内生解释变量问题
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Qi 0 1Pi 2Yi i i 1, 2,L n
• 经济学理论指出，商品价格是由供给与需求的均衡 关系决定的，因此商品的需求量Qi又是影响价格Pi的 重要因素。即价格和需求量一样，也是该经济系统的 内生变量。
• 实际上，上述需求方程只是联立方程模型系统中的 一个结构方程。
Yi
X ki
(ˆ0
ˆ1 X 1i
ˆ2
X 2i
ˆk X ki ) X ki E(i X ki ) 0
多元 线性 模型 的正 规方 程组
X2为 与μ相 关的 内生 变量
Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i Yi X1i (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i YiZi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2i X 2i
内生解释变量问题
一、内生解释变量问题
1、内生解释变量
Yi 0 1Yi1 2 X i2 L k X ik i
经典模型的基本假设之一是解释变量是严格外生 变量。
如果存在一个或多个变量是内生解释变量，则称 原模型存在内生解释变量问题。
对于内生解释变量问题，假设X2为内生解释变量， 又分两种不同情况：
三种情形：
被解释变量与解释变量具有联立因果关系 （simultaneous causality）；
模型设定时遗漏了重要的解释变量，而所遗漏的变量 与模型中的一个或多个解释变量具有同期相关性 （omitting relevant variables）；
解释变量存在测量误差（errors-in-variables）。
ˆk X ki ) E(i ) 0 ˆk X ki ) X1i E(i X1i ) 0 ˆk X ki )Zi E(iZi ) 0
Yi X ki (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki E(i X ki ) 0
• 内生随机解释变量与随机干扰项同期无关 (contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
Cov( X 2i, i ) E(x2i i ) 0
Cov( X 2i, is ) E(x2i is ) 0 s 0
• 内生随机解释变量与随机干扰项同期相关 (contemporaneously correlated)。
第二阶段，以得到的X的拟合值代替X 作为解释变 量，进行OLS回归。
被称为两阶段最小二乘法（two stage least squares, 2SLS）。
可以严格证明： 2SLS与直接采用IV是等价的。
对于一元模型：X为内生变量，Z为工具变量
Yi 0 1 X i i
4、在小样本下，IV估计量仍是有偏的
E( 1 zi xi
zii ) E(
1 )E( zi xi
zii ) 0
5、工具变量法与两阶段最小二乘法
工具变量法估计过程可等价地分解成两个阶段 的OLS回归：
第一阶段，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归， 并记录X的拟合值；
选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
与所替代的内生解释变量高度相关；
与随机干扰项不相关；
与模型中其它解释变量不高度相关，以避免出现严 重的多重共线性。
2、工具变量的应用
பைடு நூலகம்
YYi iXX21iiYi ((ˆˆ(00ˆ0 ˆˆ11XXˆ111Xii 1i ˆˆ22iˆXX2 X22ii
第2阶段OLS
对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释 变量，Z1和Z2都是X的工具变量。
Yi 0 1Xi 2Zi i
第1阶段OLS
Xˆi ˆ0 ˆ1Zi1 ˆ2Zi2 ˆ3Zi
Yi ˆ0 ˆ1Xˆi ˆ2Zˆi
第2阶段OLS
6、工具变量法与广义矩方法
1
n
xi i
xi2
1
P
lim(
1 n
P
lim(
1 n
xi i )
xi2 )
1 Cov( X i , i ) Var( X i ) 1
四、工具变量法 Instrument variables，IV
1、工具变量的选取
工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用， 以替代模型中与随机干扰项相关的内生解释变 量。
