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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

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2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。

2009年江西省高考数学试卷(理科)问题详解与解析汇报

2009年江西省高考数学试卷(理科)问题详解与解析汇报

2009年某某省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2009•某某〕假如复数z=〔x2﹣1〕+〔x﹣1〕i为纯虚数，如此实数x的值为〔〕A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【考点】复数的根本概念．【专题】计算题．【分析】复数z=〔x2﹣1〕+〔x﹣1〕i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．【解答】解：由复数z=〔x2﹣1〕+〔x﹣1〕i为纯虚数，可得x=﹣1应当选A．【点评】此题考查复数的根本概念，考查计算能力，是根底题．2．〔5分〕〔2009•某某〕函数的定义域为〔〕A．〔﹣4，﹣1〕B．〔﹣4，1〕C．〔﹣1，1〕D．〔﹣1，1]【考点】对数函数的定义域；函数的定义域与其求法．【专题】计算题．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，应当选C．【点评】此题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．3．〔5分〕〔2009•某某〕全集U=A∪B中有m个元素，〔∁U A〕∪〔∁U B〕中有n个元素．假如A∩B非空，如此A∩B的元素个数为〔〕A．mnB．m+nC．n﹣mD．m﹣n【考点】Venn图表达集合的关系与运算．【专题】数形结合．【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析〔如解法一〕，也可以利用德摩根定理解决〔如解法二〕．【解答】解法一：∵〔C U A〕∪〔C U B〕中有n个元素，如下列图阴影局部，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵〔C U A〕∪〔C U B〕=C U〔A∩B〕有n个元素，又∵全集U=A∪B中有m个元素，由card〔A〕+card〔C U A〕=card〔U〕得，card〔A∩B〕+card〔C U〔A∩B〕〕=card〔U〕得，card〔A∩B〕=m﹣n，应当选D．【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质与运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：①〔C U A〕∪〔C U B〕=C U〔A∩B〕②〔C U A〕∩〔C U B〕=C U 〔A∪B〕③card〔A∪B〕=card〔A〕+card〔B〕﹣card〔A∩B〕等．4．〔5分〕〔2009•某某〕假如函数，如此f〔x〕的最大值是〔〕A．1B．2C．D．【考点】同角三角函数根本关系的运用．【分析】先对函数f〔x〕=〔1+tanx〕cosx进展化简，再根据x的X围求最大值．【解答】解：f〔x〕=〔1+tanx〕cosx=cosx+sinx=2sin〔x+〕∵0≤x，∴≤x+∴f〔x〕∈[1，2]应当选B．【点评】此题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进展化简再求值，这里一定要注意角的取值X围．5．〔5分〕〔2009•某某〕设函数f〔x〕=g〔x〕+x2，曲线y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1，如此曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处切线的斜率为〔〕A．4B．﹣C．2D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】欲求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处切线的斜率，即求f′〔1〕，先求出f′〔x〕，然后根据曲线y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1求出g′〔1〕，从而得到f′〔x〕的解析式，即可求出所求．【解答】解：f′〔x〕=g′〔x〕+2x．∵y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1，∴g′〔1〕=2，∴f′〔1〕=g′〔1〕+2×1=2+2=4，∴y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处切线斜率为4．应当选：A．【点评】此题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于根底题．6．〔5分〕〔2009•某某〕过椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，假如∠F1PF2=60°，如此椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为〔﹣c，〕或〔﹣c，﹣〕，∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=〔a2﹣c2〕．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣〔舍去〕．应当选B．【点评】此题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的根底知识和分析推理的能力．7．〔5分〕〔2009•某某〕〔1+ax+by〕n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，如此a，b，n的值可能为〔〕A．a=2，b=﹣1，n=5B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6D．a=1，b=2，n=5【考点】二项式系数的性质．【分析】据〔1+ax+by〕n展开式中不含x的项是n个〔1+ax+by〕都不出ax即〔1+ax+by〕n展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是〔1+by〕n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得．【解答】解：不含x的项的系数的绝对值为〔1+|b|〕n=243=35，不含y的项的系数的绝对值为〔1+|a|〕n=32=25，∴n=5，，将各选项的参数取值代入验证知，a=1，b=2，n=5应当选D．【点评】利用分步乘法原理得展开式中各项的情况．8．〔5分〕〔2009•某某〕数列{a n}的通项a n=n2〔cos2﹣sin2〕，其前n项和为S n，如此S30为〔〕A．470B．490C．495D．510【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3，可化简S30，求出值即可．【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，故S30=〔﹣+32〕+〔﹣+62〕+…+〔﹣+302〕=∑[﹣+〔3k〕2]=∑[9k﹣]=﹣25=470应当选A【点评】考查学生会求数列的和，掌握三角函数周期的计算方法．9．〔5分〕〔2009•某某〕如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，如此在如下命题中，错误的为〔〕A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间点、线、面的位置．【专题】空间位置关系与距离．【分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接交AB于P，如此P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如下列图，显然OB与平面ACD不平行．如此答案B不正确．对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，应当选：B．【点评】此题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、二面角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．10．〔5分〕〔2009•某某〕为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一X卡片，集齐3种卡片可获奖，现购置该食品5袋，能获奖的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】3种不同的卡片分别编号1、2、3，购置该食品5袋，能获奖的情况有两种①〔5X 中有3X一样的〕12311；12322；12333；②〔5X中有2X一样的〕12312；12313；12323，且两事件互斥，根据概率的加法公式可求【解答】解析：获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333；②12312；12313；12323．①P1=，②P2=，∴P=P1+P2==．应当选D【点评】此题主要考查了古典概率的计算，在试验中，假如事件的发生不只一种情况，且两事件不可能同时发生，求解概率时，利用互斥事件的概率求解．还要熟练应用排列、组合的知识．11．〔5分〕〔2009•某某〕一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径〞，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率〞，下面四个平面区域〔阴影局部〕的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，如此如下关系中正确的为〔〕A．τ1＞τ4＞τ3＞τ2B．τ3＞τ4＞τ1＞τ2C．τ4＞τ2＞τ3＞τ1D．τ3＞τ2＞τ4＞τ1【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意设出边长，求出四个图形的直径，四个图形的周长，计算它们的比值，即可比拟大小．【解答】解：由题意，设图形的边长或直径为a，如此第一个图的直径为a，后三个图形的直径都是a，第一个封闭区域边界曲线的长度为4a，所以t1=，第二个封闭区域边界曲线的长度为×2，所以t2==π；第三个封闭区域边界曲线的长度为a+2×+2×2×=3a，所以t3==3，第四个封闭区域边界曲线的长度为2a，所以t4==2，所以τ4＞τ2＞τ3＞τ1应当选C．【点评】此题是中档题，考查具体图形的周长的求法，考查计算能力，考查发现问题解决问题的能力．12．〔5分〕〔2009•某某〕设函数的定义域为D，假如所有点〔s，f〔t〕〕〔s，t∈D〕构成一个正方形区域，如此a的值为〔〕A．﹣2B．﹣4C．﹣8D．不能确定【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型；计算题；压轴题．【分析】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数．至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域〞的条件．【解答】解：由题意可知：所有点〔s，f〔t〕〕〔s，t∈D〕构成一个正方形区域，如此对于函数f〔x〕，其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，f〔x〕的定义域为ax2+bx+c≥0的解集，设x1、x2是方程ax2+bx+c=0的根，且x1＜x2如此定义域的长度为|x1﹣x2|==，而f〔x〕的值域为[0，]，如此有，∴，∴a=﹣4．应当选B．【点评】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答的过程当中充分表现了问题转化的思想、解方程的思想以与运算的能力．值得同学们体会反思．二.填空题：本大题共4小题，每一小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上13．〔4分〕〔2009•某某〕向量=〔3，1〕，=〔1，3〕，=〔k，7〕，假如〔〕∥，如此k=5．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量与应用．【分析】由题意可得=〔3﹣k，﹣6〕，由〔〕∥，可得〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，解出k 值．【解答】解：由题意可得=〔3﹣k，﹣6〕，∵〔〕∥，∴〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，∴3﹣k=λ，﹣6=3λ，解得k=5，故答案为5．【点评】此题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，是解题的关键．14．〔4分〕〔2009•某某〕正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，假如A，B两点的球面距离为π，如此正三棱柱的体积为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】由中正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，假如A，B两点的球面距离为π，我们易求出∠AOB的大小，进而求出棱柱底面棱长，进而求出棱柱的高和底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球又∵A，B两点的球面距离为π，故∠AOB=90°，又∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2，如此△ABC的外接圆半径为如此O点到平面ABC的距离为∴正三棱柱高h=，又∵△ABC的面积S=∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S•h=8．