fourier变换fourier分析概述

与傅里叶变换有关的还有很多的结论，并且如同上述几个定理，它们 在微积分意义下仍然严格成立，其中包括卷积公式等，由于广义函数的傅 里叶变换下这些结论也成立，因此我们把这个放到后面说明。
2 傅里叶分析，傅里叶变换
5
另外广义函数与D中的函数之积为一个广义函数，定义如下：t(x)是一个广 义函数，h(x) ∈ D, g(x) ∈ S, 则
< t(x)h(x), g(x) >=< t(x), h(x)g(x) >
定义广义函数t(x)的导数t′ (x)为：
′
′
< t (x), g(x) >= − < t(x), g (x) >
C 是实数域上的复数向量空间，即复数系。 S为一函数向量空间，满足以下两个条件：
1 预备说明
4
（1）g(x) 可无限求导，即对任意整数n与任意x,g(n)(x)均存在。
（2）在无限远处g(x)比
1 x
的任意次幂都衰减的快，即
lim xng(x)
x→∞
D为局部可积的函数f 的向量空间，在无限远处其增长慢于x的某次幂。
的）。为了方便，我们记由(4) 给出的F 为F = (f )，以及f = −1(F )。注
意这只是我们的一个记法，但 , −1 不一定互为逆变换，下面我们要证的
就是他们互为逆变换。
考虑A ∈ R,
∫A
(∫ ∞
)
J(x, A) =
dωei2πxω
f (t)e−i2πωtdt
∫−∞A
−∞
sin 2A(x − t)π
2.4.2 广义函数的卷积（与乘积） . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 总结
12
1 预备说明
3
1 预备说明
1.1 积分理论
有关勒贝格测度以及勒贝格函数的概念可以在任何一本实变函数的书 上找到，我们在这里提两点我们需要的概念和结论
1. 阶梯函数与勒贝格函数空间L(I)的概念，无界区间上的勒贝格函数
考虑上面傅里叶级数的其他情况：如果f不是[−π, π]上而是[−l, l]上的函
数，我们就会有
1 f (x) =
∑ ∞ (∫ l
)
f
(s)e−i
nπs l
ds
ei
nπx l
2l n=−∞
−l
观察l
→
∞
的情况我们自然可以考虑 ∫∞
F (ω) =
f (t)e−i2πωtdt
(4)
∫
−∞ ∞
f (t) =
证明 注意到
|f (t)e−i2πωt| ≤ |f (t)|
由|f (x)| ∈ L(R)，有
∫
∫
|f (t)e−i2πωt|dt ≤ |f (t)|dt < ∞
R
R
由此傅里叶变换的存在性得证。
此时当积分的存在性得以保证的时候，我们还不清楚的是：由(4),(5)给出
的两个变换是否互为逆变换（当然对于充分优的条件下，这个是不难证明
b
−∞
当a → +∞, b → −∞这两个极限过程相互独立的时候也收敛。 因此我们 确实得到了,至少对于f ∈ S，也就是在无穷远以超越任何x的次幂趋于0， 在R上绝对可积函数f，成立下面公式
f = −1( (f ))
顺便还容易根据上面的公式发现，
f (−t) = ( (f ))(t)
但是遗憾的是，我们现在所能讨论的函数f 的范围仍然是非常狭窄的，即使 连最简单的函数如：f = sin x, f = 1, f = cos x 这些我们都不能对它做傅里 叶变换，以至于使用价值很小。 将这结论推广是十分有必要的。
将积分拆成三部分：
∫ −X
∫X
∫∞
|F (ω + h) − F (ω)| ≤ |
|+| |+| |
−∞
−X
X
由于|f
|
∈
L(R)，故由∫−∞∞
|f (x)|dx，可以得到|
∫ −X
−∞
|,
|
∫∞
X
|
≤
ε，再取充分
小的h 使得|e−i2πht − 1| ≤ ε, 从而
|F (ω + h) − F (ω)| ≤ 3ε
dnF (ω) dωn
=
(−2πi)n
[tnf (t)]
对称的有导数的变换的相应的定理：
5. 导数的变换 如果F = (f ), |f | ∈ L(R), |f ′(t)| ∈ L(R)，则
′
2πiωF (ω) = (f (t))
关于傅里叶变换的导数以及导数的变换，只需注意到在定理条件下微 分与积分可以交换次序就能证明上述两个定理，此处不再赘述。
