三角形四心概念及性质
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形四心及其性质总结
三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。
这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。
下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。
一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。
重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。
重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。
2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。
3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。
4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。
二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。
垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。
2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。
3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。
三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。
2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。
3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。
4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。
内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
初高中数学衔接教材系列：第11课时三角形的四心
第11课时 三角形的四心一、三角形的四心的概念1．重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 性质：三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.2．内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.性质：三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.3. 垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.性质：锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.4. 外心：过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.二、例题讲解：例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知：D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF +-==.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知：O为三角形ABC的重心和内心.求证：三角形ABC为等边三角形.三、巩固练习：1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.、、，则三角形的内切圆的半2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a b c径是___________;、、（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的（2）若直角三角形的三边长分别为a b c半径是___________. 并请说明理由.。
(完整版)三角形四心及其性质总结
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形四心
三角形四心1.外心：三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。
(2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠21,21,21。
2.内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
△ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：(1)(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，则D 与顶点B 、C 、内心I 等距(即D 为△BCI 的外心)。
(3)∠BIC=90º+21∠A ，∠CIA=90+21∠B ，∠AIB=90º+21∠C 。
3.垂心：三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。
△ABC 的垂心一般用字母H表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB 。
(2)若H 在△ABC 内，且AH 、BH 、CH 分别与对边相交于 D 、E 、F ，则A 、F 、H 、E ；B 、D 、H 、F ；C 、E 、H 、D ；B 、C 、E 、F ；C 、A 、F 、D ；A 、B 、D 、E 共六组四点共圆。
(3)△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
4.重心：三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
△ABC 的重心一般用字母G 表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G 的连线必平分对边。
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于 它与对边中点的距离的2倍。
(3)ABC AGBCGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
练习1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。
初中数学八年级三角形的四心及特点
三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的三条中线必交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE证明：延长OE到点G，使OG=OB∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的重心坐标：数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。
重心坐标是齐次坐标的一种。
设v1, ..., vn 是向量空间V 中一个单形的顶点，如果V 中某点p 满足，(\lambda_{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda_{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n}, 那么我们称系数(λ1, ..., λn) 是p 关于v1, ..., vn 的重心坐标。
三角形的四心
三角形的四心
重心：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
3、外心到三顶点的距离相等
垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
内心：三角形的三条内角平分线交于一点，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、内心到三角形三边距离相等。
初高中衔接 数学专题八 三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的外心一般用字母O 表示。
性 质：1． 外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2． 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。
性 质：1、顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例 2 已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF +-==. 证明例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O 为三角形ABC 的重心和内心.求证 三角形ABC 为等边三角形.证明正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形四心”定义与性质
三角形四心”定义与性质
一、什么是三角形四心
三角形四心是指三角形的一类特殊的内部点，可以用来证明三角形形状的一些特性。
三角形四心包括内心（Incenter）、外心（Circumcenter）、垂心（Orthocenter）和重心（Centroid）。
二、各心的定义
1、内心（Incenter）
是指经过三条边的交点，是三条边的中线的交点。
内心一定在三角形内，而且和三角形各边中点垂直。
3、垂心（Orthocenter）
是三面垂直（三角形的外角均为90度）时才存在的第四心，它是三个顶点的垂线的交点，也是高的垂线的交点。
垂心的位置可能在三角形内，也可能在三角形外。
三、各心的性质
1、内心的性质
（1）设a，b，c为三角形的边长，I为三角形的内心，则三角形的内接圆半径为：rI＝a×b×c/4S，其中S是三角形的面积。
（2）如果满足外角和的三倍等于内角和，则三角形的内心就与重心等同。
（3）如果三角形的三边呈等腰三角形（即有一条边等于另外两条边的1/2），则三角形的内心会在一条内角垂线上，且离该条边的长度等于另外两条边的1/3。
2、外心的性质
（1）如果三角形满足外角和的三倍等于内角和，则它的外心与重心也会相等。
（2）外心到三角形三边的距离相等，等于三角形外接圆半径，该半径可以用以下公式计算：rO＝a×b×c/4R，其中R是三角形外接圆的半径。
三角形的四心及其简单性质ppt课件
三角形的“四心”及简单性质
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二一、、内外心心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角
形的外接圆的圆心，简称2 外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等 (2) 锐角△的外心在三角形的内部 直角△的外心在斜边的中点处 钝角△的外心在三角形的外部
ID=IE=IF
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二三、、内垂心心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形
的垂心
4
如图，H为△ABC的垂心
性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边 (2) 垂心分每条高的两部 分乘积相等
AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
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二四、、内重心心
定理：三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形
O C
B
OA=OB=OC
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二二、、内内心心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称3 内心
如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等
(2) 内心一定在三角形的内部
(3) 在Rt△中，内心到边的距 离等于两直角边的和与斜边的 差的一半
的心
A
性质：(1) 重心到顶点的距离与到对边 中点的距离之比为2:1
(2) 重心的坐标是三个顶点的坐 标的算术平均数
(3) 以重心为起点，以三顶点为 终点的三个向量之和等于零 向量
F G
E
B
D
C
AG BG CG 2 GD GE GF
G( xA xB xC , yA yB yC )
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三角形的四心
2、垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线 垂直于对边．
在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则
3、内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内 切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．
在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有
ห้องสมุดไป่ตู้
A E
B
D
C
4、外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形 外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．
三角形“四心”的概念与性质
1、重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到 对边中点距离之比为2∶1.
