2017-2018学年上海市复旦大学附中高一下学期期中考试数学试题

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【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(PDF版,无答案)

(填所有正确命题的序号）.
10、若
x ∈ (− ∞,2) ，则
5-4x + x2 2−x
的最小值为
11、设函数 f (x) = x − 2 ，若不等式 f (x + 3) > f (x) + m 对任意实数 x 恒成立，则 m 的取值范围是
.
12、对于实数 A 和正数 B ，满足 x − A < B （ A∈ R，B > 0 ）的实数 x 的集合叫做 A 的 B 邻域.已知 t 为给定的正
.
2
5、设 M = {a, b}，则满足 M ∪ N ⊆ {a,b, c}的集合 N 的个数为
.
( ) 6、函数 f (x) = 1− a2 x2 + 3(1− a)x + 6 的定义域为 [- 2，1]，则 a 的值为
.
7、已知函数 f (x) = (m − 2)x + (2m − 3) ，无论 m 取什么实数，函数 f (x) 的图始终过一个定点，该定点的坐标为
立”.给出以下四个命题：
（1）若 f (3) > 9 ，则 f (4) ≥ 16 ；（2） f (3) = 10 ，则 f (5) > 25 ；（3）若 f (5) = 25 ，则 f (4) ≤ 16 ；（4）若 f (x) ≥ (x +1)2 ，则 f (x +1) ≥ x2
A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
命题（填“真”或“假”）.
{ } { } 3、已知集合 A = y | y = x2 − 2x − 3 , B = y | y = −x2 + 2x +13 ,则 A ∩ B =
.
4、已知“ a ≤ x ≤ a + 1 ”是“1- 2a < x < 3a + 2 ”的充分非必要条件，则实数 a 的取值范围是

复旦附中高一下期中(2019.4)

复旦大学附属中学2018学年第二学期高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟；满分150分；所有答案均做在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知1690α=︒，()2,0θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= ．2．已知函数()()tan 04f x ax a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则a = ．3．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是弧度．4．已知α是第三象限的角，则()()sin cos cos sin αα⋅的符号是号．（填正或负） 5．角α终边上有点()(),50P x x <，且cos 13xα=，则cot α= ． 6．若()tan cos 2f x x =，则()2f = ．7．已知函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是其单调区间，则ω的取值范围是．8．已知1cos cos 638ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 2α= ．9．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在A BC △中，,,a b c 分别是角是,,A B C 的对边，已知22,45b A =∠=︒，求边c ．显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是．10．函数()1cos sin xf x x-=的值域． 11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为米．12．设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2012log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩≤≤，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[]4,5-上零点的个数是8个，则a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13．在A BC △中，“1sin 2A =”是“6A π=”的． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件BAC第11题14．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，下列结论正确的是．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图像C 关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图像C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数15．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是A BC △的三条边长，则下列结论：①对于一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x x a 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③A BC △为钝角三角形，存在()1,2x ∈，使()0f x =．其中正确的个数为个．A ．3B ．2C ．1D ．0 16．若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是．A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应的置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1题满分7分，第2题满分7分）已知函数()2cos 2f x x x =+．（1）求()y f x =的单调增区间；（2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．18．（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）在A BC △中，已知22sin cos212A BC ++=，外接圆半径2R =．（1）求角C 的大小；（2）试求A BC △面积S 的最大值．19．（本题满分14分，第1题满分7分，第2题满分7分）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0,0,22A ππωϕ>>-<<）的图像与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向左平移()()0,2a a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．20．（本题满分16分，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11A A H α∠=．（1）用α表示线段1A H ；（2）设1A H x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．第19题 A CB DEFGH A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1第20题21．（本题满分18分，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=，和式()()11ni i i f x f x M -=-∑≤恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”．注：121ni n i a a a a ==+++∑．（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x --≤成立}．求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos ,01,20,0x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩≤不是[]0,1上的“绝对差有界函数”．参考答案一、填空题 1．1118π- 2．12 3．2π-4．负 5．125- 6．35- 7．(]0,1 8351- 9．(2,22 10．()(),00,-∞+∞ 11．23+ 12．()0,1【第10题解析】()()1cos tan ,sin 2x xf x x k k x π-==≠∈Z ，∴其值域为()(),00,-∞+∞【第11题解析】设A C x =，则0.5AB x =-，由余弦定理，得2222142cos601BC A B A C BC A C BC x BC -=+-⋅⋅︒⇒=-，令1,0t BC t =->，则()2133144422223t x t t tt t+-==++⋅=≥当且仅当3t =时，即31BC =时，AC 取得最小值23 【第12题解析】转化为()y f x =与y a =在区间[]4,5-部分的图像有8个交点时，求a 的取值范围的问题，数形结合，易得()0,1a ∈ 二、选择题13．B 14．B 15．A 16．C 【第15题解析】令()()1x xxf x a bg x c c c ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易证()g x 在R 上单调递减， ∴当1x <时，()()10a b cg x g c+->=>，【0a b c +->由三角形两边和大于第三边得出】又0x c >，∴(),1x ∈-∞时，都有()()0x f x c g x =⋅>，∴①正确；取3,2,3,4x a b c ====，则242764x x x xa b c +=+<=，∴②正确；A BC △为钝角三角形，222222cos 002a b c C a b c ab+-=<⇒+-<， ∴()222220a b c g c +-=<，从而()()2220f c g =⋅<，又()()110f c g =⋅>， ∴()()120f f ⋅<，于是由零点存在性定理，可知③正确【第16题解析】（改编自2018徐汇二模11题）∵()24sin 21x xf x x +=-+为奇函数，∴4M m +=， ∴()4sin 44sin 43333g x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易得4sin 4y x x =+的对称中心为(),4k k k ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，【对称中心为sin40x =时函数图像上的点】4sin 4y x x =+的图像向右平移12π个单位，向上平移3π个单位即得()g x 的图像， ∴()g x 的对称中心为(),4123k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，1,0,5k =分别对应选项A ，B ，D ，∴选C三、解答题17．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， ∴()y f x =的单调增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()[]1,2y f x =∈-，∴()f x 的最大值为2，最小值为1-．18．（1）()2222sin cos21cos212sin 2cos 1cos cos 22A B A BC C C A B C +++=⇒=-⇒-=+=-，解得1cos 2C =或cos 1C =-（舍），∴3C π=；（2）由正弦定理，得2sin c R C ==由余弦定理，得2221122cos 222c a b ab C ab ab ab ==+--⋅=≥，当且仅当a b ==ab 取得最大值12，∴11sin 1222S ab C =⋅=≤A BC △面积S 的最大值为19．（1）由题意，2A =，1222T πω=⇒=， ()102cos 1cos 2f ϕϕ==⇒=，∵22ππϕ-<<，∴3πϕ=-或3πϕ=（舍，不满足函数图像）， ∴函数()f x 的解析式为()12cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()()12cos 23g x x a π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，∵()y g x =是奇函数，∴()()02cos 02232323a a g k a k k ππππππ⎛⎫=-=⇒-=-⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，又()0,2a π∈，∴53a π=．20．（1）11114sin 4sin tan sin cos 1A H A H A H A H ααααα++=⇒=++，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）14sin 4sin cos 1A H x y x y x ααα=⇒==--++，两边平方并化简，得()()2224840x x y x x y -++-=，显然0y ≠，∴22448x x y x x -=-+，()0,4x ∈；（3）()1122132sin cos 164164162tan sin cos 1A A H x S S ααααα=+=+⋅⋅=+++△，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令(sin cos t αα=+∈，则()()2216132163211t S t t -=+=-++，易证S 在(t ∈上单调递增，∴当t =4πα=时，S 取得最大值64-．21．（选自2016浦东二模试题）（1）因为()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数，所以当1,0,1,2,1i i x x i n +<=-时，有()()1,0,1,2,1i i f x f x i n +<=-，所以()()()11022ni i i f x f x f f π-=⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∑．从而对区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的任意划分：01102n n x x x x π--=<<<<=，存在2M =，()()112nii i f x f x -=-∑≤成立．综上，函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”．（2）证明：任取()f x A ∈，存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x --≤成立．从而对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=，和式()()()1111n nii ii i i f x f x k xx k b a --==--=-∑∑≤成立．取()M k b a =-，所以集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”．（3）取区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<<<-，则有：()()211121(21)1212cos 0cos cos coscos2221222222ni i i n n n f x f x n n n πππππ-=--=-+-++--∑1481111111111111244881616222ni i==>++++++++++=+++++∑个个所以对任意常数0M >，只要n 足够大，就有区间[]0,1的一个划分： 111012212n n <<<<<-满足()()11ni i i f x f x M -=->∑．所以函数()cos ,01,20,0x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩≤不是[]0,1的“绝对差有界函数”．。

上海市复旦大学附中2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版缺答案

复旦大学附属中学2016学年第二学期高一年级数学期中考试试卷2017.4考试时间100分钟，满分120分一、填空题（每题4分，共48分）1.半径为2，圆心为︒300的圆弧的长为2.函数|tan |x y =的对称轴是3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线上x y 3=，则=θ2sin4.求函数)22sin()(π+-=x x f 的单调递减区间 5.若锐角βα，满足=-=+=ββααcos ,135)cos(,53cos 则 6.已知函数,-91lg(tan )(2x x x f +-=），则)(x f 的定义域是 7.若长度为6,4,422++x x x 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 取值范围是8.若函数]3,0[)10(sin 2)(πωω在区间<<=x x f 上的最大值是2，则ω＝ 9.如图所示，在塔底Ｂ测得山顶Ｃ的仰角为︒60，在山顶测得塔顶Ａ的仰角为︒45，已知塔高米20AB =，则山高=DC 米10.函数xx x x y cos sin 1cos sin ++=的值域为 11.已知,5)10(sin ),,(4cos sin )(333=︒∈++=f R b a x x b x a x f 且则=︒)100(cos f12.设,cos )(),sin ()(1,x b x g x b a x f b a +=+=的自然数，函数均为大于若存在实数m ，使得),()(m g m f =则=+b a二、选择题（每题４分，共１６分）13.若ＭＰ和ＯＭ分别是角67π的正选线和余弦线，则（） 0MP A <<OM 、Ｂ、ＯＭ＞０＞ＭＰＣ、ＯＭ＜ＭＰ＜０Ｄ、ＭＰ＞０＞ＯＭ14.已知),2,0(,πβα∈则下列不等式一定成立的是（）βαβαsin sin )sin(.A +<+βαβαs i n s i n )s i n (.B +>+ βαβαsin sin )cos(C.+<+ βαβαc o s c o s )c o s (.D +>+15.把函数x y 2sin =的图像沿着轴x 向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变）后得到函数)(x f y =的图像，对于函数)(x f y =有以下四个判断：）（1该函数的解析式为)62sin(2π+=x y ；）（2该函数图像关于点）（0,3π对称；）（3该函数在]6,0[π上是增函数；）（4若函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3，则32=a 其中正确的判断有（）个1.A 个2.B 个3.C 个4.D16.定义在区间]3,3[ππ-上的函数图像与的图像的交点个数为（）个12.A 个14.B 个16.C 个18.D三、解答题（本题共５大题，满分５６分） 17.是第四象限角且分）已经（θπθ,257)32cos(10=-，的值。