故答案为：8【点评】此题考查的知识点是棱柱的体积公式，球内接多面体，其中根据条件计算出棱柱的底面面积和高是解答此题的关键．15．〔4分〕〔2009•某某〕假如不等式≤k〔x+2〕﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，如此k=．【考点】其他不等式的解法．【专题】压轴题．【分析】此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破．【解答】解：设y1=，y2=k〔x+2〕﹣，如此在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示y1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半局部，y2图象为过定点A〔﹣2，﹣〕的直线．据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合．观察图形，结合题意知b=3，又b﹣a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，代入y1==2，所以N〔1，2〕由直线过定点A知直线斜率k==．故答案为：．【点评】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系．根本思路是：①构造函数f〔x〕〔或f〔x〕与g〔x〕〕，②作出f〔x〕〔或f〔x〕与g〔x〕〕的图象，③找出满足题意的曲线〔局部〕，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点．16．〔4分〕〔2009•某某〕设直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕，对于如下四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n〔n≥3〕，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是BC〔写出所有真命题的代号〕．【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程．【专题】简易逻辑．【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕表示圆x2+〔y﹣2〕2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点〔0，2〕是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n〔n≥3〕，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点〔0，2〕到直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕表示圆x2+〔y﹣2〕2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+〔y﹣2〕2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点〔0，2〕不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M〔0，2〕即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n〔n≥3〕，存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．【点评】此题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+〔y﹣2〕2=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．此题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进展深入分析是发现其意义的捷径．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．〔12分〕〔2009•某某〕设函数f〔x〕=，〔1〕求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕假如k＞0，求不等式f′〔x〕+k〔1﹣x〕f〔x〕＞0的解集．【考点】函数的单调性与单调区间；简单复合函数的导数；不等式．【分析】〔1〕对函数f〔x〕进展求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．〔2〕将f'〔x〕代入不等式即可求解．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=∴由f'〔x〕=0，得x=1，因为当x＜0时，f'〔x〕＜0；当0＜x＜1时，f'〔x〕＜0；当x＞1时，f'〔x〕＞0；所以f〔x〕的单调增区间是：[1，+∝〕；单调减区间是：〔﹣∞，0〕，〔0，1]〔2〕由f'〔x〕+k〔1﹣x〕f〔x〕==＞0，得：〔x﹣1〕〔kx﹣1〕＜0，故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；当k=1时，解集是：φ；当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．【点评】此题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．18．〔12分〕〔2009•某某〕某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进展评审．假设评审结果为“支持〞或“不支持〞的概率都是．假如某人获得两个“支持〞，如此给予10万元的创业资助；假如只获得一个“支持〞，如此给予5万元的资助；假如未获得“支持〞，如此不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．〔1〕写出ξ的分布列；〔2〕求数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量与其分布列．【专题】应用题．【分析】〔1〕ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30，然后根据相互独立事件的概率公式解之，得到分布列；〔2〕利用数学期望公式Eξ=ξ1×p1+ξ2×p2+ξ3×p3+…+ξn×p n直接解之即可．【解答】解：〔1〕ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30；依此类推；；；所以其分布列为：ξ0 5 10 15 20 25 30P〔2〕∴数学期望Eξ=15【点评】此题主要考查了离散型随机变量的期望以与分布列．同时考查了相互独立事件的概率以与计算能力，属于根底题．19．〔12分〕〔2009•某某〕△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin〔B﹣A〕=cosC．〔1〕求A，C；〔2〕假如S△ABC=，求a，c．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】〔1〕先根据同角三角函数的根本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin〔B﹣A〕=cosC可求出答案．〔2〕先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：〔1〕因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin〔C﹣A〕=sin〔B﹣C〕．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣〔B﹣C〕〔不成立〕即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin〔B﹣A〕=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°〔舍〕，所以A=45°，C=60°．〔2〕由〔1〕知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】此题主要考查同角三角函数的根本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一局部公式比拟多，要强化记忆．20．〔12分〕〔2009•某某〕在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N 〔1〕求证：平面ABM⊥平面PCD；〔2〕求直线CD与平面ACM所成的角的大小；〔3〕求点N到平面ACM的距离．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间向量与应用．【分析】法一：〔1〕要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；〔2〕先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；〔3〕先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．法二：建立空间直角坐标系，〔2〕求出平面ACM的一个法向量，结合然后求出即可．〔3〕先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论．【解答】解：方法一：〔1〕图1依题设知，AC是所作球面的直径，如此AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，如此PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，如此CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD．〔2〕由〔1〕知，AM⊥PD，又PA=AD，如此M是PD的中点可得，如此设D到平面ACM的距离为h，由V D﹣ACM=V M﹣ACD即，可求得，设所求角为θ，如此，．〔3〕可求得PC=6．因为AN⊥NC，由〔7〕，得PN=〔8〕．所以NC：PC=5：9〔9〕．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又因为M是PD的中点，如此P、D到平面ACM的距离相等，由〔2〕可知所求距离为．方法二：〔1〕同方法一；〔2〕如图2所示，建立空间直角坐标系，如此A〔0，0，0〕，P〔0，0，4〕，B〔2，0，0〕，C〔2，4，0〕，D〔0，4，0〕，M〔0，2，2〕；设平面ACM的一个法向量，由可得：，令z=1，如此．设所求角为α，如此，所以所求角的大小为．〔3〕由条件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN•PC，所以，如此，，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h如此，所以所求距离为．【点评】此题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．再用空间向量求线面角时，关键是求出平面的法向量以与直线的方向向量．21．〔12分〕〔2009•某某〕点P1〔x0，y0〕为双曲线〔b为正常数〕上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．〔1〕求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；〔2〕设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q〔x1，y1〕〔y1≠0〕，直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】〔1〕由得，如此直线F2A的方程为：y=﹣〔x ﹣3b〕，令x=0得P2〔0，9y0〕，设P〔x，y〕，如此，由此能求出P的轨迹E的方程．〔2〕在中，令y=0得x2=2b2，设，直线QB的方程为：，直线QD的方程为：，如此M〔0，〕，N〔0，〕，由此能导出以MN为直径的圆过两定点〔﹣5b，0〕，〔5b，0〕．【解答】解：〔1〕由得，如此直线F2A的方程为：y=﹣〔x﹣3b〕，令x=0得y=9y0，即P2〔0，9y0〕，设P〔x，y〕，如此，即代入得：，即P的轨迹E的方程为．〔2〕在中令y=0得x2=2b2，如此不妨设，于是直线QB的方程为：，∴直线QD的方程为：，如此M〔0，〕，N〔0，〕，如此以MN为直径的圆的方程为：，令y=0得：，而Q〔x1，y1〕在上，如此，于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点〔﹣5b，0〕，〔5b，0〕．【点评】此题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点．解题时要认真审题，熟练掌握圆锥曲线的性质，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进展等价转化．22．〔14分〕〔2009•某某〕各项均为正数的数列{a n}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．〔1〕当时，求通项a n；〔2〕证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．【考点】数列与不等式的综合．【专题】综合题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】〔1〕由，令m=1，p=2，q=n﹣1，并将代入化简，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项；〔2〕记为b m+n，如此，考察函数，如此在定义域上有，从而对n∈N*，b n+1≥g〔a〕恒成立，结合，即可得证．【解答】〔1〕解：由得．将代入化简得．所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，从而，即．〔2〕证明：由题设的值仅与m+n有关，记为b m+n，如此．考察函数，如此在定义域上有故对n∈N*，b n+1≥g〔a〕恒成立又，注意到，解上式得，取，即有．【点评】此题考查数列递推式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．。