（1）在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是 △ABC的重心时，
（2）在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三 个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
AB CA
BA CB
CA BC
则O为三角形ABC的 心.
（3）设点O在三角形ABC的内部，且
OA 2OB 3OC 0, 则 SABC : SAOC
.
在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则
例6 （1）若点O为三角形ABC所在平面内的 一定点，P是面ABC呢一动点，若
(PB PC) (OB OC) (PC PA) (OA OC) 0
则O为三角形ABC的 心.
（2）三个不共线的向量OA,OB,OC 满足
OA ( AB CA ) OB ( BA CB ) OC ( CA BC ) 0,
三角形的四心定义
三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AOOD=BOOE=COOF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形四心及其性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有四个特殊的点，被称为四心，分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这四个点分别具有不同的性质和应用，对于理解三角形的性质和计算其相关参数非常重要。
本文将详细介绍三角形四心及其性质，包括它们的定义、构造方法和几何性质。
正文内容：一、重心重心是三角形内部的一个点，它由三条中线的交点确定。
中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
下面是重心的几个性质和应用：1.重心的性质重心将三角形的每一条中线分成两段，其中一段的长度等于另一段的2倍。
重心到三角形的顶点的距离与到对边中点的距离成比例。
2.重心的构造方法通过连接三角形的任意两个顶点和对边中点，可以构造两条中线。
两条中线的交点即为重心。
3.重心的应用在力学中，重心是一个重要的概念。
对于平衡物体的平衡条件，就是通过重心来描述的。
重心还可以用于求解三角形的面积和其他参数。
二、外心外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
下面是外心的几个性质和应用：1.外心的性质外心到三角形的每个顶点的距离相等。
外心是三角形顶点和两条边的垂直平分线的交点。
外心到三角形的顶点的距离等于外接圆的半径。
2.外心的构造方法可以通过三角形的垂直平分线的交点来构造外心。
任取两条垂直平分线，它们的交点即为外心。
3.外心的应用外心是三角形的一个重要几何特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。
外接圆的半径和外心的位置可以用于计算三角形的面积和周长。
三、内心内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
下面是内心的几个性质和应用：1.内心的性质内心到三角形的每条边的距离相等。
内心是三角形的角平分线的交点。
内心到三角形的边的距离等于内切圆的半径。
2.内心的构造方法可以通过三角形的角平分线的交点来构造内心。
连接三角形的一个顶点和内切圆的切点，这条线即为角平分线。
3.内心的应用内心是三角形的一个关键特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。
三角形的四心
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欧拉线
证法1
证法2
证法3
作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH ∴四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3 5.重心和三角形任意一顶点的连线所在直线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF， ∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又 GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
三角形的四心
平面几何术语
目录
01 三角形的外心
03 三角形的内心
02 外心性质 04 三角形的垂心
目录
05 三角形的重心
07 欧拉线
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形四心概念
三角形四心概念
三角形四心是指三角形内部或外部的四个特殊点，这些点分别是三角形的重心、垂心、内心和外心。
每个点都有其独特的性质和定义，它们在几何学中有着重要的作用，尤其是在解决与三角形相关的问题时。
下面是这四个心的概念。
1.重心（centroid）：
定义：三角形三条中线（即连接顶点与对边中点的线段）的交点。
性质：重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的部分是中线的2/3，靠近中点的部分是1/3。
重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到对边中点的距离的2倍。
2.垂心（circumcenter）：
定义：三角形三条高线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。
