02.4.拉(压)杆的变形· 胡克定律 力
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拉压杆的变形计算胡克定律
200 103 500
500
300
102 64 3.2102 mm 0.032mm 200 103
小结
一、变形与线应变
绝对变形 l=l1- l
线应变 =
Δl l
横向应变
， Δb b
横向变形系数（泊松比）
`
或
´= -
二、胡克定律
胡克定律的两种表达式 Δl FNl EA
`
横 向
Δb b1 b
Δb b
´= -
知识准备：拉（压）杆的变形计算
二、胡克定律
实验表明，在材料的弹性范围内，杆件的变形与内力FN、杆长l 成正比关系，与横截面积成反比关系，比例常数E 称为材料的弹性模
量。即
Δl FNl EA
E
或
E
其中EA 称为抗拉（压）刚度。
=E
抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成正比。
三、拉（压）杆的变形计算
任务布置
1.图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度l=80mm 内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应
力及螺栓对钢板的预紧力。
情境三 轴向拉（压）强度计算
◆ 轴力 ◆ 应力 ◆ 强度计算（强度校核） ◆ 强度计算（设计截面，确定许可载荷） ◆ 变形计算 ◆ 材料力学性能
知识准备：拉（压）杆的变形计算
F
l l1
F b1 b
一、变形与线应变
绝对变形
相对变形 横向变形系数 （线应变） （泊松比）
轴
向
Δl l1 l
轴向拉(压)杆的变形-胡克定律
1.2 胡克定律
英国科学家胡克在1678 年首先通过实验发现：当杆件的应力不超过某一限度 时，杆件的轴向变形 Δl 与杆件所受的外力 F 和杆长 l 成正比，而与杆件横截面面 积 A 成反比，即
l ∝ Fl A
引入比例常数 E ，同时由于横截面上轴力FN = F ，于是有
l = FNl EA
(6-10)
l l
(6-7)
应变 ε 是无量纲的量。
2. 横向变形和应变
设杆原横向尺寸为 d ，受力后变为 d1 ，如图6-10b 所示，则杆的横向变形为 Δd = d1 ‒ d 。相应的横向线应变为
' d d
(6-8)
横向线应变 '也是无量纲的量。
正负号规定：Δl 、 Δd 以伸长为正，缩短为负； ε 和 ' 的正负号分别与 Δl 和 Δd 一致，即拉应变为正，压应变为负。显然， 轴向线应变 ε 与横向线应变 ' 恒为 异号。
E
(6-11)
从式( 6-11) 可以得知， 当杆的应力在线弹性范围内时，应力与应变成正比。 E 与 μ 都是材料弹性性质的常数，表6-2 列出了几种常用工程材料的 E、μ 值。
表6-2 几种常用工程材料的E、μ 值
【例6-7】一截面为正方形的阶梯形柱，由上、下两段组成。其各段长度、截面尺寸 和受力情况如图6-11所示。已知材料的弹性模量 E = 0.03×105 MPa，外力F = 50 kN， 试求该柱A 、B 截面的位移。
lA
50 103 3 0.03105 106 0.252
150 103 4 0.03105 106 0.372
2.26 mm
(向下)
lB
150 103 4 0.03105 106 0.372
02拉压-2
18
§2-5 拉（压）杆内的应变能
B
C
1
2
aa
A P
（2） 结点A的位移
由
1 2
PΔA
= Vε
知：
ΔA
=
2Vε P
=
2´ 64.67 N × m 100´103 N
= 1.293´10-3 m = 1.293 mm (¯)
19
作业 P53 2-6 P54 2-11
20
30°，材料的弹性模量E=210 GPa。
B
1
2
aa
A P
解：（1）应变能
C
Vε
=
2´
FN2 1l 2 EA
=
(P
2 cosa
EA
)2 l
=
(
100 ´ 103 N 2 cos 30o
)2
´
(2
m)
(210 ´ 109 Pa)[ π (25 ´ 10-3 m)2 ]
4
= 64.67 N × m = 64.67 J
Db = b1 - b
横向应变 e ¢ = Db
b
泊松比 m = e ¢ e ¢ = -me = -m s
e
E
钢材的E 约为200 GPa，μ约为0.25～0.33 2
目录
§2—4 拉压杆的变形、胡克定律
胡克定律 D l = F N L 的应用推广： EA
i)多力杆：
40kN
60kN
å D l = n F Ni Li
讨论题. 抗拉（压）刚度为EA的等直杆受力如图所示，试问：
（1）总伸长是否为
DL
=
P1 L1 EA
+
第3章 轴向拉压变形
第三章轴向拉压变形研究目的：1、分析拉压杆的拉压刚度；2、求解简单静不定问题。
东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。
”(图)2) 计算横向应变计算横向变形3）预紧力：)(5.54kN A N =⋅=σ33'1015.0105.03.0--⨯-=⨯⨯-=-=μεεmmd d 015.010*******.033'-=⨯⨯⨯-=⋅=∆--ε例：螺栓•M12螺栓内径d 1=10.1mm ，拧紧后在计算长度l =80mm内伸长 l =0.03mm 。
