力学量与算符
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第三章 力学量的算符汇总
Fˆn Fnn
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
问题：本征值、本征态、本征方程
§3-3 算符的运算规则 线性厄米算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
第三章 力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波 函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu
换的算符。
1）du / dx = v ， d / dx
n
综上所述，量子力学作如下假定：
就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v， x
也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描 写时，坐标 x 的算符就是其自身，即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式 必须改造成动量算符形式：
(12) 厄米算符
满足如右关系的算符 称为厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
性质 I: 两个厄密算符之和 仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
问题：厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般 不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
问题：本征值、本征态、本征方程
§3-3 算符的运算规则 线性厄米算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
第三章 力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波 函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu
换的算符。
1）du / dx = v ， d / dx
n
综上所述，量子力学作如下假定：
就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v， x
也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描 写时，坐标 x 的算符就是其自身，即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式 必须改造成动量算符形式：
(12) 厄米算符
满足如右关系的算符 称为厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
性质 I: 两个厄密算符之和 仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
问题：厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般 不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
第二章算符
2. 算符的对易： ˆB ˆ , 则称算符 A ˆ 与B ˆB ˆA ˆ 对易; 反之为非对易。 若A 一般情况下 , 算符的乘法不对易。 ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA 算符的对易关系式定义 为 : [ A 例如 : [ , x ] 1 x 证明 : [ , x ] f ( x ) [ xf ( x )] x f ( x) f ( x) x x x x f ( x) x f ( x ) f ( x ),即： [ , x] 1 x x x
将动量算符的形式代入上式, 得到动能算符为: 2 2 ˆx ˆ2 ˆ p p p 1 2 2 2 y z ˆ K {( i ) ( i ) ( i ) } 2m 2m x y z
2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2) 2m x y z 2m
ˆ 是厄米算符 . 因此 , A
定理 1：厄米算符的本征值是 实数。 ˆ 是厄米算符， g为它的本征函数， 证明：若 A ˆ g ag， ˆ g )* a * g *， 本征值为 a，即： A (A 根据厄米算符的定义， 可以得到： ˆ gd g ( A ˆ g ) * d , 即： g *A
i
j
j
i
a j i * j d ai j i *d , (注意 ai * ai ) ( a j ai ) j i *d 0, j i *d 0 因此， i 和 j 相互正交。
厄米算符属于不同本征 值的两个本征函 数一定互相正交。具有 相同本征值的本征函 数如何保证它们正交呢 ？这需要运用施米特 (Schmidt)正交化方法。 ˆ , 若存在函数 F和G满足下列 例如 , 对算符 A ˆ F aF, A ˆ G aG, 则F和G具有相同的本 关系 : A 征值 , 令 : 1 F , 2 G cF , 要求 1和 2 正交， 可以求出常数 c。
量子力学基本假设
②乘法 AˆBˆCˆf AˆBˆ Cˆf ，满足结合律。
（注：乘法交换律不一定满足）
③算符相等 若Aˆ f Bˆf ，则Aˆ Bˆ。
④算符的平方
Aˆ 2 Aˆ Aˆ, Aˆ 2 f Aˆ Aˆ f ，Aˆ n Aˆ Aˆ ……Aˆ （共n个）
2．力学量与算符关系假设
pˆ x i
d, dx
pˆ y
i
d, dy
pˆ z
i
d
dz 其中，
h
2
构造力学量算符的方法
先将力学量写成作标、时间和动量的函数，然后进行如下代换：
A x, y, z, px, py , pz ,t
Aˆ x, y, z, i
, i x
, i y
一质量为m的粒子围绕点O运动,其角动量 M r p
按照矢量积的定义展开之：
i jk
M x y z ypz zpy i zpx xpz j xpy ypx k