2017-2018年上海市复旦附中高一上学期数学期中试卷带答案

2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}0则A∩（C U B）=．2．（3分）命题“如果a+b＞0，那么a＞0且b＞0”的否命题是命题（填“真”或“假”）3．（3分）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=．4．（3分）已知α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（3分）设M={a，b}，则满足M∪N⊆{a，b，c}的集合N的个数为．6．（3分）函数f（x）=的定义域为[﹣2，1]，则a的值为．7．（3分）已知函数f（x）=（m﹣1）x+2m﹣3，无论m取什么实数，函数f（x）的图象始终过一个定点，该定点的坐标为．8．（3分）已知关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4=0有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k的取值范围为．9．（3分）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是．（填所有正确命题的序号）10．（3分）若x∈（﹣∞，2），则的最小值为．11．（3分）设函数f（x）=x﹣2，若不等式|f（x+3）|＞|f（x）|+m对任意实数x恒成立，则m的取值范围是．12．（3分）对于实数A和正数B，称满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B领域，已知t为给定的正数，a、b为正数，若a+b﹣t的a+b领域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为．二.选择题13．（3分）设实数a1，a2，b1，b2均不为0，则“成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的函数有（）个．A．4 B．6 C．8 D．915．（3分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．先给出以下四个命题：（1）若f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）若f（3）=10，则f（5）＞25；（3）若f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2，则f（x+1）≥x2．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（3分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|=1且|T|=0 B．|S|=1且|T|=1 C．|S|=2且|T|=2 D．|S|=2且|T|=3三.解答题17．已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}，是否存在这样的实数m，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．18．我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？19．已知集合A={ x|0}，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合 A 及集合B；（2）若A∩B=B，求实数 a 的取值范围．20．已知函数，m＞0，满足f（2）=﹣2．（1）求实数m的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数f（x）的图象，并且根据图象判断：若关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解，求实数k的取值范围（直接写结论）21．已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对任何x1，x2∈D f （其中D f为函数f（x）的定义域），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a、b（a＜b），用M表示集合M中定义域为区间[a，b]的函[a，b]数的集合．定义：已知h（x）是定义在[p，q]上的函数，如果存在常数T＞0，对区间[p，q]的任意划分：p=x0＜x1＜…＜x n﹣1＜x n=q，和式|h（x i）﹣h（x i=1）|≤T恒成立，则称h（x）为[p，q]上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为h（x）的“绝对差上界”，T的最小值称为h（x）的“绝对差上确界”，符号；求证：集合M中的函数h（x）是“绝对差有界函数”，并求h（x）的“绝[﹣1009，1008]对差上确界”．2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}0则A∩（C U B）={﹣1，2} ．【解答】解：由集合B中的方程x2=x，解得x=0或1，∴B={0，1}，又全集U=Z，∴C U B={x|x≠0，且x≠1，x∈Z}，∴A∩（C U B）={﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}2．（3分）命题“如果a+b＞0，那么a＞0且b＞0”的否命题是真命题（填“真”或“假”）【解答】解：命题P：“如果a+b＞0，那么a＞0且b＞0．”则命题P的否命题是￢P：“如果a+b≤0，那么a≤0或b≤0．”且为真命题．故答案为：真．3．（3分）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B= [﹣4，14] ．【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，则A∩B=[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]4．（3分）已知α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（，+∞）．【解答】解：∵α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则，解得：a＞，故答案为：（，+∞）．5．（3分）设M={a，b}，则满足M∪N⊆{a，b，c}的集合N的个数为8．【解答】解：∵M={a，b}，满足M∪N⊆{a，b，c}，∴集合N是集合{a，b，c}的子集，∴满足M∪N⊆{a，b，c}的集合N的个数为23=8，故答案为：8．6．（3分）函数f（x）=的定义域为[﹣2，1]，则a的值为2．【解答】解：由二次根式的定义，得（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是[﹣2，1]，∴（1﹣a2）＜0，且﹣2和1是方程（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6=0 的2个根；∴﹣2+1=①，﹣2×1=②；解得a=2．故答案为：2．7．（3分）已知函数f（x）=（m﹣1）x+2m﹣3，无论m取什么实数，函数f（x）的图象始终过一个定点，该定点的坐标为（﹣2，﹣1）．【解答】解：函数f（x）=（m﹣1）x+2m﹣3=m（x+2）﹣x﹣3，令x+2=0，求得x=﹣2，y=﹣1，故无论m取什么实数，函数f（x）的图象始终过一个定点，该定点的坐标为（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．8．（3分）已知关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4=0有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k的取值范围为（﹣3，1）．【解答】解：关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4=0有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，构造函数f（x）=x2+kx+k2+k﹣4，∵一根大于1，一根小于1，∴f（1）＜0，∴1+k+k2+k﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1．则k的取值范围是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．9．（3分）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．10．（3分）若x∈（﹣∞，2），则的最小值为2．【解答】解：y==，（x＜2）当且仅当x=1时取等号，则的最小值为2．故答案为：211．（3分）设函数f（x）=x﹣2，若不等式|f（x+3）|＞|f（x）|+m对任意实数x恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）=x﹣2，不等式|f（x+3）|＞|f（x）|+m对任意实数x恒成立，∴|x+1|﹣|x﹣2|＞m，而|x+1|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为﹣3，故有m＜﹣3，故答案为（﹣∞，﹣3）12．（3分）对于实数A和正数B，称满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B领域，已知t为给定的正数，a、b为正数，若a+b﹣t的a+b领域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为．【解答】解：因为：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴|x﹣（a+b﹣t）|＜a+b⇒﹣t＜x＜2（a+b）﹣t，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b﹣t=0⇒a+b=t．又因为：a2+b2≥2ab⇒2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2=t2．所以：a2+b2≥，当且仅当a=b时，上式取得最小值．故答案为：．二.选择题13．（3分）设实数a1，a2，b1，b2均不为0，则“成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：若=m，（m≠0），则a1=ma2，b1=mb2，∴不等式a1x+b1＞0等价为m（a2x+b2）＞0，若m＞0，则m（a2x+b2）＞0，等价为a2x+b2＞0，此时两个不等式的解集相同，若m＜0，m（a2x+b2）＞0，等价为a2x+b2＜0，此时两个不等式的解集不相同．即充分性不成立．若关于x的不等式a 1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同，即a 1a2＞0，∵a1，a2，b1，b2均不为0，∴若a1，a2＞0，则不等式的解为x＞．x＞，则=，即成立，若a1，a2＜0，则不等式的解为x＜．x＜，则=，即成立，即必要性成立，故“成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的必要不充分条件，故选：B．14．（3分）解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的函数有（）个．A．4 B．6 C．8 D．9【解答】解：由2x2+1=5，可得x=，由2x2+1=19，可得x=±3，∴当x∈{，﹣3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{﹣，3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{﹣，﹣3，3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{，﹣3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{，3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{，﹣3，3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{﹣，，﹣3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{﹣，，3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}；当x∈{﹣，，﹣3，3}时，函数y=2x2+1的值域为{5，19}．∴解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的函数有9个．故选：D．15．（3分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．先给出以下四个命题：（1）若f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）若f（3）=10，则f（5）＞25；（3）若f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2，则f（x+1）≥x2．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．可得：（1）当x=3时，f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）当x=3时，f（3）=10，则f（5）＞25；其逆否命题为：“当f（x+1）≤（x+1）2成立时，总可以推出f（x）≤x2成立”．（3）当x=5时，f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2=x2+2x+1＞x2，则f（x+1）≥x2．故四个命题均正确，故选：D．16．（3分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|=1且|T|=0 B．|S|=1且|T|=1 C．|S|=2且|T|=2 D．|S|=2且|T|=3【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），S={x|f（x）=0，x∈R}，g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），T={x|g（x）=0，x∈R}．当a=0，b2﹣4c＜0，|S|=1，|T|=0；故A可能当a≠0，b2﹣4c＜0，|S|=1，|T|=1；故B可能当a=0，b2﹣4c=0，|S|=2，|T|=1；当a≠0，b2﹣4c=0，|S|=2，|T|=2；故C可能当a=0，b2﹣4c＞0，|S|=3，|T|=2；当a≠0，b2﹣4c＞0，|S|=3，|T|=3；综上，只有D不可能发生，故选：D．三.解答题17．已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}，是否存在这样的实数m，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在M={1，}满足条件；理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程（m﹣1）x2+3x﹣2=0只有一个根，则m﹣1=0，或，解得：m=1，或m=，故M={1，}．18．我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【解答】解：设AB的长为x米，则宽BC为米，总造价y=400（2x+2•）•5+100••5+60×200=2000（2x+）+12000≥2000•2+12000=132000，当且仅当2x=，即x=15时，y取到最小值．故处理池的长AB设计为15米时，可使总造价y最低，最低造价为1322000元．19．已知集合A={ x|0}，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合 A 及集合B；（2）若A∩B=B，求实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）集合A={ x|≤0}={x|≤0}={x|x≤﹣2或﹣1＜x≤3}，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}，当a＜﹣1时，a+1＜0，此时B=∅；当a≥1时，a+1≥0，∴﹣a﹣1≤x+2a≤a+1，解得﹣3a﹣1≤x≤﹣a+1，∴B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；（2）A∩B=B，∴B⊆A，当a＜﹣1时，B=∅，满足B⊆A；当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，要使B⊆A，须或﹣a+1≤﹣2，解得﹣2≤a＜0或a≥3，即﹣1≤a＜0或a≥3，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[3，+∞）．20．已知函数，m＞0，满足f（2）=﹣2．（1）求实数m的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数f（x）的图象，并且根据图象判断：若关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解，求实数k的取值范围（直接写结论）【解答】解：（1）由，且f（2）=﹣2，得，解得m=﹣3或m=1，∵m＞0，∴m=1；（2）由（1）知，f（x）==，当x≥0时，由f（x）=，得f′（x）=（x≠4），∴f（x）在[0，4），（4，+∞）上为减函数；当x＜0时，由f（x）=﹣，得f′（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．作出函数图象如图：由图可知，要使关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解，则实数k的取值范围是（﹣2，0）．21．已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对任何x1，x2∈D f （其中D f为函数f（x）的定义域），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a、b（a＜b），用M表示集合M中定义域为区间[a，b]的函[a，b]数的集合．定义：已知h（x）是定义在[p，q]上的函数，如果存在常数T＞0，对区间[p，q]的任意划分：p=x0＜x1＜…＜x n﹣1＜x n=q，和式|h（x i）﹣h（x i=1）|≤T恒成立，则称h（x）为[p，q]上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为h（x）的“绝对差上界”，T的最小值称为h（x）的“绝对差上确界”，符号；中的函数h（x）是“绝对差有界函数”，并求h（x）的“绝求证：集合M[﹣1009，1008]对差上确界”．【解答】（1）解：f（x）属于集合M．事实上，任取x1，x2∈[﹣]，|f（x1）﹣f（x2）|=||=|x1+x2||x1﹣x2|，∵﹣≤x1≤，，∴﹣1≤x1+x2≤1，则0≤|x1+x2|≤1，∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|，即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M；（2）解：若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即|﹣|≤|x1﹣x2|，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|，∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1，∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M；（3）证明：取p=﹣1009，q=1008，则对区间[﹣1009，1008]的任意划分：﹣1009=x0＜x1＜…＜x n＜x n=1008，﹣1和式|h（x i）﹣h（x i=1）|=|h（x1）﹣h（x0）|+|h（x2）﹣h（x1）|+…+|h（x n））|﹣h（x n﹣1|=|x n﹣x0|=|1008﹣（﹣1009）|=2017=T．≤|x1﹣x0|+|x2﹣x1|+…+|x n﹣x n﹣1中的函数h（x）是“绝对差有界函数”，h（x）的“绝对差上确集合M[﹣1009，1008]界”T=2017．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2017学年复旦附中高一上期中一. 填空题1.已知全集，，，则__________【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出，最后求出．【详解】由题意得，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．2.命题“如果，那么且”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果，那么且”的逆命题为“如果且，那么”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．3.已知集合，，则__________【答案】【解析】【分析】分别求出集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．4.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设，∵“”是“”的充分不必要条件，∴ ，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5.设，则满足的集合的个数为__________【答案】8【解析】【分析】分别写出满足条件的集合后可得所求集合的个数．【详解】由题意得，满足题意得集合为，，，，，，共8个．故答案为8．【点睛】解题时要根据集合中元素的个数为标准进行求解，考查理解能力和判断能力，属于基础题．6.函数的定义域为，则的值为__________【答案】2【解析】【分析】由题意得不等式的解集为，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数的定义域为，∴不等式的解集为，∴是方程的两个根，∴，整理得，解得．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．7.已知函数，无论取什么实数，函数的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为，然后令且，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由变形得，解方程组得，所以函数的图象过的定点的坐标为．故答案为．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为（为参数）的形式，则以方程组的解为坐标的点即为定点．8.已知关于的方程有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令，则有，解不等式可得所求范围．【详解】令，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴，即，解得，∴实数的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．9. 给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】试题分析：（3）中时不等式不成立，故正确的只有（1）（2）（4）.考点：不等式的基本性质.10.若，则的最小值为__________【答案】2【解析】【分析】将原式变形后根据基本不等式求解．【详解】∵，∴．由题意得，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．11.设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为3，故有m<-3，由此求得m的取值范围．【详解】∵，不等式对任意实数恒成立，∴对任意实数恒成立，又表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．12.对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】先根据条件求出；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到，最后结合不等式的知识可求出的最小值．【详解】∵A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴，∴，解得．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴，∴．∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为．故答案为．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．二. 选择题13.设实数、、、均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【详解】（1）若，则，所以不等式即为，若，则可化为，所以两个不等式的解集相同，若，则可化为，此时两个不等式的解集不相同，所以充分性不成立．（2）若关于x的不等式与的解集相同，则，由于、、、均不为0，①若，则不等式的解为，由两不等式的解集相同可得，可得，即必要性成立．②若，同理可得，即必要性成立．综上可得“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的的必要不充分条件．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是准确把握充分必要条件的判断方法，解题时要结合定义求解；二是注意分类讨论思想方法在解题中的应用．本题具有综合性，考查分析问题和解决问题的能力．14.解析式为，值域为的函数有（）A. 4B. 6C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】根据的值求出相应的的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由，解得；由，解得．所以函数的定义域可为，共9种情况．故选D．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．15.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题的个数为（）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当成立时，总可以推出成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．16.设、、为实数，，，记集合，，若、分别为集合、的元素个数，则下列结论不可能是（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】D【解析】【分析】分和两种情况对方程根的个数进行进行分析后可得正确的结论，进而得到不可能的结论．【详解】①若，,，当时，；当时，；当时，．②若，,，则当时，；当时，；当时，．所以只有D不可能．故选D．【点睛】解答本题的关键是由方程根的情况得到、取值的所有可能，然后再根据选项进行判断，考查分析问题和分类讨论在解题中的应用，具有一定的综合性和难度．三. 解答题17.已知集合，是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出所有的的值组成的集合；若不存在，请说明理由.【答案】【解析】【分析】若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，进而可得答案【详解】存在满足条件．理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，①当，即时，由，解得，满足题意．②当，由A有且仅有一个元素得，解得．综上可得或，∴所有的的值组成的集合．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】时，总造价最低为132000元.【解析】【分析】设的长为米，进而得到宽为米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设的长为米，则宽为米，由题意得总造价为，当且仅当，即时等号成立．所以当净水池的长米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19.已知，集合，集合.（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），当，，当，，当，；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式得出集合A、B；（2）根据A∩B=B得出B⊆A，讨论B=和B≠时，求出满足条件的实数的取值范围．【详解】（1）由题意得．当，即时，；当，即时，；当，即时，．（2）∵，∴B⊆A．①当时，，满足B⊆A；②当时，，满足B⊆A；③当时，，由B⊆A得或，解得或，又，∴或．综上可得或，∴实数的取值范围为．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20.已知函数，，满足.（1）求实数的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数的图像，并且根据图像判断：若关于的方程有两个不同实数解，求实数的取值范围（直接写结论）【答案】（1）；（2）图象见解析，.【解析】【分析】（1）直接由f（2）=-2求得m的值；（2）把m值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解的实数k的取值范围．【详解】（1）∵，，且，∴，即，解得或，又，∴．（2）由（1）得，当时，，∴函数在和上为减函数；当时，，∴函数在上为增函数，且．画出函数图象如下图：..............................由图可知，要使关于x的方程有两个不同实数解，则，∴实数k的取值范围是．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21.已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数、，用表示集合中定义域为区间的函数的集合.定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”，的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.【答案】（1）属于集合；（2）；（3）略.【解析】【分析】（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明f（x）属于集合M．（2）若p（x）∈M，则有，然后可求出当时，p（x）∈M．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h（x）的“绝对差上确界”T的值．【详解】（1）设，则，∵，∴，∴∴，∴函数属于集合．（2）若函数，属于集合，则当时，恒成立，即对恒成立，∴对恒成立．∵，∴，∴，解得，∴存在实数，使得，属于集合，且实数的取值范围为．（3）取，则对区间的任意划分：，和式，∴集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。