2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)

2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。

高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)

高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)

高考数学压轴题系列训练一（含答案及解析详解）1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n ab b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。

2009年高考数学试题

2009年高考数学试题

2009年高考数学试题2009年高考数学试题是中国高考中的一套数学试题，该试题对考生的数学知识和解题能力进行了全面考察。

下面将对2009年高考数学试题进行逐题分析和解答，以帮助考生更好地理解和应对类似的数学考试题目。

一、选择题1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，若f(ax^2 - bx + 1) = 0恰好有一个实数根，则实数a和b的乘积为多少？解答：首先代入f(ax^2 - bx + 1) = 0，得到3(ax^2 - bx + 1)^2 +2(ax^2 - bx + 1) - 1 = 0。

展开并整理得到3a^2x^4 - (6ab - 2a)x^3 + (2a^2 - 2)b^2x^2 + (2a^2 - 2b - 2)x + (3a^2 + 2a - 1) = 0。

由于方程有一个实数根，根据实根系数定理可知系数a^2大于等于0，故3a^2 + 2a - 1 = 0。

解此方程得到a = 1/3或a = -1。

考虑a = 1/3的情况，将3ax^2 - bx + 1带入f(x) = 0得到3(1/3x^2 -bx + 1)^2+ 2(1/3x^2 - bx + 1) - 1 = 0，化简后得到x^2 - 9bx + 25 = 0。

由于方程有一个实数根，根据判别式可知b^2 - 4ac = (-9b)^2 - 4(1)(25) =81b^2 - 100 ≥ 0。

解此不等式得到 -10/9 ≤ b ≤ 10/9。

因此，当a = 1/3时，b的取值范围为[-10/9, 10/9]。

考虑a = -1的情况，将-3x^2 - bx + 1带入f(x) = 0得到3(-x^2 - bx + 1)^2 + 2(-x^2 - bx + 1) - 1 = 0，化简后得到x^2 + 5bx + 6 = 0。

由于方程有一个实数根，根据判别式可知b^2 - 4ac = (5b)^2 - 4(1)(6) = 25b^2 - 24≥ 0。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷压轴题精华汇编(最新)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷压轴题精华汇编(最新)

全面汇编2009高考数学压轴之精华，使145分的冲刺更具科学性、高效性、前瞻性和预测性。

——如此：试卷的新度、难度、准度与2010高考十分接近，预测的准确性自不待言，堪称高考“胜”卷！【全国卷II. 理科】22. （本小题满分12分）设函数()2()ln 1f x a x ＝x ＋＋有两个极值点1212x x x x ，，且＜。

（Ⅰ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：212ln 2()4f x －＞。

2/2//1212121,2122()1)1()22(1)11211(1)000,)221()02()01()0()),),()x x ax x x g x x x a x g a a g x x x x x x x x x f x x x x ++=>-+=++>-⎧--⎪⎪-><<⎨⎪⎪-<⎩>-<<><<<+∞=-解：（Ⅰ）因为，（ 所以设〉依题意，由得，所以的取值范围为（由得或 由得所以的单调增区间为（-1,x 和(x 单调减区间为其中ƒƒƒ21211211,,(0,)222a a x a -+--=∈且 222/2121(121)121()()ln24211212112111()ln ln ln 022221212(121)11()(0,)()22112ln 212ln 2()()()244a a a x h a f x a a a a a h a a a a h a h a a h a h f x -----+===+---+-++=-+=<=---+=->=（Ⅱ）证明：因为，所以设 则 所以在递减，又在处连续－ 所以，即＞【全国卷II.文科】已知椭圆()22220x y C a b a b∶＋＝1＞＞的离心率为33，过右焦点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点，当L 的斜率为1时，坐标原点O 到L 的距离为22。

