方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析

【答案】D 【解析】 【分析】 用含 x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案. 【详解】
解：设平均每天票房收入的增长率记作 x ，则 3 3(1 x) 3(1 x)2 10 .
故选：D. 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为 a，变
8．方程 x2+x﹣1＝0 的一个根是（ ）
A．1﹣
B．
C．﹣1+
D．
【答案】D 【解析】 【分析】 利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【详解】 ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5，
则 x＝
，
所以 x1＝
，x2＝
．
故选：D． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．
∴2018 年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x）＝144，
故选 D．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.
16．如果方程 x2 x p 0 有两个不同的实数解，那么 p 的取值范围是（ ）
将-1 代入原方程，求 a-b 的值即可． 【详解】
∵关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一个根是-a（a≠0）， ∴x1•（-a）=a，即 x1=-1， 把 x1=-1 代入原方程，得： 1-b+a=0， ∴a-b=-1． 故选 C． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是根据一元二次方程的根与系数的关系确定
C．100（1+2x）＝282
D．100+100（1+x）+100（1+2x）=282
【答案】B
【解析】
【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份
平均每月的增长率为 x，那么可以用 x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出
方程．
【详解】
五月份的产量=100（1+x），六月份的产量=100 (1 x)2 ，
根据题意可得：
100+100（1+x）+100 (1 x)2 =282.
故选：B． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为 a(1 x)2 b ，a
为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．
11．一元二次方程 x2＝－3x 的解是（ ）
A．x＝0 【答案】D
米，若每年降价均为 x% ，则下列方程正确的是（ ）
A． 20000(1 x%)2 16000
B． 20000(1 x%)2 16000
C． 20000(1 2x%)2 16000
D． 20000 1 x2% 16000
【答案】B 【解析】 【分析】 已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价. 【详解】
B．x＝3
C．x1＝0，x2＝3
D．x1＝0，x2＝－3
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）x2=-3x，
x2+3x=0，
x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=-3． 故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．今年深圳的房价平均 20000 元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000 元/平方
C．∵ 1 x 0 ，∴ 1 x 1 1 0 ，故不正确；
D．∵x+1≥0，-x≥0， ∴-1≤x≤0． ∵ x 1 x， ∴x+1=x2， ∴x2-x-1=0， ∵∆=1+4=5＞0，
∴x1= 1 5 ，x2= 1 5 （舍去），
2
2
∴ x 1 x 有实数根，符合题意．
故选 D．
【点睛】
故选 C．
5．代数式 x2 -4x+5 的最小值是（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．5
【答案】B 【解析】
x2 -4x+5 = x2 -4x+4-4+5 = (x 2)2 +1 ∵ (x 2)2 ≥0，
∴ (x 2)2 +1≥1，
∴代数 x2 -4x+5 的最小值为 1．
故选 B. 点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形 式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都 是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
一、选择题
1．在解方程（x+2）（x﹣2）=5 时，甲同学说：由于 5=1×5，可令 x+2=1，x﹣2=5，得方 程的根 x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为 0，得 x2﹣9=0，再分解因式，即 （x+3）（x﹣3）=0，得方程的根 x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正 确的是..（ ） A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】A 【解析】（x+2）（x﹣2）=5， x2-4=5， x2-9=0， （x+3）（x-3）=0， x+3=0 或 x-3=0， x1=-3，x2=3， 所以甲错误，乙正确， 故选 A.
4．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 没有实数根，则实数 m 的取值是( )
A．m＜1
B．m＞﹣1
C．m＞1
D．m＜﹣1
【答案】C
【解析】
试题解析：关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 0 没有实数根，
b2 4ac 22 41 m 4 4m 0 ，
解得： m 1.
2．国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约 3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增
长，三天后累计票3(1 x) 10
B． 3(1 x)2 10
C． 3 3(1 x)2 10
D． 3 3(1 x) 3(1 x)2 10
方程 y a 3 1 y 1 1 y
解得 y= a +2 2
∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6 综上所述，满足条件的 a 的值为−4，0，2， 符合条件的 a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】 本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方 程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数的值，这个 值叫分式方程的解．
过一次下降后成本变为 100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是 81 元列方程求解
即可．
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为 x，根据题意得 100（1-x）（1-x）=81，
解得 x=0.1 或 1.9（不合题意，舍去）
即 x=10%
故选 D．
15．某种植基地 2016 年蔬菜产量为 100 吨，2017 年比 2016 年产量增长 8.1%，2018 年比
a(1 x%)n b 的应用，理解公式是解决本题的关键.