5
2.1 傅里叶级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 傅里叶变换的存在性，可逆性 . . . . . . . . . . . . . . 6
定理得证！
4. 傅里叶变换的微分 如果|f | ∈ L(R)，且|tf (t)| ∈ L(R)，则f (t)的傅里叶 变换在每个点ω ∈ R 处均有一个有界导数，且为
dF (ω) = −2πi [tf (t)]
dω 并且重复使用上述结论有：如果|f | ∈ L(R)，且|tnf (t)| ∈ L(R)，则f (t)的 傅里叶变换在每个点ω ∈ R 处均有n 阶导数，且为
+
bn sin nx)
(1)
n=1
其中系数被确定为：
1∫ π
am = π
f (x) cos mxdx
−π
(m = 0, 1, · · · )
(2)
同样，用sin mx乘展开式(1)后再积分，可以得到正弦的系数：
1∫ π
bm = π
f (x) sin mxdx
−π
(m = 1, 2, · · · )
(3)
< t(x), g(x) >= z
注意这里t(x)不一定表示一个函数，即不一定对每个实数x都有一个值t（x） 与之相对应。相反，它是一个算符，把它作用于g(x) ∈ S，即得以相应的复 数z。 另外必须要着重提出的是如何定义两个广义函数相等： 两个广义函数相等 当且仅当两广义函数t1(x), t2(x)之差为零广义函数时， 这两个广义函数看做相等。 即
2.2.2 傅里叶变换的一些基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 广义函数的傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 广义函数的傅里叶变换的定义 . . . . . . . . . . . . . . 9
∀a, b ∈ C, g1(x), g2(x) ∈ S
< t1(x) + t2(x), g(x) > = < t1(x), g(x) > + < t2(x), g(x) >
lim < t(x), gn(x) > = < t(x), g(x) >
n→∞
if lim gn(x) = g(x) n→∞
< at(x), g(x) > = a < t(x), g(x) > ∀a ∈ C
F (ω)ei2πωtdω
(5)
−∞
2.2.1 傅里叶变换的存在性，可逆性
上 述 两 个 积 分 在 某 些 情 况 下 是 收 敛（有 意 义）的， 我 们 把F (ω)称 为f (t)的傅里叶变换，f (t) 称为F (ω) 的傅里叶反变换。 下面我们就来讨论 上述积分的收敛性问题：
存在条件 如果函数f在整来自百度文库实数域是绝对可积的，则其傅里叶变换存在， 且其变换是一致有界的。
2.3.2 广义函数的傅里叶变换的性质 . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 常义函数下的卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. 黎曼引理 这在非广义傅里叶变换中是贯穿始终的一个重要引理， 我们在此重述（但略过证明）
1. 黎曼引理 如果函数g(t)在一个有限区间[a, b]上绝对可积，则
∫b
lim g(t) sin ptdt = 0
p→∞
∫
a b
lim g(t) cos ptdt = 0
p→∞ a
1.2 广义函数理论
给定两个（可能是复的）函数f (x), g(x)，考虑如下积分： ∫∞ f (x)g(x)dx
1
目录
2
目录
1 预备说明
3
1.1 积分理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 广义函数理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 傅里叶分析，傅里叶变换
−∞
当这积分存在时，称为f,g的内积，并记为 ∫∞
< f (x), g(x) >= f (x)g(x)dx
