二级倒立摆数学模型的建立与仿真培训资料

二级倒立摆数学模型的建立与仿真

二级倒立摆数学模型的建立与仿真

专业：控制工程

姓名：淡丹

学号：1406073

摘要

本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。并通过分析比较得出，加状态观测器并不影响系统的输出的结论。

关键词：倒立摆状态空间极点配置状态反馈

ABSTRACT

Newtonian mechanics analysis method and the Lagrange equation of a mathematical model of double inverted pendulum has been used in this paper. According to the established mathematical model of inverted pendulum on the controllability, observability and stability of the analysis and research, and the state observer and state feedback is carried on the simulation ,analysis and research. And through the analysis and comparison of results, plus state observer does not affect the conclusions of the output of the system.

KEY WORDS: inverted pendulum state space pole allocation state feedback

一、二级倒立摆系统的组成

二级倒立摆主要由以下四部分组成:

1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;

2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;

3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;

4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位

置附近的控制器。

二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和功率放大;电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移。

图1 倒立摆系统的计算机控制系统

二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。

2、结构参数

通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下:

小车的等效质量:M =1.0kg;

小车与轨道间的滑动摩擦系数:b =5.0kg/s;

下摆的质量:m =0.1481kg;

下摆半长:1l =0.18m;

下摆绕其重心的转动惯量:1j =0.00192kgm ;

上摆质量:2m =0.0998kg;

上摆半长:2l =0.24m;

上摆绕其重心的转动惯量: 2j = 0.00182kgm ;

上、下摆重心之间的距离: 1L =0.29m;

上、下摆之间的转动摩擦系数: 2F =0.0l 2kgm /s;

下摆和小车之间的转动摩擦系数:1F =0.012kgm /s;

电机及功率放大器的增益: u K =15Nt/V 。

3、Lagrange 方程介绍

Lgarnage 方程为..11(1,2,...,)1i q d T T V D F i k dt q q i

q q ⎛⎫ ⎪∂∂∂∂-++== ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭(1-1) 式中

T —系统的动能函数，

.

1q ，q ，—Lganarge 变量，分别成为广义坐标和广义速度

Qi —作用于系统上的广义力

1(1,2,...,)i q V Qi F i k q ∂=-+=∂，(1-2) 式中：

V —系统的势能函数

1

V q ∂-∂—有势力的广义力 i q F —非有势力的广义力

将式(2-2)代入式(2-l)得.11(1,2,...,)1i q d T T V F i k dt q q q ⎛⎫ ⎪∂∂∂-+== ⎪∂∂ ⎪∂⎝⎭

二、二级倒立摆数学模型的推导

二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设:

1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;

2.力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上;

3.车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;

4.忽略电机的电感;

5.忽略钢丝的弹性。

在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge 方程来建立系统的数学模型。令:为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的

角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上耗能部分，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange 方程为:

..11(1,2,...,)1i q d T T V D F i k dt q q i

q q ⎛⎫ ⎪∂∂∂∂-++== ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭ 式中：

i q —广义坐标，即r 、1θ、2θ

i q F —非有势广义力，当i q =r 时，i q F =0G U ,U 为控制量，0G 为增益常

数，当i q =1θ、2θ时，i q F =0

T 、V 、D —分别是系统的动能、势能和消耗能

0n i i T T ==∑、0n i i V V ==∑、0n

i i D D ==∑ (1-5)

式中：

n —倒立摆的级数，这里n=2

i T —小车和各级倒摆的动能

i V —小车和各级倒摆的势能

i D —小车和各级倒摆的消耗能