E ＝210GPa ，求应力和螺栓的预紧力。
3-2 桁架的节点位移节点P ，试)BC()EAl P 122+=CB•静不定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的变形补充方程；则可解静不定问题。
补充方程：为求静不定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的补充方程。
归纳起来，求解静不定问题的步骤是：(1)．根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；(2)．根据变形协调条件，建立方程补充方程(3)．利用胡克定律，改写补充方程；(4). 联立求解以上计算表明，在静不定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。
在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。
如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。
如杆为钢杆，αl =1.2⨯10-5/(o C), E =210GPa, 如温度升高∆t =40 o C ，杆内的温度应力为压应力）MPa(100=∆=t E l ασ。
杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形
所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式
E
和应变公式 =
=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l
EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3
第三讲材料力学
e p
立即再加载时，-
关系起初基本上沿 卸载直线上升直至 当初卸载的荷载， 然后沿卸载前的曲 线直至断裂—冷作 硬化现象。
冷作硬化对材料力学性能的影响
p b 不变 p
Ⅳ、颈缩阶段DE
试件上出现局部横截面的急剧 收缩——颈缩，直至试件断裂。
伸长率
l1 - l 100%
5% 的材料称为脆性材料。
思考：
1、强度极限b是否材料在拉伸过程中所承受的
最大应力？
2、低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种
标距，试问所得伸长率10 和5 哪一个大？
二.其他金属材料在拉伸时的力学性能
锰钢没有屈服和局部变形阶 段 强铝、退火球墨铸铁没有明 显屈服阶段
共同点：
5%，属塑性材料，无
ΔC l 0.295 mm ()
思考： 1. 上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者 是否相等？
绝对位移—物体上点、线、面空间位置的改变 相对位移—两个截面之间的那段杆的伸长（或缩短），
即杆件的变形
【!】某一横截面的绝对位移可以看做是该横截面相对 于一固定不动的横截面的相对位移
例 已知两杆均为长度l =2m，直径d =25mm的圆杆，
12
由变形图即确定结点A 的位移。由几何关系得
A1 A' A2 A''
AA AA1 AA2
cos cos
即
ΔA
l1
cos
l2
cos
2Fl
Eπd 2 cos2
代入数值得
ΔA
2(100 103 N)(2 103 mm) (210 103 MPa)[π (25mm)2 ]cos2
胡克定律与拉压杆的变形
n 按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力 o 采用切线代圆弧的方法确定节点位移
例 7-3 F1= F2/ 2 = F，求截面 A 的位移∆Ay
刚体 EA
解：1. 计算 FN
∑M B =0, F1⋅2l+F2⋅l−FN⋅lsin30D =0
FN
=
2F1 + F2 sin 30D
=
8F
刚体 EA
−
F
)⋅2l
=0
FN2 =4FN1
FN2＝4FN1＝88
2F = 4.59 × 104 2 +1
N
5. 截面设计
FN1− 拉力
FN2 − 压力
A1 ≥[FσNt1] =71.7 mm2 A2 ≥[FσNc2] =383 mm2
结论： A1 = A2 = 383 mm2
例 8-3 图示两端固定杆，试分析当温度升高 ∆T 时，横
单辉祖:工程力学(材料力学)
87
应变能与功能原理
应变能与外力功 z 弹性体因变形而储存的能量－应变能 Vε z 外力在变形过程中所作之功－外力功 W
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
例 7-3 F1= F2/ 2 = F，求截面 A 的位移∆Ay
刚体 EA
解：1. 计算 FN
∑M B =0, F1⋅2l+F2⋅l−FN⋅lsin30D =0
FN
=
2F1 + F2 sin 30D
=
8F
刚体 EA
−
F
)⋅2l
=0
FN2 =4FN1
FN2＝4FN1＝88
2F = 4.59 × 104 2 +1