100测评网2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五

100测评网2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ③ ④当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问③ ④题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列； （II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n ->又()011211nn n n n n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与x =22(0)y px P =>联立消去x ，得2220k y p y p b -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k =所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nnn 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故nnn n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b l n ))1(11l n (l n 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211l n l n 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a欢迎登录《100测评网》 进行学习检测，有效提高学习成绩.方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a 也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令,又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即===================================================================== 适用版本：人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文A 版,语文S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科：语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理适用年级：一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初适用领域及关键字：100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 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2009年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】虚数单位i及其性质．【专题】计算题．【分析】两个复数相乘，类似于单项式乘以多项式的乘法法则，用i去乘以1+i的每一项，得到积，把虚数单位的乘法再算出结果．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i．故选D．【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数的乘方运算，是一个基础题，复数的这种问题通常出现在大型考试的前几个选择和填空中．2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N|x≤5}，则A∩B是（）A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】分别求出集合A中不等式的解集和集合B中解集的自然数解得到两个集合，求出交集即可．【解答】解：集合A中的不等式（2x+1）（x﹣3）＜0可化为或解得﹣＜x＜3，所以集合A=（﹣，3）；集合B中的不等式x≤5的自然数解有：0，1，2，3，4，5，所以集合B={0，1，2，3，4，5}．所以A∩B={0，1，2}故选B【点评】此题考查了集合交集的运算，是一道基础题．3．（5分）（2009•安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故选C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．4．（5分）（2009•安徽）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b【解答】解：∵a＞b且c＞d∴a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，故选A．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．6．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．7．（5分）（2009•安徽）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（﹣1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可．【解答】解：因为直线2x﹣3y+9=0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣，则直线l的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化简得3x+2y﹣1=0故选A【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．8．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．9．（5分）（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]【考点】导数的运算．【专题】压轴题．【分析】利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．【解答】解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故选D．【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A．1 B．C．D．0【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】由题意利用正方体画出三角形并判断出形状和两个三角形的关系，得出所求的事件为必然事件，故求出它的概率．【解答】解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，一种是等腰直角三角形，如图甲．另一种是正三角形如图乙．若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也一定构成正三角形．这是一个必然事件，因此概率为1，故选A．【点评】本题考查了利用正方体定义事件并求出概率，关键画出图形判断出两个三角形的形状和关系．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M 到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】计算题；方程思想．【分析】根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．12．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a 值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前1/第一圈 3 是第二圈7 是第三圈15 是第四圈31 是第五圈63 是第六圈127 否故最后输出的a值为：127故答案为：127【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（5分）（2009•安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．14．（5分）（2009•安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．【考点】向量的共线定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】设=，=，表示出和，由=（+），及=λ+μ，解出λ和μ的值．【解答】解析：设=，=，那么=+，=+，又∵=+，∴=（+），即λ=μ=，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的共线定理的应用，用=和=作为基底，表示出，也表示出λ+μ，利用=λ+μ，解出λ和μ的值．15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的是①④⑤．（写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．【考点】异面直线的判定；命题的真假判断与应用；三垂线定理；棱锥的结构特征．【专题】综合题；压轴题．【分析】结合图形，容易得到①④⑤是正确的，对②③分析判断即可．【解答】解：①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；满足异面直线的定义，正确；②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；所以不正确；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积，显然正确；⑤对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点，是正确的．故答案为：①④⑤【点评】本题考查异面直线，三垂线定理，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，C﹣A=，sinB=．（1）求sinA的值；（2）设AC=，求△ABC的面积．【考点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知C﹣A=和三角形的内角和定理得到A与B的关系式及A的范围，然后两边取余弦并把sinB的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值；（2）要求三角形的面积，根据面积公式S△ABC=AC•BC•sinC中，AC已知，BC和sinC未知，所以要求出BC和sinC，由AC及sinA和sinB的值根据正弦定理求出BC，先根据同角三角函数间的关系由sinA求出cosA，然后由C与A的关系式表示出C，两边取正弦得到sinC与cosA相等，即可求出sinC，根据面积公式求出即可．【解答】解：（1）由C﹣A=和A+B+C=π，得2A=﹣B，0＜A＜．故cos2A=sinB，即1﹣2sin2A=，sinA=．（2）由（1）得cosA=．又由正弦定理，得，•AC=×=3．∵C﹣A=，∴C=+A，sinC=sin（+A）=cosA，∴S△ABC=AC•BC•sinC=AC•BC•cosA=××3×=3．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题．做题时应注意角度的变换．17．（12分）（2009•安徽）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A．将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）画出茎叶图；（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，由于两组数据比较多，注意不要漏掉数字．（2）样本不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．（3）通过观察茎叶图可以看出：品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，得到品种A的亩产稳定性较差．【解答】解：（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，（2）由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．（3）通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；②品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．【点评】本题考查画出茎叶图，考查茎叶图的优点，考查从茎叶图上观察两组数据的平均数和稳定程度，是一个统计的综合题，注意写数据时做到不重不漏．18．（12分）（2009•安徽）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．（1）求a与b；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1与点P．求PF1线段垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）由题意以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．圆心到直线的距离等于半径，以及离心率解得a与b．（2）求出焦点坐标，设出P求出N，再设M、（x，y），利用垂直关系可求得轨迹方程．【解答】解：（1）e=，∴=，又b==，∴a=，b=．（2）由（1）知F1，F2分别为（﹣1，0），（1，0），由题意可设P（1，t），（t≠0）那么线段PF1中点为N（0，），设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（﹣x，﹣y），=（﹣2，﹣t）则，消t得y2=﹣4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，轨迹方程，椭圆的性质等知识，是综合性较强的题目．19．（12分）（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意知a1=S1=4，a n=S n﹣S n﹣1化简可得，a n=4n，n∈N*，再由b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n），可得2b n=b n﹣1知数列b n是等比数列，其首项为1，公比为的等比数列，由此可知数列{a n}与{b n}的通项公﹣1式．（2）由题意知，=．由得，解得n≥3．由此能够导出当且仅当n≥3时c n+1＜c n．【解答】解：（1）由于a1=S1=4当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+2n）﹣[2（n﹣1）2+2（n﹣1）]=4n，∴a n=4n，n∈N*，又当x≥n时，Tn=2﹣b n，∴b n=2﹣T n，b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n﹣1），∴2b n=b n﹣1∴数列b n是等比数列，其首项为1，公比为，∴．（2）由（1）知，=．由得＜1，解得n≥3．又n≥3时，c n＞0恒成立．因此，当且仅当n≥3时c n+1＜c n．【点评】由可求出b n和a n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b n和a n后，进而得到c n，接下来用作商法来比较大小，这也是一常用方法．20．（13分）（2009•安徽）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD内的两点，E′E和F′F都与平面ABCD垂直，（1）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD：（2）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；组合几何体的面积、体积问题．【专题】计算题；证明题；压轴题；分割补形法．【分析】（1）根据EA=ED且EE'⊥平面ABCD证出E'D=E'C，则点E'在线段AD的垂直平分线上，同理证出F'在线段BC的垂直平分线上，再由ABCD是正方形证出结论；（2）根据图形连接EB、EC，由题意证出BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E﹣ABCD和正四面体E﹣BCF，根据条件求出这两个几何体的体积，求V E﹣BCF需要换低求出．【解答】解：（1）∵EA=ED且EE'⊥平面ABCD，∴E'D=E'A，∴点E'在线段AD的垂直平分线上，同理点F'在线段BC的垂直平分线上．又∵ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点E′F′都居线段AD的垂直平分线上，∴直线E′F′垂直平分线段AD．（2）连接EB、EC，设AD中点为M，由题意知，AB=2，∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，∴ME=，BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E﹣ABCD和正四面体E﹣BCF两部分，在Rt△MEE′中，由于ME'=1，ME=，∴EE'=，∴V E﹣ABCD=S正方形ABCD•EE'=×4×=，∵V E﹣BCF=V C﹣BEF=V C﹣BEA=V E﹣ABC=S△ABC•EE'==，∴多面体ABCDEF的体积为V E﹣BCF+V E﹣ABCD=2．【点评】本题是关于线面垂直与组合体体积的求法综合题，利用线面垂直和线段相等证明垂直平分；用分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想，求三棱锥的体积时常用换低来求解，考查了推理论证和逻辑思维能力．21．（14分）（2009•安徽）已知函数，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．（II）由（I）所涉及的单调性来求在区间[1，e2]上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．【解答】解：（I）∵函数，a＞0∴f′（x）=1+﹣，x＞0令t=＞0y=2t2﹣at+1（t≠0）①△=a2﹣8≤0，即：0＜a≤2，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数②△=a2﹣8＞0，即：a＞2，y=0有两个不等根由2t2﹣at+1＞0，得或t＞，又x＞0∴或x＜0或x＞由2t2﹣at+1＜0，得∴综上：①0＜a≤2，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数②a＞2函数f（x）上是增函数，在上是减函数，（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数又f（1）=0，f（2）=2﹣3ln2，f（e2）=e2﹣∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2﹣3ln2，e2﹣]【点评】本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．。