【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2017学年复旦附中高一上期中填空题1.已知全集U=R, A={T,0,l,2}, B = {x|x2 = x},则A A =【答案】{-1,2}【解析】【分析】先求出集合B,再求出CuB,最后求出AHCuB.【详解】由题意得B={X|X2= X}=(0.1},■,- CuB = (.")u((M)u(]. + s),.•.AnCyBT-1,2}.故答案为{-1.2).【点晴】本题考査集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础題.2.命题“如果a + b>0,那么a>0且b>0”的否命题是命题(填“真”或“假”)【答案】真【解析】【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假.【详解】由题意得命题"如果a+b>0,那么a>0且b>0”的逆命题为“如果a>0且b>0,那么a + b>0” 其真命题，所以否命题为真命题. 故答案为“真”.【点晴】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解題时要根据条件选择合理的方法进行求解.3.已知集合A = {y|y = x2-2x-3}, B = (y|y = -x2 + 2x+13},则A AB-【答案】[-4,14]【解析】【分析】分别求出集合A.B,然后再求出AQB即可.【详解】由题意得A-{y|y = x2・2x・3}-{y|y=(x-l)2.4} = {y|yN -4},B = {y I y = . x2 + 2x + 13} = {y I y = - (x -1)2 + 14j = {y I y < 14},•・ AC1B = [.4,14].故答案为[.4,14].【点睛】本题考査集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合AB,属于简单题.4.已知“aga +孑是“ l・2a<x<3a + 2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是【答案】aR3【解析】【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论.【详解】设A= x a<x<a + - B = {x| 1 - 2a <x <3a + 2},*a<x<a + ^是'l.2a<x〈3a + 2”的充分不必要条件,l-2a〈3a + 2l-2a <a 1•• 1 ，解得a>;,a+ —〈3a + 2 32实数a的取值范围是（? + 8）.故答案为@ + oo）.【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；（2）根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式（组），求解.注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.5.设M = {&b},则满足MUNG^b.c}的集合N的个数为【答案】8【解析J盼析】分别写出満足条件的集合N后可得所求集合的个数.【详解】由题意得，满足题意得集合N为0, {a}, {b},{c}, (a,c}, {b,c}, (a,b} , {a,b,c},共8个.故答案为8.【点睛】解题时要根据集合N中元素的个数为标准进行求解，考査理解能力和判断能力，属于基础題.6.函数f(x) = ((12)x2+3(1*+ 6的定义域为[-2,1 J,则a的值为【答案】2【解析】【分析】由题意得不等式(l-a2)x2+ 3(l.a)x + 6>0的解集为[-2,1],然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论.【详解】.•函数f(x) = J(1 - a* + 3(1 - a)x + 6的定义域为[-2,1],••不等式(1“浓2 + 3(1.必+ 6?0的解集为[-2,1],.. x = - 2,x = I是方程(]. a2)x2 + 3(1 - a)x + 6 = 0的两个根,.4(l-a2)-6(l-a) + 6 = 0(l-a2) + 3(l-a) + 6 = 0，整理得！矿了#「解得a = 2 .Ia~ + 3a-10 = 0故答案为2.【点睛】本题以函数的定义域为载体，考査一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关蚀是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a的俏，考査转化能力和运算能力，属于基础题.7.已知函数f(x)=(m-l)x + 2m-3,无论m取什么实数，函数f(x)的图像始终过一个定点，该定点的坐标为【答案】(-2,-1)【解析】【分析】将函数解析式变形为(x + 2)m・x.y.3 = O,然后令x + 2 =0旦・x . y . 3 = 0,求得方程组的解后即可定点的坐标.【详解】由y・(m・l)x+2m-3变形得(x+2)m - x-y- 3-0,解方程组&篇％得疝彳，所以函数f(x)的图象过的定点的坐标为(-2,-1).故答案为(-2,-1).【点睛】本题考査一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为kf(x.y) + g(%y) = 0 (k为参数)的形式，则以方程组｛；修与号的解为坐标的点即为定点.8.已知关于x的方程x2 + kx + k2 + k-4 = 0有两个实数根，且一根大于1, 一根小于1,则实数k的取值范围为【答案】(-3.1)【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令f(x)=x2 + kx + k2+k-4,则有解不等式可得所求范围【详解】令f(x)=x2+kx + k2 + k-4,方程的一个实数根大于1,另一个实数根小于1,1 + k+k2 + k-4<0.即k2+2k-3<0>解得-3<k<l,实数g取值范围为(-3,1).故答案为(-3,1).【点晴】本题考査根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用.9-给出下列四个命题：(1)若a > b,c a d,则a-d > b-c;(2)若a2x>a2y .则x>y;(3)a>b,则二a-b a(4)若以<0,则abvb，.a b其中正确命题的是.(填所冇正确命题的序号)【答案J (1) (2) (4)【解析】试题分析：(3)中a = 0时不等式不成立，故正确的只有(1) (2) (4).考点：不等式的基本性质10.若xe(-oo,2),则5—4X + X 的最小值为2-x【答案】2【解析】【分析】将原式变形后根据基本不等式求解.【详解】..•x<2, •••2-x>0.当且仅当2-x = d-，即x = l 时等号成立. 2-x••5~4X + X2的最小值为2. 2-x故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等.这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形. 11.设函数f(x)=x-2,若不等式|Rx+3)1 > |f(x)|十m 对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是【答案】mv-3 【解析】【分析】 |x+l|-|x-2|表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3,故有m<-3, 由此求得m 的取值范围.【详解】I f(x) = x - 2,不等式|f(x + 3)|> |f(x)| + m 对任意实数x 恒成立，二n 】Y|xi 1| -|x-2对任意实数X 恒成立，乂 |x+l|・X ・2|表示数轴上的x 对应点到・1对应点的距离减去它到2对应点的距离，.・.|x+l|・|x ・2|N ・3,二 m v • 3二实数m 的取值范围是(・皿・3).故答案为(・s ，・3).【点睛】本题考査恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的儿何意义求出|x +l|-|x-2|的最小值，考査转化和数形结合思想的运用能力. 12.对于实数A 和正数B,称满足不等式|x-A|<B (AGR,B>0)9!I 实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a +由题意得2—x 5—4x + x~ (2-x)~+ 1 —=^=(2-x)+ 2,b-t的a + b领域是一个关于原点对称的区间，则a2 + b2的最小值为【答案】L2【解析】【分析】先根据条件求出-t<x<2(a+b)-t;再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到 a + b = t ,最后结合不等式的知识可求出a2+ b2的最小值.【详解】.. A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，|x - (a + b -1)| < a + b,二- a- bvx-(a + b-t)va + b,解得-t<x<2(a + b)-t.邻域是一个关于原点对称的区间，二2(a + b) - 2t = 0,二a + b = t., a2 + b* > 2ab,.•・ 2(a2 + b2) > a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 = t2,•,•a2+ b2>-,当且仅当a = b时等号成立，2二a2 + b2M最小值为2故答案为2【点睛】本题以新概念为载体考査重要不等式的应用，考査变换能力和阅读理解能力.解题的美綻足根据题意得到a + b-t这-结论，然后再通过变形得到所求的最小值.二.选择題侣.设实数勺、全、b卜3不为0,则了禹成如是“关于满不等式"心。

2017-2018学年上海市复旦附中高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)

