义从几何角度来看，函数在某一点处的导数等于该点处切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处切线斜率k为：k = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)当自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时，切线斜率k即为导数f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点处的变化率。
三、导数的符号表示通常情况下，我们用f'(a)来表示函数y=f(x)在x=a处的导数。
其中，f'表示函数的导数运算符，被称为“d/dx”或“dy/dx”。
四、导数的计算方法求解函数在某一点处的导数需要使用极限运算。
具体地说，可以通过以下几种方法来计算函数在某一点处的导数：1. 使用极限定义法：根据导数的定义公式，将自变量沿着无限接近于该点但不等于该点的方向逼近，并求出其极限值。
2. 使用公式法：对于常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等），可以直接使用其导数公式进行计算。
3. 使用运算法则：对于复合函数和多项式函数等复杂函数，可以使用求导法则（如加减乘除法则、链式法则等）进行计算。
五、导数存在的条件有些函数在某些点处可能不存在导数。
具体地说，一个函数在某一点处存在导数需要满足以下两个条件：1. 函数在该点附近存在连续性；2. 函数在该点附近存在斜率有限的切线。
导数定义三种公式
导数定义三种公式在微积分中，导数是一个用来描述函数在其中一点附近的变化率的概念。
导数的定义有三种不同的方式：极限导数、导函数和微分。
下面将详细介绍这三种导数的定义。
1.极限导数：导函数或极限导数是最基本的导数定义方式之一、它的定义是通过函数在其中一点的极限来描述函数的导数。
假设函数$f(x)$在其中一点$x=a$处可导，那么函数在该点的导数（即导函数）$f'(a)$可以表示为：\[f'(a)=\lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(a+\Delta x)-f(a)}}{{\Delta x}}\]其中，$\Delta x$表示趋近于0的无穷小增量。
这个定义表示了函数$f(x)$在点$a$处的切线斜率的极限值。
2.导函数：导函数是导数的第二种定义方式，它是通过对函数进行求导得到的新函数。
如果函数$f(x)$在其定义域上的导数存在，那么可以定义导函数，记作$f'(x)$或$\frac{{dy}}{{dx}}$。
导函数可以用来确定函数在定义域上任意一点的导数。
要计算导函数，需要使用微分法则和基本函数的导数规则。
例如，若$f(x)=x^n$，其中$n$是常数，那么它的导函数$f'(x)$可以通过应用幂函数的求导法则得到：\[f'(x)=nx^{n-1}\]导函数通过求导的方式直接得到函数的导数，无需使用极限的定义。
3.微分：微分是导数的第三种定义方式。
微分可以看作是对函数的局部线性近似。
在微分学中，通过计算函数在其中一点上的导数，可以得到该点的切线方程。
函数$f(x)$在点$x=a$的微分可以表示为：\[df=f'(a)dx\]其中$df$表示函数在点$a$的微分，$f'(a)$表示该点的导数，$dx$表示自变量的无穷小增量。
因此，微分提供了一个近似函数值和真实函数值之间的关系。
微分的一个重要应用是求解函数在其中一点的变化率。
例如，如果我们想要求函数$f(x)$在点$x=a$的变化率，可以使用微分的定义：\[\frac{{df}}{{dx}}=f'(a)\]这个变化率可以帮助我们理解函数在其中一点的增加或减少的速率。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数的定义是函数变化率的极限。
下面将给出导数的一些重要公式的证明。
1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0\end{aligned}\]因此，常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]因此，幂函数的导数为$n$倍的$x$的$n-1$次方。
导数定义式公式
导数定义式公式
导数定义式是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数定义式可以用极限来表示，即函数在某一点的导数等于函数在该点的极限值。
下面我们将详细介绍导数定义式的具体内容。
导数定义式可以写作：
f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h
其中，f(x)是函数在点x处的取值，f(x+h)是函数在点x+h处的取值，h为趋近于0的实数。
导数定义式的意义是，当函数在某一点发生微小变化时，函数在该点的变化率即为函数在该点的导数。
在导数定义式中，f'(x)表示函数在点x处的导数，也可以写作dy/dx或y'。
它表示函数在该点的变化率，即函数在该点的瞬时斜率。
在实际应用中，导数定义式可以用来求解函数在某一点处的导数。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用导数定义式求解其在点x=2处的导数。
f'(2)=lim(h→0) (f(2+h)-f(2))/h
=lim(h→0) ((2+h)^2-2^2)/h
=lim(h→0) (4h+h^2)/h
=lim(h→0) (4+h)
=4
因此，函数f(x)=x^2在点x=2处的导数为4。
导数定义式是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
导数定义式可以通过极限求解，它可以用来求解函数在某一点处的导数。
在实际应用中，导数定义式具有重要的作用，它可以用来解决各种实际问题。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
高中数学导数的定义及求导公式解题技巧
高中数学导数的定义及求导公式解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