px py pz
则角动量在三个坐标轴上的分量 Mx, My , Mz以及角动量平方M 2 的经典表达式应为：
注： 运算顺序是从右到左。 BˆAˆ f 不一定等于 Aˆ Bˆf ，二者不相等时则不对易。 若二者对易，则 Aˆ，Bˆ 所代表的物理量可以同时测定。
⑤ 厄米(Hermite)算符
若有算符 Aˆ 满足 u*Aˆ vd v
Aˆ u
*
d
，则称
Aˆ 为厄米算符。
例：
Aˆ i d ,设u v eix ,则有： dx
能量算符（哈密顿算符）
E T V , E 总能量，T 动能，V 势能
粒子的能量算符——哈密顿算符 Hˆ ，Hˆ Tˆ Vˆ
（注：乘法交换律不一定满足）
③算符相等 若Aˆ f Bˆf ，则Aˆ Bˆ。
④算符的平方
Aˆ 2 Aˆ Aˆ, Aˆ 2 f Aˆ Aˆ f ，Aˆ n Aˆ Aˆ ……Aˆ （共n个）
2．力学量与算符关系假设
pˆ x i
d, dx
pˆ y
i
d, dy
pˆ z
i
d
dz 其中，
h
2
构造力学量算符的方法
先将力学量写成作标、时间和动量的函数，然后进行如下代换：
A x, y, z, px, py , pz ,t
Aˆ x, y, z, i
, i x
, i y
一质量为m的粒子围绕点O运动,其角动量 M r p
按照矢量积的定义展开之：
i jk
M x y z ypz zpy i zpx xpz j xpy ypx k
px py pz
则角动量在三个坐标轴上的分量 Mx, My , Mz以及角动量平方M 2 的经典表达式应为：
注： 运算顺序是从右到左。 BˆAˆ f 不一定等于 Aˆ Bˆf ，二者不相等时则不对易。 若二者对易，则 Aˆ，Bˆ 所代表的物理量可以同时测定。
⑤ 厄米(Hermite)算符
若有算符 Aˆ 满足 u*Aˆ vd v
Aˆ u
*
d
，则称
Aˆ 为厄米算符。
例：
Aˆ i d ,设u v eix ,则有： dx
能量算符（哈密顿算符）
E T V , E 总能量，T 动能，V 势能
粒子的能量算符——哈密顿算符 Hˆ ，Hˆ Tˆ Vˆ
算符与力学量的关系
算符与力学量的关系
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
25 力学量的平均值、算符表示 平均值
§2.5 力学量的平均值、算符表示—算符表示
Cartesian coordinates
Spherical coordinates
( x, y, z )
(r , , )
x r sin cos y r sin sin z r cos
r x2 y 2 z 2 z arccos x2 y 2 z 2 y arctan x
i
p r
d
( p, t )
2
表示平面波
e
pr
的所占的比重，即粒子动量取为 p 的概率。
(p,符表示—平均值
所以，动量的平均值
p
p ( p, t ) dp * ( p, t ) p ( p, t )dp
定态薛定谔方程：
2 2 V (r ) u (r )=Eu (r ) 2m
ˆ (r)=Eu(r) Hu
§2.5 力学量的平均值、算符表示—算符表示
量子力学中，描述微观粒子的力学量均有对应的算符
(1) 位矢 r r (2) 势能 V(r) V(r) (3) 动量 p
r x2 y 2 z 2 z arccos x2 y 2 z 2 y arctan x
§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
ˆ ˆ z zp ˆ y i Lx yp ˆ ˆ x xp ˆ z i Ly zp ˆz xp ˆ y yp ˆ x i L
y z y z z x z x x y x y
力学量和算符
第三章力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。
§3.1 力学量算符的引入§3.2 算符的运算规则§3.3 厄米算符的本征值和本征函数§3.4 连续谱本征函数§3.5 量子力学中力学量的测量§3.6 不确定关系§3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r 的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
3.6算符与力学量的关系
2 n
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，
0
x n e ax dx
n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0
2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
4. 力学量与算符
ˆ 之积不一定是厄米算符 ˆ,G <4>厄米算符F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
量子力学算符和力学量的关系
r[e
r a0
i
pr
e
r a0
i
pr
]dr
0
2i p(2a 0)3 / 2
2i p(2a 0)3 / 2
1i
1i
[
re
( a0
p)r
dr
re ( a0 p)r dr]
0
0
[1
1
]
(1 a0
i
p) 2
(1 a0
i
p) 2
2i p(2a 0)3/ 2
( 1 i p)2 ( 1 i p)2
1
e 2
r a0
i
e prx r 2drdxd
0 1 0
（积分次序是先对 ，再 x ，再对 r ）
2 (2a 0)3/ 2
r
r e
1
2
a0
0 1
i
e
prx
drdx
2 (2a 0)3/ 2
r
r 2ea0 dr
0
1 ipr
/
[e
i
pr
e
i
pr
]dr
2i p(2a 0)3 / 2
其中：Cn n dx ； C dx ；
Cn
2
C
2
d
1
；
n
Cn 为2 在 (态x)中测 得 F 旳几n率；
C 2 为d在 态(中x)测 得 F 在 范围 内d旳 几率；
平均值公式： F
n
Cn
2
； C
2
d
n
阐明：当 Cn 0 时为连续谱情况；C 0 时为分立 谱旳情况；Cn 0 ，C 0 时为一般情况。
量子力学中表示力学量的算符 Fˆ 都是线性厄米算符，它们
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
第三章 力学量与算符