2017-2018学年上海市复旦附中高一第二学期期末数学试卷一.填空题1．在等差数列{a n }中，若a 4＝0，a 6+a 7＝10，则a 7＝2．在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第项 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，那么数列{a n }的通项公式为 4．若在等比数列{a n }中，a 1•a 2…a 9＝512，则a 5＝ 5．方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0的解集是 6．若数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，则a n n的最小值为7．若数列{a n }是等差数列，则数列b n =a n+1+⋯+a n+mm（m ∈N *）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n }是等比数列，则数列d n ＝也是等比数列 8．观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14＞2，1+12+13+⋯+18＞52，…，你可归纳出的不等式是．9．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n ＝ 10．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．对于数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1﹣a n ∈{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，记满足条件的所有数列{a n }中，S 12的最大值为a ，最小值为b ，则a ﹣b ＝ 12．设n ∈N *，用A n 表示所有形如2r 1+2r 2+⋯+2r n 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n ＝．二.选择题13．“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，则数列{a n }的最大项等于（） A ．a 7B ．a 8C ．a 6或a 9D ．a 1015．若数列a n =cos(π3n +π5)，若k ∈N *，则在下列数列中，可取遍数列{a n }前6项值的数列为（） A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 5k +1}16．数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n }为常数数列，则a ＝±1；（2）若a ∈（0，1），数列{a n }都是单调递增数列；（3）若a ∉Z ，任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，则{a k n }都是单调数列． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6＝96，a 3+a 7＝20，数列{b n }满足等式：a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n +n+12}的前n 项和S n ． 18．已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n，n 为偶数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．（1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ． 19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元．（1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列{a n−3n5}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较u n=a1+a3+⋯+a2n+1n+1和v n=a2+a4+⋯+a2nn的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题1．在等差数列{a n }中，若a 4＝0，a 6+a 7＝10，则a 7＝ 6 【分析】由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式得答案．解：在等差数列{a n }中，由a 4＝0，a 6+a 7＝10，得2a 4+5d ＝10，即d ＝2． ∴a 7＝a 4+3d ＝6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 7 项【分析】分别求出a 2﹣a 1，a 3﹣a 2，a 4﹣a 3，结果构成等比数列，进而推断数列{a n ﹣a n ﹣1}是首相为2，公比为2的等比数列，进而各项相加可得答案．解：a 2﹣a 1＝21，a 3﹣a 2＝22，a 4﹣a 3＝23，…依此类推可得a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1∴a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+a 4﹣a 3…+a n ﹣a n ﹣1＝a n ﹣a 1＝21+22+23+…+2n ﹣1＝2n ﹣2 ∴a n ﹣a 1＝2n ﹣2， a n ＝2n ﹣1， ∴2n ﹣1＝127，解得n ＝7，故答案为：7【点评】本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断{a n ﹣a n ﹣1}是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，那么数列{a n }的通项公式为 a n ={0，n =12n −1，n ≥2【分析】运用数列的递推式：a 1＝S 1；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得到所求通项公式．解：数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，可得a 1＝S 1＝1﹣1＝0；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣1﹣（n ﹣1）2+1＝2n ﹣1，则a n ={0，n =12n −1，n ≥2，故答案为：a n ={0，n =12n −1，n ≥2．【点评】本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查运算能力，属于基础题． 4．若在等比数列{a n }中，a 1•a 2…a 9＝512，则a 5＝ 2 【分析】根据等比中项的性质即可求解．解：{a n }是等比数列，a m •a n ＝a p •a q ．由a 1•a 2…a 9＝512，即a 59=512， ∴a 5＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的性质，是基础题．5．方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0的解集是 {x|x =±arccos 13+2kπ，x =−π6+kπ，k ∈Z}【分析】直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用三角方程求出结果．解：方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0，整理得：（3cos x ﹣1）•2sin （x +π6）＝0．故：cos x =13或sin （x +π6）＝0，解得：x =±arccos 13+2kπ或x =−π6+kπ（k ∈Z ）．故方程的解集为{x |x =±arccos 13+2kπ，x =−π6+kπ，k ∈Z }故答案为：{x |x =±arccos 13+2kπ}，x =−π6+kπ，k ∈Z }【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，反三角的应用． 6．若数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，则a n n的最小值为235【分析】由数列恒等式：a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1），以及基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值．解：数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝13+1+2+…+（n ﹣1）＝13+12n （n ﹣1），则a n n =12n +13n −12，由12n +13n≥2√132=√26，当且仅当n =√26∉N *，由n ＝5可得12×5+135−12=235；由n ＝6可得12×6+136−12=143，则a n n的最小值为235．故答案为：235．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题． 7．若数列{a n }是等差数列，则数列b n =a n+1+⋯+a n+mm（m ∈N *）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n }是等比数列，则数列d n ＝ √c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 也是等比数列【分析】本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n }是等差数列，则当b n =a n+1+⋯+a n+mm时，数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =√c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 时，数列{d n }也是等比数列．解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n }是等差数列，则当b n =a n+1+⋯+a n+mm时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =√c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 时，数列{d n }也是等比数列．故答案为：√c n+1⋅c n+2⋯c n+mm【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．8．观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14＞2，1+12+13+⋯+18＞52，…，你可归纳出的不等式是1+12+13+⋯+12n≥n+22．【分析】观察左边可得左边为1+12+13+⋯+12n，右边为n+22，即可得到答案．解：1+12≥32，1+12+13+14＞2=42，1+12+13+⋯+18＞52，…，可得1+12+13+⋯+12n＞n+2 2，故答案为：1+12+13+⋯+12n＞n+22【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题9．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23【分析】根据题意结合数列的概念进行求解即可．解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+23【点评】本题主要考查数列的概念，结合题意进行转化是解决本题的关键．10．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为﹣505【分析】故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10＝55，由此能求出第10行所有数的和．解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．【点评】本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．11．对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝4017【分析】由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n＝2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b＝1+2+3+4+5+…+12，a＝1+2+22+23+24+…+211，计算即可得到a﹣b的值．解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211=1−2121−2=4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12=12(1+12)2=78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．设n ∈N *，用A n 表示所有形如2r 1+2r 2+⋯+2r n 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n ＝ n •（2n +1﹣1）．【分析】把集合A n 中每个数都表示为2的0到n 的指数幂相加的形式，并确定20、21、22、…、2n 每个数都出现n 次，于是利用等比数列求和公式计算b n =n(20+21+22+⋯+2n )，可求出数列{b n }的通项公式．解：由题意可知，r 1、r 2、…、r n 是0、1、2、…、n 的一个排列，且集合A n 中共有n +1个数，若把集合A n 中每个数表示为2r 1+2r 2+⋯+2r n 的形式，则20、21、22、…、2n 每个数都出现n 次，因此，b n =n(20+21+22+⋯+2n)=n⋅1(1−2n+1)1−2=n(2n+1−1)，故答案为：n •（2n +1﹣1）．【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．二.选择题13．“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若b 是1+√3与1−√3的等差中项，则b =1+√3+1−√32=1，若b 是2+√3与2−√3的等比中项，则b ＝±√(2+√3)(2−√3)=±1，则“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b 的值是解决本题的关键．14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，则数列{a n }的最大项等于（） A ．a 7B ．a 8C ．a 6或a 9D ．a 10【分析】在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，利用等比数列的通项公式可得：a n+1a n=（﹣1）n ﹣1•27﹣n ．可得a n =a 1×a 2a 1×a3a 2×⋯×a nan−1=(−1)(n−2)(n−1)22(n−1)(6+8−n)2，利用二次函数的单调性即可得出．解：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12， ∴a n+1a n=641×（−12）n ﹣1＝（﹣1）n ﹣1•27﹣n ．∴a n =a 1×a2a 1×a3a 2×⋯×a nan−1=1×（﹣1）0+1+……+（n ﹣2）×26+5+……+（8﹣n ）=(−1)(n−2)(n−1)22(n−1)(6+8−n)2， ∵(n−1)(14−n)2=−12(n −152)2+1698．由n ＝7或8时，(−1)(n−2)(n−1)2=−1，n ＝6或9时，a 6＝220＝a 9， ∴数列{a n }的最大项等于a 6或a 9．故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、累乘求积方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若数列a n =cos(π3n +π5)，若k ∈N *，则在下列数列中，可取遍数列{a n }前6项值的数列为（） A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 5k +1}【分析】推导出{a n }是以6为周期的周期数列，从而{a 5k +1}是可取遍数列{a n }前6项值的数列．解：∵数列a n =cos(π3n +π5)，k ∈N *， ∴a 1=cos 8π15，a 2=cos 13π15， a 3=cos 18π15，a 4=cos 23π15， a 5=cos28π15， a 6=cos 33π15=cos 3π15，a 7=cos 8π15，∴{a n }是以6为周期的周期数列，∴{a 5k +1}是可取遍数列{a n }前6项值的数列．故选：D ．【点评】本题考查可取遍数列{a n }前6项值的数列的求法，考查数列的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n }为常数数列，则a ＝±1；（2）若a ∈（0，1），数列{a n }都是单调递增数列；（3）若a ∉Z ，任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，则{a k n }都是单调数列． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】（1）由数列{a n }为常数数列，则a 2＝sin （π2a ）＝a ，解方程可得a 的值；（2）由函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，x ∈（0，1），求得导数和极值，可判断单调性；（3）由f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．解：数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，（1）若数列{a n }为常数数列，则a 2＝sin （π2a ）＝a ，解得a ＝0或±1，故（1）不正确；（2）若a ∈（0，1），π2a ∈（0，π2），a 2＝sin （π2a ），由函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，x ∈（0，1），f ′（x ）=π2cos （π2x ）﹣1，由π2x ∈（0，π2），可得极值点唯一且为m =2πarccos 2π，极值为f （m ）=√π2−4π−2πarccos 2π＞0，由f （0）＝f （1）＝0，可得a 2＞a 1，则a 3﹣a 2＝sin （π2a 2）﹣sin （π2a 1）＞0，即有a 3＞a 2，…，由于a n ∈（0，1），π2a n ∈（0，π2），由正弦函数的单调性，可得a n +1＞a n ，则数列{a n }都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a ∈（0，1），任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，{a k n }是单调递增数列；由f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）为奇函数；当0＜x ＜1时，f （x ）＞0，x ＞1时，f （x ）＜0；当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；x ＜﹣1时，f （x ）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a ＜1时，a ＜﹣1时，数列{a n }单调递增； ﹣1＜a ＜0时，a ＞1时，数列{a n }单调递减．数列{a n }都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C ．【点评】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．三.解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6＝96，a 3+a 7＝20，数列{b n }满足等式：a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n +n+12}的前n 项和S n ．【分析】（1）由已知列式求得a 4、a 6的值，进一步求出公差，则数列{a n }的通项公式可求；（2）把数列{a n }的通项公式代入a n =b 12+b 222+b 323+⋯+b n 2n ，得a n−1=b 12+b 222+b323+⋯+b n−12n−1（n ≥2），作差可得b n ，再由数列的分组求和可得数列{b n+n+12}的前n 项和S n ．解：（1）在等差数列{a n }中，由a 3+a 7＝20，得a 4+a 6＝20，又a 4a 6＝96，可得{a 4=8a 6=12或{a 4=12a 6=8．∵d ＞0，∴{a 4=8a 6=12，则d =a 6−a 46−4=2． ∴a n ＝a 4+2（n ﹣4）＝2n ；（2）由a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *），得a n−1=b 12+b 222+b 323+⋯+bn−12n−1（n ≥2）， ∴a n −a n−1=2=b n 2n ，即b n =2n+1（n ≥2）， ∵b 1=2a 1=4=22满足上式， ∴b n =2n+1．则b n +n+12=2n+1+n+12， ∴数列{b n +n+12}的前n 项和S n ＝（b 1+b 2+…+b n ）+12(1+2+⋯+n)+n2 =4(1−2n)1−2+12×n(n+1)2+n 2=2n+2−4+n(n+3)4．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，是中档题．18．已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．（1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ．【分析】（1）由a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，可得a 1＝b ﹣1，a 2＝9c ，a 3＝3b ﹣1，a 4＝81c ．根据a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．可得2a 3＝a 1+a 2，a 22=a 1a 4，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：a n ={2n −1，n 为奇数3n ，n 为偶数，可得S 2n ＝（a 1+a 3+……+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+……+a 2n ）＝（1+5+……+4n ﹣3）+（32+34+……+32n ），分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）∵a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，∴a 1＝b ﹣1，a 2＝9c ，a 3＝3b ﹣1，a 4＝81c ． ∵a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．∴2a 3＝a 1+a 2，a 22=a 1a 4，∴2（3b ﹣1）＝b ﹣1+9c ，81c 2＝（b ﹣1）×81c ，b ，c ≠0．联立解得：b ＝2，c ＝1．（2）由（1）可得：a n ={2n −1，n 为奇数3n，n 为偶数，∴S 2n ＝（a 1+a 3+……+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+……+a 2n ）＝（1+5+……+4n ﹣3）+（32+34+……+32n ）=n(1+4n−3)2+9(1−9n)1−9＝2n 2﹣n +9n+1−98，由S 2n =2n 2−n +9n+1−98＞20182，解得n ＞6． ∴n ＝7．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元．（1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．【分析】（1）由题意可得：a 2＝100000×（1+5%）2﹣m （1+5%）﹣m ．（2）a 10＝100000×（1.05）10﹣m ×（1.05）9﹣m ×（1.05）8﹣……﹣m ＝0，利用等比数列的求和公式即可得出．解：（1）a 2＝100000×（1+5%）﹣m （1+5%）2﹣m ＝110250﹣2.05m ．（2）a 10＝100000×（1.05）10﹣m ×（1.05）9﹣m ×（1.05）8﹣……﹣m ＝0，100000×1.0510−m(1−1.0510)1−1.05=0，解得：m =100000×0.05×(1.05)10(1.05)10−1≈12950．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *）．（1）判断数列{a n −3n5}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围．【分析】（1）由a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *），当a 1≠35时，a n+1−3n+15a n −3n 5=3n −2an −3n+15a n −3n 5=−2，即可得出结论．（2）由（1）可得：a n −3n 5=(a 1−35)×（﹣2）n ﹣1，可得a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n5＞0，n ≥2，可得a 2＞0，a 3＞0，即可得出．解：（1）∵a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *），则a 1≠35时，a n+1−3n+15a n −3n 5=3n −2a n −3n+15a n −3n 5=−2(a n −3n5)a n −3n 5=−2，∴a 1≠35时，{a n −3n5}为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n −3n5=(a 1−35)×（﹣2）n ﹣1，∴a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n 5＞0，n ≥2，∴a 2＞0，a 3＞0， ∴−34＜a 1＜32．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．如果数列{a n }对任意的n ∈N *满足：a n +2+a n ＞2a n +1，则称数列{a n }为“M 数列”．（1）已知数列{a n }是“M 数列”，设b n ＝a n +1﹣a n ，n ∈N *，求证：数列{b n }是递增数列，并指出2（a 5﹣a 4）与a 4﹣a 2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n }是首项为1，公差为2d 的等差数列，S n 是其前n 项的和，若数列{|S n |}是“M 数列”，求d 的取值范围；（3）已知数列{a n }是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，比较u n =a 1+a 3+⋯+a 2n+1n+1和v n =a 2+a 4+⋯+a 2nn的大小，并说明理由．【分析】（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列{b n }是递增数列；结合a 5＞2a 4﹣a 3，a 4＞2a 3﹣a 2，可得2（a 5﹣a 4）＞a 4﹣a 2；（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；（3）对一切n ∈N *，有u n ＞v n ．运用数学归纳法证明，注意验证n ＝1成立；假设n ＝k 不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．解：（1）证明：数列{a n }是“M 数列”，可得a n +2+a n ＞2a n +1，即a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n ，即b n +1＞b n ，可得数列{b n }是递增数列； 2（a 5﹣a 4）＞a 4﹣a 2；（2）数列{|S n |}是“M 数列”，可得|S 3|﹣|S 2|＞|S 2|﹣|S 1|，即|S 1|+|S 3|＞2|S 2|，可得1+|3+6d |＞2|2+2d |，即有{d ≤−11−3−6d ＞−4−4d 或{−1＜d ＜−121−3−6d ＞4+4d 或{d ≥−121+3+6d ＞4+4d ，即d ≤﹣1或﹣1＜d ＜−35或d ＞0，可得d ∈(−∞，−35)∪(0，+∞)；（3）数列{a n }是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，u n =a 1+a 3+⋯+a 2n+1n+1＞v n =a 2+a 4+⋯+a 2nn，运用数学归纳法证明：当n ＝1时，u 1=a 1+a 32，v 1＝a 2，显然a 3﹣a 2＞a 2﹣a 1即u 1＞v 1．设n ＝k 时，u k ＞v k ．即a 1+a 3+⋯+a 2k+1k+1＞a 2+a 4+⋯+a 2kk，可得k （a 1+a 3+…+a 2k +1）＞（k +1）（a 2+a 4+…+a 2k ），当n ＝k +1时，即证a 1+a 3+⋯+a 2k+1+a 2k+3k+2＞a 2+a 4+⋯+a 2k +a 2k+2k+1，即证（k +1）（a 1+…+a 2k +1+a 2k +3）＞（k +2）（a 2+a 4+…+a 2k +a 2k +2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。

