因式分解(平方差公式法)

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公式法因式分解 ——平方差公式

本章学习多项式的因式分解，把一个多项式表示成若干个起着“基本建筑块”作用的多项式的乘积的形式，这为解决许多问题架起了桥梁，例如．以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解的，因式分解还可以在许多实际问题中简化计算．
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
把填上的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于
x2 5x 6
(5) 从第(2)、(3)、(4)题，你能看出把因式分解的关键步骤是什吗？将常数项6分解成两个因式的积，两因数的和恰好等于一次项系数．
例4 把多项式 x2 x 2 因式分解
x2 x 2
x 2 x 1
在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式的形式，这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出．
2. 公式法.
把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用，就可以把某些类型的多项式因式分解．
在因式分解中需要注意以下几个问题：
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解．（2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止，至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
x2 9x 3x 3
3 4x2 20x 25
2x 52
4 4a4 12a2b2 9b4
2a2 3b2 2
例3 把下列多项式分解因式
1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
x 1 x2 1
2 ax bx ay by

人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件

－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；

用平方差公式分解因式

b
a
b a
a+b a-b
a2 - b2= (a+b)(a-b)
b
aห้องสมุดไป่ตู้
a2 - b2= (a+b)(a-b)
a-b a+b
b a
a-b a+b
a2 - b2= (a+b)(a-b)
b
a
a2 -
b2=
1 2
(2a+2b)(a-b)
=(a+b)(a-b)
2b
a-b 2a
分解因式: (1) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2) (2) 4x3 -x =x(4x2-1)
=25×400×130
=1.3 ×106
1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²)
= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
谈谈有何收获
那你和你表
妹今年分别等一下，我能够几岁了？
算出来！
今年我的年龄
和我表妹年龄的平方差是87。
聪明的同学，你们能算出来吗？
将边长为a的正方形一角剪去一个边长为b 的小正方形，观察你剪剩下的部分。
思考（： 1 ）你能将它剪成两部分然后拼成一个新的图形吗？（2）你能根据先后两个图形的关系说明一个等式吗？
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)

平方差公式分解因式

(3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) （4）-6m2n-15mn2+30m2n2 =-3mn(2m+5n-10mn)
铺路之石
1 1 （1） 36 ＝（ ± 6
（3）9m2 ＝ (
填空：
)2 ; ) 2;
(2) 0.81＝（ (4) 25a2b2=(
± 0.9 )2; ± 5ab
观察发现
a b ( a b )( a b )
2 2
▲ ▲ ▲
（１）公式左边：（是一个要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。 (2) 公式右边（是分解因式的结果） : ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
注意：若有公因式则先提公因式。然后再看能否用公式法。
=xm(x+1)(x-1)
把下列各式因式分解
4.解：原式=[(x+y+z)+(x-y-z)][(x+y+z)- (x-y-z)]
1)( x + z )² - ( y + z )²
=2 x ( 2 y + 2 z) 1.解：原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] 2)4( a + b)² - 25(a - c)² =4 x ( y + z ) =(x+y+2z)(x-y) 3)4a³ - 4a 2. 解：原式 =[2(a+b)]² -[5(a-c)]² 3.解：原式 5(a-c)][2(a+b)4)(x + y=[2(a+b)+ +=4a(a² z)² - -1)=4a(a+1)(a-1) (x – y – z )² 5(a-c)]

因式分解之平方差公式法(公开课)