理解导数的定义以及掌握求导公式是解决各类导数题目的关键。
本文将介绍导数的定义及求导公式，并通过具体的题目分析和解答，帮助读者掌握解题技巧。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率，也可以表示为函数的瞬时变化率。
对于函数y=f(x)，若在点x处导数存在，则导数的定义为：f'(x) = lim(x→0) (f(x+h) - f(x))/h其中lim表示极限，h表示x的增量。
这个定义告诉我们，导数可以通过求函数在某一点的极限来计算。
二、求导公式在高中数学中，我们常用的函数求导公式有以下几种：1. 常数函数的导数为0：f(x) = c，则f'(x) = 0，其中c为常数。
2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。
3. 指数函数的导数：f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x，其中a为常数。
4. 对数函数的导数：f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(x * ln(a))，其中a为常数。
5. 三角函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
以上是常用的求导公式，掌握它们可以帮助我们快速求解各类导数题目。
三、解题技巧在解题过程中，我们可以运用导数的定义和求导公式来解决各类导数题目。
下面通过具体的题目来说明解题技巧。
题目一：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5在点x=2处的导数。
解析：根据求导公式，我们可以依次求出每一项的导数，然后将它们相加。
导数公式的证明(最全版)
...导数的定义：f'(x)=lim Δy/ ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0 了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n 为自然数）f'(x)=lim [(x+ Δx)^n-x^n]/ Δx=lim (x+ Δx-x)[(x+ Δx)^(n-1)+x*(x+ Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+ Δx)+x^(n-1)]/ Δx=lim [(x+ Δx)^(n-1)+x*(x+ Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+ Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n 为任意实数）f(x)=x^n... lnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+ Δx)-sinx)/ Δx=lim (sinxcos Δx+cosxsin Δx-sinx)/ Δx =lim (sinx+cosxsin Δx-sinx)/ Δx=lim cosxsin Δx/ Δx=cosx... （3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+ Δx)-cosx)/ Δx=lim (cosxcos Δx-sinxsin Δx-cosx)/ Δx =lim (cosx-sinxsin Δx-cos)/ Δx=lim -sinxsin Δx/ Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+ Δx)-a^x)/ Δx=lim a^x*(a^ Δx-1)/ Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1) ）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+ Δx)-loga^x)/ Δx =lim loga^[(x+ Δx)/x]/ Δx=lim loga^(1+ Δx/x)/ Δx=lim ln(1+ Δx/x)/(lna* Δx)=lim x*ln(1+ Δx/x)/(x*lna* Δx) =lim (x/ Δx)*ln(1+ Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+ Δx/x)^(x/ Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+ Δx)-tanx)/ Δx=lim (sin(x+ Δx)/cos(x+ Δx)-sinx/cosx)/ Δx=lim (sin(x+ Δx)cosx-sinxcos(x+ Δx)/( Δxcosxcos(x+ Δx)) =lim (sinxcos Δxcosx+sin Δxcosxcosx-sinxcosxcos Δx+sinxsinxsin Δx)/( Δxcosxcos(x+ Δx))=lim sin Δx/( Δxcosxcos(x+ Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+ Δx)-cotx)/ Δx=lim (cos(x+ Δx)/sin(x+ Δx)-cosx/sinx)/ Δx=lim (cos(x+ Δx)sinx-cosxsin(x+ Δx))/( Δxsinxsin(x+ Δx)) =lim (cosxcos Δxsinx-sinxsinxsin Δx-cosxsinxcos Δx-cosxsin Δxcosx)/( Δxsinxsin(x+ Δx))=lim -sin Δx/( Δxsinxsin(x+ Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+ Δx)-secx)/ Δx=lim (1/cos(x+ Δx)-1/cosx)/ Δx=lim (cosx-cos(x+ Δx)/( Δxcosxcos Δx)=lim (cosx-cosxcos Δx+sinxsin Δx)/( Δxcosxcos(x+ Δx))=lim sinxsin