《圆》章节精华知识点总结

《圆》章节精华知识点总结

名词解释：

1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。

4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。

5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。

10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。

12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。

13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。

16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距

d

r

d=r r d r R

d r R d

离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；

2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；

3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；

2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；

3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；

外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；

相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；

内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD

r

d

d

C

B

A

O

O E

D

C B 图4r R d 图5

r

R

d 图3r

R d

中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，

所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOB DOE ∠=∠； ②AB DE =；

③OC OF =； ④ 弧BA =弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠

2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角

∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的

弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，

∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠

九、切线的性质与判定定理

（1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

O A

B F E C

B

A O C A O D C A O C

B A

O C B A

O E

D

C B

A