专题强化训练10

专题强化训练(十)

一、选择题

1．(2020·菏泽一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ? ??

??

32π－α＝

( )

A ．－25

5 B ．－5

5 C.55

D.255

[解析] 由题意知cos α＝25

＝25

5，所以sin ? ????32π－α＝－cos α＝－

25

5.

[答案] A

2．(2020·桂林一模)已知sin(5π－α)＝3sin ? ????

3π2＋α，则

cos ? ?

?

??α＋π4sin α＋2cos α

＝( )

A.22

5 B.－25 C ．－2 2 D ．－ 2

[解析] 由sin(5π－α)＝3sin ? ??

??

3π2＋α，得sin α＝－3cos α，所以tan α

＝－3，则

cos ? ?

???α＋π4sin α＋2cos α

＝

2

2(cos α－sin α)sin α＋2cos α

＝

2

2(1－tan α)tan α＋2

＝

22×4－1

＝－

2 2.故选C.

[答案] C

3．(2020·长春市第一次质量监测)把函数y ＝f (x )图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin(ωx ＋φ)? ?

???ω>0，|φ|<π2的图像(部分图像如图所示)，则y ＝f (x )的解析式为( )

A ．f (x )＝2sin ? ????2x ＋π6

B ．f (x )＝2sin ? ????x ＋π6

C ．f (x )＝2sin ?

??

??4x ＋π6 D ．f (x )＝2sin ?

?

?

??x －π6

[解析] 将(0,1)代入y ＝2sin(ωx ＋φ)中，得sin φ＝12.又|φ|<π

2，所以

φ＝π6.由“五点作图法”知点? ??

??11π12，0为图像上的第五点，则ω×11π

12

＋π

6＝2π，解得ω＝2，所以y ＝2sin ? ????2x ＋π6，将其图像上所有点的横

坐标缩短成原来的1

2，得y ＝f (x )＝2sin ? ??

??4x ＋π6的图像，故选C. [答案] C

4．(2020·四省八校联考)如图是函数f (x )＝3sin ? ?

???ωx ＋5π6(ω>0)的部分图像，若|AB |＝4，则f (－1)＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－3

2

D.32

[解析] 设f (x )的最小正周期为T ，则|AB |2

＝(23)2

＋? ??

??T 22

，

即16＝12＋T 24，则T ＝4，所以T ＝4＝2πω，ω＝π

2， 所以f (x )＝3sin ?

????π2x ＋5π6，

所以f (－1)＝3sin ? ??

??－π2＋5π6＝3sin π3＝3×32＝32. [答案] D

5．(2020·广东四校联考)已知函数f (x )＝sin ? ?

???x －π3，若x 1x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝0，则|x 1＋x 2|的最小值为( )

A.π6

B.π3

C.π2

D.2π

3

[解析] 由题意可得x 1，x 2的符号相同，且?

?

?

??x 1－π3＋?

??

??x 2－π3＝2k π，

k ∈Z ，或? ????x 2－π3－? ????x 1－π3＝k π，k ∈Z ，所以x 1＋x 2＝2k π＋2π

3，k ∈Z ，故|x 1＋x 2|的最小值为2π

3，故选D.

[答案] D

6．(2020·重庆二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?

???ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，直线x ＝π

4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在

? ??

??

π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5

[解析] 因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，直线x ＝π

4为y ＝f (x )图像的对称轴，

所以π4－? ????－π4＝π2＝kT 2＋T

4(k ∈Z ，T 为最小正周期)，

化简得T ＝2π2k ＋1

(k ∈Z )，即ω＝2π

T ＝2k ＋1(k ∈Z )．

又f (x )在? ??

??π18，5π36上单调，所以T 2≥5π36－π18， 结合T ＝2π2k ＋1

(k ∈Z )可得，k ≤11

2且k ∈Z .

当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π

4， f (x )在? ????π18，5π36上不单调；当k ＝4

时，ω＝9，φ＝π

4， f (x )在?

??

??π18，5π36上单调，满足题意，故ω的最大值

为9.

[答案] B 二、填空题

7．(2020·山西运城二模)已知cos ? ????π6－α＝33，则cos ? ??

??5π6＋α－sin 2?

?

?

??α－π6＝________.

[解析] 因为cos ? ????5π6＋α＝cos ??????π－? ????π6－α ＝－cos ? ??

??π6－α＝－3

3， sin 2?

????α－π6＝sin 2??????－? ????π6－α＝sin 2? ??

??π6－α ＝1－cos 2?

????

π6－α＝1－? ??

??332＝23，

所以cos ? ????5π6＋α－sin 2

? ????α－π6＝－33－23＝－2＋33.

[答案] －2＋3

3

8．(2020·安徽六安一中模拟)若函数f (x )＝sin ? ?

???ωx ＋π6(0<ω<1)在区

间(π，2π)内有最值，则ω的取值范围为________．

[解析] 函数f (x )＝sin ?

??