性质：垂心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。
在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。
3.内心（incenter）：
定义：三角形三条角平分线（即从顶点出发平分内角的线段）的交点。
性质：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
内心的连线（即内角平分线）也会将三角形的每个角平分成两个相等的角。
4.外心（circumcenter）：
定义：三角形三条中垂线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。
性质：外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。
外心是外接圆的圆心，外接圆通过三角形的三个顶点。
这四个心在解决几何问题时非常有用，特别是在计算三角形的面积、角度、边长以及圆的半径等方面。
每个心都有其独特的几何特征和应用，对于理解和分析三角形的性质有着重要的意义。
三角形的四心定义
三角形的四心定义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
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三角形“四心”概念及性质（学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。
）师：三角形的重心有什么性质？生甲：分中线为1:2生乙：分中线为3:1师：应当把重心看成中线的分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。
三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。
但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。
如图1，H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。
）师：外心与心各有什么性质？（学生回答略。
）[通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。
] 教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。
）师：锐角三角形的垂心必在形，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。
[通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。
] 师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。
上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。
下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。
生：都在同一条直线上。
师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。
师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。
师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？生：都重合成一个点了。
师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？生：“中心”师：等边三角形叫做正三角形。
正三角形的重心、心、垂心、外心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。
“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。
因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。
[把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其在的联系，让学生能够系统地掌握知识。
]二、练习师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那么垂心到外心的距离是多少？生：6.5。
师：怎么得到的？生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为师：为什么已知三角形是直角三角形呢？生甲：根据勾股定理得出。
师：对不对？（生甲一时回答不出。
）生乙：不对，应是根据勾股定理的逆定理。
师：对！回答推理根据时，要弄清是勾股定理还是勾股定理的逆定理（教师让学生叙述勾股定理还是勾股定理的，分析其区别与联系。
）师：重心到垂心的距离是多少？生：。
师：为什么乘以？生：根据重心性质。
师：性质是2:1，而现在是2:3，其中有什么关系？请大家观察图3 进行思考。
[提出这个问题的目的，是为了帮助中、下程度的学生进一步理解线段比的变化，明白解题的道理。
]师：垂心到最大边的距离是多少？先请同学们思考一下，这距离应是图2 中哪条线段的长度？生甲：是斜边上的高。
师：怎样计算斜边上的高呢？生甲：可以用相似形计算。
师：有没有更简便的办法？生乙：利用面积计算S△，师：利用面积解题是一种常用的办法，同学们应对此引起足够的重视，灵活地加以运用重心到最长边的距离是多少？生：如图4，重心到最长边的距离是指GH 的长，通过两线平行，对应线段成比例的性质，可计算出GH 的长为即，结果是师：对！这里同样也到了重心的性质。