2009年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）log2的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】先将转化成，然后根据对数的运算性质进行求解即可．【解答】解：log2=log22=．故选：D【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是对数运算中常用的公式，属于基础题．2．（5分）（2009•湖南）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（4，0）B．（2，0）C．（1，0）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出p的值，进而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵2p=4⇒p=2，∴，∴抛物线y2=4x的焦点是（1，0），故选C；【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．3．（5分）（2009•湖南）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．4．（5分）（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．++=B．﹣+=C．+﹣=D．﹣﹣=【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项．【解答】解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．故选项为A．【点评】考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则．5．（5分）（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B．16 C．20 D．48【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C42种；不含有甲的选法有C43种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：①含有甲的选法有C21C42种，②不含有甲的选法有C43种，共有C21C42+C43=16（种），故选B．【点评】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业．6．（5分）（2009•湖南）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．【点评】本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．7．（5分）（2009•湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合法．【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，B 存在f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选A．【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形．8．（5分）（2009•湖南）设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数f K（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题中所给的函数定义求出函数函数f K（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案．【解答】解：由f（x）≤得：，即，解得：x≤﹣1或x≥1．∴函数f K（x）=由此可见，函数f K（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，故选C．【点评】本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．10．（5分）（2009•湖南）若x＞0，则x+的最小值为．．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由于x和都是正数，x与的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意检验等号成立条件．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，由基本不等式得：x+≥2，当且仅当x=，即x=时取等号，∴当x=时，x+有最小值为2，故答案为2．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备．11．（5分）（2009•湖南）在的展开式中，x的系数为6．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，的展开式为T r+1=C4r（）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案．【解答】解：根据题意，的展开式为T r+1=C4r（）r；当r=2时，有T3=C42（）2=6x；故答案为：6．【点评】本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．12．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120．【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．13．（5分）（2009•湖南）过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，又OA=a，OF=c，∴==cos60°=，∴=2．故答案为2【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．14．（5分）（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC 和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围．15．（5分）（2009•湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=，y=．【考点】相等向量与相反向量．【专题】压轴题；待定系数法；数形结合法．【分析】设，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值．【解答】解∵，又，∴，∴．又∵，∴．设，则由题意知：．又∵∠BED=60°，∴，显然与的夹角为45°．∴由得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．同理，在中，两边同时乘以，由数量积公式可得：y=，故答案为：1+，．【点评】本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．（2）由||=||化简得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．【解答】解：（1）∵∥∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ即4sinθ=cosθ∴tanθ=（2）由||=||∴sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=﹣1故有sin（2θ+）=﹣又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）∴2θ+=π或2θ+=π∴θ=或θ=π【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．17．（12分）（2009•湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（I）由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率．（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（I）3名工人独立地从中任选一个项目参与建设设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C．则，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．P（X=0）=；；；．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目．18．（12分）（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证平面A1DE⊥平面ACC1A1，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE 内一直线与平面ACC1A1垂直，而根据DE⊥AA1而DE⊥AE．AA1∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC1A1；（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，在三角形ADF中求出此角即可．【解答】解：（1）如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1．（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，因为DE⊥平面ACC1A1．所以DE⊥AC，而△ABC是边长为4的正三角形，所以AD=2，AE=4﹣CE=4﹣CD=3，又因为AA1=，所以A1E===4，AF==，所以sin∠ADF==，故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．19．（13分）（2009•湖南）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x==2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，所以，于是b=﹣6（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x3﹣6x2+cxf′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值．因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2．于是g（t）的定义域为（2，+∞）．由f′（t）=3t2﹣12t+c=0得c=﹣3t2+12t．于是g（t）=f（t）=t3﹣6t2+ct=﹣2t3+6t2，t∈（2，+∞）．当t＞2时，g′（t）=﹣6t2+12t=6t（2﹣t）＜0所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，故g（t）的值域为（﹣∞，8）【点评】考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．20．（13分）（2009•湖南）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆C的方程为．由于以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可得b=c，=8，a2=b2+c2即可得出．（2）椭圆C的左准线方程为：x=﹣4．设直线l的方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0）．与椭圆的方程联立化为（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，由△＞0，解得．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得y0，x0≤0，可得点G不可能在y轴的右边．直线F1B2，F1B1的方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2，点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是，解出即可．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．∵以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，∴b=c，=8，∴b=c=2，a2=b2+c2=8．∴．（2）椭圆C的左准线方程为：x=﹣4．∴P（﹣4，0），设直线l的方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0）．由化为（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，①由△=256k4﹣4（1+32k2）（32k2﹣8）＞0，解得．②．∴．∴x0==﹣，y0=k（x0+4）=．∵x0≤0，∴点G不可能在y轴的右边．又直线F1B2，F1B1的方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2，∴点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是，即化为，解得，满足②．因此直线l的斜率的取值范围是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正方形的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．21．（13分）（2009•湖南）对于数列{u n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|u n+1﹣u n|+|u n ﹣u n1|+…+|u2﹣u1|≤M则称数列u n为B﹣数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B﹣数列？请说明理由；（2）设s n是数列{x n}的前n项和，给出下列两组判断：A组：①数列{x n}是B﹣数列．②数列{x n}不是B﹣数列．B组③数列{s n}是B﹣数列．④数列{s n}不是B﹣数列请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列{a n}是B﹣数列，证明：数列{a n2}也是B﹣数列．【考点】数列的应用．【专题】综合题；压轴题；新定义；探究型．【分析】（1）根据B﹣数列的定义，首项为1，公比为q=的等比数列，验证|u n+1﹣u n|+|u n﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M即可；（2）首项写出两个命题，根据B﹣数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；（3）数列{a n}都是B﹣数列，则有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1下面只需验证|a n+12﹣a n2|+|a n2﹣a n﹣12|+…+|a22﹣a12|≤M．【解答】解：（1）设满足题设的等比数列为a n，则．于是n≥2|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|==，所以首项为1，公比为﹣的等比数列是B﹣数列．（2）命题1：若数列x n是B﹣数列，则数列S n是B﹣数列．此命题为假命题．事实上设x n=1（n∈N*），易知数列x n是B﹣数列，但S n=n，|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|=n．由n的任意性知，数列S n不是B﹣数列．命题2：若数列S n是B﹣数列，则数列x n不是B﹣数列．此命题为真命题．事实上，因为数列S n是B﹣数列，所以存在正数M，对任意的n∈N*，有|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|≤M，即|x n+1|+|x n|+…+|x2|≤M．于是|x n+1﹣x n|+|x n﹣x n﹣1|+…+|x2﹣x1|≤|x n+1|+2|x n|+2|x n﹣1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，所以数列x n是B﹣数列．（3）若数列是{a n}B﹣数列，则存在正数M，对任意的n∈N*有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M因为|a n|=|a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|a n﹣a n﹣1|+|a n﹣1﹣a n﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M+|a1| 记K=M+|a1|，则有|a n+12﹣a n2|=|（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）≤（|a n+1|+|a n|）|a n+1﹣a n|≤2K|a n+1﹣a n|因此|a n+12﹣a n2|+|a n2﹣a n﹣12|+…+|a22﹣a12|≤2KM故数列{a n2}是B﹣数列．【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．。

北京高考数学压轴题试题集锦(含详细解析)

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北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。

2009年高考数学压轴题系列训练(含答案)

2009年高考数学压轴题系列训练(含答案)

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+=+=+∴=-=+= 椭圆方程为：……（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a ''∴=∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：…（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C …………………………（7分）()1131123222x DC AP CH a x a +∴===-=-+()()()22222221111211323-2344246222DH DC CH x y x a a x a a a DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+=-+⎣⎦⎣⎦==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为：2．已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21yx =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,43527227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。

2009年高考数学压轴试题精选(63页)

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2009年高考数学压轴试题精选AAA. 【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为23(R,N )n n S k k n *=⋅+∈∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足4(5)n n a b n a k =+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，试比较316n T -与 14(1)n n b ++的大小，并证明你的结论．【解析】：（Ⅰ）由23(R,N )n n S k k n *=⋅+∈∈得:2n ≥时，1143n n n n a S S --=-=⨯………………………2分{}n a 是等比数列，1164a S k ∴==+=2k ∴=-，得 143(N )n n a n -*=⨯∈……4分（Ⅱ）由4(5)n na b n a k =+和143n n a -=⨯得1143n n n b --=⋅……………………6分12312212321221(1)43434343123213(2)443434343n n n n n n n n n n T b b b b b n n T -------∴=++++=++++⋅⋅⋅⋅--=+++++⋅⋅⋅⋅2321111111(2)(1):244343434343n n n n n T ----∴-=+++++-⋅⋅⋅⋅⋅ 232111111113218838383838316163n n n n n n n T -----+∴=+++++-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅……10分11(1)21(1)3(21)4(1)(316)333n n n n n n n n n n n n b T +-+++-++--=-=2(1)3(21)53n n n n n +-+=--………………………11分 ∴当n >或0n <<时有(1)3(21)n n n +>+，所以当5n >(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +-<+那么同理可得：当n <<时有(1)3(2n n n +<+，所以当15n ≤≤(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +->+………………………13分综上：当5n >(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +-<+；当15n ≤≤(N )n *∈时有13164(1)n n T n b +->+………………………14分1.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS 的取值范围.【解析】：（Ⅰ）∵222222221,2333c a b e e a b a c -=∴===∴= ∵直线22202:b y x y x l =+=--与圆相切， ∴2,2,222==∴=b b b ∴32=a …………3分∵椭圆C 1的方程是 12322=+y x ………………6分 （Ⅱ）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离， ∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线 ………………6分 ∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42= …………9分（Ⅲ）Q （0，0），设),4(),,4(222121y y S y y R ∴),4(),,4(122122121y y y y y y --==∵0=⋅RS QR∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得∴)16(112y y y +-= ………………11分∴6432256232256212122=+≥++=y y y当且仅当 4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立 …………13分∵6464)8(41)4(||2222222222≥-+=+=y y y y ，又∴当||58||8,64min 222y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞ (14)分2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数(),()ln ln ,xf x aeg x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）、求函数()y g x =的解析式（2）、若关于x 的不等式()x mg x ->m 的取值范围。

