特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念及其计算

定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，

称为A的特征多项式，记¦(l)=| lE-A|，是一个P上的关于 l

的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(l)=| lE-A|=l n+a1l n-1+…+a n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(l)=| lE-A|=0的根 (如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ，得方程组 (l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。因为 |l0E-A|=0，(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于 l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法

对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：

[l0E-A]X=q 即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根是特征多项式 |l0E-A| =0的根，由代数基本定理

有n个复根 l1, l2,…, l n，为A的n个特征根。

当特征根 l i (I=1,2,…,n)求出后，(l i E-A)X=q 是齐次方程，l i

均会使 |l i E-A|=0，(l i E-A)X=q 必存在非零解，且有无穷个解向量，(l i E-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合

都是A 的特

征向量。

例1. 求矩阵

的特征值与特征向量。

解：由特征方程

解得A 有2重特征值 l 1=l 2=-2，有单特征值 l 3=4 对于特征值 l 1=l 2=-2，解方程组 (-2E-A)x=q

得同解方程组 x 1-x 2+x 3=0 解为x 1=x 2-x 3 (x 2,x 3为自由未知量

)

分别令自由未知量

得基础解系

所以A的对应于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量为

x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)

可见，特征值 l=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数£特征根的重数。

对于特征值 l3=4，方程组 (4E-A)x=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=2 得基础解系

所以A的对于特征值 l3=4 得全部特征向量为 x= k3 x3

例2.求矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程

解得A有单特征值 l1=1，有2重特征值 l2=l3=0

对于 l1=1，解方程组 (E-A) x = q

得同解方程组为

同解为

令自由未知量 x3=1，得基础解系

所以A的对应于特征值 l1=1的全部特征向量为 x=k1x1 (k1¹0)

对于特征值 l2=l3=0，解方程组 (0E-A)=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1，得基础解系

此处，二重根 l=0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。

所以A的对应于特征值 l2=l3=0 得全部特征向量为 x=k2x3

例3． 矩阵

的特征值与特征向量

解：由特征方程

解得A 的特征值为 l 1=1, l 2=i, l 3=-i

对于特征值 l 1=1，解方程组 (E-A)=q ，由

得通解为

令自由未知量 x 1=1，得基础解系 x 1=(1,0,0)T ，所以A 的对应于特征值 l 1=1得全部特征向量为 x=k 1x 1 对于特征值 l 2=i ，解方程组

(iE-A)=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1，得基础解系 x2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为 x=k2x2 (k2¹0)。

对于特征值 l3=-i，解方程组 (-E-A)x=q，由

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1，，得基础解系 x3=(0,-i,1)T，所以A的对应于l3=-i的全部特征向量为 x=k3x3。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。而特征值 l i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组 (l i E-A)x=q 的非0解。其中，方程组(l i E-A)x=q的基础解系就是属于特征值l i的线性无关的特征向量。

性质1. n阶方阵A=(a ij)的所有特征根为l1，l2，…, l n(包括重根)，则

证第二个式子：

由伟达定理，l1l2…l n=(-1)n a n

又 |lE-A|=l n+a1l n -1+…+a n-1l1+a n中用 l=0 代入二边，得：|-A|=a n，而 |A|=(-1)n a n= l1l2…l n，

性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

可见是A-1的一个特征根。

其中l¹0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若l i=0, |A|= l1l2…l n=0，A奇异，与A可逆矛盾。

性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则

l m是A m的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：1) Ax=lx，二边左乘A，得：A2x=Alx=lAx=llx=l2x，

可见 l2 是 A2 的特征根；

2) 若 l m 是 A m 的一个特征根，A m x= l m x，

二边左乘A，得：A m+1x=AA m x=Al m x=l m Ax=l m lx=l m+1x，

得l m+1是A m+1的特征根

用归纳法证明了l m 是 A m 的一个特征根。

性质4. 设 l1，l2，…, l m是方阵A的互不相同的特征值。x j是属于l i的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x1,x2,…,x m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。

性质4可推广为：设 l1，l2，…, l m为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量，……，x m1,x m2,…,x m,k1是属于l m 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,…,x1,k1,…,

x m1,x m2,…,x m,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各