2i
ˆk X ki ) E(i ) 0 ˆk X ki ) X1i E(i X1i ) 0 ˆk X ki ) X 2i E(i X 2i ) 0
Yi X ki (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki E(i X ki ) 0
几个概念问题
Z作为 X2的工 具变量
能否说“用工具变量代替了模型中的内生解释变量”？ 不能。模型的解释变量仍然是X2。
能否说“其它解释变量用自己作为工具变量”？可以。
能否说“用Z作为X1的工具变量，用X1作为X2的工具变 量”？可以。只改变方程组中方程的次序，不影响方程 组的解。
• 这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法 (instrumental variable method)，相应的估计量称 为工具变量法估计量（instrumental variable (IV) estimator）。
YYi iXX21iiYi ((ˆˆ(00ˆ0 ˆˆ11XXˆ111Xii 1i ˆˆ22iˆXX2 X22ii
2i
ˆk X ki ) E(i ) 0 ˆk X ki ) X1i E(i X1i ) 0 ˆk X ki ) X 2i E(i X 2i ) 0
Y Xβμ ZY ZXβ β~ (ZX)1 ZY
1 1 1
X
11
X 12
X
1n
Z
Z1
Z2
Zn
X k1 X k 2 X kn
工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量
一元回归中，工具变量法估计量为
~1
zi (1xi
zi xi
i )
1
zi i
zi xi
P lim(~1 )
1
P lim P lim
1 n
1 n
zi i
zi xi
Plim 1
n
zi i cov(Zi , i ) 0
Plim 1
n
zi xi cov(Zi , X i ) 0
P lim( ~1) 1
Xˆ i ˆ0 ˆ1Zi Yi ˆ0 ˆ1Xˆ i 第2阶段OLS
第1阶段OLS
对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释 变量，Z1为X的工具变量。
Yi 0 1Xi 2Zi i
Xˆ i ˆ0 ˆ1Zi1 ˆ2Zi
第1阶段OLS
Yi ˆ0 ˆ1Xˆi ˆ2Zˆi
而个人能力与其所受教育程度有着较为密切的联系， 这就导致了实际用于模型中的劳动者个人受教育程度 变量与随机干扰项间出现同期相关性。
个人w能a力geaibil 为0同期内1e生du解ci释变量2 e。xp eri i
联立因果关系：联立方程模型中的每个结构方程
在一个经济系统中，变量之间相互依存，互为因果， 而不是简单的单向因果关系，必须用一组方程才能描 述清楚 。称为联立方程模型。
也从受而L被导R解致i W释R变0与量μL具R1W有的R同影i 期响β相，X关i而性LR。i 与μi 具 1有, 2同,L期,相n 关性，
遗漏解释变量一例
劳动者的工资wage主要由劳动者的受教育程度educ、 工作经验exper、个人能力abil等诸多因素决定。
由于劳动者个人能力的大小很难测度，该解释变量无 法引入到工资模型中，于是它对工资的影响进入到随 机干扰项之中。
基本思路是：如果寻找到的工具变量具有外生性，则它们 应与原模型中的随机干扰项不同期相关。因此，只需对原 模型进行两阶段最小二乘回归（2SLS），将记录的残差项 再关于所有工具变量与原模型中的外生变量进行OLS回归， 并对该回归中的所有工具变量前的参数都为零的假设进行 联合性F检验。
例如：二元线性模型，X为内生解释变量，Z为外生解 释变量，Z1、Z2为X的工具变量。
采用OLS估计，得到ν 的估计植
如果δ显著为0→υ与Y同期无关→υ与μ同期无关→ X与 μ同期无关→X是同期外生变量；
如果δ显著不为0→ υ与Y同期相关→υ与μ同期相关→X 与μ同期相关→ X是同期内生变量。
2、过度识别约束检验
当1个内生解释变量有多于1个的工具变量时，需要对 该组工具变量的外生性进行检验，这就是过度识别约 束检验（overidentifying restrictions test）。
Cov( X 2i, i ) E(x2i i ) 0
2、截面数据模型的内生解释变量问题
对于截面数据模型，上述第1种情况几乎不存在。
截面数据模型中的内生解释变量问题主要表现在 内生解释变量与随机干扰项的同期相关性上，这 时称内生变量为同期内生变量。
二、实际经济问题的内生解释变量问题
