大学物理 质点运动学

r t t r t r dr lim t dt t 0 t
速度（质点在某时刻）是该时刻位矢对时间的一阶导数
速度的大小：速率 速度方向：t → 0 时，r 的极限方向 在 P 点的切线并指向质点前进的运动方向
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动画《01位矢与速度》
x0 10m x1 10 8 1 4 12 14m x2 10 8 2 4 22 10m
v 01 4( m s ) 方向与x轴正向相同
v 12 4( m s ) 方向与 x轴正向相反
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例2 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的关系为 x =10 + 8t - 4t2,求： （1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。 （2）质点在t = 0、1、2秒时的速度。
提出准确的物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。
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补充： 坐标的发展历史
1.笛卡儿直角坐标 用三个变量来描述物体在空间任一点的
位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用来表示三 个坐标轴方向的单位矢量。
2.曲线坐标：极坐标、柱坐标、球坐标和自然坐标 用两个
或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。其代表坐标 轴方向的单位矢量为变矢量
v t dv a 2t dv 2tdt v t 2 0 0 dt x t dx 1 3 2 2 vt dx t dt x t 0 0 dt 3 8 t 2时有 v 4(m/s) x ( m) 3
坐标历史上的第一次飞跃。
球坐标 (r , , )
柱坐标 ( , , z )
3. 广义坐标
反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。
它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析 力学的基础。 广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动 力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简
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二、坐标系
任何物体的位置总是相对于其他物体或物体系来决定的。 ——参考物 运动的绝对性和相对性 1、运动的绝对性：任何物体任何时刻都在不停地 运动着 2、运动的相对性：物体运动的形式随参考物的不 同而不同 为了定量地描述质点的位置或运动，须在参考物上建 立固定的坐标系。
选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质； 建立恰当的坐标系，以定量描述物体的运动；
P
P点矢径 r 方向
2 2 2 r r x y z
y cos r z cos r

X
k
i
β β O j
y
r
z
x
Y
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运动方程
质点相对参考系的运动，可用位矢随时间的变化来 描述。位矢 r 随时间 t 的变化的函数关系
r r (t )
称为质点的运动函数的矢量表示式。 位置坐标 x, y, z 随时间变化的函数关系 x=x(t), y=y(t), z=z(t)
地面参考系
太阳参考系
X
o
Y
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地心参考系
实验室参考系： 固定在实验室的参考系
§ 1.2、质点的位矢、位移和速度
P点的位置矢量（位矢）： r
在直角坐标系中，P点坐标 (x,y,z)

P
O
r t
Z
Fra Baidu bibliotek
P点矢径 r 大小
x cos r
r xi yj zk
r1
v1
r r2
v2
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例2 一质点沿 x 轴作直线运动，其位置坐标与时间的 关系为 x =10 + 8t - 4t2 ,求： （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （2）质点在 t = 0、1、2 秒时的速度。
（） 1 t 0 解： t 1
t2
vt1 t2
x t
r
r1
o
r2
r
a ) r r2 r1
r r2 r1
b) r 为标量，r 为矢量
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六、速度（单位：米/秒）
平均速度
P
瞬时速度
r v t
v (t )
r
O
r P
r r
v
1
v lim
t 0
dr 2 i 2t j 解： v dt
t 0
v0 2i
t 2 v2 2i 4 j
大小： v2 22 42 4.47m / s 方向：
4 arctan 63 26 2 为 v2 与 x 轴的夹角
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v
v0
dv adt
0
t
v v0 at

x x0
dx dx v v0 adt dt dt
t 0 时，x x0
dx (v0 at )dt
0
t
1 2 x x0 v0t at 2
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上面求出了 v 和 x 与 a 的关系。
现在求 v 和 x 之间的关系：
V(t)
Δv
V(t+
△
t)
r 、 v
a
描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
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直角坐标系中 加速度
dv x dv y dv z dv a i j k dt dt dt dt a x i a y j az k
加速度大小
2 2 2 a a a x a y az
例1.1
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例1.2 已知质点的运动学方程为 r = Rcoswt i + Rsinwt j , 式中 R、w 为常量。试求：(1) 轨道方程； (2)任一时刻质点的速度和加速度。
Y vx
vy

R wt
O
X
O
Y ax a w t ay X
求速度和位矢公式
v t dv t 0时v v0 a dv adt dv a dt v0 0 dt v v0 at —匀加速运动的速度公式
dr v dr vdt dr (v0 at )dt dt dr (v0 at )dt
运动学——描述物体的运动； 动力学——物体运动与物体相互作用的关系。 静力学——物体在相互作用下的平衡问题。
相对论力学：以高速运动物体为研究对象。
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第一章 质点运动学
§1-1 参考系 §1-2 质点的位矢、位移和速度 §1-3 加速度 §1-4 匀加速运动 §1-5 抛体运动 §1-6 圆周运动 §1-7 相对运动
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位矢 r
注 意
位移r
速度 v
加速度 a