13．已知关于 X 的方程 x2 +bx+a=0 有一个根是-a（a 0），则 a-b 的值为（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系 x1•x2= c 、以及已知条件求出方程的另一根是-1，然后 a
9．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． x2 2 0 C． 1 x 1 0
【答案】D 【解析】
B． x 2 2 x 1
D． x 1 x
【分析】 根据二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】
A．∵x2+2≥2， ∴ x2 2 2 0 ，故不正确；
B．∵x-2≥0 且 2-x≥0，∴x=2，∴ x 2 2 x 0 ，故不正确；
本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知
识点是解答本题的关键．
10．某厂四月份生产零件 100 万个，第二季度共生产零件 282 万个.设该厂五、六月份平均
每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2=282
B．100+100（1+x）+100（1+x）2=282
A． 6
【答案】C
B． 4
C． 2
D．2
【解析】
【分析】
由一元二次方程 x2 2a 4 x a2 0 有实数解，确定 a 的取值范围，由分式方程
ya y 1
3
1 1
y
有整数解，确定
a
的值即可判断．
【详解】
方程 x2 2a 4 x a2 0 有实数解，
∴△=4(a−4)2−4a2⩾0， 解得 a⩽2 ∴满足条件的 a 的值为−4，−2，−1，0，1，2
方程的一个根．
14．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是 100 元，由于提高生产
技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是 81 元．则平均每次降低成本的百分率
是（ ）
A．8.5％
B．9％
C．9.5％
D．10％
【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为 x 的话，经过第一次下降，成本变为 100（1-x）元，再经
（1+x），然后根据 2018 年底产量达到 144 吨列方程即可.
【详解】
解：∵某种植基地 2016 年蔬菜产量为 100 吨，2017 年比 2016 年产量增长 8.1%，
∴2017 年蔬菜产量为：100（1+8.1%），
∵2018 年比 2017 年产量的增长率为 x，2018 年底产量达到 144 吨，
化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为： a 1 x2 b .
3．从 4 ， 2 ， 1，0，1，2，4，6 这八个数中，随机抽一个数，记为 a ．若数 a 使关
于 x 的一元二次方程 x2 2a 4 x a2 0 有实数解．且关于 y 的分式方程
y a 3 1 有整数解，则符合条件的 a 的值的和是（ ） y 1 1 y
解：根据每年降价均为 x% ，则第一次降价后房价为 20000(1-x%) 元，第二次在
20000(1-x%) 元基础上又降低 x% ，变为 20000(1-x%)(1-x%) 元，即 20000(1-x%)2 ，
进而可列出方程：
20000(1 x%)2 16000
故选 B 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式
2017 年产量的增长率为 x，2018 年底产量达到 144 吨，则 x 满足（ ）
A．100（1+x）2＝144
B．100（1+8.1%）（1﹣x）＝144
C．100（1+8.1%）+x＝144
D．100（1+8.1%）（1+x）＝144
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，2017 年蔬菜产量为：100（1+8.1%），2018 年蔬菜产量为：100（1+8.1%）
7．将方程 x2 2x 3 0化为 x m2 n 的形式，指出 m, n 分别是（ ）
A．1 和 3 【答案】C
B．-1 和 3
C．1 和 4
D．-1 和 4
【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全 平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得 x2-2x=3， 配方得 x2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4． 故选 C． 【点睛】 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一 次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如 ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方．
6．某型号手机原来销售单价是 4000 元，经过两次降价促销，现在的销售单价是 2560
元，若两次降价的百分率相同，则平均每次降价（ ）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原来售价是 4000 元，经过两次降价且降价百分率相同后销售单价为 2560 元，设两次
降价的百分率为 x ，一次降价为 40001 x ，两次降价为 40001 x2 得出
40001 x2 =2560，算出 x ．
【详解】 解：设两次降价的百分率为 x，由题意得： 4000（1﹣x）2＝2560
∴（1﹣x）2＝ 256 400
∴1﹣x＝±0.8 ∴x1＝1.8（舍），x2＝0.2＝20% 故选：C． 【点睛】 熟悉一元二次方程的增长率和下降率的相关题型，注意分析是一次增长（下降），还是二 次增长（下降）问题．