2009年高考数学压轴题及解析详解-2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二

2009年高考数学压轴题及解析详解-2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u =43∈[–1，1]，v = 21∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x+(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥|a |4> 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1.即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3）若+213),(N )23n n n n n nx y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分 （2）()0,0,⎭或()0,0,.⎛ ⎝⎭…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分 5．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅ （1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴ 4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+x x P 4),2,2(2121-=-+=x x x x FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk)1(2)11)(1(42222kk k k +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围；（2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ， 一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b b a 即ba b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即bba b b a +>+ln 综上所述，.ln 1bba b b a b a +<+<+………………………………………………14分 8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x轴上是否存在定x点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,c b =∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ=，得120y y λ+=． 即12yy λ=-① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-， ∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10xx分） 代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m ，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n np S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1) 求n a ；(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； (3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分）(2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--．12121C C C n n n n n a a a ++++1221C C C (1)(1)n nn n n n n p p p p p =++++=+=+．∴12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=1(1)2(1)nn n p p p p -+=⋅-，（5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p +1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． （8分）(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， （10分）（当且仅当1n =时取等号）． 另一方面，当2n …，1,2,,21k n =-时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦1p p -⋅…1p p -=1p p -=∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…．∴12(1)()(2)2()2(1)nn n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分） ∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，2121111(21)()()112nnkp pn f n f kp p--=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n∈N）．（14分）。

2009年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2009年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是（）A．y=（x∈R，且x≠﹣）B．y=（x∈R，且x≠）C．y=（x∈R，且x≠1）D．y=（x∈R，且x≠﹣1）【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】从条件中函数y=（x∈R，且x≠﹣）中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．【解答】解：由函数y=（x∈R，且x≠﹣）得：x=，∴函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是：y=（x∈R，且x≠﹣1）．故选D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．【考点】复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）=2mn+（n2﹣m2）i为实数所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以，故选C．【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2）D．（，2）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性．【专题】计算题．【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）﹣2到y=﹣sin2x的路线，进而确定向量．【解答】解：：∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=﹣sin2x∴=（，2）故选B．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意向量的平移的方向．5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30故选C．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．6．（5分）（2009•湖北）设+a2n x2n，则[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出A=a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，再令x=﹣1，可得到B=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B 的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式+a2n x2n中得a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=由平方差公式得（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2=（a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n）═==所以[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]==0故选择B【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题．7．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，]D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．【解答】解：根据题意，双曲线中，c2=2+2=4，则c=2，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0由△≤0解得k∈[﹣，]故选A【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，而球的表面积为S（t）=4πR2（t），所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），即V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=故选D【点评】本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【考点】数列的应用；归纳推理．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由b n=n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解，故选C．【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a= ﹣2 ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．【解答】解：∵不等式，∴（ax﹣1）（x+1）＜0，又∵关于x的不等式的解集，∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，∴a×（﹣）﹣1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本小题主要考查分式不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归与转化思想．属于基础题．12．（5分）（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为64 ，数据落在（2，10）内的概率约为0.4 ．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；压轴题．【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率=，计算频数即得．【解答】解：观察直方图易得数落在[6，10]内的频率=0.08×4；数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．故答案为64 0.4．【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率=．13．（5分）（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为12800arccos km．（结果中保留反余弦的符号）．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．【分析】先求出球的半径，然后求出∠AOB的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A，B间的球面距离．【解答】解：如图所示，可得AO=42400，则在Rt△ABO中可得：cos∠AOB=，所以l=cosθ×R=2∠AOB•R=12800arccos．球面距离的最大值约为：12800arccos．故答案为：12800arccos．【点评】本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．14．（5分）（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为 1 ．【考点】导数的运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=﹣sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′（）=﹣1故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．15．（5分）（2009•湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为4，5，32 ．【考点】数列递推式．【专题】压轴题．【分析】由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=，a6=1，∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．故答案为：4，5，32．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．【解答】解：随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到P（η=5）=；P（η=6）=P（η=7）=；P（η=8）=P（η=9）=；P（η=10）=P（η=11）=∴η的分布列为∴Eη=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=8【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目．17．（12分）（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．18．（12分）（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•ta nφ=1，求λ的值．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C﹣AE﹣D的平面角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a从而DF=在Rt△CDF中，tanθ=．由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），∴，∴，即AC⊥BE．（Ⅱ）解法2：由（I）得，，．设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，得即取，得．易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与．∴，．∵0＜θ＜，λ＞0∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．【点评】本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．19．（13分）（2009•湖北）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*）．（1）令b n=2n a n，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令c n=，试比较T n与的大小，并予以证明．【考点】数列递推式；数列的求和；等差数列的性质；数学归纳法．【分析】（1）由题意知S1=﹣a1﹣1+2=a1，，所以2n a n=2n ﹣1a n﹣1+1，b n=b n﹣1+1，再由b1=2a1=1，知数列b n是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（1）在中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即当n≥2时，所以所以，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1因为b n=2n a n，所以b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1又b1=2a1=1，所以数列b n是首项和公差均为1的等差数列于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2）由1）得所以①②由①﹣②得所以于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1下面用数学归纳法证明：当n=3时，显然成立假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1所以当n=k+1时，猜想也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立综上所述，当n=1，2时，，当n≥3时，【点评】本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程．20．（14分）（2009•湖北）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1、N1．（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△A NN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想．【分析】（Ⅰ）由题意，可设设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0利用根与系数的关系及点A （a，0）得出即可证明出结论；（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论【解答】解：依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0从而有y1+y2=2mp，y1y2=﹣2ap ①于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a）②又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2===a2③（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A（，0）即为抛物线的焦点，l为其准线，其方程为x=﹣此时M1（﹣，y1），N1（﹣，y2）．并由①可得y1y2=﹣p2∵，∴=0，故有AM1⊥AN1；（Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：证：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a．于是有S1=|MM1||A1M1|=（x1+a）|y1|，S2=|M1N1||AA1|=a|y1﹣y2|，S3=|NN1||A1N1|=（x2+a）|y2|，∴S22=4S1S3⇔（a|y1﹣y2|））2=（（x1+a）|y1|）2 ×（（x2+a）|y2|）2 ⇔a2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=[x1x2+a （x1+x2）+a2]|y1y2|将①、②、③代入上式化简可得a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即对任意的a＞0，S22=4S1S3成立【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．21．（14分）（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题．【分析】①由题意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因为在x=1处有极值得到f（1）=﹣，f′（1）=0求出b、c即可；（2）因为切线的斜率为c，则解出f′（t）=c时t的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．【解答】解：①依题意，解得或．若，，′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；若，，f′（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以为所求．②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、，相应的切线为y=cx+bc或．解得x=0或x=3b；解即x3﹣3bx2+4b3=0得x=﹣b或x=2b．综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和、．③g（x）=|﹣（x﹣b）2+b2+c|．若|b|＞1，则f′（x）在[﹣1，1]是单调函数，M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|}={|﹣1+2b+c|，|﹣1﹣2b+c|}，因为f′（1）与f′（﹣1）之差的绝对值|f′（1）﹣f′（﹣1）|=|4b|＞4，所以M＞2．若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[﹣1，1]取极值，则M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）﹣f′（±1）=（b∓1）2．若﹣1≤b＜0，f′（1）≤f′（﹣1）≤f′（b；若0≤b≤1，f′（﹣1）≤f′（1）≤f′（b），M=max{|f′（﹣1）|，|f′（b）|}=．当b=0，时，在[﹣1，1]上的最大值．所以，k的取值范围是．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．。