矢量性： 四个量都是矢量，有大小和方向
加减运算遵循平行四边形法则
瞬时性： r v a
r
某一时刻的瞬时量 不同时刻不同
过程量
相对性： 不同参考系中，同一质点运动描述不同 不同坐标系中，具体表达形式不同
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§ 1.4 匀加速运动
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本章学习时的困难：
内容在中学物理中已有涉及，学习时似懂非懂。
解决办法：
思考这样一个问题：究竟有什么新东西？
矢量描述
微积分计算
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§1.1 参考系
一、质点
质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况： 物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及 加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的 运动)。 物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物 体的变形及转动显得并不重要)。
t 0时r r0 r0 0 r t
1 2 r r0 v0 t at 2
—匀加速运动的位矢公式
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特殊情况：匀变速直线运动（a 为常数）
求v和x。
dv a dv adt dt
t 0 时，v v0
设质点沿 X 轴做匀变速直线运动，t =0 时，v =v0，x =x0）
一、运动学中的两类问题： 1、已知运动学方程，求速度、加速度
求导数
例1.1、1.2
dr v dt
d r a 2 dt
2
2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程 运用积分方法 结合一维运动来讨论（二维三维略复杂些）
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匀加速运动（ a 为常数） 初始条件: t 0时v v0 , r r0
§ 1.3 加速度（单位：米/秒2）（描述速度改变的快慢和方向）
平均加速度
V(t)
a
v t t v t t
v t
P
瞬时加速度
P · · r (t ) r (t t )
1
V(t+
△t)
o 2 v d v d r a (t ) lim 2 t 0 t dt dt 加速度是速度对时间的一阶导数 或位矢对时间的二阶导数
dv dv dx dv a v vdv adx dt dx dt dx
t 0 时，x x0


v
v0
vdv adx
x0
x
v v 2a( x x0 )
2 2 0
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更特殊情况：自由落体运动

v v0 at
1 2 x x0 v0t at 2
化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标(分
析力学第4章），使微振动方程的求解过程非常简单 坐标概念的第二次飞跃
4. 正则共轭坐标（分析力学第6章）
坐标概念的第三次飞跃
三、参考系
一个固定在参考物上的坐标系和相应的一套同步的钟 组成一个参考系。 同一质点的运动，若选择的参考系不同，对质点运 动的描述就会不同。 Z
2 2 2 v v v x v y vz
平均速率 瞬时速率
s v t
速度是矢量， 速率是标量。
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s ds v lim t 0 t dt
例1 已知质点的运动学方程分量 式为：
x =2t y = 6-2t2
式中 x、y 的单位是 m，t 的单位 是 s ，试求： (1) 轨道方程，并画出轨迹图； (2) t =1s 到 t =2s 之内的位移r 和 平均速度 v (3) t =1s 到 t =2s 两时刻的瞬时速 度 v1 和 v2 。
称为质点运动方程的分量式
轨道：质点运动时所经过的路线 路程：质点在一段时间内沿轨道经过的距离
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五、位移 —— 位置的改变
r r (t t ) r (t )
位移是矢量，有大小和方向 直角坐标系中
r ( x2 x1 ) i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 ) k xi y j z k
v0 0, x0 0, a g
v gt
1 2 x gt 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
v 2 gx
2
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例1.3
例 一质点沿X 轴做直线运动，加速度 a =2t (m· s-2) ， t =0 时，质点的位置坐标 x0=0，速度v0=0，试求 t=2s 时 质点的速度和位置。 dv 解：已知a 2t dt
华中师范大学物理学院《大学物理学》电子教案 配合张三慧编著《大学物理学B版(第三版)》使用
第1篇
力 学
1
物理学按研究物体的尺度及运动速度划分
高速运动
微观物质
宏观物质
低速运动
2
力学是研究机械运动及其规律的学科
机械运动是一个物体相对于另一个物体的位置，或
一个物体内部的一部分相对于其他部分的位置随时间 的变化过程。 经典力学（牛顿力学）：低速，宏观物体
dx （2）v t 8 8t dt
代入 t = 0 , 1 , 2 得：
v0 8 m/s
与x轴正向相同
v1 0
此时转向
v2 8 m/s
与x轴正向相反
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例 3 用矢量表示二维运动，设
2 r 2 t i (2 t ) j
求 t =0 秒及 t =2 秒时质点的速度，并求后者的大小 和方向。
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直角坐标系中 瞬时速度
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt vx i v y j vz k
r xi y j z k
速度大小
平均速度
r x y z v i j k t t t t vx i v y j vz k
s P r
r (t )
O

P 1
r (t t )
s 与 r 的区别： 1、s 为路程(轨道长度)，是标量
2、一般情况下，|r|≠s。质点做单方向直线运动 时，才有 |r|＝s，或 t 0 dr ds 元位移的大小 ＝ 元路程
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思考题： r 与 r 的区别