线性代数第34讲总复习上

线性代数第44讲 复习（4）
一． 本章知识结构
二． 本章自测题
（一）选择题
1. 若 ),,0(2k k =β能由
)1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321k k k +=+=+=ααα
唯一线性表示，则k 等于（ ）.
0)(≠k A 3)(-≠k B 0)(≠k C 且 3-≠k k D )(任意.
2. 设向量组r B b b b ,,,:21 能由向量组m 21 线性表示，
则( ).
)(A 当m r <时，向量组A 必线性相关 )(B 当m r >时，向量组A 必线性相关
)(C 当m r <时，向量组B 必线性相关 )(D 当m r >时，向量组B 必线性相关
（选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 )
3. 四元齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+02104231x x x x 的一个基础解系是 （ ）.
)(A ,)2,0,1,0(T
- (B) T )2,0,1,0(-和
T )1,0,2
1,0( )(C ,)0,0,0,0(T
)(
D T )0,1,0,1(-和
T )2,0,1,0(-
（二）判断题
4. 给定向量组m A a a a ,,,:21 ，如果存在数m k k k ,,,21 使得 ,2211o a a a =+++m m k k k
则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ ） （（×）.解法提示： 定义中要求m k k k ,,,21 不全为零）
（三）填空题
5. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解等于（ ）.
（答案：（基础解系的全体线性组合））
（四）计算题
6. 设,120,21,121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=γβαk 若,3βx γβx βα+=T T 试求此方程组的通解.
,
00310201421321⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=c
c x x x x 其中21,c c 为两个任意常数.） 7. 设B A ,都是n 阶矩阵, 且 2A ,
E B A =-求矩阵
)(2A BA AB +-的秩. （答案：r )(2A BA AB +-=r =)2(A r .)(n =A ） 8. 已知向量组
,1101⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=β,12a 2⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=β⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=01b 3β与向量组
,3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=α,1032⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=α⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=7693α 有相同的秩，且3β可由,1α,2α3α 线性表出，求 b ,a 的值.
线性表出，可求出,5b = .15a =）
9. 已知α是齐次线性方程组0x A =的基础解系, 其中
A = ,062
11a
a 3112
1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡- 求
a 的值.
（ 答案：因为A 是34⨯矩阵, 基础解系中仅有
一个解向量α, 故,1)(r 3=-A 即.2)(r =A 而
,a 400
a 0011012
1
06211a a 3112
1⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→→⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 可见.0a =） 10. 已知矩阵A = ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡9a 1a 40321中,0a <且齐次线性方程组0x A =有非 零解. *A 是A 的伴随矩阵, 试求齐次方程组*
A 0x = 的通
解.
（答案：因齐次方程0x A =有非零解,
故
.4a -= 因,2)(=A r 所以.1)(*
=A
r 于是齐次方程组*A 0
x =
列向量是齐次方程组*A 0x = 的解. 故*
A 0x = 的通解为
,2,1()1,0,1(21k k T +.)2T -）
11. 设A 是43⨯矩阵, 秩 ,1)(=A r 若,)2,0,2,1(T 1=α=2α
,)5,a ,1,1(T -,)5,3,a ,3(T 3--=αT 4)a ,1,1,1(--=α线性相关, 且可
以表示齐次线性方程组0x A =的任一解, 求0x A =的基础解系.
（答案：因设A 是43⨯矩阵, 秩,1)(=A r 所以0x A =的基础解系有 -n 3)(=A r 个解向量. 由此知向量组,1α,2α,3α4α的秩为3, 且其最大线性无关组就是0x A =的基础解系. 对矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----a 55213a 01a 121211施行初等变换得⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---00)
4a ()3a (00a 13a 014a 3012
11, 当且仅当4,3a -=或1 时，向量组,1α,2α,3α4α的秩为3, 从而
推出,1α,2α3α是0x A =的基础解系.）
12. 已知向量组（I ） ,)5,0,3,1(T 1=α ,)4,1,2,1(T 2=α T 33211),,,(=α与
向量组（II ）,)1,6,3,1(T 1--=β T 2)2,b ,0,a (=β等价， 求a,b 的值. （答案 .3b ,1a == 解法提示：由于+-1α=22α,3α只需 考察1α,2α与,1β2β的互相线性表出问题. 作初等变换：
[1α2α ,1β2β]→⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=a 52610b 610a 3610a 111
2145
b 6100323
a 11
1
.a 22000
a 3
b 000a 3610a 111
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----方程组211x x +α2α2β=有解 .3b ,1a 0a 220a 3b ==⇔⎩
⎨⎧=-=-⇔即（II ）可由( I ) 线性表出的
充分必要条件是.3b ,1a ==
反之，当.3b ,1a ==时, [,1β2
β1α2α]→⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=4521
10362303
1111
.0000000056301111⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→方程组211x x +β2β1α=与211x x +β2β2α=均有解, 说明(I
)可由(II
)线性表出, 所以(I
)与(II
)等价时, .3b ,1a ==) 13. 已知向量组),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(321==-=a a a
.)0,2,1,1(),6,5,1,2(54-==a a （1）说明51,a a 线性无关；
（2）求包含51,a a 的一个极大无关组； （3）将其余向量用该极大无关组线性表示.