抛物线增减函数经典题解析详解

抛物线增减函数经典题解析详解

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1．（本小题满分14分）已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0∴A={a|－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221xx +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y bQ Q OT P P OT +='+'.y=21x 2由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2.∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||SQ SP +的取值范围是（2，+∞）.方法二： ∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +.当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2b b k +=b b k -+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2.∵当b>0时，b k 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x by -.则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x≥2.∵||12x x 可取一切不等于1的正数，∴||||SQ SP +的取值范围是（2，+∞）. 3．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）； （II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n n n n +-==-=+证明 （III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围.本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由 都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n nn n nn n n（III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n（i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立. 故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b n n 5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. 本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =+.综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，， 则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<.当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时． 6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，其中A B ，为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)1>对任何正整数m n ，都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=.由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，， 解得 20A =-，8B =-.（Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ①所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ②②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=.又因为 520n +≠，所以 32120n n n a a a +++-+=，即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥.所以数列{}n a 为等差数列.方法2由已知，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠，所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的.设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--， 由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-.要证 1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为 558m n a a m n ≤+=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网11。

直击福建省2009年高考数学压轴题

直击福建省2009年高考数学压轴题
１
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解
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图 １
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与曲线－ ） 厂 均有异于 Ｍ， （ Ｐ的公共点 ， 其中 ， ３ 故 ｔ ＝ ， 的
最小值为 ２ ．
＿ ） 厂 的增 区 间 为 （ 。 ＋ ） （ 一。 ， ．
（ 苦存在 ｐ ｎ Ⅱ） （
） ， ≤ｎ ） 一１ ＜ｍ。 使线段 Ｐ ０与
③ 当 一 ＞１ ２ ｌ — ａ即ｎ＞ 时 ． ｌ 同①可求／ ） 的增区间为
÷） （ 一） ， ３ ９・ Ⅳ，
（Ｉ） 观察 ｆ ） 图 （ 的 象 不难知道 ： 要使线段
＜ ｎ 请仔细观察 曲线 ， ） ｒ￣ｘ ， ， （ 在点 Ｐ处的切线与线段 的位置变化趋势 ， 并解答以下 问题 ：
（１） 若对任意的 ｍ∈（， ］ 线段 ｔ ，
．
： ．）。 ． ３ ： ＿ 等 － ０
（Ｉ 若存在点 Ｑ ｇ ｎ ） ≤／ Ｉ） （ｌ ） ，。 ７ ， ， ＜ｍ， 使得线段 Ｐ Ｑ 与曲线 ， ） （ 有异 于 Ｐ Ｑ的公共 点 ， ， 请直接 写 出 ｍ的取
６
斜率 即可．
而 ｜＝ ｍ ｊ 厂（ ） ｝ ，
＝ 一２ 一３． ｍ
。
值范 围（ 不必给出求解过程 ） ．
・ 试题解析 ・

2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•北京）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求AB的并集可得答案．【解答】解：∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故选A．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法．属于基础知识、基本运算的考查．2．（5分）（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），即∥且与反向，排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分）（2009•北京）若（a，b为理数），则a+b=（）A．33 B．29 C．23 D．19【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理的展开式将二项式展开，利用组合数公式化简展开式，列出方程求出a，b，求出a+b．【解答】解：∵=，由已知，得，∴a+b=17+12=29．故选B．【点评】本题考查二项式定理的展开式；要熟练掌握公式．4．（5分）（2009•北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．5．（5分）（2009•北京）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．故选C．【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．6．（5分）（2009•北京）“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】当α=时，cos2；反之，当时，，k∈Z，或．所以“”是“”的充分而不必要条件．【解答】解：当α=时，cos2，反之，当时，可得⇒，k∈Z，或⇒，“”是“”的充分而不必要条件．故应选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．8．（5分）（2009•北京）设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心，若集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（）A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，要求集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，表示的平面区域的形状，我们要先根据集合中点P满足的性质，找出所表示区域的边界，进而判断出区域各边界围成的图形形状．【解答】解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，若|PP0|=|PP i|当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为ED；当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为AF；当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为BC；故满足条件集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，故选D【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识．本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2009•北京）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则cosθ=．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】根据sin2θ+cos2θ=1可得答案．【解答】解：由已知，θ在第三象限，∴，∴cosθ=．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查简单的三角函数的运算．属于基础知识、基本运算的考查．10．（5分）（2009•北京）若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n（n∈N*），则a5=16；前8项的和S8=255．（用数字作答）【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据a1=1，a n+1=2a n通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过a n+1=2a n可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8．【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，∵a n+1=2a n，即=2∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为2．∴，∴故答案为：16，255．【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题．属于基础知识、基本运算的考查．11．（5分）（2009•北京）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y 的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．12．（5分）（2009•北京）已知函数若f（x）=2，则x=log32．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】计算题．【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．【解答】解：由⇒x=log32，无解，故答案：log32．【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值．属于基础知识、基本运算的考查．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．13．（5分）（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．14．（5分）（2009•北京）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义；集合．【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．故答案为：6．【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）（2009•北京）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin2x，再由T=可得答案．（2）先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）cosx=2sinxcosx=sin2x，∴函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）由﹣≤2x≤π，∴﹣≤sin2x≤1，∴f（x）在区间上的最大值为1，最小值为﹣．【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．16．（14分）（2009•北京）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（13分）（2009•北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（14分）（2009•北京）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）已知函数的解析式f（x）=x3﹣3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，∴（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．当a＞0时，由，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．19．（14分）（2009•北京）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由离心率和准线方程求的a和c，再根据b2=c2﹣a2求得b，进而可得双曲线的方程．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x0和y0，把点M代入圆的方程气的m．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲线C的方程为．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴=m，y0=x0+m=2m，∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=5上，∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力20．（13分）（2009•北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）先得出a n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（Ⅱ）先得出a n，再解关于n的不等式，根据{b n}的定义求得b n再求得S2m；（Ⅲ）根据b m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．（Ⅱ）由题意，得a n=2n﹣1，对于正整数m，由a n≥m，得．根据b m的定义可知当m=2k﹣1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q对任意的正整数m都成立．当3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p﹣1=0，即时，得，解得．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。

卷1至2页，第错误！未找到引用源。

卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==Q 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。