i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij
H
U t , t0 e
力学量与算符
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力学量与算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij
算符与力学量的关系_第三章
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）
a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符，它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值 之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2
C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关， 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4
9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加 原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数 值，而是具有一系列的可能值，这些可能值 就是该力学量算符的本征值，测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）
4力学量与算符
态迭加原理要求力学量算符为线性的。
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
第三章-力学量的算符表示
px能够取-~+中连续变化旳一切实数，为了拟定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
力学量与算符
Fˆ Fˆ
一． 坐标：
rˆ r r r
rˆ
r0
r
r0
r0
r
二．
三．
四．
xˆ rˆ0 r
x0
r0
连续
归一化r0：r
,
r0
r
3
r0
x
r0
r
r0'
r
r0'
3
0,,xx
r0
r0'
x0 x0
， 任意且
x0
二，动量
pˆ
p
r
p
p
r
,
pˆi , pˆ j
Lˆi , Lˆ j i ijk Lˆk
Lˆi Lˆi
, ,
xj pˆ j
i ijk xk , i ijk pˆ k
Lˆ2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z
可证：
Lˆ2
,
Lˆ
0
Lˆ2 , Lˆi 有共同旳本征波函数完备集
2. 球坐标系下，轨道角动量算符旳体现式
Lˆx
计算可知：
A B
1 2
Aˆ ,
Bˆ
此式称为测不准关系或不拟定关系。
测不准关系旳了解
Aˆ Bˆ
[ Aˆ, Bˆ]
测不准关系表达不论粒子处于什么状态，在任一时刻
测量到旳粒子力学量A与B旳几率分布宽度ΔA与ΔB
之间，存在一定旳关系。若 与Aˆ 不Bˆ对易，
一
般不为零，这时测不准Aˆ 关系Bˆ表达乘积ΔA与ΔB一定不
则
(2) 性质： Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
c1Aˆ1 c2 Aˆ2 c1* Aˆ1 c2* Aˆ2
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
一． 坐标：
rˆ r r r
rˆ
r0
r
r0
r0
r
二．
三．
四．
xˆ rˆ0 r
x0
r0
连续
归一化r0：r
,
r0
r
3
r0
x
r0
r
r0'
r
r0'
3
0,,xx
r0
r0'
x0 x0
， 任意且
x0
二，动量
pˆ
p
r
p
p
r
,
pˆi , pˆ j
Lˆi , Lˆ j i ijk Lˆk
Lˆi Lˆi
, ,
xj pˆ j
i ijk xk , i ijk pˆ k
Lˆ2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z
可证：
Lˆ2
,
Lˆ
0
Lˆ2 , Lˆi 有共同旳本征波函数完备集
2. 球坐标系下，轨道角动量算符旳体现式
Lˆx
计算可知：
A B
1 2
Aˆ ,
Bˆ
此式称为测不准关系或不拟定关系。
测不准关系旳了解
Aˆ Bˆ
[ Aˆ, Bˆ]
测不准关系表达不论粒子处于什么状态，在任一时刻
测量到旳粒子力学量A与B旳几率分布宽度ΔA与ΔB
之间，存在一定旳关系。若 与Aˆ 不Bˆ对易，
一
般不为零，这时测不准Aˆ 关系Bˆ表达乘积ΔA与ΔB一定不
则
(2) 性质： Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
c1Aˆ1 c2 Aˆ2 c1* Aˆ1 c2* Aˆ2
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
算符与力学量的关系
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
证明这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化则能谱分布情况分立谱连续谱cossincossinmama写出t时刻的波函数
3.1表示力学量的算符
§3.1 表示力学量的算符一、算符的定义：算符是指作用一个函数上得出另一个函数的运算符号。
v u F =表示F 把函数u 变成 v ，F就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
算符的本征值和本征函数：λψψ=F本征值方程，ψ叫本征值λ的本征函数。
二、算符的一般特性 1、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。
2、单位算符：对波函数运算后保持不变的算符称为单位算符。
ψψ=I (4-2)式中ψ为任意波函数，简记为I3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆAB C += (4-3)称为算符之和。