N
5. 截面设计
FN1− 拉力
FN2 − 压力
A1 ≥[FσNt1] =71.7 mm2 A2 ≥[FσNc2] =383 mm2
结论： A1 = A2 = 383 mm2
例 8-3 图示两端固定杆，试分析当温度升高 ∆T 时，横
单辉祖:工程力学(材料力学)
87
应变能与功能原理
应变能与外力功 z 弹性体因变形而储存的能量－应变能 Vε z 外力在变形过程中所作之功－外力功 W
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
《材料力学》课件2-4拉(压)杆的变形.胡克定律
拉(压)杆的综合变形
综合变形
杆件在受到拉力或压力作用时，不仅会发生轴向变形和横向变形，还可能发生弯曲变形 等其他形式的变形。
胡克定律的应用
胡克定律只适用于描述杆件的轴向变形，对于其他形式的变形，需要使用更复杂的力学 公式来描述。
Part
02
胡克定律
胡克定律的表述
总结词
胡克定律是材料力学中一个重要的基本定律，它表述了材料 在拉伸或压缩过程中所遵循的应力和应变之间的关系。
胡克定律的局限性
总结词
胡克定律的应用有一定的局限性，它仅适用于线弹性材料，且只考虑了单向受力的情况。
详细描述
胡克定律的应用范围仅限于线弹性材料，对于非线性材料或塑性材料，胡克定律不再适用。此外，胡克定律只考 虑了单向拉伸或压缩受力的情况，对于剪切、弯曲等复杂受力情况，需要引入更复杂的力学模型进行分析。
详细描述
胡克定律指出，在弹性范围内，材料所受的应力与产生的应变 之间成正比，即应力与应变之比为常数，这个常数称为材料的 弹性模量或杨氏模量，用符号E表示。数学表达式为：σ=E*ε， 其中σ为应力，ε为应变。
胡克定律的应用
总结词
胡克定律在工程实践中广泛应用于材料的强度分析、结构设计等方面。
详细描述
通过胡克定律，可以计算出材料在受到拉伸或压缩力时的应力和应变，从而评估 材料的承载能力和安全性。在结构设计时，可以利用胡克定律进行受力分析和优 化设计，以确保结构的稳定性和可靠性。
详细描述
均匀性假设意味着材料在各个部分都 具有相同的性质，如密度、弹性模量 等。这一假设使得我们能够将材料的 性质视为空间位置的常数，从而简化 分析过程。
各向同性假设
总结词
各向同性假设认为材料在各个方向上都 具有相同的性质。
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，
是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受 约束有关。
21
求图示结构在荷载作用下Ｂ点的水平位 移和铅垂位移。（只列出几何关系）
A L1 B
L1
uB
a
B1
B2
L2
C
L2
Ｆ
vB
B'
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
L2 vB L1ctg a sin a
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
某一方向的线应变 与和该方向垂直的方向(横向)的线应 变'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或 泊松比(Poisson’s ratio)：
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
材力02章-4拉压静不定问题
l
微段变形 l 累加的结果：
例：求图示变截面杆的变形。 x dx P Dx Ax 解: l d2
d1
P
x Dx (d 2 d1 ) d1 l Pdx Pdx 4 Pdx d ( l ) EAx E D 2 E[(d d ) x d ]2 x 2 1 1 4 l l l 4 Pdx 4 Pl l d ( l ) 0 0 x E[(d 2 d1 ) d1 ]2 Ed1d 2 l
§2-8 拉压杆的变形
1.轴向变形和虎克定律
l P l1
• 绝对变形: • 线应变:
P
l l1 l l l
（相对变形,无量纲）
•虎克定律：（力与变形的关系）
E
N A
(2)代入(1)
N l E A l
——（1）
E —— 弹性模量，常用GPa的单位（由实验测定）
阶梯杆的拉压变形
N i li l i 1 Ei Ai
注意： m综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数
m
2.横向变形、泊松比 b1
l P l1 P
b
•横向变形： b b1 b
b •横向应变： b
•泊松比(Poisson’s ratio):
1 的影响下会引起 应力。
一、温度应力
由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。 对于无约束的杆件，当温度变化为 t t2 t1 时，杆 件的变形为：
lt t l
式中： ——为材料的线膨胀系数。
例5：输热管道AB长为L， 横截面积A，材料的弹性摸 量E，热膨胀系数为α， 试求：当温度升高ΔT(oC) 时管内的应力。
超静定结构的特点之一：超静定结构中杆件的内力按 照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越 大，杆件承受的内力越大。