上海市复旦大学附属中学2018学年第二学期(高一下)数学期中测试

（2）当
x
6
,
3
时，求
f
x
的最大值和最小值
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18. 在 ABC 中，已知 2 sin2 A B cos 2C 1，外接圆半径 R=2. 2
（1）求角 C 的大小；
（2）试求 ABC 面积 S 的最大值.
19.
已知函数
f
x
A
cos
x
A
0,
0, 2
2
的图像与
y
7.
已知函数
f
x
2
sin
x
4
0
，且
0,
4
是其单调区间，则
的取值范围是____________
8.
8
，
3
,
2
，
sin
2
____________
9. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在 ABC 中， a, b, c 分别是角是 A,B,C
轴的交点为（0,1），它在
y
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 x0, 2 和 x0 2 , 2 .
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）将函数 y f x 的图像向左平移 a a 0, 2 个单位后，得到的函数 y g x 是奇函数，求 a 的
值.
20. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为 4 的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中 8 个
复旦大学附属中学 2018 学年第二学期高一年级数学期中考试试卷
一、填空题
1. 已知 1690 ， 2 , 0 ，若角与的终边相同，则 ____________
2.

2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设实数、、、均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【详解】（1）若，则，所以不等式即为，若，则可化为，所以两个不等式的解集相同，若，则可化为，此时两个不等式的解集不相同，所以充分性不成立．（2）若关于x的不等式与的解集相同，则，由于、、、均不为0，①若，则不等式的解为，由两不等式的解集相同可得，可得，即必要性成立．②若，同理可得，即必要性成立．综上可得“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的的必要不充分条件．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是准确把握充分必要条件的判断方法，解题时要结合定义求解；二是注意分类讨论思想方法在解题中的应用．本题具有综合性，考查分析问题和解决问题的能力．2．解析式为，值域为的函数有（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】根据的值求出相应的的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由，解得；由，解得．所以函数的定义域可为，共9种情况．故选D．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．3．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题：① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则.其中真命题的个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当成立时，总可以推出成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．4．设、、为实数，，，记集合，，若、分别为集合、的元素个数，则下列结论不可能是（）A．且B．且C．且D．且【答案】D【解析】分和两种情况对方程根的个数进行进行分析后可得正确的结论，进而得到不可能的结论．【详解】①若，,，当时，；当时，；当时，．②若，,，则当时，；当时，；当时，．所以只有D不可能．故选D．【点睛】解答本题的关键是由方程根的情况得到、取值的所有可能，然后再根据选项进行判断，考查分析问题和分类讨论在解题中的应用，具有一定的综合性和难度．二、填空题5．已知全集，，，则__________【答案】【解析】先求出集合，再求出，最后求出．【详解】由题意得，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．6．命题“如果，那么且”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果，那么且”的逆命题为“如果且，那么”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．7．已知集合，，则__________【答案】【解析】分别求出集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．8．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设，∵“”是“”的充分不必要条件，∴ ，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．9．设，则满足的集合的个数为__________【答案】8【解析】分别写出满足条件的集合后可得所求集合的个数．【详解】由题意得，满足题意得集合为，，，，，，共8个．故答案为8．【点睛】解题时要根据集合中元素的个数为标准进行求解，考查理解能力和判断能力，属于基础题．10．函数的定义域为，则的值为__________【答案】2【解析】由题意得不等式的解集为，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数的定义域为，∴不等式的解集为，∴是方程的两个根，∴，整理得，解得．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．11．已知函数，无论取什么实数，函数的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】【解析】将函数解析式变形为，然后令且，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由变形得，解方程组得，所以函数的图象过的定点的坐标为．故答案为．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为（为参数）的形式，则以方程组的解为坐标的点即为定点．12．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】根据一元二次方程根的分布求解，令，则有，解不等式可得所求范围．【详解】令，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴，即，解得，∴实数的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．13．给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】试题分析：（3）中时不等式不成立，故正确的只有（1）（2）（4）.【考点】不等式的基本性质.14．若，则的最小值为__________【答案】2【解析】将原式变形后根据基本不等式求解．∵，∴．由题意得，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．15．设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是__________【答案】【解析】表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为3，故有m<-3，由此求得m的取值范围．【详解】∵，不等式对任意实数恒成立，∴对任意实数恒成立，又表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．16．对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________【答案】【解析】先根据条件求出；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到，最后结合不等式的知识可求出的最小值．【详解】∵A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴，∴，解得．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴，∴．∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为．故答案为．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．三、解答题17．已知集合，是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出所有的的值组成的集合；若不存在，请说明理由.【答案】【解析】若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，进而可得答案【详解】存在满足条件．理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，①当，即时，由，解得，满足题意．②当，由A有且仅有一个元素得，解得．综上可得或，∴所有的的值组成的集合．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18．我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】时，总造价最低为132000元.【解析】设的长为米，进而得到宽为米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设的长为米，则宽为米，由题意得总造价为，当且仅当，即时等号成立．所以当净水池的长米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19．已知，集合，集合.（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），当，，当，，当，；（2）.【解析】（1）解不等式得出集合A、B；（2）根据A∩B=B得出B⊆A，讨论B=和B≠时，求出满足条件的实数的取值范围．【详解】（1）由题意得．当，即时，；当，即时，；当，即时，．（2）∵，∴B⊆A．①当时，，满足B⊆A；②当时，，满足B⊆A；③当时，，由B⊆A得或，解得或，又，∴或．综上可得或，∴实数的取值范围为．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20．已知函数，，满足.（1）求实数的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数的图像，并且根据图像判断：若关于的方程有两个不同实数解，求实数的取值范围（直接写结论）【答案】（1）；（2）图象见解析，.【解析】（1）直接由f（2）=-2求得m的值；（2）把m值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解的实数k的取值范围．【详解】（1）∵，，且，∴，即，解得或，又，∴．（2）由（1）得，当时，，∴函数在和上为减函数；当时，，∴函数在上为增函数，且．画出函数图象如下图：由图可知，要使关于x的方程有两个不同实数解，则，∴实数k的取值范围是．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21．已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数、，用表示集合中定义域为区间的函数的集合.定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”，的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.【答案】（1）属于集合；（2）；（3）略.【解析】（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明f（x）属于集合M．（2）若p（x）∈M，则有，然后可求出当时，p（x）∈M．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h（x）的“绝对差上确界”T的值．【详解】（1）设，则，∵，∴，∴∴，∴函数属于集合．（2）若函数，属于集合，则当时，恒成立，即对恒成立，∴对恒成立．∵，∴，∴，解得，∴存在实数，使得，属于集合，且实数的取值范围为．（3）取，则对区间的任意划分：，和式，∴集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。

上海市复旦大学附中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)