ˆˆˆˆA B B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A B C A B C ++=++4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= (4-4) ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
但算符之积的结合律仍然成立，即)()(C B A C B A =5、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ， 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAAA A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (4-8) 推论1： 若[]I B A=,（或[]I A B =,,则1-=A B推论2：若Â,ˆB均存在逆算符, 则)(B A的逆算符也存在，且 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= (4-9) 证明：因为Â,ˆB均存在逆算符，则 I A A A I A A B B A A B B A====------111111)())((6、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ (4-1) 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
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1 ∂ ∂ 1 ∂2 −h2 Y(θ,ϕ) =λY(θ,ϕ) + 2 sinθ 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
2011-1-3
ˆ Aψ = φ
2) 算符的表示 算符的表示:
r ˆ p = −ih∇
r r ˆ r =r
对该算符的表示: 对该算符的表示
力学量算符
Hale Waihona Puke 同一个力学量的算符可以有多种不同的表示. 同一个力学量的算符可以有多种不同的表示 3) 量子力学中的“态”与“力学量”是截然分开的 这是 量子力学中的“ 力学量”是截然分开的, 与经典力学的一个根本不同之处. 与经典力学的一个根本不同之处 力学量: 用算符来描写. 用波函数来描写. 力学量 用算符来描写 态: 用波函数来描写 4) 线性算符 线性算符: ˆ ˆ ψ =φ Aψ 2 = φ 2 A 1 1 若有: 若有 对线性算符总有: 对线性算符总有
ˆ Iψ =ψ 则称算符 I为单位算符 为单位算符. 为单位算符
ˆ ˆ 则称算符A与 相等 相等. Aψ = Bψ 则称算符 与B相等 ˆ ˆ ˆ Mψ = ( A + B)ψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
则称算符M=A+B 则称算符 算符的加法满足交换律与结合律, 即有: 算符的加法满足交换律与结合律 即有
1 ∂ ∂ 1 ∂2 Y(θ,ϕ) = −λ′Y(θ,ϕ) sinθ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
结论： 为使方程在整个空间内有有限解 结论： 为使方程在整个空间内有有限解 ① +1)的值 λ’只能取=l(l +1)的值
λ =λl =l(l +1 h2 l =0,12,3⋅⋅⋅ ) ,
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
4) 算符的乘法 算符的乘法:
ˆˆ ˆ ˆ ˆ Mψ = ABψ = A( Bψ )
若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数 则称算符M=AB 则称算符
注意: 一般说来算符的乘法并不满足交换律. 注意 一般说来算符的乘法并不满足交换律 即: AB = BA 以动量算符为例: 以动量算符为例
9
一、厄米算符: 厄米算符:
1) 本征值与本征函数 本征值与本征函数: A) 若有 若有:
ˆ Aun =anun
an为常数
则 an为算符A的本征值 为算符 的本征值, 的本征值 为对应于该本征值的本征函数. 而un为对应于该本征值的本征函数 B) 分立本征值与连续本征值. 分立本征值与连续本征值 有限多个, 无限多个本征值. 有限多个 无限多个本征值 C) 力学量的本征值都应为实数 力学量的本征值都应为实数. D) 简并与非简并 简并度 简并度:
(φ,ψ) = φ ψdτ
*
(φ,ψ
① ②
+∞ * ) = ∫ −∞ (x, y,z)
φ
ψ(x, y,z)dxdydz
2
内积的性质: 内积的性质
( ,ψ) = ∫ψ ψdτ = ∫ψ dτ ≥0 ψ
*
(φ,ψ) = ∫φ* dτ =(∫ψ* dτ )*=( ,φ)* ψ φ ψ
B) 厄米算符 厄米算符: 若对任意函数ψ 算符A满足 满足: 若对任意函数ψ与ϕ算符 满足
例2：求解算符 ：
1 ∂ ∂ ∂2 1 ˆ L2 = −h2 sinθ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 首先写出该算符的本征值方程为： 解：首先写出该算符的本征值方程为： ˆ L2Y(θ,ϕ) =
m m m
ˆ (um, Aun) = an(um,un) * am =am
am(um,un) = an(um,un)
(am −an)(um,un) =0
所以必有: 但m≠n 即an≠am 所以必有
* (um,un) = ∫ umund * (un,un) = ∫ umund
其中c为积分常数。后面把它作为归一化系数来处理。 其中 为积分常数。后面把它作为归一化系数来处理。 为积分常数 由标准化条件：单值，连续，有限来确定本征值。 由标准化条件：单值，连续，有限来确定本征值。 要求Φ 要求Φ有限 单值条件要求
i Lzϕ ceh i Lz (ϕ+2π ) =ceh
Lz只能取实数
ˆ ˆ ˆ A(c1ψ 1 + c2ψ 2 ) = Ac1ψ 1 + Ac2ψ 2 = c1φ1 + c2φ2
表示开方, 如:表示开方 乘方等运算的算符 就不是线性算符 表示开方 乘方等运算的算符, 就不是线性算符.
