线性代数 61二次型及其矩阵表示
二次型及其矩阵表示
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二次型定义
二次型具有可加性、可乘性和可交换性，同时对于任意的实数或复数$c$，都有$c(aX+bY)=aXc+bYc$。
二次型的特性
什么是二次型
数学物理中的重要性
在数学和物理学中，许多问题都涉及到二次型的研究。例如，在数学中，二次型与欧几里得空间、平面几何等有密切关系；在物理学中，二次型常出现在力学、波动、热力学等领域。
二次型的矩阵表示的例子
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3$，可以表示为矩阵形式 $F=\begin{bmห้องสมุดไป่ตู้trix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$。
实对称矩阵的主子式一定大于等于零，因此当主子式小于零时，该二次型一定是负定的。
当实对称矩阵A的主子式大于零时，该二次型一定是正定的。
对于一个二次型f(x1,x2,...,xn)=X^tAX，其中X是n维向量，A是n阶实对称矩阵，可以用A来表示该二次型。
二次型的矩阵表示
03
二次型的矩阵表示的应用
矩阵的特征值和特征向量
例2
05
二次型的矩阵表示的总结与展望
二次型与线性代数紧密相连，是研究多变量二次关系的重要工具。
二次型矩阵表示的小结
二次型的矩阵表示具有直观、简便、易于操作等特点，有利于快速求解二次型的数值解。
通过引入矩阵这一数学工具，可以将二次型表示为矩阵的形式，从而对其进行深入分析和计算。
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
q1，q2
q1 q2
x y
cos sin
4
4
sin cos
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
x y
(x, y) (x, y)QT 易验证 QTQ E,即 Q 是正交矩阵.
令 X x x0 ,Y y y0 , Z z z0（坐标系平移）
则可得
Z c d1X 2 d2Y 2
此类方程可表示椭圆抛物面、或双曲抛物面（马鞍面）
可利用可逆线性变换和平移变换，
将二次曲面的一般方程化为标准方程。 目标：求变换 x Cx, 化二次型 f 为“标准型”.
2. 二次型化简问题
a11
(
x,
y,
z)
a12 a13
a12 a22 a23
a13 x
x
a23 a33
y z
(b1,
b2
,
b3
)
y z
c
A
xT Ax bT x c 0
x
x
求变换x
Cx(
xT
xTC
T
), 其中x
y z
,
x
y z
使
xT
Ax
xTC
T
ACx
xT
d1
d2
x d3
Λ
d1x2 d2 y2 d3z2 无混合乘积项
an1,n1xn21 2an1,n xn1xn ann xn2
a11x1x1 a12x1x2 a13x1x3 a21x2x1 a22x2x2 a23x2x3 a31x3x1 a32x3x2 a33x3x3
6考研基础复习(线性代数)二次型
一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
6-1 二次型及其矩阵表示
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
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合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
线性代数 二次型及其矩阵表示
记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型f的矩阵； 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c
二次型_精品文档
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
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在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
二次型及其矩阵表示
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
二次型及其矩阵表示
第六章 二次型第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩阵表示方法.教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：一、二次型的概念定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数222121112221212112323221,1(,,,)22222n nn n n nn n n n n nf x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++++++++ （1）称为二次型.附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在.例1 ()22212312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++都为实二次型；二、二次线性与对称矩阵在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1）式可化为111211212222121212(,,,)(,,,).n n Tn n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭称12(,,,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.例2 二次型222123112132233(,,)3245f x x x x x x x x x x x =+--+ 对应的实对称矩阵为312112.25A ⎛⎫ ⎪ ⎪=--⎪⎪⎪-⎪⎝⎭反之,实对称矩阵312112252A ⎛⎪=--⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所对应的二次型是11232331(,,)112252Tx x Ax x x x x x ⎛ ⎛⎫⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭2221231213233524.x x x x x x x x =-+++-三、合同矩阵定义2：关系式11111221221122221122n n n nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩称为由变量n x x x ,,,21 到变量n y y y ,,,21 的线性变换，并简记为x Cy =.其中系数矩阵111212122212n n n n nn c c c c c c C c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为线性变换矩阵.如果C 可逆，则称该线性变换为可逆线性变换.