如果1个内生解释变量可以找到多个互相独立的工具 变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形 成了广义矩方法（Generalized Method of Moments, GMM）。
在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成 为它的核心问题。
2SLS是GMM的一种特殊的估计方法，而当一个内生变量 只有一个工具变量时所采用的IV，则是2SLS的一个特例。
如果所有解释变量都是外生变量，则OLS法也可看成是IV 和GMM的特例。
五、内生性检验与过度识别约束检验
1、Hausman检验
Yi 0 1 X i 2 Zi1 i
Z1外生，与μ不相关
选择Z2作为X 的工具变量
X i 0 1Zi1 2 Zi2 vi Yi 0 1 X i 2 Zi1 vˆi i
联立因果关系一例
为考察企业引进外资是否真正提高了企业的效益，以 企业资金利润率LR为被解释变量，以企业资产中外资 所占比例WR和其它外生变量X为解释变量，建立模型。
通过对企业引进外资情况的实际考察发现，凡是效益 好的企业，比较容易引进外资，凡是效益差的企业， 引进外资就很困难。
模型中，解释变量WR既影响被解释变量LR，同时它
2、OLS参数估计量是有偏、非一致性估计量。
Yi 0 1 X i i
ˆ1
xi yi xi2
1
xi i
xi2
OLS估计
有偏
E(ˆ1) 1 E(
xi xi2
i )
1
E(ki i ) 1
非一致
lim P
联立方程模型的每个方程称为结构方程。
每个结构方程的被解释变量是经济系统的内生变量， 而解释变量既包括经济系统的外生变量，也包括其它 内生变量，由经济行为关系决定。
联立方程模型的每个结构方程一般都存在内生解释变
例如：以地区数据为样本，建立某种消费品的需求函 数民模收型入，。Qi、Pi、Yi表示各个地区的需求量、价格和居
三、内生解释变量的后果
计量经济学模型一旦出现内生解释变量，且与 随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模 型参数，会产生严重的后果。
下面以一元线性回归模型为例进行说明。
1、内生解释变量与随机干扰项相关图
（a）正相关
拟合的样本回归 线可能低估截距项， 而高估斜率项。
（b）负相关
拟合的样本回归线 高估截距项，而低 估斜率项。
• 经济学理论指出，商品价格是由供给与需求的均衡 关系决定的，因此商品的需求量Qi又是影响价格Pi的 重要因素。即价格和需求量一样，也是该经济系统的 内生变量。
• 实际上，上述需求方程只是联立方程模型系统中的 一个结构方程。
Yi
X ki
(ˆ0
ˆ1 X 1i
ˆ2
X 2i
ˆk X ki ) X ki E(i X ki ) 0
多元 线性 模型 的正 规方 程组
X2为 与μ相 关的 内生 变量
Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i Yi X1i (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i YiZi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2i X 2i
内生解释变量问题
一、内生解释变量问题
1、内生解释变量
Yi 0 1Yi1 2 X i2 L k X ik i
经典模型的基本假设之一是解释变量是严格外生 变量。
如果存在一个或多个变量是内生解释变量，则称 原模型存在内生解释变量问题。
对于内生解释变量问题，假设X2为内生解释变量， 又分两种不同情况：
三种情形：
被解释变量与解释变量具有联立因果关系 （simultaneous causality）；
模型设定时遗漏了重要的解释变量，而所遗漏的变量 与模型中的一个或多个解释变量具有同期相关性 （omitting relevant variables）；
解释变量存在测量误差（errors-in-variables）。
ˆk X ki ) E(i ) 0 ˆk X ki ) X1i E(i X1i ) 0 ˆk X ki )Zi E(iZi ) 0
Yi X ki (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki E(i X ki ) 0
• 内生随机解释变量与随机干扰项同期无关 (contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
Cov( X 2i, i ) E(x2i i ) 0