二、线性算符的性质: 线性算符的性质:
1) 单位算符 单位算符: 若对任意函数 任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 2) 算符的相等 算符的相等: 若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数 3) 算符的加法 算符的加法: 若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数
α = x, y, z. β = x, y, z.
这是量子力学的基本对易关系. 这是量子力学的基本对易关系
三、力学量算符的具体表示形式: 力学量算符的具体表示形式:
1) 两类力学量 两类力学量: A) 可以在经典力学中找到相应的对应量的力学量 可以在经典力学中找到相应的对应量的力学量. 找到相应的对应量的力学量 动量, 角动量, 如: 动量 角动量 …... B) 在经典力学中找不到相应的对应量的力学量. 在经典力学中找不到相应的对应量的力学量 找不到相应的对应量的力学量 自旋, 宇称, 如: 自旋 宇称 …...
∫ ∫
0
π
2π
0
Ylm(θ,ϕ) sin θdθdϕ =1
2
Nlm
=(−1 m )
2l +1(l −m)! 4 (l +m)! π
2) 厄米算符 厄米算符: A) 内积 或称标量积 内积(或称标量积 或称标量积):
∫ 定义: 函数ψ 内积为: 定义 函数ψ与ϕ的内积为 这里∫...dτ指对体系的全部空间坐标进行积分, 这里∫... τ指对体系的全部空间坐标进行积分 dτ是坐标空间的体积元 τ是坐标空间的体积元. 若有φ φ ψ=ψ(x, 则有: 如: 若有φ=φ(x,y,z) ψ=ψ y,z) 则有
n n n * ˆ (Aum,un) = am(um,un)
厄米算符函数的正交性 算符函数的正交性: ③ 厄米算符函数的正交性 为厄米算符 的对应于本征值为a 的本征函数, 算符A的对应于本征值为 设un为厄米算符 的对应于本征值为 n的本征函数 ˆ ˆ 则有: 则有 Au = a u Au =a u
②本征函数为球谐函数： 本征函数为球谐函数：
Ylm(θ,ϕ) = NlmPm(cosθ)eimϕ l
締合勒让德多项式（l 阶）： 締合勒让德多项式（
m=0,±1±2⋅⋅⋅±l ,
l +m
Pm( l
1 2)m 2 d ζ ) = l (1−ζ (ζ 2 −1 l ) l +m 2 l! dζ
③归一化： 归一化：
ⅰ) 厄米算符的本征 值必为实数 量子力学中的所有力学 量算符都是厄米算符
ⅱ) 对微观粒子进行 力学量的测量, 每次测 力学量的测量 每次测 只能是该力 得的结果只能是该 得的结果只能是该力 学量算符的所有 的所有本征 学量算符的所有本征 中的一个. 值中的一个
讨论厄米算符的重要性 讨论厄米算符的重要性
问题: 量子力学中的力学量是如何表示的? 问题 量子力学中的力学量是如何表示的
量子力学中的力学量的取值也具有 不确定性吗? 不确定性吗 测不准关系与量子力学的基本原理 之间有什么样的联系? 之间有什么样的联系
在量子力学中描述物理系统的 每一个可观测的力学量都对应一个 线性算符. 线性算符
2011-1-3
∂ ∂ ˆ ˆ ( xpx − px x)ψ = (−ihx + ih x)ψ 即有: 即有 ∂x ∂x ∂ ∂ = −ihx( ψ ) + ih ( xψ ) ˆ ˆ xpx − px x = ih ∂x ∂x ∂ψ ∂ψ + ihψ = −ihx + ihx 量子力学中称算符x 量子力学中称算符 ∂x ∂x 与px不对易 = ihψ ≠ 0
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
2011-1-3
ˆ Aψ = φ
2) 算符的表示 算符的表示:
r ˆ p = −ih∇
r r ˆ r =r
对该算符的表示: 对该算符的表示
力学量算符