说明：对于一般二次型()Tf x x Ax =，问题：求可逆线性变换x Cy =，将二次型化为标准形.将x Cy =代入()Tf x x Ax =，得()T f x x Ax =()()()T T T Cy A Cy y C AC y ==其中，()T Ty C AC y 是关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .关于A 与AC C T 的关系，我们给出下列定义.定义3：设A ,B 为两个n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵A 合同于矩阵B ,或称A 与B 合同.矩阵的合同的性质:1、反身性 对任意方阵A ,A 与A 合同TE AE A ⇐=. 2、对称性 若A 与B 合同，则B 与A 合同.3、传递性 若A 与B 合同,且B 与C 合同则A 与C 合同.4、若A 为对称阵,则TB C AC =也为对称阵,且()()R B R A =，即合同的两个矩阵的秩不变.四、标准形的定义定义4：只含有平方项的二次型：2221122,n n f b y b y b y =+++称为二次型的标准形(或法式).说明：二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =在可逆线性变换x Cy =下,可化为()T T y C AC y .如果AC C T 为对角矩阵12n b b B b ⎛⎫⎪ ⎪∧== ⎪ ⎪⎝⎭则12(,,,)T n f x x x x Ax =→就可化为标准形：,2222211n n y b y b y b +++ 且其标准形中的系数恰好为对角矩阵B ∧=的主对角线上的元素, 因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵的问题.五、化二次型为标准形的方法我们要研究用可逆线性变换x Cy =把二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =化为标准形的方法.1.用配方法化二次型为标准形定理1：任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤是:(1)若二次型f 含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形；(2)若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆线性变换(1,2,, ,)i i j j i j k kx y y x y y x y k n k i j =-⎧⎪=+⎨⎪==≠⎩且化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.定理2：对任一实对称矩阵A ,存在可逆矩阵C ,使=B AC C T 为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.例3 化二次型222123121323 25226f x x x x x x x x x =+++++为标准形，并求所用的变换矩阵.[解] 222123121323 25226f x x x x x x x x x =+++++21121322x x x x x =++222323256x x x x +++()2123x x x =++2223232x x x x ---222323256x x x x +++ ()222123223344x x x x x x x =+++++()()22123232.x x x x x =++++令 1123,223,332 , y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即1123,223,332,x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩或 112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f 化为标准形：2212f y y =+，所用变换矩阵为()111012,10001C C -⎛⎫ ⎪=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭.例4 化二次型121323 226f x x x x x x =+-为标准形, 并求所用的变换矩阵. [解] 由于所给二次型中不含平方项,所以令112,21233,, x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 代入121323226f x x x x x x =+-中，可得()()()22221213231132232221332322221323322482428 2282 2226f y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =--+=--+=--+-=---+令 113,223332,, z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即113223332,y z z y z z y z=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 或112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则f 化为标准形：222123 226f z z z =-+，且变换矩阵为110101110012001001C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭113111001⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()20.C =-≠第二讲 标准形的正交变换法、规范形的转化教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的标准形与规范形的转化以及惯性定理.教学重点与难点：二次型的标准形与规范形的转化 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：上次课我们介绍了化二次型为标准形的方法之一（配方法），今天继续介绍化二次型为标准形的方法。
二次型及其矩阵表示
如此则有二次型
下所对应的矩阵分别为 一个二次型.
A 和 CTAC
其中CTAC仍是对称阵, YT(CTAC)Y是y1,y2,...,yn的
12 2018/1/4
对于一般的二次型f(x1,x2,...,xn), 将其化为y1,y2,...,yn
的纯平方项之代数和(简称平方和), 是研究二次型的一
个基本问题.
2 ann xn
当系数属于数域F时, 称为数域F上的一个n元 二次型.本章讨论实数域上的n元二次型, 简称二次型.
3 2018/1/4
由于xixj=xjxi, 具有对称性, 若令 aji=aij, 对称形式
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2
7 2018/1/4
例
写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性 变换 X=CY, XTAX=YT(CTAC)Y (其中C为可逆阵, 这个变换也可看成向量a在基变换下 的坐标变换), 使得
成为y1,y2,...,yn的平方和.
