幂函数图像
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质一、相关内容1、形如αx y =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、幂函数的图像0<α10<<α1>α第一象限图像其他象限图像根据定义域和奇偶性判断性质总结1、幂函数的图像一定在第一象限，不在第四象限2、图像过定点（1，1）3、当0=α时，表示与X 轴平行，过（1，1），不过（0，1）的两条射线二、基础练习1、判断下列哪些是幂函数（1）xy 2.0= （2）21x y = （3）x y -=3 （4）1-=x y （5）x y 4= （6）5x y =2、画出下列函数的图像（1）43x y = （2）34x y =（3）76-=x y （4）31x y =（5）x y = （6）98x y =3、若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是_________4、若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5、幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________6、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______7、已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是___________8、在32521,2,,y y x y x x y x x===+=四个函数中，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（ ）A ．1B ． 2C ．12D ．8 10、幂函数y ＝xm 2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或311、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( )A 、一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1) 13、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。
幂函数的图像
幂函数的性质一、正值性质
当α0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；
b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；
c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0lt;αlt;1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
二、负值性质
当αlt;0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都通过点〔1,1〕；
b、图像在区间〔0，+∞〕上是减函数；〔内容补充：假设为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间〔-∞，0〕上单调递增。
其余偶函数亦是如此〕。
c、在第一象限内，有两条渐近线〔即坐标轴〕，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有以下性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点〔0,1〕。
它的图像不是直线。
幂函数图像与性质
一般地，我们把形如 y x 的函数 称为幂函数，
a
其中 x 是自变量， a 是常数； 注意：幂函数与指数函数的区别．
指数函数的自变量在 的位置上
幂函数的自变量在 的位置上 指数函数中参数a的取值范围是 a 0且a 1 幂函数中参数a的取值范围是 a R
yx yx
图像
定义域 值域 单调性
2
yx
3
yx
1 2
R R
增函数
[0, )
先减后增
R
R R
增函数
[0, )
[0, )
增函数
奇偶性
对称性 过定点 象限分布
奇
(0, 0) (1,1)
偶
(0, 0) (1,1)
奇
(0, 0)
(0, 0) (1,1)
无 无
(0, 0) (1,1)
(0, 0)
y轴
一三
一二
Байду номын сангаас一三
一
yx
1
yx
2
yx
3
yx
1 2
图 像
定义域
值域 单调性 奇偶性 对称性 过定点 象限分
y0
x0
奇
(0, 0)
(0, ) (0, )
先增后减
x0
减减
奇
(0, 0)
y0
(0, ) (0, )
减函数
减减
偶
y轴 (1,1) 一二
无 无
(1,1)
一三
(1,1)
一三
(1,1)
一
总结
• 幂函数的一般形式为y=x^a。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无 理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义 域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来 源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的 定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。阅读全文： 606 评论： 0
幂函数图像(课堂PPT)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
12
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
13
( 4 y x 3 ( y x 2
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当α>0时，图象随x增大而- 上升。
- 当α<0时，2 图象随x增大而下降
-3
-4
19
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个
y x 2
定点?
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 0
1 22
3
-4
14
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( - 1
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
15
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
m2
舍去m1
22
例5. 利用单调性判断下列各值的大小。
幂函数图像及性质PPT课件
上述问题中涉及的函数，都是形如
y=xa的函数。
.
3
从而我们归纳出幂函数的一般概念：
一般地，形如 yx(R) 的函数
称为幂函数，其中 x 为自变量，α为
常数．
注意与指数函数的区别: ● 幂函数——底数是自变量、指数是常数。 ● 指数函数——指数是自变量、底数是常数。
.
4
例1 判断下列函数哪几个是幂函数？
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因 为 x 1 x 2 0 , x 1x 2 0 ,
除了作差，还 有没有其它方
法呢？
所 以 f(x 1 )f(x 2 ),即 幂 函 数 f(x )x 在 [0 , )上 是 增 函 数 .