word格式-可编辑-感谢下载支持2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为．2．已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）=．3．已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．4．己知集合U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，c，d}，A∩B={b}，∁U（A∪B）={f}，则集合B=．5．已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是．6．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．7．我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是．8．已知A={x|＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B=．9．对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X），已知A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则A△B=．10．已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为．11．非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）12．集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是．二.选择题13．已知集合A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是（）A．2014 B．2015C．2016 D．以上答案都不对14．已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n15．命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0且y≠0B．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C．已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0word格式-可编辑-感谢下载支持D．已知x，y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠016．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三.解答题17．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a．18．已知a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．19．设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于．20．已知对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立或不等式mx＞0成立，求实数m的取值范围．21．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2016秋•杨浦区校级期中）集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为22016．【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；集合．【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：∵集合{1，2，3，…，2015，2016}中有2016个元素，∴集合M{1，2，3，…，2015，2016}的子集的个数为22016；故答案为：22016．【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．2．（2016秋•杨浦区校级期中）已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）= {x|1＜x＜2} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，所以A∪B={x|x≤1或x≥2}，所以∁U（A∪B）={x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题，是基础题目．3．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，因为A∩B≠∅，所以a≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题．4．（2016秋•杨浦区校级期中）己知集合U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，c，d}，A∩B={b}，∁U（A∪B）={f}，求集合B．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集U，以及A与B并集的补集确定出A与B的并集，再根据A与B的交集及A，确定出B即可．【解答】解：∵U={a，b，c，d，e，f}，∁U（A∪B）={f}，∴A∪B={a，b，c，d，e}，∵A∩B={b}；A={a，b，c，d}，∴b∈B，e∈B，b∉B，c∉B，d∉B，∴B={b，e}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式．【分析】不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，分别求出A，B，比较即可【解答】解：∵a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，A=a1b1+a2b2=+=，B=a1b2+a2b1=+=，∵C==∴B＜C＜A故答案为：B＜C＜A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．6．（2016秋•杨浦区校级期中）已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】设直角边长为a，b，则斜边长为，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+=2，∴2≥2+，∴≤=2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S=ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．7．（2016秋•杨浦区校级期中）我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；新定义；转化思想；转化法；集合．【分析】当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，由此能求出M∩N 的长度的最小值．【解答】解：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是=．故答案为：．【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．8．（2016秋•杨浦区校级期中）已知A={x|＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B={x|﹣3＜x＜0} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．【分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B，由此利用交集的性质能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|＞x}={x|﹣2≤x≤1，或x＜0}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}={x|﹣3＜x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0}．【点评】本题考查交集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用．9．（2016秋•杨浦区校级期中）对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X ﹣Y）∪（Y﹣X），已知A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则A△B=[﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合．【分析】由A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，B={y|﹣2≤y≤2}，先求出A﹣B={y|y＞2}，B﹣A={y|﹣2≤y＜0}，再求A△B的值．【解答】解：∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，B={y|﹣2≤y≤2}，∴A﹣B={y|y＞2}，B﹣A={y|﹣2≤y＜0}，∴A△B={y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0}，故答案为：[﹣3，0）∪（3，+∞）．【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X﹣Y={x|x ∈X且x∉Y}、X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X）．10．（2016秋•杨浦区校级期中）已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为2a．【考点】并集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】分别求出集合A、B中的元素，从而求出A、B的并集，求和即可．【解答】解：A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}={0，a，2a}，B={x||x|＜2a，x∈Z}={﹣a，0，a}，则集合A∪B={﹣a，0，a，2a}，故集合A∪B中所有元素之和是2a，故答案为：2a．【点评】本题考查了集合的运算，考查解绝对值不等式问题，是一道基础题．11．（2016秋•杨浦区校级期中）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是①④（请填写编号）【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义；集合思想；集合．【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件，若两个条件都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”．【解答】解：①对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，所以a⊕b∈G；取e=0，及任意非负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a，b知道：a+b仍为偶数，故有a+b∈G；但是不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e ⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．③对于G={二次三项式}，若a、b∈G时，a，b的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G不是和谐集，故③不正确；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，设x1=a+b，x2=c+d，则设x1+x2=（a+c）+（b+d），属于集合G，取e=1，a×1=1×a=a，因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G是“融洽集”．故答案为①④．【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力，及对有关知识的掌握情况．关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件．12．（2016秋•杨浦区校级期中）集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；转化法；集合．【分析】由已知得a|x|=x+a有1个解，由此能求出常数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，集合A∩B中有且仅有一个元素，∴a|x|=x+a有1个解，若x≥0，ax=x+a，x=，若x＜0，﹣ax=x+a，x=﹣，由已知得或或或，解得﹣1≤a≤1．∴常数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查常数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．二.选择题13．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是（）A．2014 B．2015C．2016 D．以上答案都不对【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由题意求出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14．（2009•江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合．【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一），也可以利用德摩根定理解决（如解法二）．【解答】解法一：∵（C U A）∪（C U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）有n个元素，又∵全集U=A∪B中有m个元素，由card（A）+card（C U A）=card（U）得，card（A∩B）+card（C U（A∩B））=card（U）得，card（A∩B）=m﹣n，故选D．【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：①（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）②（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）③card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）等．15．（2016秋•杨浦区校级期中）命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0且y≠0B．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C．已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0D．已知x，y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】根据已知中原命题，写出逆否命题，可得答案．【解答】解：命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是“已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0”故选：C【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．16．（2016秋•杨浦区校级期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合法；简易逻辑．【分析】逐项判断即可．①由ac=bc不能推出a=b；②由5是有理数易判断；③根据不等式的性质可得；④根据充分必要条件的定义易得．【解答】解：①由“a=b“可得ac=bc，但当ac=bc时，不能得到a=b，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当a+5是无理数时，a必为无理数，反之也成立，故②正确；③取a=1，b=﹣2，此时a2＜b2，故③错误；④当a＜4时，不能推出a＜3；当a＜3时，有a＜4成立，故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件，故④正确．综上可得正确的命题有2个．故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是关键．属于基础题．三.解答题word格式-可编辑-感谢下载支持17．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】根据A∪B=A，得到B⊆A，然后分B为空集和不是空集讨论，A为空集时，只要二次方程的判别式小于0即可，不是空集时，分别把1和2代入二次方程求解a的范围，注意求出a后需要验证．【解答】解：由A∪B=A，得B⊆A．①若B=∅，则△=（a+1）2﹣4a＜0，解得：a∈∅；②若1∈B，△=（a+1）2﹣4a=0，此时a=1，满足12﹣a﹣1+a=0，此时B={1}，符合题意；③若2∈B，则22﹣2a﹣2+a=0，解得：a=2，此时A={2，1}，满足题意．④若3∈B，则32﹣3a﹣3+a=0，解得：a=3，此时A={3，1}，满足题意．综上所述，实数a的值为：1，2，3．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想，求出a值后的验证是解答此题的关键，是基础题．18．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】作差，因式分解，即可得到结论．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴（a3+b3）﹣（a2b+ab2）≥0∴a3+b3≥a2b+ab2．同理b3+c3≥bc2+b2c，a3+c3≥ac2+a2c，三式相加，可得2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（2016秋•杨浦区校级期中）设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式．【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；（2）利用作差法，判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0，即可得到结论【解答】证明：（1）a2﹣=1+﹣=，∵若a1＞，∴a1﹣＞0，而1﹣＜0，∴a2＜∵若a1＜，∴a1﹣＜0，而1﹣＜0，∴a2＞，故介于a1与a2之间；word格式-可编辑-感谢下载支持（2）|a2﹣|﹣|a1﹣|=﹣|a1﹣|=|a1﹣|×，∵a1＞0，﹣2＜0，|a1﹣|＞0，∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于．【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键．20．（2016秋•杨浦区校级期中）已知对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立或不等式mx＞0成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】①对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立，对m分类讨论，m=0时，易判断出．m ≠0时，，解出即可得出．②对任意实数x，不等式mx＞0成立，m∈∅．【解答】解：①对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立，m=0时化为：﹣3x+1＞0，不成立，舍去．m≠0时，，解得．②对任意实数x，不等式mx＞0成立，m∈∅．综上可得：．∴实数m的取值范围是．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2016秋•杨浦区校级期中）已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用；不等式．【分析】（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．（2）根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．【解答】解：（1）①当k＜0，A={x|}；②当k=0，A={x|x}；③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x，或x＞}；④当1≤k≤9，A={x|x＜，或x＞}；（2）B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，word格式-可编辑-感谢下载支持只有k＜0，B={2，3，4，5}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

上海市复旦大学附中2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 (word版含答案)

复旦附中高一期中数学卷2017.4一. 填空题1. 半径为2，圆心角为300°的圆弧长为2. 函数|tan |y x =的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 2θ=4. 求函数()sin(2)3f x x π=-+的单调递减区间5. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β=6. 已知函数()lg(tan 1)f x x =-()f x 的定义域是7. 若长度为24x +、4x 、26x +的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 的取值范围是8. 若函数()2sin f x x ω=（01ω<<）在区间[0,]3πω=9. 如图所示，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高20AB =米，则山高DC = 米10. 函数sin cos 1sin cos x x y x x+=+的值域为11. 已知33()sin cos 4f x a x x =++（,a b R ∈），且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=12. 设a 、b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=二. 选择题13. 若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（） A. 0MP OM << B. 0OM MP >>C. 0OM MP <<D. 0MP OM >>14. 已知,(0,)2παβ∈，则下列不等式一定成立的是（）A. sin()sin sin αβαβ+<+B. sin()sin sin αβαβ+>+C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+>+15. 把函数sin 2y x =的图像沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =有以下四个判断：① 该函数的解析式为2sin(2)6y x π=+；② 该函数图像关于点(,0)3π对称；③ 该函数在[0,]6π上是增函数；④ 若函数()y f x a =+在[0,]2πa =；其中正确的判断有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16. 定义在区间[3,3]ππ-上的函数sin |2|y x =与cos y x =的图像的交点个数为（）A. 12个B. 14个C. 16个D. 18个三. 简答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角；（1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值；18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =++；（1）若1tan 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；19. 设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足1cos 2a C c b +=；（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围；20. 函数()y f x =满足(3)(1)f x f x +=-，且对于12,(2,)x x ∈+∞，有1212()()0f x f x x x ->- 成立，若222(cos 22)(sin 32)f m f m m θθ++<+--对R θ∈恒成立；（1）判断()y f x =的单调性和对称性；（2）求m 的取值范围；21. 已知函数()f x 、()g x 满足关系()()()2g x f x f x π=⋅+；（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12||x x -的最小值；参考答案一. 填空题 1. 103π 2. ,2k x k Z π=∈ 3. 35 4. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈5.3365 6. 3(,)(,)4242ππππ-- 7. 1(2 8. 349. 30+[1,1]- `11. 3 12. 4二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 简答题17.（1）3cos 5θ=，4sin 5θ=-；（2）94； 18.（1）1710；（2）最小正周期T π=，单调增区间：3[,],88k k k Z ππππ-+∈； 19.（1）3π；（2）(2,3]l ∈； 20.（1）对称轴2x =，单调减区间(,2)-∞，单调增区间(2,)+∞；（2）33(66m ∈； 21.（1）()cos 2g x x =；（2）2π；。

2017-2018年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第项3．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝10．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n ＝．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a1015．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝6【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4＝0，a6+a7＝10，得2a4+5d＝10，即d＝2．∴a7＝a4+3d＝6．故答案为：6．2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第7项【解答】解：a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，a4﹣a3＝23，…依此类推可得a n﹣a n﹣1＝2n﹣1∴a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3…+a n﹣a n﹣1＝a n﹣a1＝21+22+23+…+2n﹣1＝2n﹣2∴a n﹣a1＝2n﹣2，a n＝2n﹣1，∴2n﹣1＝127，解得n＝7，故答案为：73．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为a n＝【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，可得a1＝S1＝1﹣1＝0；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣1﹣（n﹣1）2+1＝2n﹣1，则a n＝，故答案为：a n＝．4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝2【解答】解：{a n}是等比数列，a m•a n＝a p•a q．由a1•a2…a9＝512，即，∴a5＝2．故答案为：2．5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是【解答】解：方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0，整理得：（3cos x﹣1）•2sin（x+）＝0．故：cos x＝或sin（x+）＝0，解得：x＝或x＝﹣（k∈Z）．故方程的解集为{x|，x＝﹣，k∈Z}故答案为：{x|}，x＝﹣，k∈Z}6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为【解答】解：数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝13+1+2+…+（n﹣1）＝13+n（n﹣1），则＝n+﹣，由n+≥2＝，当且仅当n＝∉N*，由n＝5可得×5+﹣＝；由n＝6可得×6+﹣＝，则的最小值为．故答案为：．7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当时，数列{b n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．【解答】解：，＝，，…，可得1++ +…+＞，故答案为：1+++…+＞9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23【解答】解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+2310．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为﹣505【解答】解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+＝46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝4017【解答】解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211＝＝4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12＝＝78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n＝n•（2n+1﹣1）．【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、r n是0、1、2、…、n的一个排列，且集合A n中共有n+1个数，若把集合A n中每个数表示为++…+的形式，则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，因此，＝，故答案为：n•（2n+1﹣1）．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若b是与的等差中项，则b＝＝1，若b是与的等比中项，则b＝±＝±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a10【解答】解：∵在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，∴＝×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•27﹣n．∴＝1×（﹣1）0+1+……+（n﹣2）×26+5+……+（8﹣n）＝，∵＝+．由n＝7或8时，＝﹣1，n＝6或9时，a6＝220＝a9，∴数列{a n}的最大项等于a6或a9．故选：C．15．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}【解答】解：∵数列，k∈N*，∴，，，，，＝cos，，∴{a n}是以6为周期的周期数列，∴{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．故选：D．16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，（1）若数列{a n}为常数数列，则a2＝sin（a）＝a，解得a＝0或±1，故（1）不正确；（2）若a∈（0，1），a∈（0，），a2＝sin（a），由函数f（x）＝sin（x）﹣x，x∈（0，1），f′（x）＝cos（x）﹣1，由x∈（0，），可得极值点唯一且为m＝arccos，极值为f（m）＝﹣arccos＞0，由f（0）＝f（1）＝0，可得a2＞a1，则a3﹣a2＝sin（a2）﹣sin（a1）＞0，即有a3＞a2，…，由于a n∈（0，1），a n∈（0，），由正弦函数的单调性，可得a n+1＞a n，则数列{a n}都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a∈（0，1），任取{an}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，{}是单调递增数列；由f（x）＝sin（x）﹣x，可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；当0＜x＜1时，f（x）＞0，x＞1时，f（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；x＜﹣1时，f（x）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a＜1时，a＜﹣1时，数列{a n}单调递增；﹣1＜a＜0时，a＞1时，数列{a n}单调递减．数列{a n}都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C．三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3+a7＝20，得a4+a6＝20，又a4a6＝96，可得或．∵d＞0，∴，则d＝．∴a n＝a4+2（n﹣4）＝2n；（2）由（n∈N*），得（n≥2），∴，即（n≥2），∵满足上式，∴．则，∴数列的前n项和S n＝（b1+b2+…+b n）+＝．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．【解答】解：（1）∵a n＝，∴a1＝b﹣1，a2＝9c，a3＝3b﹣1，a4＝81c．∵a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．∴2a3＝a1+a2，＝a1a4，∴2（3b﹣1）＝b﹣1+9c，81c2＝（b﹣1）×81c，b，c≠0．联立解得：b＝2，c＝1．（2）由（1）可得：a n＝，∴S2n＝（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）＝（1+5+……+4n﹣3）+（32+34+……+32n）＝+＝2n2﹣n+，由，解得n＞6．∴n＝7．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．【解答】解：（1）a2＝100000×（1+5%）﹣m（1+5%）2﹣m＝110250﹣2.05m．（2）a10＝100000×（1.05）10﹣m×（1.05）9﹣m×（1.05）8﹣……﹣m＝0，100000×1.0510﹣＝0，解得：m＝≈12950．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．【解答】解：（1）∵a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*），则时，＝＝＝﹣2，∴时，为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n﹣＝×（﹣2）n﹣1，∴，n≥2，∴a2＞0，a3＞0，∴．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．【解答】解：（1）证明：数列{a n}是“M数列”，可得a n+2+a n＞2a n+1，即a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，即b n+1＞b n，可得数列{b n}是递增数列；2（a5﹣a4）＞a4﹣a2；（2）数列{|S n|}是“M数列”，可得|S3|﹣|S2|＞|S2|﹣|S1|，即|S1|+|S3|＞2|S2|，可得1+|3+6d|＞2|2+2d|，即有或或，即d≤﹣1或﹣1＜d＜﹣或d＞0，可得；（3）数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，＞，运用数学归纳法证明：当n＝1时，u1＝，v1＝a2，显然a3﹣a2＞a2﹣a1即u1＞v1．设n＝k时，u k＞v k．即＞，可得k（a1+a3+…+a2k+1）＞（k+1）（a2+a4+…+a2k），当n＝k+1时，即证＞，即证（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．。