??ωx ＋π6(0<ω<1)取最值时，ωx ＋π6＝k π＋π

2，

k ∈Z ，即x ＝1ω? ?

?

??k π＋π3(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π，2π)内有最值，所

以1ω? ????k π＋π3∈(π，2π)时，k 有解，所以1<1ω·? ????

k ＋13<2，即?????

ω

6<ω

?k 2＋16<ω－13.当k ＝0时，16<ω<1

3，当k ＝1

时，结合0<ω<1，得2

3<ω<1，所以ω的取值范围为? ????16，13∪? ??

??23，1.

[答案] ? ????16，13∪? ??

??

23，1 9．(2020·江西南昌重点中学段考测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

????0<ω<3，|φ|<π2，若f ? ????－π12＝f ? ????

5π12＝0，则f (π)＝________. [解析]

解法一：因为f ? ????－π12＝f ? ??

??

5π12＝0，所以

?????

sin ? ????

－πω12＋φ＝0，sin ? ??

??5πω12＋φ＝0，得?????

－π12ω＋φ＝k 1π，

5π12ω＋φ＝k 2π

(k 1，k 2∈Z )，两式相

减得，1

2ω＝k 2－k 1(k 1，k 2∈Z )．因为0<ω<3，且k 2－k 1是整数，所以

ω＝2.将点?

??

??－π12，0看作“五点”中的第一点，则－π

6＋φ＝0，所以φ

＝π6，满足|φ|<π2.所以f (x )＝sin ?

????2x ＋π6，所以f (π)＝12. 解法二：设f (x )的最小正周期为T ，由f ? ????－π12＝f ? ????

512π＝0可得x

＝－π12和x ＝5π12是函数f (x )的两个零点，所以k 1·T 2＝5

12π－? ????－π12＝π2(k 1

∈N )，即T ＝πk 1

(k 1∈N )，又知T ＝2π|ω|(ω>0)，所以2πω＝π

k 1

(k 1∈N )，所以

ω＝2k 1(k 1∈N )，又0<ω<3，所以当k 1＝1时，ω＝2.所以f (x )＝sin(2x

＋φ)．由f ? ??

??－π12＝0，得－π6＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，所以φ＝k 2π＋π

6(k 2∈Z )，

又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝sin ?

??

??2x ＋π6，所以f (π)＝1

2.

[答案] 1

2 三、解答题

10．(2020·北京西城二模)已知函数f (x )＝tan ? ?

???x ＋π4.

(1)求函数f (x )的定义域；

(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ?

?

?

??β－π4，求β的值．

[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π

4，k ∈Z . 所以函数f (x )的定义域是{x ??????

x ≠k π＋π4，k ∈Z .

(2)依题意，得tan ?

??

??β＋π4＝2cos ?

?

?

??β－π4.

所以sin ? ?

?

?

?β＋π4cos ? ?

?

?

?β＋π4＝2sin ? ????β＋π4. 整理得sin ?

????β＋π4·?

???

??2cos ?

?

?

??β＋π4

－1＝0， 所以sin ? ????β＋π4＝0或cos ? ????β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈? ????

π4，5π4.

由sin ? ????β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π

4；

由cos ? ????β＋π4＝12，即β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12或β＝3π4.

11．(2020·云南曲靖一中模拟)已知函数f (x )＝2cos x sin ? ?

???x －π3＋3

sin 2x ＋sin x cos x .

(1)求函数f (x )的最小正周期．

(2)若f (x )－m ＝0在???

???0，2π3恰有一实数根，求m 的取值范围．

[解] (1)函数f (x )＝2cos x sin ? ?

?

??x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x

?

?

??

?sin x cos π3－cos x sin π3＋

3

sin 2x

＋

sin x cos x

＝

2cos x ·

? ??

??12sin x －3

2cos x ＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x －3cos 2x ＋3sin 2

x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ? ?

?

??2x －π3. 故函数f (x )的最小正周期为2π

2＝π.

(2)在x ∈??????0，2π3时，f (x )＝2sin ? ?

?

??2x －π3的图像如下．

∵f (0)＝2sin ? ????－π3＝－3，f ? ????2π3＝2sin ? ??

??

4π3－π3＝0，

∴当方程f (x )－m ＝0在?

??

?

??0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为

[－3，0)∪{2}．

12．(2020·山东济南一模)已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ?

??

??3π2－x －

3cos 2x ＋ 3.

(1)求f (x )的最小正周期和图像的对称轴方程；

(2)当x ∈???

?

??0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．

[解] (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2

x ＋3＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋3＝12sin2x －3

2

cos2x ＋32＝sin ?

????2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π

2＝π；

令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π

12(k ∈Z )， 故所求图像的对称轴方程为x ＝k π2＋5π

12(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π

6.

由函数图像(图略)可知，－3

2≤sin ? ????2x －π3≤1，

即0≤sin ? ????2x －π3＋32≤2＋3

2.

故f (x )的最小值为0，最大值为2＋3

2.