14.3.2分解因式----运用公式法(一)【学习目标】1.使学生进一步理解因式分解的意义；2.使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；3.会运用平方差公式分解因式.【学习重点】用平方差公式法进行因式分解.【自主学习】★试一试1、看谁算的又快又准确：①982－22；②682－672；【教学过程】一、导入新知★做一做：在横线内填上适当的式子，使等式成立：(1)（x+5)(x-5)= ___________(2)（a+2)(a-2)= ___________(3) x2－5 2 = ( ) ( )(4) a2－22 = ( ) ( )整式乘法中我们学习了乘法公式：两数和乘以这两数差：即：(a+b)(a－b)=a2－b2左边是整式的乘积，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是_________________________ (平方差公式)，请你判断一下，第二个式子从左到右是不是因式分解？像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？(1)x2－y2 (2)x2+y2 (3)－x2－y2 (4)－x2+y2 (5) (2a)2－(3b)2 (6) (x+a)2 －(y+b)2 小结：平方差公式的特点？二、探究新知例1：试一试:(1)x2－52 = ( ) ( ) (2)32－y2=( )( )(3) x2－()23y=( )( )2y= ( )( )(4)()22x－()2例2：依葫芦画瓢：(1) x 2－4 ＝ x 2－( 2 )2＝ (x ＋2)(x －2)(2) x 2－16＝x 2－( )2＝ ( )( )(3) 9－y 2 ＝ ( )2－y 2＝ ( )( )(4) 4a 2－9b 2＝( )2 a 2－( )2 b 2＝ ( )2 －( )2= ( )( )巩固练习：把下列多项式分解因式：(1)2x －72 (2) a 2－25(3) a 2 b 2－m 2 (4) x 2－9y 2(5) 25x 2－4y 2 (6) a 2－91b 2例3：观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b 不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式(1)(x ＋p )2－(x ＋q )2 (2) (m ＋n )2－22三、趁热打铁：1、判断：下列各式能不能写成平方差的形式 (能画“√”，并分解，不能的画“×”)(1)x 2＋64 ( )； (2)－x 2－y 2 ( )；(3)x 2－y 2 ( )； (4)22b a +- ( )；(5) 2294y x - ( ) ； (6)()()22b a y x +-+ ( )；2、把下列各式分解因式(1) 36－x 2 (2) a 2－41b 2 (3) x 2－16y 2(4) x 2y 2－z 2 (5)25x 2－9y 2 (6)(x+2)2－9(7)(x+a)2－(y+b)2 (8) 0.04x 2－81y 2(9)4x －4y (10) a 4－1五、本课小结六、布置作业P56 习题2.4。

平方差公式法分解因式

15.4，1 运用公式法——平方差公式一、学习目标1.了解运用公式法分解因式的意义；2.掌握用平方差公式分解因式.3.了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.二、学习重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.三、教学过程（一）创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.（二）新课1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积你判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？2.例题讲解例1把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2.例2把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x .补充例题：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.（三）随堂练习1.判断正误（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.2.把下列各式分解因式（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4（5）36（x+y）2－49（x－y）2;（6）（x－1）+b2（1－x）;（8）（x2+x+1）2－1.四.小结我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五作业习题15.4第2题六.活动与探究学后反思：。

15.4.2因式分解之平方差公式法

15.4.2因式分解之平方差公式法学习目标1. 使学生进一步理解因式分解的意义；2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；3. 会运用平方差公式分解因式.学习重点用平方差公式法进行因式分解.一、自主学习1、分解因式2、试一试：你能将下列各式分解因式吗？你是怎样想到的？（1）x 2-4 (2)y 2-25二、创设情境★试一试1. 992－1是100的整数倍吗？2. 和老师比一比，看谁算的又快又准确： ①572－562 ②962－952 ③(1725)2－(825)2. ★做一做：整式乘法乘法公式：两数和乘以这两数差：即： (a +b )(a －b )=a 2－b 2从左到右是整式的乘法，把这个等式反过来就是_________________________将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2总结平方差公式的特点：1.左边是项式，每项都是的形式，两项的符号 .2.右边是两个多项式的积，一个因式是两数的，另一个因式是这两数的。

三、学以致用例1.依葫芦画瓢：（体验用平方差公式分解因式的过程）（1）x 2－4＝x 2－22＝(x ＋2)(x －2) （2）x 2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) （3）9－y 2＝( )2－( )2＝ ( )( )（4）1－a 2 ＝( )2－( )2＝ ( )( )例2.把下列多项式分解因式：（1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49m 2－0.01n 2例3.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2 （3）9x 2－(x －2y ) 2例4.把下列各式分解因式（1）4a 2－16 （2）a 5－a 3 （3）x 4－y 4 （4）32a 3－50ab 2一句话点评： .趁热打铁：1. 分解因式：2．下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x ＋y )(x －y ) （2）9－25a 2=(9+25a )(9－25a )（3）－4a 2+9b 2=(－2a ＋3b )(－2a －3b )3.把下列各式分解因式：（1）4a 2－(b ＋c )2 （2）(3m ＋2n )2－(m －n )2（3）(4x －3y )2－16y 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2课外延伸一.把下列各式分解因式二.运用简便方法计算（1）4920072- （2）433.1922.122⨯-⨯。