……………………（8分）（Ⅲ）由1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()()()()12121211111111231111112311111111125123123241232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n f n b n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫∴+=++++⎪⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫+++∴=⋅+=⋅= ⎪+++⎝⎭L L L 即记 ()()()()()22min 2523416161416151,4451,35450n n n n n n f n f n f n f n f a +⋅+++=>++∴+>∴==⋅=∴<≤即递增， ………………………………（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨⎧='=',y 2y ,x x ………………(2分)又,4y x 22='+'∴1y 4x 4y 4x 2222=+⇒=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x 22=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)㈡设直线l: ,3my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x,得01my 32y )4m (22=-++………………①∴,4m m3y 20+-=………………(6分) ∴4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=,∴点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .………………(8分) ①若2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上,得1)4m (m 12)4m (4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||m y m y ||x x |212121-=-=-∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)②若3|AB |= , 由①得,34m )1m (422=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 22y >±= , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴2=.综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)4.（本小题满分14分）已知函数241)x (f x +=)R x (∈.(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n Λ =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++=Λ. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41,21( 的对称点为)y ,x (P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=. ∵,)24(244244241)x 1(f 0000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(240x x + ∴点P )y 21,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)由m 1m 321m a a a a a S +++++=-Λ, ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=---Λ ………………② 由①＋②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(121S m -=………………(8分)(3) ∵,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③ ∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+.∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-=Λ.……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==∴.5275b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ （2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =303tan EPF EPF ∠=⇒∠=o 6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，（2） 求n S 的表达式及2limnn na S →∞的值；（3） 求数列{}n a 的通项公式； （4）设n b =n N ∈且2n ≥时，n n a b <.解：（1）2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则121nS n =+. 222limlim 2212lim 1n n n n nn n a S S S →∞→∞→∞===---.（2）当2n ≥时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--， 综上，()()21132214n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.（3）令a b ==，当2n ≥时，有0b a <<≤ （1） 法1：等价于求证112121n n >-+.当2n ≥时，0<≤令()23,0f x x x x =-<≤ ()233232(1)2(12(10222f x x x x x x x '=-=-≥-=->，则()fx 在递增.又021213n n <<≤+-， 所以33()(),2121g g n n <+-即n n a b <.法（2）22333311()()2121(21)(21)n n a b b a b a n n n n -=---=---+-+- 22()()a b a b ab a b =-++-- （2）22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- （3） 因33111110222223a b a b a +-<+-<-<-=-<，所以(1)(1)022b a a a b b +-++-<由（1）（3）（4）知n n a b <.法3：令()22g b a b ab a b =++--，则()12102ag b b a b -'=+-=⇒= 所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=-- 因0,3a <≤则()210a a a a -=-<，2214323()3()0339a a a a a -=-≤-< 所以()220g b a b ab a b =++--< （5） 由（1）（2）（5）知n n a b < 7． (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =ab(x – a ),解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,bak kab+),∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab+| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分 设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2 =22222k a b b a -, n 2= 222222k a b b a k -,∴ |→--OP|2 = :m 2 + n 2 =22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222ka b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 . ∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP|2 = |→-OQ ·→--OR | . 4分（2）由条件得：222222ka b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 22a 4ab abb 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e >4172分2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数, ∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)nn n – ( n + a)n . 2分又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n+ a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v [–1，1］，都有|f (u) –f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v[–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u =43[–1，1]，v =21[–1，1],则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论： 10. 若u ,v [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；30. 若u[–1，0]，v[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u[0，1]，v[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x +(x –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac |4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ tR, t–1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 0 ， ∵ c0, ∴c 2a 216 , ∴| ac |4.(2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 , ∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x 0时，f ( x )单调递增.法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x–1,∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c ||a |4> 0 , ∴f (| c | )f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) =1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2⎡-⎣上； （3） 若+212(13),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分 （2）()20,0,2,3-⎭或()20,0,2,.3⎛ ⎝⎭…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分 5．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-……10分 从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA Θ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+xx P 4),2,2(2121-=-+=x x x x 42)14)(14(2221222121x x x x x x +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅ ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -=同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围；（2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a Θ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a bb a a b b a即ba b b a +>+1ln……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G Θ ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即bba b b a +>+ln综上所述，.ln 1bba b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=o ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=u u u r u u u r，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分） (2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r．xx设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ=u u u r u u u r，得120y y λ+=．即12yy λ=-① （6分）∵(4,0)BC =u u u r，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-u u u u r u u u r， ∴()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r12()x t x t λ⇔-=-．即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r ．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2nn n n nn na a a f n S ++++=L ．(1) 求n a ；x(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； (3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分）(2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--． 12121C C C n n n n n a a a ++++L 1221C C C (1)(1)n n n nn n n p p p p p =++++=+=+L ．∴12121C C C ()2nn n n nn n a a a f n S ++++=L 1(1)2(1)n n n p p p p -+=⋅-，（5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． （8分）(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f p p p p-++++<-<-<<=L ． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L „2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， （10分）（当且仅当1n =时取等号）．另一方面，当2n …，1,2,,21k n =-L 时， 2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦2221(1)(1)22(1)2(1)k n k k k n k n k p p p p p p ----++⋅⋅--…212(1)12(1)(1)nn kn k p p p p p --+=⋅--2212(1)121n nn k n k p p p p p p --+=⋅--+．∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-„．∴12(1)()(2)2()2(1)nn n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分） ∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）． 综上所述，2121111(21)()()112n n k p p n f n f k p p --=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）．（14分）2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：x a yba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：O MM F→⊥→； （II ）若||M F →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ）Θ右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c a b c F c c ab ()()22220，，，，Θ，∴→=O M a c a b c ()2， M F c a c a b c b c a bc→=--=-()()22，， ΘO M M F a b c a bcO M M F →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分 （II ）Θe bae a b=∴=-=∴=621222222，， Θ||()M F b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ……8分证明：设l 31：y k x =+，点P x y Q x y ()()1122，，， 由x y y k x 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x k x Θl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k xx k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分ΘA P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kk k k k k ， Θ-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ ∴λ的取值范围是（0，1）……13分2．（本小题满分13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n=∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线xa =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1； （III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n nbb b →∞+++12Λ存在，并求出这个极限值. 解：（I ）Θn N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f nf n n()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n()()--=1将这n 个式子相加，得f n f n n n ()()()-=++++=+012312Λ Θf f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n nN n()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fn fn ()()-1，，高为1 ∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n aa n n()()()()112121 =-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，ΛΛ ∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N m i n =2010 ……9分（IV ）设b a n n =1，即b n n n n n =+=-+212111()() 则b b b n n n n 122112121313141112111+++=-+-+-++-+=-+ΛΛ[()()()()]() 显然，其极限存在，并且l i m ()l i m []n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112Λ ……10分 注：b c a n n =（c 为非零常数），b b q q n a n nan n n==<<++()(||)12012121，等都能使l i m ()n n bb b →∞+++12Λ存在.19. （本小题满分14分）设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且O P O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ）Θe c a =∴=2422，Θc a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A xy B xy ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘO P O Q xx yy xx k x x xx k xx x x i→→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y kx y x k x kx k x x k k x x k k i i =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3. （本小题满分13分）已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n()*∈，且S m m a n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334 …+-b b n n1)成立？ 解：（I ）由已知S m m a n n ++=+-1111()() S m m a n n=+-()1 （2） 由()()12-得：a m a m a n n n ++=-11，即()m a m a n n+=+11对任意n N ∈*都成立 {}Θm m a a m m a n nn为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m m a 111=+-()∴====+∴==+≥∈---a b I q f m m m b f b b b n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()*∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n nn，即为等差数列，分()()*Θa m m nn =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-l i m (l g )l i m l g l g l i m ()l i m n b a n n n m m mm n b b b b b b n n n n nn n121133131414151112112231·……由题意知l gm m +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程． 解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分而b x b c ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ． ∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分 （2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分 圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分 由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|， 又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ΛΛΛ d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分 )2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++ )3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++ΛΛΛ)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分 又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111bb a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++． 当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分 ∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为 2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分 11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（本小题满分14分） 已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[Θ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),(ΛΛx g x g x >'∈πθ分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(ΛΘx f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1．（本小题满分14分） 已知f(x)=222+-x ax (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x)=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a<0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根， x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立， 即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)， 方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0， ② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m=0时，②显然不成立； 当m ≠0时，m>0， m<0， ②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0. 由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，。

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