微段变形 l 累加的结果：
例：求图示变截面杆的变形。 x dx P Dx Ax 解: l d2
d1
P
x Dx (d 2 d1 ) d1 l Pdx Pdx 4 Pdx d ( l ) EAx E D 2 E[(d d ) x d ]2 x 2 1 1 4 l l l 4 Pdx 4 Pl l d ( l ) 0 0 x E[(d 2 d1 ) d1 ]2 Ed1d 2 l
§2-8 拉压杆的变形
1.轴向变形和虎克定律
l P l1
• 绝对变形: • 线应变:
P
l l1 l l l
（相对变形,无量纲）
•虎克定律：（力与变形的关系）
E
N A
(2)代入(1)
N l E A l
——（1）
E —— 弹性模量，常用GPa的单位（由实验测定）
阶梯杆的拉压变形
N i li l i 1 Ei Ai
注意： m综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数
m
2.横向变形、泊松比 b1
l P l1 P
b
•横向变形： b b1 b
b •横向应变： b
•泊松比(Poisson’s ratio):
1 的影响下会引起 应力。
一、温度应力
由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。 对于无约束的杆件，当温度变化为 t t2 t1 时，杆 件的变形为：
lt t l
式中： ——为材料的线膨胀系数。
例5：输热管道AB长为L， 横截面积A，材料的弹性摸 量E，热膨胀系数为α， 试求：当温度升高ΔT(oC) 时管内的应力。
超静定结构的特点之一：超静定结构中杆件的内力按 照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越 大，杆件承受的内力越大。
§4 拉（压）杆的变形.胡克定律`
h2
z
y
max
h2
y0
A
y
max
3F s F sh 2 F sh 2 3 2A bh 8I Z 8 12
例题 4.13
F
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
h
M max
FL 4
bh 2 WZ 6
l 2
l 2
Fs max
max
F 3 2 3 Fs 3 F 2 bh 2 A 4 bh
5m
I
2m
2m
2m
查表:
I
WZ 237 103 mm3
M 52.7 MPa WZ
4IN0 20
例题 4.10
试对图示结构布置图中的L－2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截 面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。
q 3.5 2 7kN / m
150kN吊车
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
F
l
x
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
2F
1400 600
z
200 50
12kNm
16kNm
A
M Ayl 16 103 250 96.4 24.09MPa 8 IZ 1.02 10
拉压变形
∑F = 0 ∑F = 0
x y
FN1 = FN 2
2 FN1 cos α = F
FN1 = FN 2
F = 2 cos α
B 1 2
C
由胡克定律得两杆的伸长: 由胡克定律得两杆的伸长:
FN1l FN 2l = l1 = l2 = EA EA
A F B 1
Fl = 2EA cos α
C 2 A1 A A' A' A 2 A'' 1 2
S l = EA
ql 2 ql × l S = = = EA 2EA 2EA
d1
F l l1 绝对变形 相对变形
d
F
l = l1 - l
长度量纲 线应变,无量纲
l ε= l
l 1 FN FNl = l = l E A EA σ ε= 称为单轴应力状态下的 单轴应力状态下的胡克定律 称为单轴应力状态下的胡克定律 E
杆的变形胡克定律 §2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律
I 拉(压)杆的纵向变形 d1 F l l1 F 纵向变形: 纵向变形:l=l1-l d
Fl l∝ A
1. 拉压胡克定律 2. 线弹性 3. E称为弹性模量,单位与 称为弹性模量, 称为弹性模量 应力相同, 称为拉压刚度 应力相同,EA称为拉压刚度 低碳钢( 低碳钢(Q235): ): 计算长度l内 4. 计算长度 内F,E,A为常数 为常数
求各段的线应变. 例 求各段的线应变.
100kN A B C 75kN 50kN D
1.75m 1.25m 1.50m
解:l AB = 0.78mm
l BC = 2.79mm lCD = 2.14mm 0.78 l AB = 5.2 ×10 4 = 520 ×10 6 = ε AB = l AB 1.75 ×103 = 520ε
《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律
拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2
拉压杆变形及材料的性质
e s --屈服段: s ---屈服极限 塑性材料的失效应力:s
滑移线：
(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段) ｂ---强度极限
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
1.延伸率:
2.断面收缩率：
L1 L0 L0
100 00
A0 A0
A1
100
0
0
六、材料压缩时的机械性能
ｂy ---铸铁压缩强度极限； ｂy （4 ～6） ｂL
LOGO
复习
10kN A
15kN
B 10
15kN C
5 20
20kN D
N(kN)
2.3轴向拉（压）杆的变形与 胡克定律
F
Fபைடு நூலகம்
F
F
一、纵向变形
l l 假设杆件变形前长度为 ，变形后长为 ，则杆
件的纵向变形为
1
l l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的 变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
LOGO
大家辛苦了！
比值的绝对值是一个常数，用 表示
称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于 和 的符号恒为异号，故有
三、胡克定律 应力不超过某一限度时：
l Nl EA
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
例 下图所示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给立 柱，其中一根柱子的受力图如图b所示，P1=30kN， P2=50kN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模 量E=10GPa。求木柱的总变形。
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
L NL EA
L P
L EA E
滑移线：
(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段) ｂ---强度极限
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
1.延伸率:
2.断面收缩率：
L1 L0 L0
100 00
A0 A0
A1
100
0
0
六、材料压缩时的机械性能
ｂy ---铸铁压缩强度极限； ｂy （4 ～6） ｂL
LOGO
复习
10kN A
15kN
B 10
15kN C
5 20
20kN D
N(kN)
2.3轴向拉（压）杆的变形与 胡克定律
F
Fபைடு நூலகம்
F
F
一、纵向变形
l l 假设杆件变形前长度为 ，变形后长为 ，则杆
件的纵向变形为
1
l l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的 变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
LOGO
大家辛苦了！
比值的绝对值是一个常数，用 表示
称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于 和 的符号恒为异号，故有
三、胡克定律 应力不超过某一限度时：
l Nl EA
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
例 下图所示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给立 柱，其中一根柱子的受力图如图b所示，P1=30kN， P2=50kN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模 量E=10GPa。求木柱的总变形。
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
L NL EA
L P
L EA E
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的变形和胡克定律(建筑力学)
轴向拉（压）杆的变形和胡克定律
4 例题
一木方柱受轴向荷载作用，横截面边长a＝200mm，材料的弹性模量 E＝10GPa，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。
解: （1）由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱 的变形要分别计算。经计算各段柱的轴力为
FNBC＝－100kN FNAB＝－260kN
正负号恒相反
利用上式，可由纵向线应变或正应力求横向线应变。反之亦然。
轴向拉（压）杆的变形和胡克定律
3 胡克定律
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正
应力与线应变成正比.