例3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____1.42
解后反思 两个数比较
> (2)0.26 1_____0.27 1
大小，何时 用幂函数模
2
(3)3.9 3
2
__<___3.85
型，何时用 指数函数模 型？
> 2
3
(4)(2.4)5____(1.8)5
.
11
例4 证明幂函数f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
奇
非奇 非偶
{y|y≠0}
奇
单调性
增 x∈[0，+∞)时增 x∈(-∞，0]时减
增
增
定点
(1,1) (0,0)
4.1(2)幂函数的图像与性质
归纳幂函数 y
x
的性质。
① 所有幂函数图象在 (0,) 都有定义，且都经过点 (1,1); ② 当 0 时，幂函数图象都过（0，0），并 且在是增函数；
0,
x ( 0 , 1 ), y x 1 特别，当 时， 的图象都在
y x 图象的下方，图象向下凸，
越大，下凸程度越大.
yx
图
当 0 1 时, x (0,1), y x 的图象都在 象的上方,图象向上凸, 越小,上凸程度越大;
③ 当 0 时,幂函数的图象在 (0,) 上是减函数.
④图像分布的象限： 为什么幂函数幂函数图像一定不在第四象限？
如果函数
f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函
数，且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足 条件的实数m的值。
4.1幂函数的图像与性质（2）
例1 、 1 1 x 1 , h( x) （1）研究函数 f ( x) , g ( x) x x2 x2 之间的关系； （2）在同一坐标中作上述函数的图像；
的图像
例2、作函数
1 y | x | 1
的大致图像.
x 变式：作函数 y | x | 1 的大致图像.
例2、作出下列函数的大致图像.
1y x
2 y
2
2x
x 2x
2
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
幂函数
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；
（3）log0.4 3 0.60.2 50.3 (4)0.70.6 0.60.7 1.40.2
例2： .证明幂函数f ( x) 例1
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
∴ m ＝2或 m ＝－1.
2 1． 已知幂函数 y＝f(x)的图象过点 2， ， f(x) 则 2 ＝________.
2 2 解：设f ( x) x , 则由图象过点（2， ），可得2 = , 2 2 1 1 1 即2 =2 2 , 所以 = ，即f ( x) x 2 2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
1）
1.3
0.5
＜
1.5
0.5
5.1 ＜ 5.092 2）
3）
0.5
1 4
2
＞ 0.4
2 3
1 4
4）
0.7
＞
0.8
2 3
练习（5）比较下列各值的大小
(4) y x
1 2
(5) y x
幂函数与函数图像-课件
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
图10－5
│ 要点探究
[思路] 从图象在坐标轴上的特殊点入手， 由于 f(x)＝axx2＋＋cb是奇函数，所以只研究 x＞0 时的变化情况．
│ 要点探究
B [解析] f(0)＝bc＝0，∴b＝0.f(1)＝1， ∴1＋a c＝1，∴a＝c＋1. 由图象看出 x＞0 时，f(x)＞0，即 x＞0 时，有x2a＋x c＞0， ∴a＞0. 又 f(x)＝x＋a xc，当 x＞0 时，要使 f(x)在 x＝1 时取最大值 1， 需 x＋xc≥2 c，当且仅当 x＝ c＝1 时成立，∴c＝1.此时应有 f(x) ＝a2＝1，∴a＝2.∴a＞c＞的图像
│ 知识梳理
知识梳理
1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _y_＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
│ 知识梳理
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
幂函数
y=x
y = x2
y = x3
1 2
1 3
y=x
y=x
当 k > 0 时，幂函数 y = x k 有下列性质：
y
4 3 2 1
y=x
3
1. 图象都通过点（0，0） 与（1，1）。 2. 在区间 [0，∞）上，是 增函数。
y=x 1 y = x3
o
-1 1 2 3
1 2
-2
-11 -2 -1
o
-1
1
2
3
x
要点1， 要点 ，幂函数的图像和性质归纳 1）k＞0 时； ） ＞ 图象都通过点(0,0)，(1,1)； ①图象都通过点 ， ； 第一象限内， 的增大而增大， ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大， ，＋∞ 上是增函数． 即在(0，＋∞)上是增函数． ，＋ 上是增函数 2) k＜0 时； ＜ 图象都通过点(1,1)； ①图象都通过点 ； 第一象限内， 的增大而减小， ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小， 即在(0，＋ 上是减函数 ，＋∞ 上是减函数． 即在 ，＋∞)上是减函数． 在第一象限内， 轴无限地接近， ③在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近， 轴无限地接近． 向右与 x 轴无限地接近．
1 3.设α ∈{－1,1，，，则使函数y＝xα的定义域为R， 3} 2 且为奇函数的所有α的值为( ) A． 1,3 C．－1,3 B．－1,1 D．－1,1,3
4.当x ∈ (0，＋∞)时，幂函数y＝(m －m－ x 1)
2
－5 m－3
为增函数，则实数m的值为
.
