直线和椭圆的位置关系高三复习.ppt

消去 y，得 9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝490.
∴所求弦长|MN|＝
1＋12|x2－x1|＝409
2 .
(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2，0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质 知B→F＝2F→Q.又 B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2， y0)．故得 x0＝3，y0＝－2，即得 Q 的坐标为 (3，－2)．
l : x y 1 0交于两点A,B，| AB | 2 2, AB中
点M与椭圆中心连线斜率为
2 2
, 求椭圆方程.
解 : 设椭圆:nx2 my2 1(m>0,n>0)
设点A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), AB中点M( x0 , y0 ).
由
nx
2
my2
1得:(n
m)x2
【答案】 (1)m∈(－3 2，3 2) (2)m＝±3 2 (3)m∈(－∞，－3 2)∪(3 2，＋∞)
例2、 已知椭圆 x 2 25
y2 9
1 和直线l：
4x－5y＋40＝0，试推断椭圆上是否存在
一点，它到直线l的距离最小？最小距离
是多少？ 15 41 41
y
l
m
方法一：切线法
M OFx m
，
。
（Ⅱ）若直线
与椭圆交于 、 两点，
与以 为直径的圆交于 、 两点，且满足
，求直线 的方程。
弦中点问题
例 4：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
弦中点问题
例 4：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)． ∴x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2.
∴|CD|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2
＝2
2（k2＋1） k2＋2 .
即2 2（k2＋k2＋2 1）＝32 2，
解得 k2＝2.∴k＝± 2.
∴直线 l 方程为 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0.
2mx
m
1
0,
x y1 0
则:
x0
x1 x2 2
m nm
,
y0
n nm
, 则kOM =
= 2
y0
2
x0
n m
.
因 | AB |
( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 2
2 2 nmnm
(m n)2
则:n2
3nm
m2
n
m
0,且
n m
2 2
,得:n
1 3
.m
2 3
又方程x52＋ym2＝1 表示椭圆，所以 m>0 且 m≠5. 综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5.
【答案】 m≥1 且 m≠5
探究 1 直线与椭圆位置关系的判断有两种方法，一是 联立方程，借助一元二次方程的判别式 Δ 来判断；二是借助 几何性质来判断．
如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直 线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这 也是解决该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握 直线系方程，另外抓住题中“k∈R”这个条件结合图形，也 是很容易想到直线必过定点．
【思路】 该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线 位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组 必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别 式 Δ≥0 求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过 的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆 内，这样便可得到关于参数 m 的不等式，解之即可．
思考题 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝ 1，试问：当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C，
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？
【解析】
y＝2x＋m， 由x42＋y22＝1， 得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.
其 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
方法二：三角换元法
2弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
方法小结
如果直线的斜率不存在如何求弦长呢?
AB ｙ１－ｙ２
题型二 弦长问题
例 2 椭圆两顶点 A(－1，0)，B(1，0)过焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于 CD 两点．当|CD|＝32 2时．求 l 的方程．
思考题 2 已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的一个顶点为 B(0， 4)，离心率 e＝ 55，直线 l 交椭圆于 M，N 两点．
(1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求弦 MN 的长； (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程 的一般式．
【解析】 (1)由已知得 b＝4，且ca＝ 55，即ca22＝15. ∴a2－a2 b2＝15，解得 a2＝20. ∴椭圆方程为2x02＋1y62 ＝1. 则 4x2＋5y2＝80 与 y＝x－4 联立．
直线与椭圆位置关系判断 y＝kx＋m，
联立xa22＋yb22＝1， 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0 该一元二次方程的 判别式为 Δ. Δ>0 有两个交点 相交；
Δ＝0 一个交点 相切；
Δ<0 无交点 相离．
1直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
直线与椭圆的位置关系
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且 x2102＋y1162＝1，x2202＋y1262＝1.
以上两式相减，得 （x1＋x2）20（x1－x2）＋（y1＋y2）1（6 y1－y2）＝0. ∴kMN＝yx11－－xy22＝－45·xy11＋＋xy22＝－45×－64＝65. 故直线 MN 的方程为 y＋2＝65(x－3)， 即 6x－5y－28＝0.