这个基本问题, 从矩阵的角度来说, 就是对于一个 实对称矩阵, 寻找一个可逆矩阵C, 使得CTAC成为对角 形.
如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐 标向量分别为
X=(x1,x2,...,xn)T和Y=(y1,y2,...,yn)T,
线性代数二次型
(2) f2 ( x1, x2 , x3 ) 2x1x2 2x2 x32x1x3;
(3) f 3 ( x1 , x 2 , x3 ) x 3 x 5 x .
第六章 二次型 1、二次型的理论起源于解析几何中对二次 曲线和二次曲面的研究，它在线性系统 理论和工程技术的许多领域中都有应用。
2、下面讨论关于n个未知量的二次型的一 般形式及其化简问题。
2 2 3. 将f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 6 x1 x3 x2 4 x2 x3 x3
（1）自反性： A~A （2）对称性：， A~B 则 B~A ； （3）传递性： A~B， B~C 则 ， 。 A~C 2)合同矩阵有相同的秩 3)矩阵之间的合同关系与相似关系是两种 不同的关系。
例2 设
1 0 1 0 A , B 0 4 , 0 1
则存在可逆矩阵
4）对于二次型我们有 定理6.7（主轴定理） 实二次型 X T AX X CY化为标准形，即 必可由正交变换
f（x1 , x 2 , , x n） X T AX X CY
其中
1 , 2 ,, n 为A的特征值。
2 11 2 2 n 2 2 n
用矩阵表示。
§6.1 二次型及其矩阵表示 1)定义6.1 设F是一个数域，以F中的数作为系 数 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次多项式
f（x1 , x 2 , x n） a x a1 2 x1 x 2 a1n x1 x
2 11 1
2 a 2 1x 2 x1 a 2 2 x 2 a 2 n x 2 x
线性代数中的二次型矩阵表示
线性代数中的二次型矩阵表示在线性代数中，二次型是一种重要的概念，它与矩阵表示有着密切的联系。
本文将介绍二次型的定义及其矩阵表示的相关知识，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。
一、二次型的定义二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其一般形式可以表示为：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中，x_1, x_2, ..., x_n为变量，a_{ij}为系数。
二次型可以用矩阵来表示，即二次型矩阵。
二、二次型矩阵的构造将二次型中的系数构成一个矩阵A = [a_{ij}]_{n\times n}，则矩阵A 为二次型的矩阵表示。
其中，a_{ij}为二次型中的系数。
例如，对于一个二次型Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_1x_2 +4x_2x_3，其矩阵表示为：A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3}{2} & 0\\ \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 0 \end{bmatrix}三、二次型矩阵的性质1. 对称性：二次型矩阵A是对称矩阵，即A^T = A，其中A^T为A 的转置矩阵。
2. 正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0，则称二次型矩阵A为正定矩阵。
3. 半正定性：若对于任意非零向量x，都有x^TAx \geq 0，则称二次型矩阵A为半正定矩阵。
4. 负定性和半负定性的定义与正定性和半负定性类似，只是不等式的方向相反。
四、二次型矩阵的特征值与特征向量对于二次型矩阵A，存在n个实数\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n，使得存在非零向量x_1, x_2, ..., x_n，满足Ax_i =\lambda_ix_i，其中i = 1, 2, ..., n。
线性代数 6-1二次型及其矩阵表示
＝X TA X
a12 ⋯ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ a22 ⋯ a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⋯ ⎟⎜ ⎟ an 2 ⋯ ann ⎠ ⎝ xn ⎠ ——二次型的矩阵形式
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记 f (X )＝X TA X，称 A 为二次型 f (X) 的矩阵，r(A) 称为二次型的秩. 二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)； 注:1. :1.二次型矩阵均为对称矩阵 二次型 2. 2.二次型
2 2
n元二次齐次多项式——二次型
仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形 研究工具——矩阵
管理科学中也常需用线性替换将一个n 元二次齐次多项式 化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。
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第六章 二次型 6.1 二次型与对称矩阵
• 二次型及其矩阵 • 线性替换 • 矩阵合同
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? 为此 ,先介绍线性替换、矩阵 如何化二次型为标准形 如何化二次型为标准形? 为此, 合同等概念——
机动 目录 上页 变量 x1, x2, …, xn 和 y1, y2, …, yn，称关系
⎧ x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋯ + c1n yn ⎪ ⎪ x2 = c21 y1 + c22 y2 + ⋯ + c2 n yn ⎨ ⎪⋯ ⎪ ⎩ xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + ⋯ + cnn yn
f ( X )＝X TA X 经可逆线性替换 X＝C Y 后： f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y＝ Y T B Y
称A与B合同
61二次型及其矩阵表示
于是
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f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
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都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
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在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项 和负项？西尔维斯特给出了二次型的惯性定律，但没证明 。该定律后被雅可比重新发现和证明。
1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,17771855）在《算术研究》中引进二次型的正 定、负定、半正定和半负定等术语。
如何化二次型为标准形? 为此,先介绍线性替换、矩阵 合同等概念——
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二、线性替换
定义 设两组变量 x1, x2, …, xn 和 y1, y2, …, yn，称关系
⎧ x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋯ + c1n yn
⎪ ⎪
x2
=
c21 y1
+
c22
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⎛ 1 −2 −3⎞
例2.
