07 随机过程的均方微积分

令Y 1 2T
T T
X
(t )dt , 则均值和方差E[Y
]

mX

2 Y

1 4T 2
T T
T T
CX
(t1
t2 )dt1dt2

1 2T
2T 2T
(1


2T
)CX
(
)d
1 T
2T 0
(1


2T
)[RX
(
)

mX2
]d
本节课小结
若 X (t) 为平稳过程，均值为常数c，
则输出过程均值函数为c(t-a)
5、随机过程的积分变换
2）输出过程的自相关函数
RY (t1,t2 ) E[
t1 a
t2 X (s)X ()dsd]
a

t1 a
t2 E[ X (s) X ()]dsd
a
t1 a
t2 a
bd
a c R(t1, t2 )dt1dt2
5、随机过程的积分变换
若随机过程 {X (t),t T} 在域[a,b]上 均方可积，且输出过程为
t
Y (t) a X (s)ds, a t b
1）输出过程的均值
t
X(t) ()ds Y(t) a
t
mY (t) a mX (s)ds, a t b
如果随机过程 X (t)
是平稳的，且 d 2n RX ( ) 存在，则其n
阶微分也
d 2n 是平稳的，且
R ( X ( n ) )
(1)n
d 2n RX ( ) d 2n
如果随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的，则有
RX ( n)Y ( m)
(
)

E
d n X (t

)[R(t1

t,t2 )

R(t1,t2 )]

R(t1, t2 ) t1
(b) RXY (t1, t2 )

同理，RXY
(t1, t2 )

E[ X
(t1) X
(t2 )]

R(t1, t2 ) t2
对于平稳过程
RXY
( )


dR( ) d ; RYX
( )

dR( ) d
]


,且
lim
n
||
Xn

X
||
0
或表示为
lim
n
E{|
Xn

X
|2}

0
均方收敛的定义
则称 {Xn}均方收敛于X。或者说X是
{X n }的均方极限，记为：
l.i.m
n
Xn

X
或简记为： X n m•s X
由于
P{|
Xn

X
|
}
E{|
Xn


2
X
|2}
则均方收敛一定依概率收敛！
3、均方收敛的主要性质
(1)
l.i.m
n
cn

lim
n
cn

c
(2) l.i.m Z Z n
(3)
l.i.m
n
cn
Z

cZ
均方收敛的主要性质
(4) l.i.m[aX n bYn ] aX bY
(5)E[l.i.mX
n
]

lim
n
E[
X
n
],即
lim
n
E[ X n
X
(t
'k
)(tk 1

tk
)]
n1
b

lim
n 0
k 0
E[ X
(t
'k
)](tk 1

tk
)

E[ X (t)]dt
a
4、均方积分的相关函数
同样条件下
b
d
E[a X (t)dt c X (t)dt]
bd
a c E[ X (t1) X (t2 )]dt1dt2
t1t2
一点 (t1,t2 ) T T上存在。对于平稳过程有：
RX (t1, t2 ) R(t1 t2 ) RX ( )
故：2 RX (t1, t2 )
t1t2
t1 t2 t


d
2 RX ( d 2
)

0
RX (0)
举例：
已知随机过程 X (t) 的相关函数为
t0
左边为普通函数极限，右边为 随机过程极限，该定理表明：均值 运算与极限运算交换顺序。
三、随机过程的均方微分
1、均方微分的定义 2、均方可微的充要条件 3、均方导数的均值 4、含有微分的相关函数
1、均方导数的定义
设X(t)为一随机过程，若存在随机过 程 X '(t),使得对于 t R1 ,有
类似地 SX (n) () 2nSX (); SXY () jSX (); SYX () jSX ()
四、随机过程的均方积分
1、均方积分的定义 2、均方可积的充要条件 3、均方积分的均值 4、均方积分的相关函数
1、均方积分的定义
定义： 设X(t)为一个随机过程，a,b ∈T,且
t 0
lim
t 0
mx
(t

t
)

mx
(t
)
证明：E[Z
2
]


2 Z

{E[Z
]}2

{E[Z
]}2
E{[X (t t) X (t)]2} {E[X (t t) X (t)]}2
4、均值连续性－说明
lim E[X (t t)] E[X (t)] E[l.i.mX (t t)]
[a,b]上均方可积（黎曼可积）。其极限
称为X(t)在区间[a,b]上的均方积分。
记为：ab X (t )dt
即： b
n 1
a
X (t)dt
l.i.m n 0 k 0
X (t 'k )(tk 1 tk )
2、均方可积的充要条件
随机过程X(t)在[a,b]上均方可积的充 要条件是：R(t1, t2 ) 在矩形域 [a,b][a,b] 上均方黎曼可积。
RX ( ) ea2问 X (t) 是否均方连续，均
方可微？
3、均方导数的均值
若随机过程X(t)，t∈T是均方可微的，
则X(t)的这些均方导数的均值存在，
且为 E[ X '(t)] E{l.i.m X (t t) X (t)}
t 0
t
lim E[ X (t h)] E[ X (t)]
X (t t) X (t)
l.i.m
X '(t)
t 0
t
则称X(t)在t点均方可微。且称 X '(t)为 X (t) 点在t点的均方导数。
若对于每一t∈T，X(t)都均方可微， 则称X(t)在T域上均方可微。
2、均方微分（导数）变换
对于区域T上处处可导的随机过程 X (t)
定义
– 设 {X n}为一随机变量序列，X为一个随机变 量，若对任意小的正数 ，恒有：
lim
n
P{|
Xn