上海市复旦大学附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)

一、填空题1．已知，则_________. sin α=22,ππα⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可.【详解】因为，所以,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos α==sin cos 2παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故答案为： 2．已知i 为虚数单位，若复数是实数，则实数m 的值为__________. 1i 2iz m =++【答案】/0.215【分析】先化简复数z ，然后根据虚部为0可得. 【详解】因为为实数， ()()12i 2i 21i i i i 2i 2i 2i 555z m m m m --⎛⎫=+=+=+=+- ⎪++-⎝⎭所以，所以105m -=15m =故答案为：153．向量在向量方向上的投影为___________.()3,4a =()1,0b =- 【答案】3-【分析】由向量投影公式直接求解即可得到结果. 【详解】向量在方向上的投影为. a b 331a b b⋅-==-故答案为：.3-4．在△ABC 中，若，，，则___________.3AB =5π12B ∠=π4C ∠=BC =【分析】由三角形内角和求得，然后由正弦定理求得． A BC 【详解】由三角形内角和定理可得：， ππ3A B C =--=因为，， 3c AB ==a BC =由正弦定理可得， sin sin sin sin a c c A a A C C =⇒==. 5．已知复数z 满足（i 为虚数单位），则_________. ()22i 2i z ⋅-=+z =【分析】根据复数的四则运算化简求得复数z ，然后求模.【详解】，所以()22i2i (2i)(3+4i)211i 34i (34i)(3+4i)25252i z +++====+---z ==6．方程在区间上的所有解的和为__________. cos 2sin 0x x -=[]0,2π【答案】/ 52π52π【分析】利用倍角余弦公式得到关于的一元二次方程求解，由正弦函数值求，即可得结果. sin x x 【详解】由，即，解得或， cos 2sin 0x x -=212sin sin 0x x --=sin 1x =-1sin 2x =在，当时，当时或， []0,2πsin 1x =-32x π=1sin 2x =π6x =5π6x =所以所有解的和为. 52π故答案为：52π7．设，，且，则_______.3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭ //a b r r tan α=【答案】1【分析】由向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系和商数关系可得．【详解】因为，所以. //a b r r 22231sin cos tan sin cos tan 123sin cos tan 1ααααααααα⨯===⇒=++故答案为:1.8．在△ABC 中，边a ，b ，c 满足，，则边c 的最小值为__________. 8a b +=120C ∠=︒【答案】【分析】利用基本不等式和结合余弦定理即可求解的最小值． 2()2a b ab +≤c 【详解】由余弦定理可得当且仅当时，即取等()222222cos 264482a b c a b ab C a b ab ab +⎛⎫=+-=+-+-= ⎪⎝⎭≥a b =4a b ==号，所以c ≥故答案为：9．在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则ABC 5AB =12AC =13BC =M ABC A 的最大值是___________. AB AM ⋅【答案】45【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值． M AB AM ⋅【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：，，，(0,0)A (5,0)B (0,12)C 外接圆，ABC A 225169()(6)24x y -+-=设，，M 513(cos 22θ+136sin )2θ+则，，513(cos 22AM θ=+ 136sin )2θ+，，当且仅当时取等号． (5,0)AB =2565cos 4522AM AB θ⋅=+ …cos 1θ=所以的最大值是45． AB AM ⋅故答案为：45．10．在锐角三角形ABC 中，O 为△ABC 的外心，则的cos A =32OA OB OC ++取值范围为__________.【答案】3⎡⎣【分析】三角形外接圆的性质、正弦定理得、，、，π2BOC ∠=3π22AOB B ∠=-2AOC B ∠=1R =利用向量数量积的运算律转化求.32OA OB OC ++【详解】，222232941264OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC ++=+++⋅+⋅+⋅因为锐角三角形中，，cos A =π4A =π2BOC ∠=所以，，又，即， 3π22AOB B ∠=-2AOC B ∠=22sin aR A ==1R =则且， ()()232146cos 22sin 2142OA OB OC B B B ϕ++=+-=++ tan 2ϕ=则，即. 23214OA OB OC ⎡++∈-+⎣ 323OA OB OC ⎡++∈+⎣故答案为：3⎡⎣11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知，，，，M 为//AD BC 2ABC π∠=1AB AD ==2BC =BD 的中点，设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则的最大值AQ CP ⋅为__.【答案】2-【分析】建立直角坐标系，设，，由P 、M 、Q 三点共线，设(0,)P m [0,1]m ∈，求得，代入计算知11(1)(2,2),2BM BQ BP k k m m λλλλλλ⎛⎫=+-=-+-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u r 2322m k m -=+AQ CP⋅ ，构造函数，，结合函数的单调性求得51(1)221m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦51()(1)221f m m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦[0,1]m ∈最值.【详解】如图所示，建立直角坐标系，则，，，，，(0,0)B (2,0)C (0,1)A (1,1)D 11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭又Q 是线段CD 上的动点，设，CQ kCD =u u u r u u u r[0,1]k ∈则，可得 (2,0)(1,1)(2,)BQ BC kCD k k k =+=+-=-u u u r u u u r u u u r(2,)Q k k -设，，(0,)P m [0,1]m ∈由P 、M 、Q 三点共线，设11(1)(2,2),2BM BQ BP k k m m λλλλλλ⎛⎫=+-=-+-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u r112,.22k k m m λλλλ∴-=+-=利用向量相等消去可得：， λ2322mk m -=+ 23(2,1)(2,)424(2)22m AQ CP k k m k mk m m m m -⋅=--⋅-=-++-=-++⨯-+u u u r u u r 51(1)221m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦令，，则在上单调递减， 51()(1)221f m m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦[0,1]m ∈()f m [0,1]m ∈故当时，取得最大值 0m =()f m (0)2f =-故答案为：2-【点睛】方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.12．设函数，若恰有个零点，.()()[]0,0,0,26f x Asin x A x πωωπ⎛⎫=->>∈ ⎪⎝⎭()f x 4则下述结论中:①若恒成立，则的值有且仅有个；()()0f x f x ≥0x 2②在上单调递增；()f x 80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦③存在和，使得对任意恒成立；ω1x ()()11()2f f x f x x π≤+≤[]0,2x π∈④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 1A ≥()12f x =-[0,2]π内所有正确结论的编号是______________；【答案】①③④【解析】根据条件画出的图像，结合图像和()()[]0,0,0,26f x Asin x A x πωωπ⎛⎫=->>∈ ⎪⎝⎭逐一判断即可. 1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】恰有个零点，，，函数的图像如图： ()f x 4∴3246πππωπ≤-<∴1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭①如图，即有两个交点，正确； ()f x A =②结合右图，且当时，在递增，错误； 2512ω=()f x 80,25π⎡⎤⎢⎥⎣⎦③，，1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴1212,22519T πππω⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，存在为最小值，为最大值，正确；1212,22519πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦∴()1f x 12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭④结合右图，若方程在内恰有五个解，需满足，即，同时结合左()12f x =-[]0,2π()102f ≤-1A ≥图，当，不一定有五个解，正确. 1A ≥()12f x =-故答案为：①③④.【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于难题.二、单选题13．已知，则“为纯虚数”是“”的（） C z ∈z 0z z +=A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可【详解】由题意，为纯虚数则设，则；z ()i ,0z b b b =∈≠R i i 0z z b b +=-=当时，可取，则为纯虚数不成立.故“为纯虚数”是“”的充分非必要条件 0z z +=0z z ==z z 0z z +=故选：A14．已知顶点在原点的锐角，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过后交单位圆于α3π，则的值为（）1(,)3P y -sin αA B C D【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，然后凑角结合两角差的正弦公式求出1cos()33πα+=-.sin α【详解】由题意得(为锐角)1cos(33πα+=-α∵为锐角，∴，∴α5336πππα<+<sin()03πα+>sin(sin sin (333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1123⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：B15．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型y x （）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为30.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0ω>米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（） A ．16时 B ．17时C ．18时D ．19时【答案】D【分析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，时，，0x =0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭由五点法作图可知：如果当时，函数取得最小值可得：，可得，16x =51662ππωπ+=748ω=此时函数，函数的周期为：， 70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭296147748T ππ==≈该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当时，函数取得最小值可得：，可得，19x =51962ππωπ+=757ω=此时函数，函数的周期为：，70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21147757T ππ==时，，如图：24x =70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．16．设是的垂心，且，则的值为（） H ABC A 3450HA HB HC ++=cos BHC ∠A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，HB = HC = 求解．【详解】由三角形垂心性质可得，，不妨设HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅x ，HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅=∵345， HA + HB +0HC = ∴，23450HA HB HB HC HB ⋅++⋅=∴，同理可求得HB = HC =∴HB HC cos BHC HB HC ⋅∠== 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题． HB HC，三、解答题17．已知关于x 的实系数一元二次方程.290x mx ++=(1)若复数z 是该方程的一个虚根，且，求m 的值； 4z z +=-(2)记方程的两根为和，若，求m 的值. 1x 2x 12x x -=【答案】(1)－2(2) ±±【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解.2z z z =⋅（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.【详解】（1）解：因为，所以，因为，所以，29z z z =⋅=3z=4z z +=-1z =-所以，由韦达定理可得，所以；1z =+2m z z -=+=2m =-（2）解：若方程的两根为实数根，则12x x -===解得，m =±若方程的两根为虚数根，则设，，可得1i x a b =+2i,,R x a ba b =-∈122x x b -==则，，，所以，所以1x a =2x a =21239x x a =+=26a =a =由韦达定理可得，所以12m xx -=+=±m =±此时，满足题意， 2360m ∆=-<综上，m =±±18．已知向量，，函数. cos sin 2x x m ⎫-=⎪⎭ ()2cos ,sin cos n x x x =+ ()f x m n =⋅(1)求函数的严格减区间与对称轴方程；()y f x =(2)若，关于x 的方程恰有三个不同的实数根，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()1sin 6πf x x R λλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭1x 2x ，求实数的取值范围及的值.3x λ123x x x ++【答案】(1)，；，π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k Z k ∈ππ62k x =+Z k ∈(2)， )1,33π2【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的基准减区间和对称轴求得的严()f x ()f x格减区间和对称轴；（2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得sin 1x =1sin 2x λ-=λ1x 23x x +结论．【详解】（1） ()22cos sin cos 2x xf x m n x x -=⋅=+1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得， ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+π2πππ63k x k +≤≤+令，解得，ππ2π62x k +=+ππ62k x =+所以函数的严格减区间为，， π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k Z k ∈对称轴方程为； ππ62k x =+Z k ∈（2）， 2sin 2cos 2π12sin 62πf x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，形为，()212sin 1sin x x λλ-++=()22sin 1sin 10x x λλ-++-=所以，()()2sin 1sin 10x x λ⎡⎤---=⎣⎦当，有一个解，不妨设为，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 10x -=1π2x =则，即有不同于的两个解，()2sin 10x λ--=1sin 2x λ-=12x π=因为，所以，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1sin ,12y x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦且在上严格递增，在上严格递减，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =π2π,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin y x =要想有不同于的两个解，则，解得， 1sin 2x λ-=1π2x =12λ⎫-∈⎪⎪⎭)1,3λ∈此时的两根关于对称，则， 1sin 2x λ-=π2x =23πx x +=所以. 1233π2x x x ++=19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A 为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC 上（不与端点重合）,AB 、弧BC 、EF FG ABC P CA 、PQ 、PR 、RQ 为步行道,其中PQ 与AB 垂直,PR 与AC 垂直.设.PAB θ∠=(1)如果点P 位于弧BC 的中点,求三条步行道PQ 、PR 、RQ 的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ 、PR 、RQ 开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】(1)(米)200+(2)2022万元【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;(2)将PQ 、PR 、RQ 三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通θW W 过辅助角公式化简求出最值即可.【详解】（1）解:由题200,100,AC EA EC ==∴=,同理,故, π3EAC ∴∠=π3FAB ∴∠=π3BAC ∠=由于点P 位于弧BC 的中点,所以点P 位于的角平分线上,BAC ∠则, πsin 200sin1006PQ PR PA PAB ==⋅∠=⨯=, cos 200AQ AP PAB =∠==因为,, π3BAC ∠=AQ AR ==所以为等边三角形,ARQ A 则,100RQ AQ ==因此三条街道的总长度为.100100200l PQ PR RQ =++=++=+（2）由图可知,sin 200sin PQ AP θθ==, sin 200sin 100sin 33PR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 200cos AQ AP θθ==, cos 200cos 100cos 33AR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在中由余弦定理可知:ARQ A 222π2cos3RQ AQ AR AQ AR =+-()()22200cos 100cos θθθ=++()2200cos 100cos cos3πθθθ-⨯+, 30000=则100RQ =设三条步行道每年能产生的经济总效益,则W ()5 5.9W PQ PR RQ =+⨯+⨯()200sin 100sin 5θθθ=+-⨯+, π1000sin 3θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当即时取最大值, sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6θ=W最大值为.10002022+≈答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.20．在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB 的n 等分点，其中()1,0A ()0,1B 1P 12,,n PP -⋅⋅⋅n ∈N ，. 2n ≥(1)当时，使用，表示，； 3n =OA OB 1OP 2OP (2)当时，求的值；2023n =121n OP OP OP -+++ (3)当时，求（，，i ，）的最小值. 10n =()i i j OP OP OP ⋅+ 1i ≤1j n -≤j ∈N【答案】(1)， 12133OP OA OB =+ 21233OP OA OB =+(2)(3)2325【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算求解；（2）根据向量的坐标运算求解；（3）据向量的坐标运算可得，结合函数分析求解. ()()251510050i i j i j i i OP OP OP -+-+⋅+=u u u r u u u r u u u r 【详解】（1）由题意可得：， ()1i i i i i i OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB n n n n ⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r u u u r 当时，所以，. 3n =12133OP OA OB =+ 21233OP OA OB =+ （2）因为，则， ()()1,0,0,1A B ()()1,0,0,1OA OB ==u u r u u u r 由（1）可得：， 11,i i i i i OP OA OB n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u r u u u r 当时，则，， 2023n =2023,20232023i i i OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭1,2,,1i n =⋅⋅⋅-所以 121202220211122022,20232023n OP OP OP -++++++⎛⎫+++= ⎪⎝⎭因为， ()20221202212202220222++++== 所以，()1212022,2022n OP OP OP -+++=121n OP OP OP -++⋅⋅⋅+==u u u r u u u r u u u u r （3）当时，，， 10n =10,1010i i i OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭10,1010j j j OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 可得， 101055501010101050i j i j i j i j i j OP OP --⋅--+⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r ， 2222101050101050i i i i i OP --+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2i i j i i j OP OP OP OP OP OP ⋅+=+⋅ ()22515100105055505050i j i i i i i j i j -+-+-++⋅--+==构建， ()()251510050i j i i M j -+-+=①当，7，8，9时，， 6i =()()()225115100149515050i i i i i M j M -⋅+-+-+==≥可得当时，上式有最小值； 7i =2325②当时，， 5i =()2575100150M j -+==③当，2，3，4时，， 1i =()()()22591510065595050i i i i i M j M -⋅+-+-+==≥可得当时，上式有最小值； 3i =2325综上所述：的最小值为. ()i i j OP OP OP ⋅+ 232521．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k 为正整数，且()y f x =x ∈R 1t 2t k t ）使得当x 取任意值时，有则称函数120k t t t =<<< ()()()120k f x t f x t f x t ++++++= 为“k 级周天函数”.()y f x =(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；()1sin f x x =()22f x x =+(2)求证：当时，是“3级周天函数”；()32n n ω=+∈Z ()()cos g x x ω=(3)设函数，其中b ，c ，d 是不全为0的实数且存在，使()cos 2cos5cos8h x a b x c x d x =+++R m ∈得，证明：存在，使得.()4h m a =n ∈R ()0h n <【答案】(1)是，不是；理由见解析()1f x ()2f x (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知；10t =2πt =（2）令，，，然后化简，从而得证； 10t =22π3t =34π3t =（3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若0a <()40h m a =<n m =()0h n <0a =时，由，可得，从而可得0a >()2π4π333h m h m h m a ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π4π033h m h m a ⎛⎫⎛⎫+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结论【详解】（1）令，，则， 10t =2πt =()()()1112sin sin sin sin 0f x t f x t x x x x π+++=++=-=所以是“2级周天函数”；()1sin f x x =，不对任意x 都成立，()()()()212212222240f x t f x t x t x t x t +++=+++++=++=所以不是“2级周天函数”；()22f x x =+（2）令，，，则 10t =22π3t =34π3t =()()()123g x t g x t g x t +++++ ()()()4π8πcos 32cos 322πcos 324π33n x n x n n x n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()4π8πcos 32cos 32cos 3233n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()π2πcos 32cos 32cos 3233n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()ππcos 32cos 32cos sin 32sin 33n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()2π2πcos 32cos sin 32sin 33n x n x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦()()()1cos 32cos 32322n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1cos 32322n x n x ⎡⎤⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦()()cos 32cos 320n x n x ⎡⎤⎡⎤=+-+=⎣⎦⎣⎦所以是“3级周天函数”；()()cos g x x ω=（3）对其进行分类讨论：1°若，则，此时取，则；0a <()40h m a =<n m =()0h n <2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 0a =n ∈R ()0h n <()0h x ≥由（2）可知是“3级周天函数”，()cos 2cos5cos8t x b x c x d x =++所以， ()2π4π033t x t x t x ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， ()2π4π3033h x h x h x a ⎛⎫⎛⎫++++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，， ()0h x ≥2π03h x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭4π03h x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所以， ()2π4π033h x h x h x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再由恒成立，()()π0cos 2cos80h x h x b x d x ++=⇒+=所以，0b d ==进而可得，这与b ，c ，d 是不全为0矛盾，0c =故存在，使得；n ∈R ()0h n <3°若，由，， 0a >()2π4π333h m h m h m a ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4h m a =得， 2π4π033h m h m a ⎛⎫⎛⎫+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在，使得， n ∈R ()0h n <所以命题成立.。

