线性代数第34讲总复习上

线性代数第44讲 复习（4）

一． 本章知识结构

二． 本章自测题

（一）选择题

1. 若 ),,0(2k k =β能由

)1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321k k k +=+=+=ααα

唯一线性表示，则k 等于（ ）.

0)(≠k A 3)(-≠k B 0)(≠k C 且 3-≠k k D )(任意.

2. 设向量组r B b b b ,,,:21 能由向量组m 21 线性表示，

则( ).

)(A 当m r <时，向量组A 必线性相关 )(B 当m r >时，向量组A 必线性相关

)(C 当m r <时，向量组B 必线性相关 )(D 当m r >时，向量组B 必线性相关

（选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 )

3. 四元齐次线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+02104231x x x x 的一个基础解系是 （ ）.

)(A ,)2,0,1,0(T

- (B) T )2,0,1,0(-和

T )1,0,2

1,0( )(C ,)0,0,0,0(T

)(

D T )0,1,0,1(-和

T )2,0,1,0(-

（二）判断题

4. 给定向量组m A a a a ,,,:21 ，如果存在数m k k k ,,,21 使得 ,2211o a a a =+++m m k k k

则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ ） （（×）.解法提示： 定义中要求m k k k ,,,21 不全为零）

（三）填空题

5. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解等于（ ）.

（答案：（基础解系的全体线性组合））

（四）计算题

6. 设,120,21,121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=γβαk 若,3βx γβx βα+=T T 试求此方程组的通解.

,

00310201421321⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=c

c x x x x 其中21,c c 为两个任意常数.） 7. 设B A ,都是n 阶矩阵, 且 2A ,

E B A =-求矩阵

)(2A BA AB +-的秩. （答案：r )(2A BA AB +-=r =)2(A r .)(n =A ） 8. 已知向量组

,1101⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=β,12a 2⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=β⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=01b 3β与向量组

,3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=α,1032⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=α⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=7693α 有相同的秩，且3β可由,1α,2α3α 线性表出，求 b ,a 的值.

线性表出，可求出,5b = .15a =）

9. 已知α是齐次线性方程组0x A =的基础解系, 其中

A = ,062

11a

a 3112

1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡- 求

a 的值.

（ 答案：因为A 是34⨯矩阵, 基础解系中仅有

一个解向量α, 故,1)(r 3=-A 即.2)(r =A 而

,a 400

a 0011012

1

06211a a 3112

1⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→→⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 可见.0a =） 10. 已知矩阵A = ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡9a 1a 40321中,0a <且齐次线性方程组0x A =有非 零解. *A 是A 的伴随矩阵, 试求齐次方程组*

A 0x = 的通

解.

（答案：因齐次方程0x A =有非零解,

故

.4a -= 因,2)(=A r 所以.1)(*

=A

r 于是齐次方程组*A 0

x =

列向量是齐次方程组*A 0x = 的解. 故*

A 0x = 的通解为

,2,1()1,0,1(21k k T +.)2T -）

11. 设A 是43⨯矩阵, 秩 ,1)(=A r 若,)2,0,2,1(T 1=α=2α

,)5,a ,1,1(T -,)5,3,a ,3(T 3--=αT 4)a ,1,1,1(--=α线性相关, 且可

以表示齐次线性方程组0x A =的任一解, 求0x A =的基础解系.

（答案：因设A 是43⨯矩阵, 秩,1)(=A r 所以0x A =的基础解系有 -n 3)(=A r 个解向量. 由此知向量组,1α,2α,3α4α的秩为3, 且其最大线性无关组就是0x A =的基础解系. 对矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-----a 55213a 01a 121211施行初等变换得⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---00)

4a ()3a (00a 13a 014a 3012

11, 当且仅当4,3a -=或1 时，向量组,1α,2α,3α4α的秩为3, 从而

推出,1α,2α3α是0x A =的基础解系.）

12. 已知向量组（I ） ,)5,0,3,1(T 1=α ,)4,1,2,1(T 2=α T 33211),,,(=α与

向量组（II ）,)1,6,3,1(T 1--=β T 2)2,b ,0,a (=β等价， 求a,b 的值. （答案 .3b ,1a == 解法提示：由于+-1α=22α,3α只需 考察1α,2α与,1β2β的互相线性表出问题. 作初等变换：

[1α2α ,1β2β]→⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--=a 52610b 610a 3610a 111

2145

b 6100323

a 11

1

.a 22000

a 3

b 000a 3610a 111

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----方程组211x x +α2α2β=有解 .3b ,1a 0a 220a 3b ==⇔⎩

⎨⎧=-=-⇔即（II ）可由( I ) 线性表出的

充分必要条件是.3b ,1a ==

反之，当.3b ,1a ==时, [,1β2

β1α2α]→⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--=4521

10362303

1111

.0000000056301111⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→方程组211x x +β2β1α=与211x x +β2β2α=均有解, 说明(I

)可由(II

)线性表出, 所以(I

)与(II

)等价时, .3b ,1a ==) 13. 已知向量组),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(321==-=a a a

.)0,2,1,1(),6,5,1,2(54-==a a （1）说明51,a a 线性无关；

（2）求包含51,a a 的一个极大无关组； （3）将其余向量用该极大无关组线性表示.

（解（1）因向量51,a a 的四个分量不成比例,故知51,a a 线性无关.