第6章采样频谱及采样定理

在频域，有一个“佩利-维纳准则”，即H(jω)物理可实 现的必要条件是
∫
∞
1n H ( jω ) 1+ω
2
−∞
dω < ∞
PT s (t ) =
n = −∞
s
∑ g（t − nT ）
r s
P T (t)
∞
1
－Ts －τ oτ 2 2
Ts
t
图 5.1-2 抽样脉冲序列PTs(t)
f s (t ) = f (t ) ⋅ PTs (t )
2πτ PTs (t ) ↔ Ts
1 F [ f s (t )] = 2π
nΩτ ∑ Sa 2 n = −∞
1.周期矩形脉冲抽样 周期矩形脉冲抽样 图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽 样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
f s (t ) = f (t ) ⋅ PT s (t )
f (t) f (t) fs(t) fs(t)
抽样器 o t
图 5.1-1 信号的抽样
o T s
t
式中的抽样脉冲序列PTs如图 5.1-2 所示。它实际上就是周期 矩形脉冲函数，可表示为
Fs (ω ) =
n =−∞ +∞
2π )对 f (t ) 进行抽样， 则抽样后， 信号 f s (t ) 的频谱 Fs (ω ) 是 F (ω ) Ts
∑ c F (ω − nω )
n s
(5.2-1)
在此情况下，只有满足 ωs ≥ 2ωm 的抽样定理条件， Fs (ω ) 才不会产生频谱的混叠，如图 5.2-1(b)所示。 这样，如果将 Fs (ω ) 通过理想低通滤波器，就可以从 Fs (ω ) 中恢复出 F (ω ) 。也就是说，抽样信号 f s (t ) 保留了 原连续信号 f (t ) 的全部信息，完全可以用 f s (t ) 唯一地表示 f (t ) 。如果 ωs < 2ωm ，此时不满足抽样定理条件， Fs (ω ) 将产生频谱的混迭，如图 5.2-1(c)所示，此时将不能从 Fs (ω ) 中恢复出 F (ω ) ，也即不能完全用 f s (t ) 唯 一地表示 f (t ) 。这就是说，取样的时间间隔过长，即取样速率太慢，将会造成信息丢失。 通过上面的讨论可见，为了使抽样信号 f s (t ) 保留原信号 f (t ) 的全部信息，要求 f s (t ) 的频谱 Fs (ω ) 不产 生混迭现象，此时必须满足 (5.2-2a) ωs ≥ 2ωm 即 ωs = 2π f s ≥ 2ωm = 2 × 2π f m (5.2-2b) 所以
频域抽样
频域抽样定理的内容是：一个在时间区间(-tm, tm)以外为 频域抽样定理 零的时间有限信号f(t)，其频谱函数F(jω)可以由其在均匀频 率间隔fs 上的样点值Fs(jnωs)惟一地确定，只要其频率间隔fs
1 小于或等于 2 tm
下面从物理概念上对此作一简单说明。在频域对F(jω)进 行抽样，相当于用F(jω)乘冲激函数序列δωs(ω)，而δωs(ω)所对 2π 应的时间信号也为一个冲激函数序列 δ Ts (t ) Ts =。根据傅 ωs 里叶变换的卷积性质可知， 频域样值函数Fs(jnωs)对应的时间 信号fs(t)为f(t)在时域的周期性重复，其周期为Ts 。只要抽样间 1 隔fs不大于 ， 则在时域中波形不会发生混叠，我们 2tm 用矩形脉冲作选通信号就可无失真地恢复出原信号f(t)。类似 1 于式(3.7-13), 当 时， 存在下列关系式： fs = 2tm
Ts = 1 1 < fs 2 fm
(5.2-3)
上式表示的关系称为时域抽样定理。通常把最低允许的抽样频率 f s = 2 f m 称为“奈奎斯特 奈奎斯特(Nyquist)频率 频率”，把 奈奎斯特 频率 π 1 = 最大允许的抽样间隔 Tm = 称为“奈奎斯特间隔 奈奎斯特间隔”。 奈奎斯特间隔 ωm 2 f m