由
E
FN
A
Δl
l
上式改写为
Δl FNl EA
式中 E 称为弹性模量 ，EA称为抗拉（压）刚度。
6.5 ×10-4
Ch5 轴向拉伸或压缩变形
03 轴向拉（压）杆的变形和胡克定律
轴向拉（压）杆的变形和胡克定律
1 纵向、横向变形
纵向变形 纵向应变
l l1 l
= l
l
横向变形 横向应变
h h1 h
h1 h Δh
hh
轴向拉（压）杆的变形和胡克定律
2 泊松比
称为泊松比。 E 和 都是表征材料弹性的常量。考虑到 与 的ຫໍສະໝຸດ 轴向拉（压）杆的变形和胡克定律
4 例题
（2）各段柱的纵向变形为
△lBC＝
FNBClBC EA
100 103 N 2m 10 109 Pa (0.2m)
2 ＝－0.5 ×10-3 m＝－0.5mm
△lAB＝
FNABlAB EA
260 103 10 109 Pa
N
1.5m (0.2m)
材料力学-课件2-4拉杆的变形.胡克定律
EA L L
L
i
FNiLi
EAi
FN EA L E
A AL
在计算ΔL的L长度内，FN,E,A均 为常数。
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
b
b
横向线应变
泊松比
例题 2.9
图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在 板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后 AB线所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）
α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材
料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬
挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。
1
2
FNAB FNAC
X 0 C Y 0
F N F FN c N A AA C s C o C FiN F s n N AB F N c A 2cA s F B o oB isF n s 0 0
B
b
e
A
a
c
d
ae. 因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
例题
2.10
例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形△L，B点的位移 δB和C点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
例题
2.11
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，
B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位
拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
材料力学 胡克定律
地加以描述的知识王国”。 3
1
2.4 拉压杆的变形 胡克定律 东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，
有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛 其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图) 胡：请问，“弛其弦，以绳缓援之”
是什么意思 ? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦
松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
2
2.4 拉压杆的变形 胡克定律 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：
郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以
一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。其中 “两萧”就是指弓的两端。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：“目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.4 拉压杆的变形 胡克定律
3、单向应力状态下的弹性定律
(dx) 1 FN (x) 1
dx E A(x) E
4、泊松比（或横向变形系数）
即: 1
E
或 :
三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般
认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于 力和变形成正比关系的记载。
1
2.4 拉压杆的变形 胡克定律 东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，
有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛 其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图) 胡：请问，“弛其弦，以绳缓援之”
是什么意思 ? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦
松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
2
2.4 拉压杆的变形 胡克定律 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：
郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以
一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。其中 “两萧”就是指弓的两端。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：“目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.4 拉压杆的变形 胡克定律
3、单向应力状态下的弹性定律
(dx) 1 FN (x) 1
dx E A(x) E
4、泊松比（或横向变形系数）
即: 1
E
或 :