[反复运用重心性质，有利于学生记忆和灵活应用。
]师：外心到最短边的距离是多少？生：如图5，外心到最短的距离为反应快的学生脱口而出是6，教师追问其理由，并顺便复习有关定理。
）师：心到重心的距离是多少？（学生交头接耳，纷纷讨论解题的方法，教师简要地指出解题的关键。
）师：问题的关键是求出切圆半径r，然后，等腰直角三角形DIC 中，求出心到垂心的距离CI，那么怎样来求出r 呢？请同学们思考一下。
生：根据我们以前在课堂练习中所做的题目，知道。
师：对！这是直角三角形的重要性质之一，希望同学们牢记结论并学会运用。
对于这道练习题的结论，我已换了不少问法，也就是从一个问题演变出其他一些问题，这种“一题多变”与我们以前介绍过的“一题多解”方法一样都是些好的学习方法。
同学们做好题目后，可以思考一下，是否有其他解法——这就是“一题多解”；还可以思考一下，能否把已知条件或求解结论“变”一下——这就是“一题多变”。
请大家模仿我刚才的做法试着变变看。
当然，有的题目改变以后，可能超过你们现有的知识围，解不出来，这不要紧，同学们可以互相讨论或者问老师来加以解决。
另外，刚才我是通过改变题目的结论来实现一题多变的，还可以改变题目的条件。
譬如，刚才的知识水平，编不等边三角形的题目比较难做，直角三角形的我已编过，你们可以编等腰三角形的试试看，并说出解题的基本思想。
[要使学生学好数学，不仅要求学生能一题多解，还要学生能“一题多变”，这样才能真正掌握概念，活学学活。
教学过对命题结论的更改，引出新命题，可以培养学生思维的多发性；通过对命题条件的更改，引出新命题，可以培养学生思维探索性；通过特殊到一般及一般到特殊的联想，可以培养学生思维的深刻性，跳跃性。
所以说，“一题多变”是培养学生思维的一种有效手段。
]生丙：三角形三边长为6、6、5，求：1）三角形外心到重心的距离；2）三角形外心到最短边的距离这道题的关键是求外接圆半径 R ，用三角形面积公式 S △很方便，也可以用正弦定理 生丁：三角形三边长为 10、10、 。
求：1）三角形外心到重心的距离？2）三角形心到最长边的距离？这道题实际上是两个三边长为 的直角三角形拼成的等腰三角形。
第（ 2）小题是求此等腰三角形的切圆半径，如图 7，可用面积公式 S △=rs为 r ，列出方程来解。
师：好！具体如何解这两道题，留给大家作课外练习，答案明天公布在黑板报上。
；还可以利用等腰三角形三线合一，设切圆半径求，即小结师：三角形的主要线段——中线、高、角平分线及各边的垂直平分线各交于一点，这是客观规律。
人们掌握了这一规律后，为了斜述方便，给它们取了名字——三角形的重心、垂心、心、外心。
这“四心”不要混淆，中线是“重心” （“中”与“重”谐音），高线是垂心（高与垂直有关），外接圆圆心是外心，因它到三角形三顶点距离相等，故必是三边垂直平分线的交点。
切圆圆心是心，因它到三角形三边距离相等，所以它必在三角的平分线上。
[这小结不是简单的重复，而是告诉学生“四心”的来历及记忆办法，对学得差的学生尤有帮助。
]师：“四心”在同一三角形中的位置关系是：等腰三角形中“四心”共线，在对称轴上。
等边三角形中“四心”共点，称为“中心”。
师：任意三角形中“四心”又有什么位置关系呢？同学们可以画图试试看，是否有三“ 心”在一直线上。
然后设法自己证明一下你的结论。
[其实从例题中就可以看出，直角三角形的外心、垂心在一直线上，故可以猜想任意三角形的此三“心” 共线，这样给学有余力的学生留下了一道结论未确定的半开放性习题。
]师：“一题多变”是一种好的学习办法。
同学们解好题后要多思、多回味，养成“一题多变”的思考习惯。
“一题多变”可以变题目的结论，也可以变题目的条件，你们经常这样训练自己，就可以从被动的做习题变为主动的想问题，就能真正做到举一反三，灵活运用作业布置：略教案说明这是一堂复习课。
我们是怎样想到设计这一堂课的呢？一是调查了学生的学习情况。
觉得“四心”在课本中是分散在几个章节里讲解的，相当一部分学生对“四心”概念的理解是混淆不清，因此有必要花一堂课帮助学生归纳整理。
二是从教学目的上考虑到数学教学的目的不仅仅是向学生传授知识，还必须培养学生的能力。
学生从初一到初三，随着年龄、知识的增长，思维能力已有一定的提高。
但还未达到质的飞跃。
大部分学生为解题而解题，解完题后不善于思索，回味，不善于总结经验，思维是“被动型”的。
为了培养学生的创造性思维，我们觉得有必要在以前讲过的“一题多解”的基础上，向学生介绍“一题多变”的学习方法，变“被动型”思维为“主动型”思维。
三是从课的类型及容上看，复习课如果光列些条头糕式的概念，学生听起来没劲，教学效果也不会好。
于是便想到边讲概念边练习、边总结的办法。
在讲例题的时候，避免了东一榔头，西一棒子地让学生做些题目的做法，而是采用“一题多变”的方法把一道题搞深搞透，即由5，12，13这一组勾股数引出一系列的变化，构造出各类不同的问题，在“变”中求“深”。
四是从教育学、心理学角度看，初中学生注意力集中的时间不会太长，尤其是复习课，如果把它上成“炒冷饭”课，没有什么新东西，就会使学生更容易感到厌倦。
因此，在备课时，就要开动脑筋，如何充分利用45 分钟，想方设法吸引学生的注意力，活跃他们的思维。
到最后课快结束时，也就是学生容易疲劳的时候，我却刚把课引到了高潮，让学生自己编题。
大部分学生跃跃欲试，非常兴奋，感到居然自己也能编题给别人做，中上等学生能在教师指导下自己动脑动手编出题来，说明他们潜在的创造力已发挥出来了。
“一题多变”可以激发学生学习的兴趣，调动学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，使他们真正成为课堂教学的文体。
当然“一题多变”不是一朝一夕就能培养成的，需要有一个模仿的过程，也需要教师在课堂教学或课后辅导等适当机会中多加引导、启发，这样才能使学生由模仿飞跃到自学想到“变”，在“变”中长思维、长知识、长能力的阶段。