6.1 抽样信号及其频谱
5.1.1 时域抽样
在时域，抽样过程是通过抽样脉冲序列 p(t ) 与连续信号 f (t ) 相乘来完成的，如图 5.1-3 所示。
f (t ) f s (t )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p (t )
图 5.1-3 时域抽样过程 可以表示为 f s (t ) = f (t ) ⋅ p(t ) 由于 p(t ) 是周期序列，所以可以计算 p(t ) 的傅里叶变换为
Fs (ω ) =
+∞ +∞ 1 1 F (ω ) ∗ P (ω ) = F (ω ) ∗ 2π ∑ cnδ (ω − nωs ) = ∑ cn F (ω − nωs ) 2π 2π n =−∞ n =−∞
(5.1-4)
连续信号 f (t ) 在时域被抽样后，其抽样信号 f s (t ) 的频谱 Fs (ω ) 是由连续信号 f (t ) 频谱 F (ω ) 以抽样频率 ωs 为间隔 周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p(t ) 的傅里叶变换 P(ω ) 的系数 cn 加权。因为 cn 只是 n(而不是 ω )的函 数，所以 F (ω ) 在重复过程中不会使形状发生变化。
2. 冲激抽样 若抽样脉冲 p(t ) 是冲激序列 δ T (t ) ，这种抽样通常称为“冲激抽样”或“理想抽样” 。 因为
p(t ) = δ T (t ) =
n =−∞
∑ δ (t − nT )
s
+∞
f s (t ) = f (t )δ T (t )
由式(5.1-3)求出 δ T (t ) 的傅里叶系数为
f (t ) 1 (其中 ωm = 2π f m )。 其中 。 2 fm
F (ω )
1
t
0
ω
−ωm
0
ωm
（a）连续信号及频谱
FS (ω ) t
0 TS
FS (ω )
1/TS
ω
−ωS −ωm
0
ωm
ωS
（b）满足抽样定理时的抽样信号及频谱（不混叠）
FS (ω ) t
0 TS
−ωS
1/TS
ωm
−ωm
0
ωS ωm
式(5.1-6)表明：由于冲激抽样序列的傅里叶系数 c n 是常数，所以 F (ω ) 是以 ωs 为周期等幅地重复。
f (t )
F (ω )
t
ω
−ωm 0 ωm p (ω )
0
p (t )
1
( ωS ) …
t
…
−Ts
…
−ωS
… 0
1 TS
ω
0
Ts
f S (t )
2Ts
ωS
FS (ω )
…
−Ts
… 0 Ts
−ωm
（c）不满足抽样定理时的抽样信号及频谱（混叠） 图 5.2-1 冲激抽样信号的频谱
为了证明此定理，可以参看图 5.2-1 所示。假设信号 f (t ) 的频谱 F (ω ) 限制在 − ω m ~ +ω m 范围内，如 若以间隔 Ts (重复频率 ωs = 图 5.2-1(a)所示。 以 ωs 为重复周期的周期函数，即
1 cn = Ts
∫
Ts 2 Ts − 2 +
δ T (t )e
− jnωs t
1 dt = Ts
∫
Ts 2 Ts − 2 +
δ (t )e − jnω t dt =
s
1 Ts
代入式(5.1-4)，得冲激抽样信号的频谱为
1 Fs (ω ) = Ts
n =−∞
∑ F (ω − nω )
s
+∞
(5.1-6)
第6章 采样信号频谱分析 章
6.1 抽样信号及其频谱
6.2 抽样定理
6.1 抽样信号及其频谱
前面各章主要研究的都是连续时间的信号与系统，它们的突出特点是比较直 观、物理概念比较明确。但在实际应用过程中，特别是随着计算机技术的发展，通 常是以离散信号或数字信号替换原来的连续信号，进而进行数字信号的加工或操 作。这就需要对连续时间信号进行抽样和量化，从而实现其离散化。连续信号的离 散化通常是以 A/D(模数转换器)来实现的，主要表现为两个过程：时间离散化称为 抽样， 这时信号在时间轴上是离散的， 但在幅值上却是连续的， 通常称为抽样信号， 用 f s (t ) 表示；如果对抽样信号的幅值也进一步离散化，此时信号在时间轴和幅值 上都是离散的，通常称为数字信号，用 f (nTs ) 表示，通常简单表示为 f (n) 。