Cov( X 2i, is ) E(x2i is ) 0 s 0
• 内生随机解释变量与随机干扰项同期相关 (contemporaneously correlated)。
第二阶段，以得到的X的拟合值代替X 作为解释变 量，进行OLS回归。
被称为两阶段最小二乘法（two stage least squares, 2SLS）。
可以严格证明： 2SLS与直接采用IV是等价的。
对于一元模型：X为内生变量，Z为工具变量
Yi 0 1 X i i
4、在小样本下，IV估计量仍是有偏的
E( 1 zi xi
zii ) E(
1 )E( zi xi
zii ) 0
5、工具变量法与两阶段最小二乘法
工具变量法估计过程可等价地分解成两个阶段 的OLS回归：
第一阶段，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归， 并记录X的拟合值；
选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
与所替代的内生解释变量高度相关；
与随机干扰项不相关；
与模型中其它解释变量不高度相关，以避免出现严 重的多重共线性。
2、工具变量的应用
பைடு நூலகம்
YYi iXX21iiYi ((ˆˆ(00ˆ0 ˆˆ11XXˆ111Xii 1i ˆˆ22iˆXX2 X22ii
第2阶段OLS
对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释 变量，Z1和Z2都是X的工具变量。
Yi 0 1Xi 2Zi i
第1阶段OLS
Xˆi ˆ0 ˆ1Zi1 ˆ2Zi2 ˆ3Zi
Yi ˆ0 ˆ1Xˆi ˆ2Zˆi
第2阶段OLS
6、工具变量法与广义矩方法
1
n
xi i
xi2
1
P
lim(
1 n
P
lim(
1 n
xi i )
xi2 )
1 Cov( X i , i ) Var( X i ) 1
四、工具变量法 Instrument variables，IV
1、工具变量的选取
工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用， 以替代模型中与随机干扰项相关的内生解释变 量。
2i
ˆk X ki ) E(i ) 0 ˆk X ki ) X1i E(i X1i ) 0 ˆk X ki ) X 2i E(i X 2i ) 0
Yi X ki (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki E(i X ki ) 0
几个概念问题
Z作为 X2的工 具变量
能否说“用工具变量代替了模型中的内生解释变量”？ 不能。模型的解释变量仍然是X2。
能否说“其它解释变量用自己作为工具变量”？可以。
能否说“用Z作为X1的工具变量，用X1作为X2的工具变 量”？可以。只改变方程组中方程的次序，不影响方程 组的解。
• 这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法 (instrumental variable method)，相应的估计量称 为工具变量法估计量（instrumental variable (IV) estimator）。
YYi iXX21iiYi ((ˆˆ(00ˆ0 ˆˆ11XXˆ111Xii 1i ˆˆ22iˆXX2 X22ii
2i
ˆk X ki ) E(i ) 0 ˆk X ki ) X1i E(i X1i ) 0 ˆk X ki ) X 2i E(i X 2i ) 0
Y Xβμ ZY ZXβ β~ (ZX)1 ZY
1 1 1
X
11
X 12
X
1n
Z
Z1
Z2
Zn
X k1 X k 2 X kn
工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量
一元回归中，工具变量法估计量为
~1
zi (1xi
zi xi
i )
1
zi i
zi xi
P lim(~1 )
1
P lim P lim
1 n
1 n
zi i
zi xi
Plim 1
n
zi i cov(Zi , i ) 0
Plim 1
n
zi xi cov(Zi , X i ) 0
P lim( ~1) 1
Xˆ i ˆ0 ˆ1Zi Yi ˆ0 ˆ1Xˆ i 第2阶段OLS
第1阶段OLS
对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释 变量，Z1为X的工具变量。
Yi 0 1Xi 2Zi i
Xˆ i ˆ0 ˆ1Zi1 ˆ2Zi