−∞
容易知道，上述定义的内积满足一般有限维内积的大部分性质：线性性， 可交换性，加法可分配性，结合性（可将这内积视为无穷维的向量空间的 内积）。 现在我们将内积的定义再加以推广，并由此来定义广义函数：考虑 三个向量空间集合S, D, C。他们是这样定义的：当g ∈ S, f ∈ D时，其内积 存在并由之产生空间C 中的一个元素。这三个集合的详细说明如下：
我们知道，上述定义的导函数，当黎曼积分存在时，广义函数t(x)的导数也 就是在它在相应点处的微分。
2 傅里叶分析，傅里叶变换
2.1 傅里叶级数
假定函数f (x)在区间[−π, π]上按常义或非常义可积；在后一情形，我 们补充假定函数绝对可积。 设下述展开式成立
f (x)
=
a0 2
+
∑ ∞ (an cos nx
我们称(2)和(3)为欧拉――傅里叶公式，用这公式算出的系数成为已给函数 的傅里叶系数，用这些系数做成的三角级数(1)成为已给函数的傅里叶级 数。 将上述三角展开写成复数形式：
∑ ∞
f (x) =
cneinx
n=−∞
其中
cn
=
1 2π
∫π
−π
f (t)e−intdt
2 傅里叶分析，傅里叶变换
6
2.2 傅里叶变换
=
dtf (t)
(6)
−∞
(x − t)π
2 傅里叶分析，傅里叶变换
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根据黎曼引理以及熟知的等式
∫ +∞ sin x
π
dx =
0
x
2
我们可以得到f (x) = limA→∞ J(x, A)，再由适当条件下的积分收敛性，也
就是不需要取柯西主值，积分
∫a
(∫ ∞
)
dωei2πxω
f (t)e−i2πωtdt
即存在实数X，正整数n使得
∫X |f (x)|dx < ∞
−X
f (x)
lim
=0
x→∞ xn
对集合S，D，C而言，内积可以看成是一外部合成法则。 它从集合S中取出 一个元素（函数），将其与D 中的一个元素集合，产生第三个元素，该元素 属于集合C，这些集合定义的方式将保证内积始终存在。 这三个集合将会贯 穿文章始末。 现在扩大概念来定义广义函数。 广义函数t(x)是从空间S到复 数集的一种连续线性映射，记为
F ourier分析，F ourier变换理论概述
龙子超 2013 年 5 月 28 日
摘要 首先声明本文作者并没有新的结论。 确切的说，这只是一篇读书报告。Fourier 分析是近代数学各个分支中 应用的最多的一个分支，同傅里叶变换有连系的领域之多是惊人的，但是 傅里叶变换却往往是数学系高年级的课程，深入全面的学习傅里叶变换需 要很多的预备知识。 本文的目的在于，只引用少量新的概念，从理论上简 单介绍并验证傅里叶分析，傅里叶变换及其应用。
< t1(x) − t2(x), g(x) >= 0
根据上面的定义我们得到，如果两个函数t1(x), t2(x) ∈ D那么，t1(x) = t2(x) 当且仅当t1(x), t2(x)几乎处处相等。（允许有离散的一些点处两函数不 相等。 上述广义函数我们要求满足如下性质：
< t(x), ag1(x) + bg2(x) > = a < t(x), g1(x) > +b < t(x), g2(x) >
2 傅里叶分析，傅里叶变换
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连续性的证明
∫∞
∫∞
F (ω + h) − F (ω) =
f (t)e−i2π(ω+h)tdt −
f (t)e−i2πωtdt
∫−∞∞
−∞
=
f (t)e−i2πωt(e−i2πht − 1)dt
(7)
−∞
对任意小的正实数ε，取充分大的X（而h的大小是在X确定之后才确定的）
2.2.2 傅里叶变换的一些基本性质
我们先在这样的框架之下证明几个结论，这对于之后的傅里叶变换的 推广有很重要的作用： 2. 无穷大特性 如果|f | ∈ L(R)，则在绝对值范数意义下有
lim F (ω) = 0
ω→∞
这一定理只需用到之前的黎曼引理就能证明，此处略过。 3. 连续性 如果|f | ∈ L(R)，则f的傅里叶变换在整个区间R上是一致连续 的。