Δx/( Δxcosxcos(x+ Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim (csc(x+ Δx)-cscx)/ Δx=lim (1/sin(x+ Δx)-1/sinx)/ Δx=lim (sinx-sin(x+ Δx))/( Δxsinxsin(x+ Δx))=lim (sinx-sinxcos Δx-sin Δxcosx)/( Δxsinxsin(x+ Δx)) =lim -sin Δxcosx/( Δxsinxsin(x+ Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+ Δx)g(x+ Δx)-f(x)g(x))/ Δx=lim [(f(x+ Δx)-f(x)+f(x))*g(x+ Δx)+(g(x+ Δx)-g(x)-g(x+ Δx))*f(x)]/ Δx=lim [(f(x+ Δx)-f(x))*g(x+ Δx)+(g(x+ Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ Δx)-f(x)*g(x+ Δx)]/ Δx=lim (f(x+ Δx)-f(x))*g(x+ Δx)/ Δx+(g(x+ Δx)-g(x))*f(x)/ Δx =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+ Δx)/g(x+ Δx)-f(x)g(x))/ Δx=lim (f(x+ Δx)g(x)-f(x)g(x+ Δx))/( Δxg(x)g(x+ Δx))=lim [(f(x+ Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+ Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/( Δxg(x)g(x+ Δx))=lim [(f(x+ Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+ Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/( Δxg(x)g(x+ Δx)) =lim (f(x+ Δx)-f(x))*g(x)/( Δxg(x)g(x+ Δx))-(g(x+ Δx)-g(x))*f(x)/( Δxg(x)g(x+ Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+ Δx))-f(g(x))]/ Δx=lim [f(g(x+ Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/ Δx（另g(x)=u ，g(x+ Δx)-g(x)= Δu）=lim (f(u+ Δu)-f(u))/ Δx=lim (f(u+ Δu)-f(u))* Δu/( Δx*Δu)=lim f'(u)* Δu/ Δx=lim f'(u)*(g(x+ Δx)-g(x))/ Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)( 反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x 对称，所以导数也关于y=x 对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/ √1-(siny)^2(siny=x)=1/ √1-x^2即f'(x)=1/ √1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx ）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x ）'=1/(xlna)（lnx ）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/ √1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
导数公式和法则
导数公式和法则一、导数的定义导数是微积分学中的一个重要概念，指的是函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数通常用符号f′(f)来表示，表示函数f(f)在点f处的导数。
导数的定义如下：若函数f(f)在f=f处可导，则导数f′(f)定义为：$$ f'(a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$其中f ff0，表示取极限时f逐渐趋近于0。
二、导数的公式对于常见函数，有一些常用的导数公式和法则，可以帮助我们计算导数。
下面列举了一些常见函数的导数公式：1.常数函数f(f)=f的导数为f′(f)=0，其中f为常数。
2.幂函数f(f)=f f的导数为 $f'(x) = n \\cdot x^{n-1}$，其中f为任意实数。
3.指数函数f(f)=f f的导数为f′(f)=f f。
4.对数函数 $f(x) = \\ln{x}$的导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x}$，其中f>0。
5.三角函数的导数：–正弦函数 $f(x) = \\sin{x}$ 的导数为 $f'(x) = \\cos{x}$。
–余弦函数 $f(x) = \\cos{x}$ 的导数为 $f'(x) = -\\sin{x}$。
–正切函数 $f(x) = \\tan{x}$ 的导数为 $f'(x) = \\sec^2{x}$。
三、导数的法则在计算导数时，可以通过一些常见的法则来简化问题。
以下是一些常用的导数法则：1.常数倍法则：若 $f(x) = c \\cdot g(x)$，则 $f'(x) = c\\cdot g'(x)$。
2.和差法则：若 $f(x) = g(x) \\pm h(x)$，则 $f'(x) =g'(x) \\pm h'(x)$。
3.乘积法则：若 $f(x) = g(x) \\cdot h(x)$，则 $f'(x) =g'(x) \\cdot h(x) + g(x) \\cdot h'(x)$。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