【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

是注意分类讨论思想方法在解题中的应用．本题具有综合性，考查分析问题和解决问题的能力．
14. 解析式为
，值域为
的函数有（）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】 D
【解析】
【分析】
根据的值求出相应的的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．
【详解】由
，解得
；
由
，解得
A. 充分不必要【答案】 B
B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【解析】【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．
【详解】（1）若
，则
，
与
的解集相
所以不等式
即为
，
若
，则
可化为
，所以两个不等式的解集相同，
若
，则
可化为
，此时两个不等式的解集不相同，所以充分性不成立．
100 元/ 平方米，池底建造单价为 60 元 /
平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长
为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？
【答案】【解析】
时，总造价最低为 132000 元 .
【分析】设的长为米，进而得到宽为米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设的长为米，则宽为米，由题意得总造价为
【详解】存在
满足条件．理由如下：
只有一个根，进而可得答
若集合 A 有且仅有两个子集，则 A 有且仅有一个元素，
即方程
只有一个根，
①当，即时， Nhomakorabea由
，解得
，满足题意．
②当

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复旦大学附属中学2017-2018学年第二学期
高一年级数学期中考试试卷
考试时间100分钟，满分120分
一、填空题（每题4分，共48分）
1.半径为2，圆心为︒300的圆弧的长为
2.函数|tan |x y =的对称轴是
3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线上x y 3=，则=θ2sin
4.求函数)2
2sin()(π+-=x x f 的单调递减区间 5.若锐角βα，满足=-=+=ββααcos ,13
5)cos(,53cos 则 6.已知函数,-91
lg(tan )(2x x x f +-=），则)(x f 的定义域是 7.若长度为6,4,422++x x x 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 取值范围是
8.若函数]3
,0[)10(sin 2)(πωω在区间<<=x x f 上的最大值是2，则ω＝ 9.如图所示，在塔底Ｂ测得山顶Ｃ的仰角为︒60，在山顶测得塔顶Ａ的仰角为︒45，已知塔高米20AB =，则山高=DC 米
10.函数x
x x x y cos sin 1cos sin ++=的值域为 11.已知,5)10(sin ),,(4cos sin )(333=︒∈++=f R b a x x b x a x f 且
则=︒)100(cos f
12.设,cos )(),sin ()(1,x b x g x b a x f b a +=+=的自然数，函数均为大于
若存在实数m ，使得
),()(m g m f =则=+b a
二、选择题（每题４分，共１６分）
13.若ＭＰ和ＯＭ分别是角6
7π的正选线和余弦线，则（） 0M P A <<OM 、Ｂ、ＯＭ＞０＞ＭＰ
Ｃ、ＯＭ＜ＭＰ＜０Ｄ、ＭＰ＞０＞ＯＭ
14.已知),2,0(,π
βα∈则下列不等式一定成立的是（）
βαβαsin sin )sin(.A +<+
βαβαs i n s i n )s i n (.B +>+ βαβαsin sin )cos(C.+<+ βαβαc o s c o s )c o s (.D +>+
15.把函数x y 2sin =的图像沿着轴x 向左平移
6π个单位，纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变）后得到函数)(x f y =的图像，对于函数)(x f y =有以下四个判断：
）（1该函数的解析式为)62sin(2π
+=x y ；
）（2该函数图像关于点）（0,3π
对称；
）（3该函数在]6,0[π
上是增函数；
）（4若函数a x f y +=)(在]2
,0[π上的最小值为3，则32=a 其中正确的判断有（）
个1.A 个2.B 个3.C 个4.D
16.定义在区间]3,3[ππ-上的函数图像与的图像的交点个数为（）
个12.A 个14.B 个16.C 个18.D
三、解答题（本题共５大题，满分５６分） 17.
是第四象限角且分）已经（θπθ,25
7)32cos(10=-，的值。

）求（的值；和）求（)
cos()tan()23sin(]1)tan[cos()2cos(2sin cos 1θθππθθπθπθθ---+-+-
18.（10分）已知函数()x f 2
1)cos (sin cos ++=x x x （1）若2
1tan =α，求()a f 的值。

（2）求函数()x f 的最小正周期及单调递增区间。

19.（10分）设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足b c C a =+
2
1cos （1）求角A 的大小；
（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围。

20.（12分）函数()x f y =满足()()x f x f -=+13，且对于()+∞∈,2,21x x ，有
()()02
121〉--x x x f x f 成立，若()()23sin 22cos 222--+〈++m m f m f θθ对R ∈θ恒成立。

（1）判断()x f y =的单调性和对称性；
（2）求m 的取值范围。

21.（14分）已知函数()()x g x f ,满足关系()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∏+
∙=2x f x f x g ，（1）设(),sin cos x x x f +=求()x g 的解析式；
（2）当()x x x f cos sin +=时，存在R x x ∈21,，对任意()()()21,x g x g x g R x ≤≤∈恒成立，求21x x -的最小值。