数值分析期末复习要点总结

n=1
L1( x)
y0l0 ( x)
y1l1( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
L2 ( x)
y0
(x ( x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
抛物线插值多项式（二次插值多项式） 17
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下
x
0.4
0.5
0.6
0.7
lnx
-0.9163 -0.6931 -0.5108
-0.3567
试分别用线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值
11
11
数值计算中的一些原则 1.避免两个相近的数相减
2.避免大数“吃”小数的现象
3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
4.要简化计算，减少运算次数，提高效率 5. 要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播
例如 为提高数值计算精度, 当正数x充分大时,应将
2x 1 2x 1 改写为
2 2x 1 2x 1
数值分析
期末复习要点总结
1
第一章 误差
一. 误差的来源: 1.模型误差 2.观测误差 3.截断误差 4.舍入误差
二. 绝对误差、相对误差和有效数字
2
第一章 误差
2
绝对误差、相对误差和有效数字
定义1 设 x * 为准确值x的一个近似值，称
e( x* ) x x*
为近似值 x* 的绝对误差，简称误差.
7
7
例 所得,
设近似数 a 1.557 是某真值 x 经四舍五入
试求其绝对误差限和相对误差限.
解 由于a经四舍五入得到,故
e(a) 1 103 2
e(a) er (a) a
1 103 2
1.577
3.170577 104
9
9
数值计算中误差的传播
例2: 要使
6 的近似值的相对误差限小于0.1%,应取
取几位有效数字
解: 2 6 3, 6 的首位数是2,
a1 2
设近似数 x* 有n位有效数字,只须取n使
1 10n1 0.1% 即 2a1
10n1 0.4%, 10n 10 ,
0.4%
取n=4,
1 10Baidu Nhomakorabea1 0.1% 22
n lg 10 3.3979 0.4%
即取4位有效数字,近似值的相对误差限小于0.1%.
插值节点
如果存在一个简单易算的函数 P(x)，使得
P(xi) = f(xi)，i = 1, 2, ... , n 则称 P(x) 为 f(x) 的插值函数
插值节点无需递增排 列，但必须确保互不
相同！
插值条件
求插值函数 P(x) 的方法就称为插值法 14
基函数法
n+1 维线性空间
记 Zn(x) = {次数不超过 n 的多项式的全体}
一般地，如果近似值
x* 的规格化形式为
x* 0.a1a2 an 10 m
(1-5)
其中m为整数， a1 0, ai i 1,2, 为0到9之间的整数.
如果 则称近似值
x x* 1 10mn 2
x* 有n位有效数字.
(1-6)
例如 x* 1.414 0.1414101.
2 1.414 1 103 1 1014
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式 P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + ···+ anzn(x)
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数
② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
15
Lagrange插值
Lagrange插值基函数
设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
1, j k lk ( x j ) 0, j k
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上的拉格朗日插值基函数
16
线性与抛物线插值
两种特殊情形
0.8 -0.2231
解： 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点
线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得
L1( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
0.1823 x
1.6046
将 x=0.54 代入可得：
ln 0.54 L1(0.54) =-0.6202
2
2
故 x* 1.414 有4位有效数字.
6
6
绝对误差、相对误差和有效数字
定理1.1 若x的近似值 x* 0.a1a2 an 10m,
(a1 0) 有n位有效数字，
则 1 10 n1 为其相对
2a1
误差限. 反之， 若 x * 的相对误差 r 满足
r
1
2a1
1
10n1
则 x* 至少具有n位有效数字.
若
e(x* ) x x*
通常称 为近似值 x* 的绝对误差限，简称误差限.
(1-1) (1-2)
定义2 设 x *
为准确值 x 的近似值， 称绝对误差与
准确值之比为近似值
x* 的相对误差， 记为
即
er x*
ex*
x
x
x* x
er ( x* )
(1-3)
3
3
绝对误差、相对误差和有效数字
( 2x 1 2x 1)( 2x 1 2x 1)
2
2x 1 2x 1
2x 1 2x 1
12
12
第二章插值
插值区间
已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上有定义，且已经测得在点
a x0 < x1 < ···< xn b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn)
由于在计算过程中准确值 x 总是未知的，
故一般取相对误差为
er
x*
e x* x*
x x* x*
如果存在正数
r 使得
er x*
ex*
x*
r
则称 为 r 的x相* 对误差限.
(1-4)
4
绝对误差、相对误差和有效数字
有效数字
如果近似值
x * 的误差限是
1 10n 则称 x*
2
准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这一位的所有数
字均称为有效数字.
例如， x 2 1.414213562 , 取前四位数得
x* 1.414. 取前八位数得近似值
x* 1.4142136
2 1.414 1 103 , 2
2 1.4142136 1 107 2
1.414有4位有效数字.
1.4142136有8位有效数字. 5
绝对误差、相对误差和有效数字