平方差公式法分解因式

②两个平方项异号；
例3分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析: 在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3
2,即可用平方差公式分解因式.
解（1）4x2 – 9
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x-3)
（2）（x+p)2-(x+q)2
(1)x2 y2-36
(2)18a2-50 (3)-3ax2+3ay4
(4)(2a b)2 4a2
(5)(x2 3x)2 x 12 6x4 16
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束感谢各位批评指导！
谢谢！
让我们共同进步
应用新知，尝试练习
1、因式分解（口答）： ① x2-16=(_x_+_4_)(_x_-_4_) ②9-t2=_(3_+_t_)_(3_-_t_) _ 2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 ×
√②x2-y2
③-x2+y2 √
×④-x2-
思y2考：能用平方差公式因式分解的多项
式有何特①征有？只有两个平方项；
课后练习
分解因式: a2- b215 2;
(2)9a2-4b2;
(3) x2y – 4y ; (4) –a4 +16.
利用因式分解计算
1.10122-9882 2.73×1452-1052×73
创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5, 求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.
当堂检测把下列各式分解因式：

用完全平方差公式因式分解

x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式：完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2

平方差公式法分解因式

利用平方差公式进行因式分解
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回顾与思考
x2-4 y2-25
探究新知两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。整式乘法因式分解
01
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
02
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
课堂小结平方差公式： a2-b2 =(a+b)(a-b) 用平方差公式因式分解步骤：一变、二分解
作业课本p171 2题
单击此处添加副标题
（2）（x+p)2-(x+q)20503Fra bibliotek0104
02
课堂练习
01
02
03
04
05
06
07
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课后练习分解因式: a2- b2; (2)9a2-4b2; x2y – 4y ; (4) –a4 +16.
(x+4)(x-4)
(3+t)(3-t)
×
√
√
×
思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
例3分解因式:
4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析:
在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式. 解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x-3)

平方差公式法因式分解教案及练习

9.14 平方差公式法因式分解[教学目标]1 知识与技能：掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；2 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；3 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。

[教学重点]掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式[教学难点]使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。

[教学过程]1 复习：A 因式分解的概念是什么？B 平方差公式的内容用字母怎样表示？计算：（1）（a+3）(a-3)（2）(4x-3y)(4x+3y)2 导入新课：（a+3）(a-3)=a 2-9(4a —3y)(4x+3y)=16x 2-9y 2这是我们学习的整式的乘法运算。

如果上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？a 2-9=（a+3）(a-3)16x 2-9y 2 =(4a —3y)(4x+3y)这是因式分解的形式。

你能对下列两个多项式因式分解吗？a 2-b 24x 2-9y 23 新课讲解：我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法，像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。

今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。

平方差公式反过来可得：a 2-b 2=(a+b)(a-b)这个公式叫做因式分解中的平方差公式。

学生思考：当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积练习Ⅰ：1 填空：(1)a 6=( )2; (2) 9x 2=( )2; (3) m 8n 10=( )2; (4) 425x 4=( )2 (5) 0.25a 2n =( )2; (6) 4936x 4-0.81=( )2-( )22 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？(1) a 2+4b 2; (2) 4a 2-b 2; (3) a 2-(-b)2; (4) –4+a 2;(5) –4-a 2; (6) x 2-41; (7) x 2n+2-x 2n 3 分解因式：(1) 1-25a 2; (2) -9x 2+y 2; (3) a 2b 2-c 2; (4)2516x 4-169y 2. 例题1 ：分解因式：(1) (a+b)2-(a-c)2;(2) x 4-16;(3) 3x 3-12x;(4) (9y 2-x ２)+(x+3y).练习Ⅱ:4 分解因式：(1) -a 4 + 16(2) b b a 5462(3) (x+y+z)2 - (x-y-z)2(4) (x-y)3+(y-x). *(5) x 2n+2-x 2n5 用简便方法计算：(1) 9992-10002;(2) (1-221)(1- 231)(1-241)……(1-2101)小结：1 本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）2)每项可写成平方的形式3)两项的符号相反２、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。

第43课时因式分解(2)——公式法(平方差公式)

2. 计算：（1）（a+2）（a-2）=____a_2-_4____；（2）（-x+3）（-x-3）=____x_2-_9____；（3）（3a+2b）（3a-2b）=___9_a_2_-_4_b_2 __.
启后
任务三：学习教材第116页，完成下列题目. 1. 填空：（1）a2-b2=__（__a_+_b_）__（__a_-_b_）__；（2）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是__二____项式，两项都能写成___平__方___的形式，且符号___相__反___.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/292021/8/292021/8/292021/8/298/29/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月29日星期日2021/8/292021/8/292021/8/29 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/292021/8/292021/8/298/29/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/292021/8/29August 29, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/292021/8/292021/8/292021/8/29
课堂小测
5. （10分）分解因式：（1）x3-9xy2；（2）（x+2）2-9.
解：（1）原式=x（x+3y）（x-3y）. （2）原式=（x+5）（x-1）.

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