巧求最值问题八种方法

巧求最值问题八种方法

如何求“最值"问题

求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值

例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。

分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990

=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990

显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,

所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;

例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。

x

分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平

方式中的 x 取值相同。由于

y=x 2

2x i x - 2 i

=（x i ）2

（依斗）2

i ,要求 y 的最小

x J x '

值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,

Vx

于是当x=1时，y=x 2

x - 3的最小值是-1。

x

二、利用重要不等式求最值

例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y

分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可

考虑用不等式的性质来解此题，

所以：4角的最小值是1

x 4y

三、构造方程求最值

例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.

分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：

a+b=2-c, ab=4

,则 a 、b 可以看作 x 2

（2 c ）x 4

0 的两

c c

1 （xy ）2

=1

1 ~4 x

1 4y 4

（27）

2

根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）2

4^ 0，即 c 7

c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0

,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c

的最小值是4.

四、构造图形求最值

例5：使x 2

4 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为

______ 」

分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由

于 X 2

4

（8一XL16

=心―0厂（0一2）2

8厂（0一4）2

,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,

2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可

求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。 解： x 2

4

.（8一x ）L16

2 2 - 2 2

=(x 0)

(0 2) (x 8) (0 4)

.

于是构造如图所示。作A （0，2）关于x 轴的 对称点 A ' （0,-2）,,令直线 A B 的解析式为

y=kx+b,

所以y 3x 2,令y=0,得X 3 .

0k b

8k b

8

2

解得k

8

即C点的坐标是(8,0),所以当x 8时，—4寸(8 x)216有最小值，3 3

五、利用判别式求最值

2 、,

例6::求y=3X2 6x 5的最小值

5x x 1

解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程，

(y 6)x2 (2y 12)x (2y 10) 0,因为X 为实数,所以△

> 0

得:4 < x < 6,解得，故y的最小值是4

六、消元思想求最值

例7:已知a、b、c为整数，且a+b=2006, c-

a=2005 , a

分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a,

c=2005+a,将其代入原式得：

a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a

又a+b=2006,a、b均为整数，a

4011+1002=5013.

七、利用数的整除性求最值

例&已知a 、b 为正整数，关于X 的方程X 2

2ax b 0

的两个实数根

X 、X2

，关于y 的方程y

2 2

ay b 0

两个实数根为y ?Y2

,

2008年全国初中数学竞试题）

分析与解：因为方程x 2

2ax b 0与y 2

2ay b 0有实

根，所以有:

（2a ）2 4b 0,即a 2

b ，由根与系数的关系，得:

x 1 x 2

2a, x/2

b

; y 1

y 2

2a,

y y 2 2a (x X 2) ( xj ( X 2) ym ( xj( X 2)

于是有 2a -4a 2

4b 2008 即 a 一 a 2

b 1 502 2 251

因为a,b 都是正整数，所以

a 1 亠 a 505 亠 a 2 a 251

2

2或 2 或 2

2

或 2

a 2

b 5022

a 2

b 1 a 2 b 2512 a 2 b 4

且满足 X

1

y° X 2 y 2

2008,

求b 的最小值。（《数学周报》杯

解得:

y 1

人或y 1 X 2

y 2 X 2 y 2 人

把y 1,y 2

的值分别代入，

1y

2

x 2 y 2 2008 X 1( Xj X 2( X 2) 2008

，或 X 1

( 即

x 22

x ；

(x 1)

2008

（不成立）

因为 2008， (X 2 Xj(X 2 X 1)

2008

x 1

x 2

2a 0,

x 1x 2

b 0 所以X 1

0,