Hale Waihona Puke 同一个力学量的算符可以有多种不同的表示. 同一个力学量的算符可以有多种不同的表示 3) 量子力学中的“态”与“力学量”是截然分开的 这是 量子力学中的“ 力学量”是截然分开的, 与经典力学的一个根本不同之处. 与经典力学的一个根本不同之处 力学量: 用算符来描写. 用波函数来描写. 力学量 用算符来描写 态: 用波函数来描写 4) 线性算符 线性算符: ˆ ˆ ψ =φ Aψ 2 = φ 2 A 1 1 若有: 若有 对线性算符总有: 对线性算符总有
ˆ Iψ =ψ 则称算符 I为单位算符 为单位算符. 为单位算符
ˆ ˆ 则称算符A与 相等 相等. Aψ = Bψ 则称算符 与B相等 ˆ ˆ ˆ Mψ = ( A + B)ψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
则称算符M=A+B 则称算符 算符的加法满足交换律与结合律, 即有: 算符的加法满足交换律与结合律 即有
1 ∂ ∂ 1 ∂2 Y(θ,ϕ) = −λ′Y(θ,ϕ) sinθ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
结论： 为使方程在整个空间内有有限解 结论： 为使方程在整个空间内有有限解 ① +1)的值 λ’只能取=l(l +1)的值
λ =λl =l(l +1 h2 l =0,12,3⋅⋅⋅ ) ,
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
4) 算符的乘法 算符的乘法:
ˆˆ ˆ ˆ ˆ Mψ = ABψ = A( Bψ )
若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数 则称算符M=AB 则称算符
注意: 一般说来算符的乘法并不满足交换律. 注意 一般说来算符的乘法并不满足交换律 即: AB = BA 以动量算符为例: 以动量算符为例
9
一、厄米算符: 厄米算符:
1) 本征值与本征函数 本征值与本征函数: A) 若有 若有:
ˆ Aun =anun
an为常数
则 an为算符A的本征值 为算符 的本征值, 的本征值 为对应于该本征值的本征函数. 而un为对应于该本征值的本征函数 B) 分立本征值与连续本征值. 分立本征值与连续本征值 有限多个, 无限多个本征值. 有限多个 无限多个本征值 C) 力学量的本征值都应为实数 力学量的本征值都应为实数. D) 简并与非简并 简并度 简并度:
(φ,ψ) = φ ψdτ
*
(φ,ψ
① ②
+∞ * ) = ∫ −∞ (x, y,z)
φ
ψ(x, y,z)dxdydz
2
内积的性质: 内积的性质
( ,ψ) = ∫ψ ψdτ = ∫ψ dτ ≥0 ψ
*
(φ,ψ) = ∫φ* dτ =(∫ψ* dτ )*=( ,φ)* ψ φ ψ
B) 厄米算符 厄米算符: 若对任意函数ψ 算符A满足 满足: 若对任意函数ψ与ϕ算符 满足
例2：求解算符 ：
1 ∂ ∂ ∂2 1 ˆ L2 = −h2 sinθ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 首先写出该算符的本征值方程为： 解：首先写出该算符的本征值方程为： ˆ L2Y(θ,ϕ) =
m m m
ˆ (um, Aun) = an(um,un) * am =am
am(um,un) = an(um,un)
(am −an)(um,un) =0
所以必有: 但m≠n 即an≠am 所以必有
* (um,un) = ∫ umund * (un,un) = ∫ umund
其中c为积分常数。后面把它作为归一化系数来处理。 其中 为积分常数。后面把它作为归一化系数来处理。 为积分常数 由标准化条件：单值，连续，有限来确定本征值。 由标准化条件：单值，连续，有限来确定本征值。 要求Φ 要求Φ有限 单值条件要求
i Lzϕ ceh i Lz (ϕ+2π ) =ceh
Lz只能取实数
ˆ ˆ ˆ A(c1ψ 1 + c2ψ 2 ) = Ac1ψ 1 + Ac2ψ 2 = c1φ1 + c2φ2
表示开方, 如:表示开方 乘方等运算的算符 就不是线性算符 表示开方 乘方等运算的算符, 就不是线性算符.