【解析】 由题意 b＝1，c＝1. ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y22＋x2＝1. 若直线 l 斜率不存在时，|CD|＝2 2，不合题意． 若 l 斜率存在时，设 l 方程 y＝kx＋1， 联立yy＝2＋k2xx＋2＝1，2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0 恒成立．
P(12，12)平分，所以 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得y1－9 y2 ＋x1－x2＝0，得yx11－－yx22＝－9，即直线 AB 的斜率为－9，所以直 线 AB 的方程为 y－12＝－9(x－12)，即 9x＋y－5＝0.
【答案】 B
2014江西（抄 ）
练习：自助餐 1
例6椭圆的对称轴是坐标轴, 若椭圆与直线
【解析】 方法一：由椭圆的方程，可知 m>0，且 m≠5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得 y－kx－1＝0，① x52＋ym2＝1，② 由①，得 y＝kx＋1. 代入②，得x52＋（kx＋m 1）2＝1. 整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
因为直线与椭圆恒有公共点，故 Δ＝(10k)2－4×(5k2＋
【答案】 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0
探究 2 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规 思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根 与系数的关系建立，解决相关问题，涉及弦中点的问题常常用“点 差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ （1＋k12）[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的 情况下进行的，不要忽略判别式．
椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为xy＝＝bacsionsθθ(θ 是参数)． 点 P(x0，y0)和椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的关系： (1)P(x0，y0)在椭圆内 xa022＋yb022<1． (2)P(x0，y0)在椭圆上 xa022＋yb022＝1． (3)P(x0，y0)在椭圆外 xa022＋yb022>1．
m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0.
因为 m>0，所以不等式等价于 5k2－1＋m≥0，即 k2≥
1－m
1－m
5 ，由题意，可知不等式恒成立，则 5 ≤0，解得 m≥1.
综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5.
方法二：因为直线 y－kx－1＝0 过定点 P(0，1)，
要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆 内，即052＋1m2≤1，整理，得m1 ≤1，解得 m≥1.
思考题 3 (1)已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为
F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点为 M(1，
－1)，则 E 的方程为( ) A.4x52＋3y62 ＝1 C.2x72＋1y82 ＝1
B.3x62＋2y72 ＝1 D.1x82 ＋y92＝1
【答案】
40 2 (1) 9
(2)6x－5y－28＝0
已知点
，椭圆 ：
（
）
的离心率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的
斜率为 ， 为坐标原点。
（1）求 的方程；
（2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两 点，当 的面积最大时，求 的方程。
2014陕西
已知椭圆
经过点
，离心
率为 ，左右焦点分别为 （Ⅰ）求椭圆的方程；
(1)由 Δ>0，得－3 2<m<3 2，此时直线与椭圆 C 有两
个不同的公共点；
(2)由 Δ＝0，得 m＝±3 2，此时直线与椭圆 C 有且只有
一个公共点；
(3)由 Δ<0，得 m<－3 2或 m>3 2，此时直线与椭圆 C 没有公共点．
综上所述，当－3 2<m<3 2时，直线 l 与椭圆 C 有两个 不重合的公共点；当 m＝±3 2时，直线 l 与椭圆 C 有且只有 一个公共点；当 m<－3 2或 m>3 2时，直线 l 与椭圆 C 没 有公共点．
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
探究 3 本类型题目常见问题有：①过定点被定点平分的弦 所在直线的方程；②平行弦中点轨迹；③过定点的弦的中点的轨 迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差 法”．这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公 共点．
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
x2 y2
例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交点情况满足( D)
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
题型一 直线与椭圆的位置关系 例 1 已知对 k∈R，直线 y－kx－1＝0 与椭圆x52＋ym2＝1 恒 有公共点，求实数 m 的取值范围．
【解析】 kAB＝03＋－11＝12，kOM＝－1，由 kAB·kOM＝－ba22， 得ba22＝12，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆 E 的方程为 1x82 ＋y92＝1.
【答案】 D
(2)(2016·南昌二模)已知椭圆：y92＋x2＝1，过点 P(12，12)的直
线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB
的方程为( )
A．9x－y－4＝0
B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋y－5＝0
【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆y92＋ x2＝1 上，所以yy991222＋ ＋xx1222＝ ＝11， ，两式相减得y12－9 y22＋x12－x22＝0， 得（y1－y2）9（y1＋y2）＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦 AB 被点