求对称矩阵
A
=
⎜ ⎜
−2
5
−5⎟⎟ 所对应的二次型
解:
⎜⎝ −3 −5 6 ⎟⎠
f(x1, x2, x3)
＝x12＋5x22＋6x32－4x1x2－6x1x3－10x2x2
⎛ 2 3 −1⎞⎛ x1 ⎞
例3.写出二次型 f ＝ (x1, x2, x3)
A−1
X
E
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
O
A
⎟ ⎠
f
(x1, x2 ,⋯, xn )
=
O −X
XT A
X T A−1 X =
O
X T = X T | A | ⋅A−1X = X T A* X A
再验证 A* 的对称性。
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定义2 形如 f ( y1, y2 ⋯, yn ) = d1 y12 + d2 y22 +⋯+ dn yn2
C2T (C1TAC1) C2 ＝ (C1C2 )TA(C1C2 ) )
性质2 若两个可逆矩阵合同，则它们的行列式符 号相同。
性质3 若两个矩阵合同，则它们的秩相等。
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定理 经可逆线性替换，前、后二次型矩阵合同.
原二次型 f ( X )＝X TA X 可逆线性替换 X＝CY
||
nn
∑ ∑ aij xi x j
i=1 j=1
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + ⋯ + a2n x2 xn
+⋯ +an1 xn x1 + an2 xn x2 + ⋯ + ann xn2
⎛ a11 a12 ⋯ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞
=
(
x1
,
x2
,⋯
,
xn
)
⎜ ⎜ ⎜
a21 ⋯
a22
椭球面
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一般地，二元二次方程确定一二次曲线,三元 二次方程确定一二次曲面。为研究其性质, 常通 过可逆线性变换消去交叉项，化为标准方程：
Ax2 + By2 = D 或 Ax2 + By2 + Cz2 = D
n元二次齐次多项式——二次型 仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形 研究工具——矩阵
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矩阵的等价、相似与合同
矩阵相似
等价，矩阵合同
等价；
反之未必成立，且其它两者之间都不存在推理关系。
例6 设A为n×m矩阵，且秩为n,则下列命题中不正 确的是（ ）
(A) |BBT|=0
(B) BBT与单位矩阵等价
(C) BBT与对角矩阵相似 (D) BBT与单位矩阵合同
⋯
a2n
⎟ ⎟
⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟
⋯ ⎟⎜ ⋮ ⎟
⎜ ⎝ an1
an2
⋯
⎟⎜ ⎟ ann ⎠ ⎝ xn ⎠
＝X TA X ——二次型的矩阵形式
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记 f (X )＝X TA X，称 A 为二次型 f (X) 的矩阵，r(A) 称为二次型的秩.
注:1.二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)；
B
BT = (CT AC )T = CT AC = B 定理 经可逆线性替换,
对
?称 ？
原二次型矩阵与新二次型矩阵合同.