二、线性算符的性质: 线性算符的性质:
1) 单位算符 单位算符: 若对任意函数 任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 2) 算符的相等 算符的相等: 若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数 3) 算符的加法 算符的加法: 若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数
α = x, y, z. β = x, y, z.
这是量子力学的基本对易关系. 这是量子力学的基本对易关系
三、力学量算符的具体表示形式: 力学量算符的具体表示形式:
1) 两类力学量 两类力学量: A) 可以在经典力学中找到相应的对应量的力学量 可以在经典力学中找到相应的对应量的力学量. 找到相应的对应量的力学量 动量, 角动量, 如: 动量 角动量 …... B) 在经典力学中找不到相应的对应量的力学量. 在经典力学中找不到相应的对应量的力学量 找不到相应的对应量的力学量 自旋, 宇称, 如: 自旋 宇称 …...
∫ ∫
0
π
2π
0
Ylm(θ,ϕ) sin θdθdϕ =1
2
Nlm
=(−1 m )
2l +1(l −m)! 4 (l +m)! π
2) 厄米算符 厄米算符: A) 内积 或称标量积 内积(或称标量积 或称标量积):
∫ 定义: 函数ψ 内积为: 定义 函数ψ与ϕ的内积为 这里∫...dτ指对体系的全部空间坐标进行积分, 这里∫... τ指对体系的全部空间坐标进行积分 dτ是坐标空间的体积元 τ是坐标空间的体积元. 若有φ φ ψ=ψ(x, 则有: 如: 若有φ=φ(x,y,z) ψ=ψ y,z) 则有
n n n * ˆ (Aum,un) = am(um,un)
厄米算符函数的正交性 算符函数的正交性: ③ 厄米算符函数的正交性 为厄米算符 的对应于本征值为a 的本征函数, 算符A的对应于本征值为 设un为厄米算符 的对应于本征值为 n的本征函数 ˆ ˆ 则有: 则有 Au = a u Au =a u
②本征函数为球谐函数： 本征函数为球谐函数：
Ylm(θ,ϕ) = NlmPm(cosθ)eimϕ l
締合勒让德多项式（l 阶）： 締合勒让德多项式（
m=0,±1±2⋅⋅⋅±l ,
l +m
Pm( l
1 2)m 2 d ζ ) = l (1−ζ (ζ 2 −1 l ) l +m 2 l! dζ
③归一化： 归一化：
ⅰ) 厄米算符的本征 值必为实数 量子力学中的所有力学 量算符都是厄米算符
ⅱ) 对微观粒子进行 力学量的测量, 每次测 力学量的测量 每次测 只能是该力 得的结果只能是该 得的结果只能是该力 学量算符的所有 的所有本征 学量算符的所有本征 中的一个. 值中的一个
讨论厄米算符的重要性 讨论厄米算符的重要性
问题: 量子力学中的力学量是如何表示的? 问题 量子力学中的力学量是如何表示的
量子力学中的力学量的取值也具有 不确定性吗? 不确定性吗 测不准关系与量子力学的基本原理 之间有什么样的联系? 之间有什么样的联系
在量子力学中描述物理系统的 每一个可观测的力学量都对应一个 线性算符. 线性算符
2011-1-3
∂ ∂ ˆ ˆ ( xpx − px x)ψ = (−ihx + ih x)ψ 即有: 即有 ∂x ∂x ∂ ∂ = −ihx( ψ ) + ih ( xψ ) ˆ ˆ xpx − px x = ih ∂x ∂x ∂ψ ∂ψ + ihψ = −ihx + ihx 量子力学中称算符x 量子力学中称算符 ∂x ∂x 与px不对易 = ihψ ≠ 0