相似三角形的判定定理

24.4（1）相似三角形的判定

教学目标

1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式；

2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1；

3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长.

4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.

一、复习

1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？

2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？

3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形）

本节学习相似三角形的定义及相关判定定理.

二、学习新课

相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.

相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.

[说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）．

[说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．

注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．

类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应

边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对

应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ∆∆是相似三角形，则111,ABC A B C ∆∆相

似可记作ABC ∆∽111A B C ∆.由于1112AB A B =，则ABC ∆与111A B C ∆的相似比1112AB k A B ==，则111A B C ∆与ABC ∆的相似比,112A B k AB

==

. C 1B 1A 1

C B A

猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比1k =时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.

想一想：如果ABC ∆∽111C B A ∆，111C B A ∆∽222C B A ∆那么ABC ∆与222A B C ∆相似吗？利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

思考问题：（l ）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？

（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？

练习一：选择题

下列四组图形，必是相似形的是（ ）

Ａ、有一个角为040的两个等腰三角形； Ｂ、有一个角为0

50的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形； Ｄ、有一个角为0100的两个等腰三角形. 新授2：相似三角形的预备定理 l E

D C B A l

E

D C B

A l

E D

C B A

课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：

（1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。

（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．

（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误

（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．

（5）有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形． 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形.

新授3：相似三角形的判定定理1：

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）

.

C 1B 1A 1

E

D C B A

1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？ SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．

2.全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？ “对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

3.我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

4.如图在△ABC 和△111A B C 中，11,A A B B ∠=∠∠=∠，△ABC 和△111A B C 是否相似？

5.我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？ ①相似三角形的定义，②预备定理．

6.根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？预备定理，因为用定义条件明显不够．

7.采用预备定理，必须构造出怎样的图形？

8.应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

（1）在△ABC 边AB （或延长线）上，截取 ，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ．“作相似．证全等”．

（2）在△ABC 边AB （或延长线上）上，截取，在边AC （或延长线上）截取AE =，连结DE ，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）

三、巩固练习

1、已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A =40°, ∠B =80°, ∠E =80°, ∠F =60°.

(1)求证: △ABC ∽△DEF ;

(2)写出对应边成比例的式子.