第4章 Poisson过程上课讲义

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数学建模培训资料(Poisson过程及其应用)

根据实际需求和数据特点，对现有模型进行改进和优化，以提高模型的预测精度和适用性。例如，通过引入季节性因素或自回归项等，改进Poisson过程模型。
模型改进
针对现有模型的不足之处，提出新的模型或假设，以更好地解释和预测实际数据。例如，针对Poisson过程模型的局限性，提出更复杂的模型如广义Poisson过程等。
03
概括Poisson过程在现实世界中的实际应用案例。
培训目标
掌握Poisson过程的基本原理和数学表达。
学习如何运用Poisson过程解决实际问题。
提高数学建模能力和解决复杂问题的技巧。
02 Poisson过程基础
定义与性质
定义
Poisson过程是一种随机过程，其中事件在每个小的时间间隔内以恒定的概率发生。
参数估计与模型验证
参数估计
根据实际数据和模型假设，估计模型中的未知参数。例如，在Poisson过程中，可以通过最大似然估计法或最小二乘法等统计方法估计参数。
模型验证
通过比较实际数据和模型预测结果，评估模型的拟合度和预测能力。常用的方法包括残
差分析、接受者操作特性曲线等。
模型优化与改进
模型优化
交通流量的预测
总结词
交通流量的预测是Poisson过程在交通运输领域的应用，有助于优化交通管理和提高道路通行效率。
详细描述
交通流量的变化具有一定的随机性和规律性， Poisson过程能够描述这种特性。通过收集历史交通数据并建立数学模型，可以预测未来的交通流量，从而为交通规划和管理提供依据。这有助于减少交通拥堵和提高道路网络的运行效率。
性质
独立性、稀有性、平稳性、普通性。
数学表达式
$P(N(t)=n)=frac{e^{-lambda t}(lambda t)^n}{n!}$，其中$N(t)$表示在时间$t$内发生的事件数，$lambda$是事件发生率。

泊松过程PPT课件

且都有相同的均值为1/ 的指数分布。
证事件{T1 t }的发生当且仅当没有泊松事件在[0，t] 内发生
故当t 0 时，有
P{T1
t}
P{X (t)
0}
(t ) 0
0!
e t
et
或 P{T1 t} 1 et
故 T1 的分布函数为
第19页/共52页
FT1
(t )
1 0,
e t
,t t
而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.
第7页/共52页
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一个泊松过程.
解
设 X (t)表示在时间t时到达的顾客数
P(X (0.5) 1, X (2.5) 5)
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155
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则随机过程{ N (t) ， t 0 }称为一个计数过程。
第1页/共52页
注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。
若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。
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2．泊松过程
设随机过程{X (t) ，t 0 }是一个计数过程，
s(t s) s (s)2 s(t 1)

泊松过程poisson

分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改进泊松过程的参数估计和模型选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质，即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定时间内到达的电话呼叫或数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定时间内经过某个地点的车辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在一定时间内发生的事件数量，例如基因突变或细菌繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较

泊松过程

n

i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以有 0 。因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞，必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件：（1） N(t) ≥0；（2） N(t) 一个是正整数；（3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。（4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。

4.1(Poisson定理与中心极限定理)详解

0.1,
3000-100n -1.282 10000n/12
n 32.097, n=33
近似计算用频率估计概率时的误差
P{| n p | } P{| n np |
n
np(1 p)
(
n ) (
n)
p(1 p)
p(1 p)
2(
n )1
p(1 p)
n} p(1 p)
P
中心极限定理
中心极限定理
概率论中，有关论证随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理.
是统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件.也是概率论的首席定理.
定理 4.1.2（林德贝格－勒维）中心极限定理
设{n }是独立同分布的随机变量序列， Ei ,
n
Di 2 0,(i 1, 2, ) ，则对 {n } 的前 n 项和 i1 i
解：设 X i 每箱的重量，则 EXi 50, DX i 42
n
P{ Xi 5000} 0.9772 i 1
5000 4
50n n
0.9772
即 5000 50n 2 4n
得n 98箱
例某射手射靶得十分的概率为 0.5，得九分的概率为 0.3，得八分、七分、六分的概率分别为 0.1，0.05，0.05，现射击 100 次，求总分介于 900 分与 930 分之间的概率.
1) 写出 X 的分布律； 2）若重复取球 2000 次, 利用中心极限定理求各次取到
球的最大号码之和不超过 8000 的概率.
解： 1) X 的取值只可能为 3, 4, 5
P{X
k}
Ck21 C53
,
k 3,4,5