X
|
}

0
– 则称{X n} 依概率收敛于随机变量X。
P
lim
n
X
n

X
2、均方收敛的定义
设 {X n} 为一随机变量序列，X为一个随机
变量，若
E[
X
2 n
]

,
E[
X
2
RX
(
s,

)dsd

RXY (t1,t2 )
t2 a
RX
(s,

)d

RYX (t1,t2 )
t1 a
RX
(
s,

)
ds
5、随机过程的积分变换
3）输出过程的协方差函数
CY (t1,t2 )
t1 a
t2 a
C
X
(
s,

)dsd

对于X(t)平稳过程，其协方差函数：
CX (t1, t2 ) CX (t1 t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2 ;
对应就有导数随机过程 X '(t) ，那 么我们称该变换为微分（导数）变 换，很容易验证该变换是线性时不 变的。
X(t)
d
Y (t) X (t)
dt
2、均方可微的充要条件
随机过程X(t)在T上均方可微的充要 条件是：其相关函数 R(t1,t2 )的二阶 导数 2R(t1,t2 ) 对于对角线上的每
t 0
t
d E[ X (t)] dt
均值运算与导数运 算可以交换顺序
4、含有微分的相关函数
若对于每个t∈T，在(t,t)上二阶广义
导数存在，则在 T T 上偏导数
, , R(t1,t2 ) R(t1,t2 ) 2R(t1,t2 )
t1
t2
t1t2
存在且有界。
令：Y (t) X (t)
l.i.m X (t) X
t t0
X (t) m•s X
二、随机过程的均方连续性
1、均方连续的定义 2、均方连续性定理
1、均方连续的定义
定义： 设X(t)为随机过程，若对于 t∈T, l.i.m X (t t) X (t)或者
t 0
lim E{| X (t t) X (t) |2} 0
t 0
则称随机过程X(t)在t点均方连续，如 果对 于任意的t∈T，X(t)都是均方 连续，则称X(t)在T域上均方连续。
2、均方连续性条件
X(t)在时刻t均方连续的充要条件是：
相关函数
R(在t1 , t(2t),t)处连续。
E X (t t) X (t) 2 RX (t t,t t)
P
lim X (t) X
t t0
4、随机过程的极限
均方极限定义：
设随机过程 X (t) 和变量X都有二阶矩，若
lim || X (t) X || 0 或 lim E{| X (t) X |2} 0
t t0
t t0
则称 X (t) 均方收敛于X 或者说X是
X (t)的均方极限，记为：
]

E[ X
]
(6)
lim
n,m
E[
X
nYm
]

E[
XY
],
特别有
lim
n
E[ X
2 n
]

E[
X
2]
4、随机过程的极限
概率极限定义 – 设 X (t) 为一随机过程，X为一个随机
变量，若对任意小的正数 ，恒有：
lim P{| X (t) X | } 0
t t0
– 则称 X (t) 依概率收敛于随机变量X。
a t0 t1 L tn b, n 0mkanx1(tk 1 tk ), tk t 'k tk1(k 0,1, 2,L n 39;k )(tk1 tk )
k 0
具有均方极限，则称随机过程在区间
dt n
)
d mY (t)
dt m


(1)m
d nm RX ( d nm
)
5、导数过程Y(t)的功率谱
RYY ( )

d2
d 2
RX ( )
SY ()

RY
(
)e
j
d

d2
d 2
RX ( )e j d
( j)2 SX () 2SX ()
第六讲：随机过程的均方微积分
主讲人：张有光
主要内容
一、随机变量序列的均方收敛 二、随机过程的均方连续性 三、随机过程的均方微分 四、随机过程的均方积分
一、随机过程的均方收敛
1、依概率收敛的定义 2、均方收敛的定义 3、均方收敛的主要性质 4、随机过程地极限
1、依概率收敛的定义
RYY
(t1, t2 )

E[Y
(t1 )Y
(t2 )]

RYX (t1, t2 t2
)
RXY (t1, t2 ) 2RXX (t1, t2 )
t1
t1t2
对于平稳过程
RYY ( )

d2
d 2
RX ( )
(d) n阶导数
X (n) (t )

d n X (t ) dt n
(a) RYX (t1, t2 )
RYX (t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]

E{l . i . m[ t 0
X
(t1

t) t

X
(t1
)
]X
(t2
)}

lim (
t 0
1 t
)
E[
X
(t1

t
)
X
(t2
)

X
(t1
)
X
(t2
)]

1 lim ( t0 t
RX (t t,t) RX (t,t t) RX (t,t)
平稳过程
E X (t t) X (t) 2 2RX (0) RX (t)
3、均值连续性
若随机过程 X (t) 均方连续，则其均 值函数 E[X (t)] 必定连续，即
lim E[X (t t)] E[X (t)]
随机过程均方黎曼积分的性质取决 于它的自相关函数的普通黎曼积分 的性质。
3、均方积分的均值
若随机过程X(t)在[a,b]及[c,d]上均 方可积，则有
b
b
E[a X (t)dt] a E[ X (t)]dt
b
n 1
E[
a
X
(t )dt ]

E[l.i .m n 0
k 0
t1 t2 , RXY ( ) | 0 E[ X (t) X (t)]
E[ X (t) X (t)] RYX ( ) | 0
也即：
dR( ) d
| 0
dR( ) d
| 0
RYX
( )
| 0
0
这说明在同一时刻是互不相关。
(c) RYY (t1, t2 )