本文将介绍导数的定义以及计算方法，帮助读者更好地理解导数的概念和运用。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
数学上，对于函数f(x)，其在点x处的导数记为f'(x)，可以通过以下极限定义得到：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
这个极限定义可以理解为当自变量x的增量趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率。
二、导数的计算方法导数的计算方法可以根据函数的具体形式来进行。
下面介绍几种常见的计算方法：1. 可导函数的导数计算法则- 常数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = n * x^(n-1)。
- 指数函数法则：如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
- 对数函数法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a > 0，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 复合函数法则：如果f(x) = g(h(x))，则f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)，其中g'表示函数g的导数。
2. 基本初等函数的导数以下是一些基本初等函数的导数计算公式：- (sin x)' = cos x- (cos x)' = -sin x- (tan x)' = sec^2 x- (cot x)' = -csc^2 x- (sec x)' = sec x * tan x- (csc x)' = -csc x * cot x- (log_a x)' = 1 / (x * ln a)- (e^x)' = e^x3. 导数的加法、减法法则如果有两个函数f(x)和g(x)在某点处的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的和、差、常数倍的导数可以通过以下法则计算：- (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)- (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)- (k * f(x))' = k * f'(x)，其中k为常数4. 导数的乘法、除法法则如果有两个函数f(x)和g(x)在某点处的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的乘积和商的导数可以通过以下法则计算：- (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- (f(x) / g(x))' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / (g(x))^2，其中g(x) ≠ 0以上是导数的一些基本计算方法，能够满足大多数函数的求导需求。
导数的基本公式及四则运算法则
导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则 之一，它指出两个函数的导数的差等于 它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处 可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一 个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该 函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛 应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数 的最大值或最小值。在经济学、工程技术和 科学研究等领域中，求解最大值和最小值问 题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数 ，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题 等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变 化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益 ；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。
导数定义公式知识点总结
导数定义公式知识点总结导数的基本概念导数的定义是描述一个函数在某一点处的变化率。
具体来说，当自变量x在给定点a处发生微小改变dx时，函数f(x)在该点处相应地发生微小的改变df。
这个微小的改变df与dx 之比就是函数在点a处的导数。
导数用符号f'(a)表示，其定义公式如下：f'(a) = lim (h -> 0) [f(a+h) - f(a)] / h这个公式描述了函数f(x)在点a处的变化率。
函数f(x)的导数f'(a)表示了当x在点a处发生微小变化时，f(x)对应的变化率。
导数的计算方法是通过极限的概念，即当自变量x的变化趋于0时，函数在点a处的变化率。
导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质在微积分的应用中起到了重要的作用。
其中，最重要的性质是导数的线性性质。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)分别在点a处有导数，则它们的和、差、积和商也分别在点a处有导数。
这些性质可以用数学公式表示如下：1. (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)2. (f-g)'(a) = f'(a) - g'(a)3. (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)4. (f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)] / [g(a)]^2这些性质证明了导数具有线性性质，这对于计算复杂函数的导数是非常有用的。