三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般
认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于 力和变形成正比关系的记载。
Ch2轴向拉压4-5节-2013
模量E=210GPa。
解:在例题2-4中已经求出圆环在任一
横截面上的正应力s=40MPa，若正应力不
超过材料的比例极限，则可按公式(2-6)
算出沿正应力s方向(即沿圆周方向)的线
应变e为
e
s
E
40 210 103
1.9 104
圆环的周向应变e等于其径向应变ed
因为: e (d Dd ) d ) Dd
(ＤAx端ia位l移FoDrＤc即ed为B杆ar的)·总胡变克形定，律应(为Ho各ok段e’s变L形aw的) 代
数和)。即:
DD
Dl
Dl
Dl Dl
FNl EA1
FN l EA2
FN l EA1
103 103 200103
301 500
20 2 300
40 1 500
0.767mm
FＮ(x)
在自重和起吊载荷P作用下产生
的应力和变形(设起吊是匀速的)。
解:1,计算应力:
(索上端支反力R0=P+gA l 。用截面法求得x截面的内力为: FN(x) =R0-gAx=gA(l-x)+故P:FNmax＝gAl+P )。
索为等截面的,其x截面上的应力为:
sx= FN(x)/A=g(l-x)+P/A。
性模量E=200GPa。试求:1,各杆段的应力;2,Ｄ端的位移。
解:1,绘轴力图如图 (b)所示。
2,求各段应力:
s AB
FNAB A1
30103 500
FＮ
60MPa
s BC
FNBC A2
20103 300
66.7MPa
s CD
FNCD A1
40103 500
解:在例题2-4中已经求出圆环在任一
横截面上的正应力s=40MPa，若正应力不
超过材料的比例极限，则可按公式(2-6)
算出沿正应力s方向(即沿圆周方向)的线
应变e为
e
s
E
40 210 103
1.9 104
圆环的周向应变e等于其径向应变ed
因为: e (d Dd ) d ) Dd
(ＤAx端ia位l移FoDrＤc即ed为B杆ar的)·总胡变克形定，律应(为Ho各ok段e’s变L形aw的) 代
数和)。即:
DD
Dl
Dl
Dl Dl
FNl EA1
FN l EA2
FN l EA1
103 103 200103
301 500
20 2 300
40 1 500
0.767mm
FＮ(x)
在自重和起吊载荷P作用下产生
的应力和变形(设起吊是匀速的)。
解:1,计算应力:
(索上端支反力R0=P+gA l 。用截面法求得x截面的内力为: FN(x) =R0-gAx=gA(l-x)+故P:FNmax＝gAl+P )。
索为等截面的,其x截面上的应力为:
sx= FN(x)/A=g(l-x)+P/A。
性模量E=200GPa。试求:1,各杆段的应力;2,Ｄ端的位移。
解:1,绘轴力图如图 (b)所示。
2,求各段应力:
s AB
FNAB A1
30103 500
FＮ
60MPa
s BC
FNBC A2
20103 300
66.7MPa
s CD
FNCD A1
40103 500
材料力学2-4
300
A A2 l 2 P
C
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱl 1
A1
A2 A A2 A3 0 tg 30 l 2 l 1 0 tg 30 sin 300
2 2 AA3 ( AA2) ( A2 A3)
A2
A
A’
l 2
l1
300
A1
300
3.78mm
A3
补充题 ： 一等直杆受自重及集中力P作用。杆的长度为l，横
截面面积为A，材料的容重为，弹性模量为E，许用应力 为[]。试分析杆的自重对强度的影响，并求杆的伸长。 解： N(x)=P+ Ax Nmax=P+ Al
m m
N(x)
P+ Al
l
m Ax m
+
x
P
P P
P+ Ax
Nmax=P+ Al
N(x)
强度条件为
m
m
l
m Ax m
+
x
P γ l [σ ] A
(1) 1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图 (2) 杆的最大正应力max
(3) B截面的位移及AD杆的变形
111
11
1
P3 C
111
P2
11
P1 A
1
D
B
l3
111
l2
11
l1
1
R
P3 C
111
P2
11
P1 A
1
D
B
l3
l2
l1
解：求支座反力
R = -50KN
111
11
1
A A2 l 2 P
C
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱl 1
A1
A2 A A2 A3 0 tg 30 l 2 l 1 0 tg 30 sin 300
2 2 AA3 ( AA2) ( A2 A3)
A2
A
A’
l 2
l1
300
A1
300
3.78mm
A3
补充题 ： 一等直杆受自重及集中力P作用。杆的长度为l，横
截面面积为A，材料的容重为，弹性模量为E，许用应力 为[]。试分析杆的自重对强度的影响，并求杆的伸长。 解： N(x)=P+ Ax Nmax=P+ Al
m m
N(x)
P+ Al
l
m Ax m
+
x
P
P P
P+ Ax
Nmax=P+ Al
N(x)
强度条件为
m
m
l
m Ax m
+
x
P γ l [σ ] A
(1) 1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图 (2) 杆的最大正应力max
(3) B截面的位移及AD杆的变形
111
11
1
P3 C
111
P2
11
P1 A
1
D
B
l3
111
l2
11
l1
1
R
P3 C
111
P2
11
P1 A
1
D
B
l3
l2
l1
解：求支座反力
R = -50KN
111
11
1
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f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同， 故不同截面的变形不同,前式并不能反映沿长度各点处的纵向 x 线应变。 x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
第2页
武生院建筑工程学院：材料力学
o
x
FN ( x) Ax
max xl l
第18页
武生院建筑工程学院：材料力学
FN ( x) dFN
dx m x dx
（3）变形
取微段
m
FN ( x)
FN ( x)dx d (l ) EA
截面m-m处的位移为：
x
l
FN ( x)dx EA
的线应变。
90
0
0
0 0
E
F
0
90
E
90
90
E
第8页
0 cos
2
F
0
2
sin 2
90
