力学量与算符

1 ∂ ∂ 1 ∂2 −h2 Y(θ,ϕ) =λY(θ,ϕ) + 2 sinθ 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
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ˆ Aψ = φ
2) 算符的表示 算符的表示:
r ˆ p = −ih∇
r r ˆ r =r
对该算符的表示: 对该算符的表示
力学量算符
Hale Waihona Puke 同一个力学量的算符可以有多种不同的表示. 同一个力学量的算符可以有多种不同的表示 3) 量子力学中的“态”与“力学量”是截然分开的 这是 量子力学中的“ 力学量”是截然分开的, 与经典力学的一个根本不同之处. 与经典力学的一个根本不同之处 力学量: 用算符来描写. 用波函数来描写. 力学量 用算符来描写 态: 用波函数来描写 4) 线性算符 线性算符: ˆ ˆ ψ =φ Aψ 2 = φ 2 A 1 1 若有: 若有 对线性算符总有: 对线性算符总有
ˆ Iψ =ψ 则称算符 I为单位算符 为单位算符. 为单位算符
ˆ ˆ 则称算符A与 相等 相等. Aψ = Bψ 则称算符 与B相等 ˆ ˆ ˆ Mψ = ( A + B)ψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
则称算符M=A+B 则称算符 算符的加法满足交换律与结合律, 即有: 算符的加法满足交换律与结合律 即有
1 ∂ ∂ 1 ∂2 Y(θ,ϕ) = −λ′Y(θ,ϕ) sinθ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
结论： 为使方程在整个空间内有有限解 结论： 为使方程在整个空间内有有限解 ① +1)的值 λ’只能取=l(l +1)的值
λ =λl =l(l +1 h2 l =0,12,3⋅⋅⋅ ) ,
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
4) 算符的乘法 算符的乘法:
ˆˆ ˆ ˆ ˆ Mψ = ABψ = A( Bψ )
若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数 则称算符M=AB 则称算符
注意: 一般说来算符的乘法并不满足交换律. 注意 一般说来算符的乘法并不满足交换律 即: AB = BA 以动量算符为例: 以动量算符为例
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一、厄米算符: 厄米算符:
1) 本征值与本征函数 本征值与本征函数: A) 若有 若有:
ˆ Aun =anun
an为常数
则 an为算符A的本征值 为算符 的本征值, 的本征值 为对应于该本征值的本征函数. 而un为对应于该本征值的本征函数 B) 分立本征值与连续本征值. 分立本征值与连续本征值 有限多个, 无限多个本征值. 有限多个 无限多个本征值 C) 力学量的本征值都应为实数 力学量的本征值都应为实数. D) 简并与非简并 简并度 简并度:
(φ,ψ) = φ ψdτ
*
(φ,ψ
① ②
+∞ * ) = ∫ −∞ (x, y,z)
φ
ψ(x, y,z)dxdydz
2
内积的性质: 内积的性质
( ,ψ) = ∫ψ ψdτ = ∫ψ dτ ≥0 ψ
*
(φ,ψ) = ∫φ* dτ =(∫ψ* dτ )*=( ,φ)* ψ φ ψ
B) 厄米算符 厄米算符: 若对任意函数ψ 算符A满足 满足: 若对任意函数ψ与ϕ算符 满足
例2：求解算符 ：
1 ∂ ∂ ∂2 1 ˆ L2 = −h2 sinθ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 首先写出该算符的本征值方程为： 解：首先写出该算符的本征值方程为： ˆ L2Y(θ,ϕ) =
m m m
ˆ (um, Aun) = an(um,un) * am =am
am(um,un) = an(um,un)
(am −an)(um,un) =0
所以必有: 但m≠n 即an≠am 所以必有
* (um,un) = ∫ umund * (un,un) = ∫ umund
其中c为积分常数。后面把它作为归一化系数来处理。 其中 为积分常数。后面把它作为归一化系数来处理。 为积分常数 由标准化条件：单值，连续，有限来确定本征值。 由标准化条件：单值，连续，有限来确定本征值。 要求Φ 要求Φ有限 单值条件要求
i Lzϕ ceh i Lz (ϕ+2π ) =ceh
Lz只能取实数
ˆ ˆ ˆ A(c1ψ 1 + c2ψ 2 ) = Ac1ψ 1 + Ac2ψ 2 = c1φ1 + c2φ2
表示开方, 如:表示开方 乘方等运算的算符 就不是线性算符 表示开方 乘方等运算的算符, 就不是线性算符.
二、线性算符的性质: 线性算符的性质:
1) 单位算符 单位算符: 若对任意函数 任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 2) 算符的相等 算符的相等: 若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数 3) 算符的加法 算符的加法: 若对任意函数ψ 若对任意函数ψ有: 任意函数
α = x, y, z. β = x, y, z.
这是量子力学的基本对易关系. 这是量子力学的基本对易关系
三、力学量算符的具体表示形式: 力学量算符的具体表示形式:
1) 两类力学量 两类力学量: A) 可以在经典力学中找到相应的对应量的力学量 可以在经典力学中找到相应的对应量的力学量. 找到相应的对应量的力学量 动量, 角动量, 如: 动量 角动量 …... B) 在经典力学中找不到相应的对应量的力学量. 在经典力学中找不到相应的对应量的力学量 找不到相应的对应量的力学量 自旋, 宇称, 如: 自旋 宇称 …...