导数的线性性质使得微积分计算变得更加简单和方便。
另外，导数还有一些重要的性质，如导数的非负性和导数的单调性。
导数的非负性指的是如果函数f(x)在某一点处的导数大于0，则该函数在该点处是增函数；如果函数f(x)的导数小于0，则该函数在该点处是减函数。
这个性质可以通过微积分的概念和数学公式来证明。
导数的计算方法导数的计算方法有多种，其中最基本的是用导数的定义公式进行计算。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
高数导数公式
【导数】 一、 导数的定义 设函数)(x f y =在点x 0的某个邻域内有定义，当x 在x 0处取得增量x ∆（点x 0＋x ∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量())(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，增加量y ∆与x ∆之比的极限x y x ∆∆→∆lim 0＝x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(000lim ＝00)()(lim 0x x x f x f x x --→ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的导数，并称函数)(x f 在x 0处可导， 记作： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(0000lim如果x yx ∆∆→∆lim 0不存在，则称函数)(x f 在x 0处不可导二、 左右导数 1） 左导数若当-→∆0x 时，xy ∆∆的极限存在，则称此极限值为函数)(x f 在x 0处的左导数，即：()0x f -'＝x y x ∆∆-→∆lim 0＝()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 2） 右导数若当+→∆0x 时，xy ∆∆的极限存在，则称此极限值为函数)(x f 在x 0处的右导数，即：()0x f +'＝x y x ∆∆+→∆lim 0＝()()x x f x x f x ∆-∆++→∆000lim 定理1：函数)(x f 在x 0处的可导的充要条件是，)(x f 在x 0处左右导数均存在，且()0x f -'＝()0x f +'三、 可导与连续的关系 若)(x f y =在x 0处可导，则在x 0处必定连续，可导⇒连续，反之不对。
四、 求导公式1） 基本初等函数的导数公式 ①0='C （C 为常数）② ()1-='n nnx x （n 为任意常数）③()a a a xxln ='（a ＞0，a ≠1）特别的：()xxe e='④ ()a x e x x a a ln 1log 1log =='（a ＞0，a ≠1）特别的：()x x 1ln ='⑤ ()x x cos sin ='⑥()x x sin cos -='⑦ ()x xx 22sec cos 1tan =='⑧ ()x xx 22csc sin 1cot -=-='⑨ ()x x x tan sec sec •='⑩()x x x cot csc csc •-='⑾()211arcsin xx -=' （-1<x<1）⑿()211arccos x x --='（-1<x<1）⒀()211arctan xx +='⒁ ()211cot xx arc +-='2） 导数四则运算公式 ① ()b a b a '±'='±② ()b a b a ab '+'='③()a C Ca '='（C 为常数）④ 2b b a b a b a '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3） 复合函数求导公式 如果)(u f y = ，)(x g u =，且)(u f 和)(x g 均可导，则符合函数[])(x g f y =也可导，其导数为()[]()x g x g f y '•'='五、分段函数的导数设分段函数⎩⎨⎧≥<=)).......(()).......(()(00x x x v x x x u x f ，则求其导数()x f '的步骤：1） 当0x x <时，按导数公式求)(x u 的导数()x u '当0x x >时，按导数公式求()x v 的导数()x v ' 2） 判断函数()x f 在分段点0x x =处的连续性，若在0x x =处()x f 不连续，则()x f 在0x 处不可导3） 函数()x f 在点x x =处的连续，此时计算极限()()00lim 0x x x u x u x x ---→和()()0lim 0x x x v x v x x --+→，若这两个极限存在且相等，则()x f 在0x 处可导，否则()x f 在0x 处不可导4） 若()x f 在0x x =处不可导，则()()()⎩⎨⎧>'<'=')........().......(00x x x v x x x u x f若()x f 在0x x =处可导，则()()()⎩⎨⎧≥'<'=').......()......(00x x x v x x x u x f 六、隐函数的导数（即二元方程）1）若能从方程中解出)(x f y =，则用前面所提方法求导；若不能解出，或解出后表达式复杂，则采用下列方法。
导数公式的证明最全版
导数公式的证明最全版导数的定义是函数在特定点处的变化率，即斜率。
要证明导数的定义，需要使用极限的概念和微分的概念。
假设函数f(x)在点x=a处有导数，记为f'(a)。
我们可以通过极限定义来证明导数的公式。
1.导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗2.应用极限的性质：根据极限的性质，我们可以将上述公式改写为：f'(a) = lim┬(h→0)〖f(a+h)-f(a))/lim┬(h→0)h〗3.差商：我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h理解为两点(x,y)间的斜率。