第1阶段OLS
Yi ˆ0 ˆ1Xˆi ˆ2Zˆi
而个人能力与其所受教育程度有着较为密切的联系， 这就导致了实际用于模型中的劳动者个人受教育程度 变量与随机干扰项间出现同期相关性。
个人w能a力geaibil 为0同期内1e生du解ci释变量2 e。xp eri i
联立因果关系：联立方程模型中的每个结构方程
在一个经济系统中，变量之间相互依存，互为因果， 而不是简单的单向因果关系，必须用一组方程才能描 述清楚 。称为联立方程模型。
也从受而L被导R解致i W释R变0与量μL具R1W有的R同影i 期响β相，X关i而性LR。i 与μi 具 1有, 2同,L期,相n 关性，
遗漏解释变量一例
劳动者的工资wage主要由劳动者的受教育程度educ、 工作经验exper、个人能力abil等诸多因素决定。
由于劳动者个人能力的大小很难测度，该解释变量无 法引入到工资模型中，于是它对工资的影响进入到随 机干扰项之中。
基本思路是：如果寻找到的工具变量具有外生性，则它们 应与原模型中的随机干扰项不同期相关。因此，只需对原 模型进行两阶段最小二乘回归（2SLS），将记录的残差项 再关于所有工具变量与原模型中的外生变量进行OLS回归， 并对该回归中的所有工具变量前的参数都为零的假设进行 联合性F检验。
例如：二元线性模型，X为内生解释变量，Z为外生解 释变量，Z1、Z2为X的工具变量。
采用OLS估计，得到ν 的估计植
如果δ显著为0→υ与Y同期无关→υ与μ同期无关→ X与 μ同期无关→X是同期外生变量；
如果δ显著不为0→ υ与Y同期相关→υ与μ同期相关→X 与μ同期相关→ X是同期内生变量。
2、过度识别约束检验
当1个内生解释变量有多于1个的工具变量时，需要对 该组工具变量的外生性进行检验，这就是过度识别约 束检验（overidentifying restrictions test）。
Cov( X 2i, i ) E(x2i i ) 0
2、截面数据模型的内生解释变量问题
对于截面数据模型，上述第1种情况几乎不存在。
截面数据模型中的内生解释变量问题主要表现在 内生解释变量与随机干扰项的同期相关性上，这 时称内生变量为同期内生变量。
二、实际经济问题的内生解释变量问题
如果1个内生解释变量可以找到多个互相独立的工具 变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形 成了广义矩方法（Generalized Method of Moments, GMM）。
在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成 为它的核心问题。
2SLS是GMM的一种特殊的估计方法，而当一个内生变量 只有一个工具变量时所采用的IV，则是2SLS的一个特例。
如果所有解释变量都是外生变量，则OLS法也可看成是IV 和GMM的特例。
五、内生性检验与过度识别约束检验
1、Hausman检验
Yi 0 1 X i 2 Zi1 i
Z1外生，与μ不相关
选择Z2作为X 的工具变量
X i 0 1Zi1 2 Zi2 vi Yi 0 1 X i 2 Zi1 vˆi i
联立因果关系一例
为考察企业引进外资是否真正提高了企业的效益，以 企业资金利润率LR为被解释变量，以企业资产中外资 所占比例WR和其它外生变量X为解释变量，建立模型。
通过对企业引进外资情况的实际考察发现，凡是效益 好的企业，比较容易引进外资，凡是效益差的企业， 引进外资就很困难。
模型中，解释变量WR既影响被解释变量LR，同时它
2、OLS参数估计量是有偏、非一致性估计量。
Yi 0 1 X i i
ˆ1
xi yi xi2
1
xi i
xi2
OLS估计
有偏
E(ˆ1) 1 E(
xi xi2
i )
1
E(ki i ) 1
非一致
lim P
联立方程模型的每个方程称为结构方程。
每个结构方程的被解释变量是经济系统的内生变量， 而解释变量既包括经济系统的外生变量，也包括其它 内生变量，由经济行为关系决定。
联立方程模型的每个结构方程一般都存在内生解释变
例如：以地区数据为样本，建立某种消费品的需求函 数民模收型入，。Qi、Pi、Yi表示各个地区的需求量、价格和居
三、内生解释变量的后果
计量经济学模型一旦出现内生解释变量，且与 随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模 型参数，会产生严重的后果。
下面以一元线性回归模型为例进行说明。
1、内生解释变量与随机干扰项相关图
（a）正相关
拟合的样本回归 线可能低估截距项， 而高估斜率项。
（b）负相关
拟合的样本回归线 高估截距项，而低 估斜率项。