5． (a＋1) ＞(3－2a) ， a 的取值范围是 ． 若 ＋ － 则 的取值范围是________． ．
幂函数与函数的图像变换
第 六 节 幂函数与函数的图像变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数 2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα<00<α<1α>1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y ＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y ≥0.比如y＝|sin x|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f (|x |)的图象可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象．(3)伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到． 2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即要证明C 1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．3．由于幂函数y ＝x α当α<0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y ＝x α(α<0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．幂函数的定义[例1]幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为________． 幂函数的单调性[例2] (1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y ＝x m 在x 取x 1＝0.71.3与x 2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y ＝0.8x 与幂函数y ＝x 0.8的单调性解决．下列各式中正确的是( )幂函数图象的分布规律[例3] 幂函数y ＝x m 2＋3m (m ∈Z)的图象如右图所示，则m 的值为( )A ．－3<m <0B ．－1C ．－2D ．－1或－2函数y ＝x 13 的图象是()函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)幂函数图象与性质的综合应用已知幂函数f (x )＝x m 2－6m ＋5 (m ∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f (x )的解析式为________．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5数形结合的思想[例5] 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．1D ．4已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－12，0)C ．(－13，0)D ．(－14，0)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2， x －1 3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．据解析式作函数的图象[例6] 作出下列函数的图象(1)y ＝x 3|x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|; (4)y ＝2|x －1|.y ＝|x -13 |的图象为( )设函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c的图象如图，则a ，b ，c 满足()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a一、选择题1．在下列四个函数①y ＝x 13 ②y ＝x 12 ③y ＝x －2 ④y ＝x 0中，为偶函数的是( )A ．①B ．①③C ．③④D ．①②③④2.已知函数①y ＝3x ；②y ＝ln x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②2．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( )A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位4.设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,35.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x的值是______．7.幂函数(p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________.三、解答题 8.已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝x m 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．。
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
总结归纳
及时总结归纳学习过程中 的重点和难点，形成自己 的学习笔记和心得体会， 便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食， 保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己 能够通过努力取得好成绩。遇到 困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件 幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的 理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力 和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方 面的学习目标，例如掌握基本概念 、理解图像特征、熟练运用性质等 。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的 自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质一、什么是幂函数在数学中，幂函数是一种形式为 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。