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性质1 合同关系是等价关系（与相似关系类似) (1)反身性； (因为ETAE＝A) (2)对称性；(由CTAC＝B得: A＝(C- 1) TB C-1) (3)传递性. (由C1TAC1 ＝B , C2TBC2 ＝C得:
（4）|A-2E|=|2E-A|=0
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线性代数是一种语言，必须 用学习外语的方法每天学习这种 语言．
Lay
David . C .
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历史寻根
二次型的系统研究是从18世纪开始的，起源于对二 次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个
（1）|A|=|B|=4 推得 R(A)=R(B)=3,故 A, B 等价。
⎛1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞
（2）反例
A
=
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
,
B
=
⎜ ⎜
0
2
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠
（3）同时与同一个对角形矩阵相似
线性代数
数学科学学院 陈建华
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第五章 二次型
二次型的系统研究是从18世纪开始的，起源于对二次曲线和二次曲 面的分类问题的讨论。二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念。 1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,1777-1855）在《算术研究》中引 进二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
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注记
1.非退化线性（正交）替换的合成仍然是非退化 线性（正交）替换
⇒ (1) X＝C1U，U＝C2Y X＝(C1C2)Y
C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ⇒ C1C2 ≠ 0
(2) C1、C2为正交阵 ⇒ C1C2为正交阵
2.在欧氏空间中，正交替换保持向量长度不变。
|X |2 = X T X = (QY )T (QY ) = Y TQTQY = Y TY =| Y |2
管理科学中也常需用线性替换将一个n 元二次齐次多项式 化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。
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第六章 二次型 6.1 二次型与对称矩阵
• 二次型及其矩阵 • 线性替换 • 矩阵合同
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一、二次型及其矩阵
定义1 n元二次齐次多项式
f ( x1,⋯, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 +⋯+ 2a1n x1 xn + a22 x22 + 2a23 x2 x3 +⋯+ 2a2n x2 xn +⋯
的二次型称为标准形
⎛ d1 0 ⋯ 0 ⎞⎛ y1 ⎞
f
( y1,
y2 ⋯,
yn ) =
(
y1 ,
y2 ⋯,
⎜
yn
)
⎜ ⎜
0 ⋮
d2
⋯ ⋱
0
⎟⎜ ⎟⎜
y2
⎟ ⎟
⋮ ⎟⎜ ⋮ ⎟
＝Y TD Y
⎜ ⎝
0
0
⋯
⎟⎜ ⎟ dn ⎠⎝ yn ⎠
f (Y )＝Y TDY ,其秩等于d1, d2,…, dn中非零元个数。
2.二次型 ←⎯一duiy一⎯in→ 对称矩阵.
例1. 将二次型 f(x1, x2, x3)＝2x1x2＋x22－4x2x3＋3x32
写成矩阵形式.
⎛0
解： f (x1
x2
x3) ＝ (x1
x2
x3)
⎜ ⎜
1
1 1
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
−2
⎟ ⎟
⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 −2 3 ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠
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三、矩阵合同
≃ 定义 设An×n , Bn×n ，若存在可逆阵C，使 CTAC
＝B，则称A与B合同，记A B.
f ( X )＝X TA X 经可逆线性替换 X＝C Y 后：
f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y＝ Y T B Y
称A与B合同
f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y ＝ Y T B Y
B＝C TAC
新二次型的矩阵为B
注:1) ∵CT, C可逆 ∴r(B)＝r(CTAC)＝r(AC)＝r(A)
故，可逆线性替换不改变二次型的秩。 2)正交替换X=QY前后的二次型矩阵既合同,又相似.
合同 CTAC＝B ＝P–1AP 相似 QTAQ=B=Q–1AQ
则 A, B （
）
(A)相似但不合同 (B⎜⎝)0合同0 但1不⎟⎠ 相似
(C)合同且相似
(D)不合同也不相似
理由：实对称推出相似、合同对角化，特征值为3,3,0
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例9 设A,B都是3阶矩阵，且有相同的特征值1,2,2，则下列命题 正确的个数是（ ）
(1) A,B等价； （2）相似； （3） |A-2E|=|2E-A|; (4) 若 A,B是实对称矩阵，则A,B合同