（解（1）因向量51,a a 的四个分量不成比例,故知51,a a 线性无关.
（2）把向量组按列排成矩阵后, 对其实施初等行变换：
()
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==
⨯061424
257121103112
301,,,,T 5
T 4T 3T 2T 154a a a a a
A
B =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡--→0000
440000*********)(4222
0111003330
12301
)(r r 通过观察可知521,,a a a 是包含51,a a 的一个极大无关组. （3）把矩阵B 继续做初等行变换：
.00000
110000*********)(00000
110000*********⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡→r B （其中)(r ：3r r -1 ）
则可看出,303215213a a a a a a +
=++= 而 5214a a a a ++=.）
（五）证明题
14. 证明线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+-=++.
433,222,1232
1321321x x x x x x x x x 无解
15. 试证明向量 )6,5,3(=b 可以用向量
),1,1,0(),1,1,1(,)1,0,1(321--===a a a
线性表示，并写出表示式.
（证 按定义，设存在数,,,321x x x 使得
332211a a a b x x x ++=
成立. 为此，应解如下线性方程组
⎪⎩⎪
⎨
⎧-=-+=-=+.
653321
3221x x x x x x x 容易求得此方程组的唯一解为⎪⎩⎪
⎨⎧==-=,91411
3
21x x x
故有 .32191411a a a b ++-=）
16. 设 ][j i a =A 是n 阶矩阵, 如果
,n ,2,1,i ,∑
i
≠j j
i i
i =>
a a
证明矩阵A 的列向量
),,2,1(],,,[21n j a a a T
j n j j j ==α
线性无关.
(答案：可用反证法. 若存在不全为零的数 ,,,,21n k k k 使得
n n 2211αααk k k +++ ,0=然后，设
就满足关系式：
而有
已知条件矛盾, 所以 n 21,,,ααα 线性无关. )
17. 设A 是n 阶矩阵, t ααα,,,21 是齐次方程组0x A =的基础解系, 若存在i β, 使t i i i ,,2,1, ==αA β, 证明向量组 t ααα,,,21 , t 21,,,βββ 线性无关. (解：若存在不全为零的数,,,,,,,,2121t t l l l k k k 使得
t t t l l k k k ++++++ 112211βαααt β,0= （1）
用A 左乘上式, 并把A ,0α=i t i i i ,,2,1, ==αA β代入, 得
t t l l l ααα2211+++ ,0= （2）
因t ααα,,,21 是齐次方程组0x A =的基础解系, 它们线性无关, 故对（2）必有 .0,0,021===t l l l （1）式, 有
t t k k k ααα2211+++ ,0=即向量t ααα,,,21 ,t 21,,,βββ
线性无关. )
18. 设A 是n m ×
矩阵,对矩阵A 做初等行变换得到矩阵,B 证明矩 阵A 的列向量与矩阵B 相应的列向量有相同的线性相关性. (证法提示： 因经初等行变换由A 可得到B , 故存在初等矩阵
k 21,,,P P P 使 k P 2P .1B A P =把矩阵A ,B 写成列向量形式：
],[n 21αααA = ==P βββB ,][n 21 k P 2P 1P 则有
P =][n 21ααα ,][n 21βββ 于是).n ,,2,1i (i i ==βαP A 的
列向量k 21j j j ,,,ααα 线性相关⇔[k 21j j j ,,,ααα ]0=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡k 2x x x 有非零解
⇔P [k 21j j j ,,,ααα ]0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k 2
x x x 有非零解⇔][k 21j j j βββ 0=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k 2x x x
有非零解⇔B 的列向量k
2
1
j j j βββ 线性相关.）
19. 已知A 是n 阶矩阵, 且矩阵A 中各行元素对应成比例.
t ααα,,,21 是 0x A = 的基础解系, 而 β不是0=x A 的解.
n ααα,,, β t t 2211，
其中至少有 0≠i k , 证明用β替换i α后所得向量组 ,,,21 αα1-i α，β,,,1 +i αt α 线性无关. (解法提示：如果
+++ 2211ααh h 1-i h +1i -αh β1++i h ++1i αt h +=t α.0 将已知条件=βt t k k k ααα+++ 2211代入, 并整理有
+++++ 222111)()(ααk h h k h h )(11--+i i k h h 1 - i α+ i k h i α
)(11++++i i k h h ++1
i
α)(t t k h h ++=t α.0
由于已知向量组t ααα,,,21 线性无关, 故必有
,,0)(,0)(2211 =+=+k h h k h h 0)(11=+--i i k h h ，
i k h = 0，,0)(11=+++i i k h h
,
.0)(=+t t k h h
11 由于0≠i k , 0=i k h 知0=h , 进而必有,,0,021 ==h h .0=t h 所以向量组 ,,,21 αα1-i α，β,,,1 +i αt α线性无关.)。