当 a = 1 时，幂函数就是我们熟悉的一次函数，而当a > 1 时，幂函数的图像呈现出特定的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当 a > 1 时•当 a > 1 时，幂函数的图像呈现出向上凹曲的形状。
•随着 x 的增大，函数值快速增加，增长迅猛。
•函数图像在第一象限，并在原点围绕原点对称。
2. 当 a = 1 时•当 a = 1 时，幂函数就是一次函数，函数图像为一条过原点的直线。
3. 当 0 < a < 1 时•当 0 < a < 1 时，函数的增长趋于缓慢，图像在第一象限被压缩，所占的范围变小。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域•对于幂函数 f(x) = x^a，当 a 为奇数时，定义域为实数集，值域也为实数集；当 a 为偶数时，定义域为非负实数集，值域也为非负实数集。
2. 奇偶性•当 a 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称；•当 a 为偶数时，幂函数是偶函数，关于 y 轴对称。
3. 单调性•当 a > 1 时，幂函数是增函数；•当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。
4. 特殊情况•当 a < 0 时，幂函数的图像为反比例函数的图像。
四、实例分析示例 1考虑函数 f(x) = x^2，这是一个以原点为中心向上开口的抛物线图像。
随着 x 的增大，函数值快速增加，形成一个向上凸起的形状。
示例 2当考虑函数 f(x) = x^0.5 时，函数的图像呈现出一个缓慢上升的曲线，范围也变小了，整体呈现出一种被压缩的状态。
五、总结幂函数是数学中非常重要的一类函数，通过本文的讨论，我们了解了幂函数的图像特点和性质。
无论是在理论研究还是实际应用中，对于幂函数的理解都具有重要的意义。
希望本文内容能够帮助读者更深入地理解幂函数及其性质。
5、幂函数图像与性质
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
幂函数的图象及性质
1 -1, 2 , 时的情形。
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3,
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
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-4
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为 上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为 水平的射线； 指数小于0,在第一象限为 双曲线型；
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当 >0时，图象随x增大而上升。 当 <0时，图象随x增大而下降
1
0
1
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
1
0
0 1
在 (1,) 上 任取一 点作 x 轴 的垂线， 与幂函数 的图象交 点越高， 的值就越 大。
0 1
1
0
练习．如图，图中曲线是幂函数 y＝x 在第一象限的 1 1 大致图象，已知 α 取－2，－ ， ，2 四个值，则相应于曲 2 2 线 C1，C2，C3，C4 的 α 的值依次为(
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1 :已知f ( x) m m 1 x
2
2 m 3
是幂函数，
求m的值。
例2：已知函数 f (x) m 3m 3x 是幂函数,并且是偶函数， 求m的值。
1 1 A．－2，－ ， ，2 2 2 1 1 C．－ ，－2,2， 2 2
α
)
1 1 B．2， ，－ ，－2 2 2 1 1 D．2， ，－2，－ 2 2
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
1）
1.3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1y=x-1
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0
a=1
成功始于方法 巩固才能提高
幂函数的性质与图象
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报 yx 纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx １：以上各题目的函数关系分别是什么？
２：以上问题中的函数具有什么共同特征？
yx
一、幂函数的定义
Ｋ 一般地，函数yy= x x 叫做幂函数，其中x
是自变量， k是常数。
注 意
1、幂函数的解析式必须是yy= 项． 2、定义域与 的值有关系.
Ｋ ｘ
x
的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１
二、幂函数与指数函数比较
1 2
3 2m
1 2
1 2
,
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
-2
-3
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x
0
1 2
1
2
4
-3
yx
0
1
2
2
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 1 2 3 y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
不管指数是多少, (-2,4) 图象都经过哪个 定点?
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x0
6
y=x-1
4
-1
(-1,-1)
-2
-3
在第一象限内， 当 >0时，图象随x增大而上升。 当 <0时，图象随x增大而下降。 图象都经过点（1，1） >0时,图象还都过点(0,0)点
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
2
0.5＜
1.5
0.5
2 ＜ 5.1 2） 5.09
1 4
3） 1.79 ＞ 1.81 4）
1 4
(2 a )
2 2 3 ≤
2
2 3
比较各组数的大小
1 2 1 2 1 3 2 3
(1)1.1 ,1.4 ,1.1
1 4 1 4
(2)2.5 ,2.6 ,0.8
例3
若 m 4
2
m2 2
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9