2π 。如果抽样 Ts
5.2 抽样定理
5.2.1 时域抽样定理
时域抽样定理表明： 的有限范围， 时域抽样定理表明：一个频带受限的信号 f (t ) ，如果它的频谱只占据 − ω m ~ +ω m 的有限范围，则信号 f (t ) 可以用 等间隔的抽样值唯一地表示， 等间隔的抽样值唯一地表示，此时最低抽样频率必须满足 f s ≥ 2 f m ，或者说抽样时间间隔必须小于
2Ts
t
…
−ωS
… 0
ω
ωS
(a) 冲激抽样 图 5.1-5
(b) 抽样信号频谱 冲激抽样信号的频谱
由以上讨论，有两点需要注意：(1) 原连续信号的频谱函数 F (ω ) 假设是有限带宽。根据前面的信号分 析，如果信号在频域是有限的，那么它在时域会是无限的，这就意味着它是一个物理上不存在的信号；(2) 抽样信号频谱函数 Fs (ω ) 是以周期 ωs 重复的， ωs 的大小与时域抽样间隔 Ts 有直接关系 ωs = 间隔大，则重复周期 ωs 小，反之抽样间隔小，重复周期大。
τ
f (t)
F(jω )
o
t (a) P T (t)
s
－ω m o
ωm
ω
1
2π τ Ts
F ［PTs(t)］
-Ts-
τ
τ Ts 2o 2
t (b)
－Ω
o F s(jω )
Ω
ω
τ Ts
-T s o
Ts
t (c)
－Ω －ω m o
ωm
Ω
ω
图 5.1-3 矩形脉冲抽样
(a) f(t)的波形及其频谱；(b) PTs的波形及其频谱； (c) fs(t)的波形及其频谱
ω
－Ts
o
Ts fs(t) 1 ωs
t
o ωs
ω
－Ts
－t mo t m
Ts
t
图 5.2-3频域抽样
5.3 理想低通滤波器的特性
一个系统，如果它的H(ω)对不同频率成分的正弦信号， 有的让其通过，有的予以抑制，则该系统称为滤波器 滤波器。所谓 滤波器 理想滤波器，是指不允许通过的频率成分，一点也不让它通 理想滤波器 过， 百分之百地被抑制掉；而允许通过的频率成分，让其顺 利通过， 百分之百地让其通过。
P(ω ) = 2π
1 其中 cn = Ts
n =−∞
(5.1-1)
∑ c δ (ω − nω )
n s
+∞
(5.1-2)
∫
Ts 2 T − s 2 −
p(t )e − jnωs t dt
ωs = 2π f s =
2π 是抽样角频率， Ts 为抽样周期。 Ts
(5.1-3)
如果设连续信号 f (t ) 的频谱为 F (ω ) ，则根据频域卷积定理可知，抽样信号 f s (t ) 的傅里叶变换为
1
H(ω )
ϕ (ω ) ωc
－ω c
o
－ω t d
ω
图 5.3-1理想低通滤波器的系统函数
由图 3.7-9 可知， 理想低通滤波器的系统函数为
h (t)
ωC π
π t d＋ ωc td
图 5.3-2 理想低通滤波器的冲激响应
o
t
在时域，要求系统的冲激响应h(t)满足因果条件， 即
t < 0时, h(t ) = 0
∞
δ (ω − nΩ)
由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同样，根据傅里叶变换的频域卷积 性质，可得
∞ 2πτ nΩτ F ( jω ) * ∑ T Sa 2 δ (ω − nΩ) n = −∞ S ∞
nΩ τ = ∑ Sa 2 F [ j(ω − nΩ)] Ts n = −∞
nπ nπ F ( jω ) = ∑ F j t Sa tm (ω − t ) n = −∞ m m
∞
F(jω ) 1
f(t)
o
ω δ ω (ω )
s
－t mo t m
1 ω s δ Ts(t) 1 ωs
t
1
o ωs Fs(jn ω s)