根据微积分的思想，我们可以通过使用两点间的切线来近似表示曲线的斜率。
4.切线近似：在点(x,y)处，我们可以使用切线来近似表示曲线的斜率，该切线与曲线相切于点(x,y)处，并且与曲线在该点的切线斜率相同。
5.切线方程：曲线在点x=a处的切线方程为：y=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f'(a)表示导数，(x-a)表示函数的自变量变化量。
6.近似函数：对于足够小的自变量变化量h，我们可以使用切线方程近似表示函数f(x)在点x=a+h处的函数值：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h7.导数公式推导：根据近似函数的表示，我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h表示为：(f(a)+f'(a)h-f(a))/h化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h8.推导细节：进一步化简上述式子，得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)/h - f(a)/h)根据极限的性质，推出：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)/h) - lim┬(h→0)(f(a)/h)化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a)/h)这与导数的定义一致，因此我们证明了导数的定义公式。
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=
lim f x+∆x −f(x) ∆x →0 ∆x
一、函数的单调性
一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间 (a， b)内， 如果f ‘ （x）> ０，那么函数 y=f（x）在这个区间内单调递增；如果 f ‘ （x）< ０那么函数 y = f x 在这个区间内单调递减。 １. 如果f ‘ （x）> ０，则 f（x）严格增函数；如果f ‘ （x） < ０，则 f（x）严格减函数。 ２. 如果在（a，b）内恒有f ‘ （x）＝０，那么 f（x）在（a， b）内是常数。 ３. f ‘ （x）> ０是 f（x）在此区间上为增函数的充分而不 必要条件。 求函数单调区间的步骤： １. 确定 y=f（x）的定义域； ２. 求导数f ‘ （x），求出f ‘ （x）＝０的根； ３. 函数的无定义点和f ‘ （x）＝０的根将 f（x）的定义域分成若干区 间，列表考查这若干区间内f ‘ （x）的符号，进而确定 f（x）的单 调区间。 注意：Ａ. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个 这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。 Ｂ. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数
b f（x） dx a ‘
＝Ｆ（b）－Ｆ（a）。
定积分的简单应用： 一、 求平面图形面积的应用 １.定积分与平面图形面积的关系 通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也 可为０. （１） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴上方，定积分值取正值，且 等于曲边梯形的面积； （２） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴下方，定积分值取负值，且 等于曲边梯形面积的相反数； （３） 当位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积等于位于Ｘ轴下方的 曲边梯形的面积时，定积分的值为０，且等于位于Ｘ轴 上方的曲边梯形的面积减去位于Ｘ轴下方的曲边梯形的 面积。 ２.利用定积分求平面图形面积的步骤 （１） 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （２） 借助图形确定被积分函数，求出交点坐标，确定积分上、 下限； （３） 将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； （４） 计算并求出结果 二、 定积分在物理学中的应用 １.求变速直线运动的路程 ２.求变力 F 所做的功 s= w=
b a
x ± g(ｘ)] dx=
b f（x） dx a
g（x） dx
f（x） dx =−
a f（x） dx b
以上是线性性质，下面是对区间可加性
c f（x） dx a
＝
b f（x） dx a
+
c f（x） dx b
（a< ������ < ������ ）
微积分基本定理－－牛顿－莱布尼兹公式 一般地，如果 f（x）在区间[a，b]上的连续函数，并且Ｆ （x）＝f （x），那么
定积分几何意义：从几何上看，若函数 y=f（x）在区间[a，b] 上连续且恒有 f（x）≥０，那么定积分 积； 定积分性质：
b [f a b a b a b f（x） dx表示直线 a
x=a,x=b（a≠b），y=0 和曲线 y=f（x）所围成的曲边梯形的面
kf（x） dx=k
b a
f（x） dx(k 为常数) ±
的定义域。
二、函数的极值： １.定义，设函数 f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的
