02.4.拉(压)杆的变形· 胡克定律 力

f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同， 故不同截面的变形不同,前式并不能反映沿长度各点处的纵向 x 线应变。 x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
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o
x
FN ( x) Ax
max xl l
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FN ( x) dFN
dx m x dx
（3）变形
取微段

m

FN ( x)
FN ( x)dx d (l ) EA
截面m-m处的位移为：
x
l
FN ( x)dx EA
第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
x d x x截面处沿x方向的纵向线应变为 x lim x 0 x dx l l 0 x d x 一般情况下，杆沿x方向的总变形
线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。
Axdx (l 2 x 2 ) x EA 2E
l
杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：
l
x 0

l 2
2E
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第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢(Q235)：
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A




E
←单轴应力状态下的胡克定律
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意：1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元
F (l / 3) l EA
D l AB l BC lCD
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-4 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量Δd。
已知 E 210 GPa，d 200 mm, 5 mm, p 2 MPa。
FN ( x)
m x
由平衡条件：
F
x
0
m
m
m
l
FN ( x) Ax 0
x
FN ( x) Ax
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x
l
x l时，FN,max Al
m
x
m
x
（2）应力
FN ( x ) ( x) A
FN ( x) FN max FN

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第二章 轴向拉伸和压缩
解：1. 前已求出圆环径向截面上的 正应力，此值小于钢的比例极限(低碳
钢Q235的比例极限p≈200 MPa)。

FN 40 MPa b
2. 如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为 薄壁圆环沿圆环切向的线应变(周向应变)与径向截面上的
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第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
在基本情况下
d d1 - d

d d
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第二章 轴向拉伸和压缩
胡克定律(Hooke’s law) 实验证明，工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力 不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，两端受力
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
横向线应变‘与纵向线应变的绝对值之比为一常数，此比 值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’s ratio)：
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
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课堂思考题
l Fl A
引进比例常数E，且注意到F = FN，有
l FN l 胡克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。 EA
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其 量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
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体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
90
0


0
0 0
E
F

0
90



90

0 cos2
F

0
2
sin 2
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第二章 轴向拉伸和压缩
2. 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力方 向的线应变 与正应力之间的关系，不适用于求其它方向
的线应变。
90


0
0
0 0
E
F

0
90



E


90
90
E
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Biblioteka Baidu 0 cos
2
F

0
2
sin 2
90
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第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
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第二章 轴向拉伸和压缩
练习：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
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从而有圆环直径的改变量(增大)为
d d d 1.9 10-4 0.2 m 3.8 10-5 m 0.038mm
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例题 图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在 自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长l、A、 比重（ N / m3 ）、E。 解： （1）内力
正应力 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
40106 Pa -4 1 . 9 10 E 210109 Pa
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第二章 轴向拉伸和压缩
3. 圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量d有如
下关系：
π(d d ) - πd d d πd d
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变
l （反映变形程度） l
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第二章 轴向拉伸和压缩
fl
第二章 轴向拉伸和压缩
变形：
l AB lCD l BC F (l / 3) EA F (l / 3) EA
F FN 图 位移： + F +
F
l l AB lCD l BC F (l / 3) EA
B l AB
F (l / 3) EA
C l AB l BC 0