信号参量估计

第 5 章 信号参量估计
信号参量估计：由观测信号对其中感兴趣信号的一个或多个信号参量进行定量的推 断。所以接收端的观测者应基于事先具备的关于发送信号的知识（先验知识），在对观 测信号分析后重新形成关于发送信号的知识（后验知识）来提高信号参量估计的正确概 率。
本章主要讨论静态估计准则与方法，包括最大后验概率估计、最小均方误差估计、 线性最小均方误差估计、最小二乘估计、最小最大误差熵估计准则和贝叶斯估计与最大 似然估计方法；并讨论衡量估计性能指标和估计的均方误差下界。
, xN
| s)
1
(2
2 n
)
N
2
N exp
i1
( xi
s)2
/
2
2 n
信号 s 的概率密度函数为
f (s)
1 2 s
exp
s2
2
2 s
所以
s ln f (x1,
N
xi s
, xN
| s)
i 1
2 n
，
s
ln
f
(s)
s
2 s
，最后得到
sˆMAP
2 n
2 s
N
2 s
N
xi
i 1
|
x)
ˆˆMS
0
求解可得：
ˆMS
f ( | x)d
( )
上式表明， 的最小均方误差估计值是观测样本 x 给定条件下 的条件均值，
故又称做条件均值估计。
例 5.2 利用例 5.1 的已知条件，求 s 的最小均方误差估计 sˆMS 。
解：由例 5.1 知，以信号 s 为条 f (x1,
件的观测样本的概率密度函数
由此，参量 的线性最小均方误差估计值用 ˆLMS 表示：
ˆLMS aL bLT x E{} Cov{ , x}Cov1{x, x}[ x E{x}]
若 E{} 0 且 E{x} 0 ，则 aL =0 且 bLT Cov{ , x}Cov1{x, x} r x Rxx1 ，ˆLMS bLT x 。
出估计，得到估计值ˆ ，即ˆ g(x) 。 只有一个待定参量时的估计称为单参量估计，否则称为多参量估计。
最大后验概率估计准则： 根据观测样本选择使后验概率密 度最大的参量值作为实际信号参 量的估计值，数学上表示为
ˆMAP arg max f ( | x)
f (|x) 为获得观测样本 x 时，待估计量
令 (ˆ | x) ()( ˆ)2 f ( | x)d ，它是在观测样本 x 给定条件下的条件估计均方误
差。所以
(ˆ) (ˆ | x) f (x)dx ( )
由于( | x) 和 f (x) 都是非负的，上式取最小，相当于对任意给定的一个观测样 本矢量 (ˆ | x) 取最小，即为
ˆ
(ˆ
ˆLMS ，则 aL 和 bL 可由下面方 程组的解来确定
a
(ˆ)
a b
aL bL
E
2
aL bLT x
0
(ˆ) E
b
aaL bbL
2 aL bLT x
x
0
由上式可得：
bLT Cov{ , x}Cov1{x, x}
aL
E{}
Cov{ ,
x}Cov1{x,
x}E{x}
因为 E{( ˆLMS)xT} 0 ，所以，线性最小均方误差估计的估计误差与 观测样本是正交的。
比较线性最小均方误差与最小均方误差估计： （1）由于线性关系限制： E{e2 (ˆMS )}≤ E{e2 (ˆLMS )}
, xN | s) f s , xN | s) f s ds
exp
2 n
N
2
n2
2 s
2 s
s
n
N
s xi
i 1
2(
2 n
N
2 s
)
2
exp
(s)
2 n
N
2 n2
2 s
2 s
s
n
N
s xi
i 1
2
ds
2(
2 n
N
2 s
)
利用公式
u2
e du
，代入上式得
信号 s 的概率密度函数：
百度文库
f (s)
,
xN
|
s)
1
(2
2 n
)
N
2
exp
N i 1
(xi
2
2 n
s)2
1
s2
2 s
exp
2
2 s
所以
f (s | x1,
, xN )
f (x1, , xN | s) f s f x1, , xN
f (x1, s f ( x1,
0
例
设观测样本 xi s ni , i 1, 2,
,
N
；信号
s
~
N
(0,
2 S
)
；噪声
ni
~
N
(0,
2 n
)
(i 1,2, , N) 且独立同分布，并且信号与噪声不相关。试用最大后验概率
估计准则求 s 的估计量 sˆMAP 。
s 解：依题意，以信号 为条件
的观测样本的概率密度函数为
f (x1,
的后验概率密度函数，所以估计量 ˆMAP 可以进一步由右方程求出
f (
x)
ˆMAP
0
ln
f (
| x) θ=θˆMAP
0
f ( | x) f (x | ) f ( )
由于
f (x) ，并且在 x 给定时， f (x) 与 θ 无关，所以
上式可进一步表示为：
ln
f (x )
ln
f
(
)
θ =θˆMAP
5.1 估计准则 假设在[0,T] 时间内，接收机的观测信号
x(t) s(t;1,2, ,M ) n(t), 0 ≤t ≤T s(t;1,2, ,M ) 为有用信号； θ [1,2, ,M ]T 为有用信号的 M 个待定参量， n(t) 为
观测信号中的噪声。根据[0,T] 时间内观测信号的 N 个样本 x [x1, x2, , xN ]T 对参量 θ 做
当样本足够大或噪声较小时，信号的最大后验概率估计值等于观测值
的均值。
最小均方误差估计准则：
估计误差的平方在统计平均意义上（即均方误差）达到最小。估计的均方
误差为
(ˆ) E e2 ˆ
( ˆ)2 f ( , x)dxd
( ) ( x)
( x)
( )
(
ˆ)2
f
(
|
x)d
f
( x)dx
(u)
f (s | x1,
exp
, xN )
2 n
N
2
n2
2 s
2 s
s
n
N
s xi
i 1
2
2(
2 n
N
2 s
)
2
n2
2 s
2 n
N
2 s
利用上式可得：
sˆMS
sf
s
s|x
ds
2 n
2 s
N
2 s
N
xi
i 1
即最小均方误差估计与最大后验概率估计值相等。
线性最小均方误差估计准则：
如果估计量 ˆ 与观测样本 x 之间满足线性关系，即 ˆ a bT x
其中，a 和 b [b1,b2, ,bN ]T 是待定系数，最佳取值根据最小均方误差估计准 则来定。估计的均方误差为
(ˆ) E{[ (a bT x)]2}
假设 a aL 和 b bL 时，参量 的线性最小均方误差估计是