所有点，都有 f（x）< f（x0 ），则称f（x0 ）是函数 f（x）的一个 极大值；如果对x0 附近的所有点，都有 f（x）> f（x0 ），则称 f（x0 ）是函数 f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值 点，极大值和极小值统称极值。 ２.判断f（x0 ）是极大值或极小值的方法： 第一步，确定函数的定义域，求导数f ‘ （x）； 第二步，求方程f ‘ （x）＝０的根； 第三步，检查f ‘ （x）在f ‘ （x）＝０的根左右两侧的值的符号； １.如果“左正右负”，那么 f（x）在这个根处取到极大值； ２.如果“左负右正”，那么 f（x）在这个根处取到极小值； ３. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 f（x）在这 个根处无极值。 在此步聚中，最好利用方程f ‘ （x）＝０的根，顺次将函数的定 义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。
##导函数：如果函数 y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导， 就说函数 f（x）在开区间（a，b）内可导。若函数 f（x）在开区间 （a，b）内可导，则 f（x）在（a，b）内每一点的导数构成一个新 函数，把这一新函数叫做 f（x）在开区间（a，b）内的导函数（简 称导数）记作f ‘ （x）或y ‘ 或y ‘ x。 即f ‘ （x）=y ‘ =
n→ ∞时，上
述和式无限接近某个常数，这个常数叫函数 y=f（x）在区间[a， b]上定积分，记作
lim n →∞ b b f （ x ） dx 。即 a a
f（x） dx＝
n b −a i=1 n f（ξi ）
其中 f（x）叫做被积函数，a 做积分下
限，b 做积分上限。 定积分
b a
f（x） dx不是一个表达式，是一个常数。
y=f（x）在 x=x0 处的导数，记作：
lim Δ y ∆x →0 Δ x
f ‘ （x）或y ‘ x = x0 。即 f ‘ （x0 ）=
=
lim f x +∆x −f(x ) 0 0 。 ∆x ∆x →0
##函数 y=f（x）在点x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x） 在点 P（x0 ，f（x0 ））处的切线斜率，也就是说曲线 y=f（x）在点 P（x0 ，f（x0 ））处的切线斜率是 f ‘ （x0 ）。相应地，过 p 点的切线 方程为： y-f（x0 ）=f ‘ （x0 ）（x-x0 ）
������ ������（������） ������������ ������ ������ ������（������） ������������ ������
四．定积分及应用 定积分定义：若函数 y=f（x）在区间[a，b]上连续用分点 a= x0 < x1 < ⋯ ⋯ < xi −1 < xi < xn =b,将区间[a，b]等分成 n 个 小区间，在每个小区间[xi −1 ，xi ]上任取一点ξi （i=1，2，3， ⋯ n），作和式
n n b −a i=1 f（ξi ） ∆x= i=1 n f（ξi ），当
区间（a，b）内有导数，求 y=f（x）在[a，b]上的最大值与最小值， 其步骤为： 先求函数 y=f（x）在（a，b）内的极值；再将函数 y=f（x）的 各极值与端点的函数值 f（a）、f（b ）比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。
如果在区间[a，b] 上，函数 y=f（x）的图象是一条连续不
导数：
1.若 f(x)=c,则f ‘ （x）= 2. 若 f(x)=x n （n∈ Q∗ ），则f ‘ （x）= 3. 若 f(x)=sin x,则f ‘ （x）= 4.若 f(x)=cos x,则f ‘ （x）= 5. 若 f(x)= ax ,则f ‘ （x）= 6. 若 f(x)= ex ,则f ‘ （x）= 7. 若 f(x)= log a x,则f ‘ （x）= 8. 若 f(x)= ln x,则f ‘ （x）= 9. 【f x ± g(x)】 = 10. 【f x . g(x)】 = 11. 【
f x g(x) ′ ′
】=
′
′
12. 【cf x 】 = 13. y = f u , u = g(x)，则 y=f（g（x））； yx ′ = sin 2x= （e−x ） =
′
##导数：一般地，函数 y=f（x）在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim Δ y ∆x →0 Δ x
=
lim f x +∆x −f(x ) 0 0 ,称函数 ∆ x ∆x →0
断的曲线，则函数在[a，b] 上一定能够取得最大值和最小值，
并且函数的最值必在极值点或端点处取得。
※提示： １.若函数 y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则 f（a）为最小值，f（b） 为最大值；若若函数 y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，则 f（a）为最大值，f （b）为最小值。 ２.图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果 图象连续不断的函数在开区间（a，b）上只有一个极值，则该极值就是最值。 ３.函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为０的点讨论，其是极大值还是极小值， 只需将导数为０的点的函数和端点函数值时行比较。 在解决实际生活中优化问题注意事项：1 必须考虑是否符合实际意义２只 有一个点使f ‘ （x）＝０的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能 知道是最大（小）值。３不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来， 而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。
※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值点，
如函数 f（x）＝������ ������ ，点 x＝０就不是极值点，但������ ‘ （０）＝０；
※函数的极大值不一定大于极小值； ※在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也 可能不存在极值点。
三函数的最值： 设函数 y=f（x）是定义在区间[a，b]上的函数，y=f（x）在