∫ ∫
0
π
2π
0
Ylm(θ,ϕ) sin θdθdϕ =1
2
Nlm
=(−1 m )
2l +1(l −m)! 4 (l +m)! π
2) 厄米算符 厄米算符: A) 内积 或称标量积 内积(或称标量积 或称标量积):
∫ 定义: 函数ψ 内积为: 定义 函数ψ与ϕ的内积为 这里∫...dτ指对体系的全部空间坐标进行积分, 这里∫... τ指对体系的全部空间坐标进行积分 dτ是坐标空间的体积元 τ是坐标空间的体积元. 若有φ φ ψ=ψ(x, 则有: 如: 若有φ=φ(x,y,z) ψ=ψ y,z) 则有
n n n * ˆ (Aum,un) = am(um,un)
厄米算符函数的正交性 算符函数的正交性: ③ 厄米算符函数的正交性 为厄米算符 的对应于本征值为a 的本征函数, 算符A的对应于本征值为 设un为厄米算符 的对应于本征值为 n的本征函数 ˆ ˆ 则有: 则有 Au = a u Au =a u
②本征函数为球谐函数： 本征函数为球谐函数：
Ylm(θ,ϕ) = NlmPm(cosθ)eimϕ l
締合勒让德多项式（l 阶）： 締合勒让德多项式（
m=0,±1±2⋅⋅⋅±l ,
l +m
Pm( l
1 2)m 2 d ζ ) = l (1−ζ (ζ 2 −1 l ) l +m 2 l! dζ
③归一化： 归一化：
ⅰ) 厄米算符的本征 值必为实数 量子力学中的所有力学 量算符都是厄米算符
ⅱ) 对微观粒子进行 力学量的测量, 每次测 力学量的测量 每次测 只能是该力 得的结果只能是该 得的结果只能是该力 学量算符的所有 的所有本征 学量算符的所有本征 中的一个. 值中的一个
讨论厄米算符的重要性 讨论厄米算符的重要性
问题: 量子力学中的力学量是如何表示的? 问题 量子力学中的力学量是如何表示的
量子力学中的力学量的取值也具有 不确定性吗? 不确定性吗 测不准关系与量子力学的基本原理 之间有什么样的联系? 之间有什么样的联系
在量子力学中描述物理系统的 每一个可观测的力学量都对应一个 线性算符. 线性算符
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∂ ∂ ˆ ˆ ( xpx − px x)ψ = (−ihx + ih x)ψ 即有: 即有 ∂x ∂x ∂ ∂ = −ihx( ψ ) + ih ( xψ ) ˆ ˆ xpx − px x = ih ∂x ∂x ∂ψ ∂ψ + ihψ = −ihx + ihx 量子力学中称算符x 量子力学中称算符 ∂x ∂x 与px不对易 = ihψ ≠ 0
2) A)类力学量算符的表示 类力学量算符的表示: 类力学量算符的表示 经典力学 量子力学 角动量算符: 例: 角动量算符 经典力学 量子力学
r r F = F (r , p ) r r r ˆ ˆ ˆ = F (r , p) = F (r ,−ih∇) F
r r r L=r× p r r r r ˆ ˆ ˆ L = r × p = r × (−ih∇)
但并不是所有算符之间都不对易,地可以说明有 但并不是所有算符之间都不对易 地可以说明有: 地可以说明有
ˆ ˆ ypx − px y = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 量子力学中常定义[ 表示 表示: 量子力学中常定义 ]表示 [ A, B] = AB − BA
用这种方法表示有: 用这种方法表示有
ˆ ˆ [ xα , pβ ] = −ihδαβ
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§1、量子力学中的 力学量与算符
一、算符与线性算符: 算符与线性算符:
1) 算符 算符(operator): 在这里算符是表示对波函数的一种运算 算符是表示对波函数的一种运算. 在这里算符是表示对波函数的一种运算 这种运算在量子力学中常把它称为是把算符 这种运算在量子力学中常把它称为是把算符 作用”到波函数上, “作用”到波函数上 这种作用的结果是得到 了另外一个波函数. 了另外一个波函数 用数学式子可表示为: 用数学式子可表示为
ˆ ( , Aφ) =(Aψ,φ) ψ ˆ
即对厄米算符有: 即对厄米算符有
∫
则称算符 则称算符A 算符 为厄米算符. 为厄米算符
ˆ ˆ ψ*Aφdτ = ∫ (Aψ)* dτ φ
厄米算符的性质: 厄米算符的性质 自己证明) ①厄米算符的和仍为厄米算符. (自己证明 厄米算符的和仍为厄米算符 自己证明 ②厄米算符的本征值必为实数. 厄米算符的本征值必为实数 证明: 以非简并情况为例: 证明 以非简并情况为例 为厄米算符 的对应于本征值为a 的本征函数, 算符A的对应于本征值为 设un为厄米算符 的对应于本征值为 n的本征函数 则有: 则有
ˆ (un, Aun) =(un,anun) = an(un,un) ˆ (Au ,u ) =(a u ,u ) = a*(u ,u )
n n n n n n n n
为厄米算符所以有 但A为厄米算符所以有 为厄米算符所以有: 可 看 到 某 种 一 致 性
ˆ ˆ (Aun,un) =(un, Aun) * * an(un,un) = an(un,un) an =an =实 数