2019春九年级数学下册 第三章 圆 3.9 弧长及扇形的面积教案 (新版)北师大版

3.9 弧长及扇形的面积

1．了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)

2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR

180

和扇形面

积S 扇＝

n πR 2

360

的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)

一、情境导入

如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π 取3.14)?

我们容易看出这段铁轨是圆周长的14，所以铁轨的长度l ≈2×3.14×100

4＝157(米). 如

果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？

二、合作探究

探究点一：弧长公式 【类型一】 求弧长

如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在

罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( )

A.

π4cm B.7π4cm C.7π

2

cm D ．7πcm 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R ＝7

2cm ，则“蘑菇罐头”字样的长＝90π×

7

2180 ＝7π4

(cm)．故选B.

方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】 利用弧长公式求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π

2，则该扇形的半径是________；

(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π

3，那么此扇形的圆心角的大小为________．

解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π

2，解得R ＝2；(2)根据

弧长公式得

n ×π×1180

＝π

3

，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题 【类型三】 圆的切线与弧长公式的综合

如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D . (1)求证：AE 是⊙O 的切线；

(2)当BC ＝4，AB ＝8时，求劣弧AC 的长．

解析：(1)连接BC ，由AB 是⊙O 的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB ＝90°，又由∠EAC ＝∠D ，则可得AE 是⊙O 的切线；(2)首先连接OC ，易得∠ABC ＝60°，则可得∠AOC ＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC 的长．

(1)证明：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.又∵∠EAC ＝∠D ，∠B ＝∠D ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线；

(2)解：如图，连接OC ，∵△ABC 是直角三角形，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝48＝1

2

，∴∠BAC ＝30°，

∴∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝120°.∴劣弧AC 的长＝120·π×4180＝8π

3

.

方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思

想的应用，注意辅助线的作法．

探究点二：扇形的面积公式 【类型一】 求扇形面积

一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留

π)．

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝

n πr 2360

＝

120×32π

360

＝3π.故答案为3π.

方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝1

2

lr ，其中l 是弧长，r 是半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型二】 求阴影部分的面积

如图，扇形AOB 中，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵

的中点，连接AC 、BC ，

则图中阴影部分的面积是( )

A.

4π

3

－23 B ．2π－2 3 C.4π

3－3 D.

2π

3

－3 解析：连接OC ，过O 作OM ⊥AC 于M ，∵∠AOB ＝120°，C 为AB ︵

中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ＝2，∴△AOC 、△BOC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝OA ＝2，AM ＝1，∴△AOC 的边AC 上的高OM ＝22

－12

＝3，△BOC 边BC 上的高为3，∴阴影部分的面积是

(60π×22

360－12×2×3)×2＝4π3－2 3.故选A.

方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 求不规则图形的面积

如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧

围成的“叶状”阴影图案的面积为( )

A ．4π－2

B ．2π－2

C ．4π－4

D ．2π－4

解析：连接AB ，由题意得阴影部分面积＝2(S 扇形AOB －S △AOB )＝2(90π×22

360－1

2×2×2)＝2

π－4.故选D.

方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 三、板书设计

弧长及扇形的面积