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
l Fl A
引进比例常数E，且注意到F = FN，有
l FN l 胡克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。 EA
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其 量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
第5页
武生院建筑工程学院：材料力学
FN ( x)
m x
由平衡条件：
F
x
0
m
m
m
l
FN ( x) Ax 0
x
FN ( x) Ax
第17页
武生院建筑工程学院：材料力学
x
l
x l时，FN,max Al
m
x
m
x
（2）应力
FN ( x ) ( x) A
FN ( x) FN max FN
第3页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
在基本情况下
d d1 - d
d d
第4页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
胡克定律(Hooke’s law) 实验证明，工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力 不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，两端受力
第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
x d x x截面处沿x方向的纵向线应变为 x lim x 0 x dx l l 0 x d x 一般情况下，杆沿x方向的总变形
线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。
体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
90
0
0
0 0
E
F
0
90
90
0 cos2
F
0
2程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
2. 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力方 向的线应变 与正应力之间的关系，不适用于求其它方向
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
横向线应变‘与纵向线应变的绝对值之比为一常数，此比 值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’s ratio)：
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
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课堂思考题
正应力 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
40106 Pa -4 1 . 9 10 E 210109 Pa
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第二章 轴向拉伸和压缩
3. 圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量d有如
下关系：
π(d d ) - πd d d πd d
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：1. 前已求出圆环径向截面上的 正应力，此值小于钢的比例极限(低碳
钢Q235的比例极限p≈200 MPa)。
FN 40 MPa b
2. 如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为 薄壁圆环沿圆环切向的线应变(周向应变)与径向截面上的
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变
l （反映变形程度） l
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第二章 轴向拉伸和压缩
fl
从而有圆环直径的改变量(增大)为
d d d 1.9 10-4 0.2 m 3.8 10-5 m 0.038mm
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例题 图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在 自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长l、A、 比重（ N / m3 ）、E。 解： （1）内力
F (l / 3) l EA
D l AB l BC lCD
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-4 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量Δd。
已知 E 210 GPa，d 200 mm, 5 mm, p 2 MPa。
第二章 轴向拉伸和压缩
变形：
l AB lCD l BC F (l / 3) EA F (l / 3) EA
F FN 图 位移： + F +
F
l l AB lCD l BC F (l / 3) EA
B l AB
F (l / 3) EA
C l AB l BC 0
第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢(Q235)：
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意：1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元
Axdx (l 2 x 2 ) x EA 2E
l
杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：
l
x 0
l 2
2E
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第二章 轴向拉伸和压缩
练习：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
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