(完整版)2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)

2019年高考数学试题分项版——数列（解析版）

一、选择题

1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2 答案 C

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.

2．(2019·浙江，10)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2

＋b ，n ∈N *，则( )

A ．当b ＝1

2时，a 10＞10 B ．当b ＝1

4时，a 10＞10 C ．当b ＝－2时，a 10＞10 D ．当b ＝－4时，a 10＞10 答案 A

解析 当b ＝1

2时，因为a n ＋1＝a n 2＋1

2，所以a 2≥1

2，又a n ＋1＝a n 2＋1

2≥√2a n ，故a 9≥a 2×(√2)7≥1

2×(√2)7＝4√2，a 10＞a 92≥32＞10.当b ＝1

4时，a n ＋1－a n ＝(a n −1

2)2，故当a 1＝a ＝1

2时，a 10＝1

2

，所以

a 10＞10不成立．同理

b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a ＝x 0，则a 10＝x 0＜10，故a 10＞10不成立．

3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝1

2n 2－2n

答案 A

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，

∵{S 4＝0，

a 5＝5，∴{4a 1+4×3

2d =0,

a 1+4d =5,

解得{a 1=−3，d =2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋

n (n−1)2

d ＝n 2－4n .故选A.

4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2 答案 C

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 二、填空题

1．(2019·全国Ⅰ文，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝3

4，则S 4＝________.

答案 5

8

解析 设等比数列的公比为q ， 则a n ＝a 1q n －

1＝q n －

1. ∵a 1＝1，S 3＝3

4，

∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝3

4， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－1

2，

∴S 4＝

1×[1−(−12)4

]

1−(−1

2

)

＝5

8

.

2．(2019·全国Ⅲ文，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100

解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝

a 7−a 37−3

＝

13−54

＝2，

首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋

10×92

d ＝100.

3．(2019·江苏，8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16

解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2

＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.

方法二 ∵S 9＝a 1+a 9

2

×9＝27，

∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，

则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9，

∴其公差d ＝a 8−a 58−5

＝2，

∴a 1＝－5，

∴S 8＝8×a 1+a

82＝16.

4．(2019·全国Ⅰ理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1

3，a 42

＝a 6，则S 5＝________.

答案

1213

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 42＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13

，

所以q ＝3，所以S 5＝

a 1(1−q 5)1−q

＝

1

3

×(1−35)1−3

＝

1213

.

5．(2019·全国Ⅲ理，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则s 10s 5

＝________.

答案 4

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以s 10s 5

＝

10a1+

10×9

2d 5a1+5×42

d

＝

10a1+

10×9

2×2a15a1+5×4

2

×2a1

＝100

25＝4.

6．(2019·北京理，10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．

【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．

【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，

∴11354

5102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+⨯=， 21(1)(1)1981

4()22228

n n n n n S na d n n --=+

=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．

【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题

1．(2019·全国Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；

(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，