泊松过程poisson课件

则T 旳概率分布为分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn

4.泊松过程

+ = ∫0 ∞ λ e − λt f ti −1 ( t i −1 )dt i −1
∑ P j ( t , t + ∆t ) = ∑ P { N ( t , t + ∆t ) = j } =o( ∆t ) .
j=2 ∞ ∞
jห้องสมุดไป่ตู้2
(4) N (0) = 0.
满足条件 (1)(2)(3)( 4)的计数过程 { N ( t ), t ≥ 0}称作
强度为λ 的泊松过程.
相应的质点流或质点出现的随机时刻 t1 , t 2 ,⋯ 称作
P0 ( t 0 , t + ∆t ) − P0 ( t 0 , t ) o( ∆t ) , = − λP0 ( t 0 , t ) + ∆t ∆t
令 ∆ t → 0 , 取极限得微分方程
dP0 ( t 0 , t ) = − λ P0 ( t 0 , t ). dt
因为 N ( t 0 , t 0 ) = 0 , 所以 P0 ( t 0 , t 0 ) = 1.
泊松流(泊松过程)的等待时间Wn 服从 Γ(n, λ) 分布.
取 n = 1 , 得质点(或事件)首次出现的等待时间 1 W
服从指数分布
λe−λt , t > 0 , fW1 (t ) = 0, 其他.
点间间距及其分布
记 Ti = Wi − Wi −1 , i = 1 , 2 , ⋯
T1 T2
(1) 在不相重叠的区间上的增量具有独立性. 在不相重叠的区间上的增量具有独立性.
(2) 对于充分小的 ∆t ,
P1 ( t , t + ∆t ) = P { N ( t , t + ∆t ) = 1} = λ ∆t + o( ∆t ),

北京大学泊松过程讲义

2 2
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0；该过程是独立增量计数过程；该过程是平稳增量计数过程；在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt）内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)

4-1 泊松过程

t
独立增量过程具有马尔可夫特性
定平稳增量过程（或齐次增量过程）：在时间间隔 (t, t+s) 义内的增量[N(t+s)-N(t)] 仅不 s 有关而不 t 无关；
泊松过程
定若计数过程N(t)满足下列假设：义 1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0
2. N(t)为独立增量过程 3. N(t)为平稳增量过程
P0(t) e λ t
即：
Pn (t Δt) Pn (t) o(Δt) Pn (t)λ Pn1 (t)λ Δt Δt
取极限：
d P (t) λ Pn (t) λ Pn1 (t) dt n
P0(t) e λ t
则：
P1(t) λ t e λ t
P{N(t) 0,N(t dt) N(t) 1} P{N(t) 0} P{N(t dt) N(t) 1}
概率密度函数 PDF： fS1(t) = F'S1(t) = λe
e λt (λdt o(dt))
相关问题(2) ：第 n 次发生时间 Sn 的PDF
P1 (Δt) λΔt o(Δt)
P (Δt) o(Δt)
k 1 k
泊松过程的分布特征 P (Δt) o(Δt) P (Δt) 1 λΔt o(Δt) P (Δt) λΔt o(Δt)
0
1
k 1
k
Pn(t) P{N(t t0 ) N(t0 ) n}=？ 0
n 0

s1
二阶矩： E N(t)

2

n2Pn(t) ds s ds Φ(s)s1 n 0

第四章泊松过程2

hn ( t h1 hn )
hn ) 0)

h1e
h1
h2e
h2
hn e e (t ) n e t / n!
n! n h1h2 hn t
例3：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t , 对于0 k n, 求P{N ( s) k N (t ) n}.
证明
Ntge E[ ge ] E{exp[( N (t ) N ( s)) ln( 1) (t s)]} Ns
E{exp[( N (t ) N (s))ln( 1)}e (t s )
e
( t s )
( 1)
n 0

n
(t s)
j =2
=qk (t )q0 (h 1)+ 1- qk (t )q - (h)+ qk j (t )q j (h)
j =2
k
=qk (t )(1-h+ (h))+qk -1 (t )(h+ (h))+ (h)
整理上式得
qk (t +h)-qk (t ) (h) =- qk (t )+ qk -1 (t )+ h h
(1) P( N (t h) N (t ) 0) e-h =1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) he-h = h (h)
c c N { N 定理4.2.3 如果一个计数过程 t : t 0} 具有平
n! n ， 0 u1 u2 un t , un ) t 其它 0，
f (u1 , u2 ,
对n个到达时间T1 T2

4-泊松过程

n n 1 2 1
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质：（1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫；（2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关；（3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为的泊松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松一维分布分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为的泊松过程。
k!

随机过程_课件---第四章

随机过程_课件---第四章第四章 Poisson 过程4.1 齐次Poisson 过程到达时间间隔与等待时间的分布1、定理4-1强度为λ的齐次Poisson 过程{,0}t N t≥的到达时间间隔序列{},1,2,n X n = 是独立同分布的随机变量序列，且是具有相同均值1λ的指数分布。

证：事件{}1X t >发生当且仅当Poisson 过程在区间[]0,t 内没有事件发生，即事件{}1X t >等价于{0}tN =，所以有()(0)t t t P X t P N e λ->===因此，1X 具有均值为1λ的指数分布，再求已知1X 的条件下，2X 的分布。

(](](]211(|)(|)((0tP X t X s P X s P P e λ->====在s,s+t 内没有事件发生（由独立增量性）在s,s+t 内没有事件发生)（由平稳增量性）在,t 内没有事件发生)上式表明2X 与1X 相互独立，而且2X 也是一个具有均值为1λ的指数分布的随机变量，重复同样的推导可以证明定理4-1的结论。

2、定理4-2等待时间n S 服从参数为n ，λ的Γ分布，即分布密度为1()(),(1)!n tt f t e n λλλ--=- 0t ≥证：因为第n 个事件在时刻t 或之前发生当且仅当到时间t 已发生的事件数目至少是n ，即事件{}{}t n N n S t ≥?≤是等价的，因此()()()!j tn t j nt P S t P N n ej λλ∞-=≤=≥=∑上式两边对t 求导得n S 的分布密度为11()()()!(1)!(),0(1)!j j tt j nj nn tt t f t e e j j t et n λλλλλλλλλ-∞∞--==--=-+-=≥-∑∑注：定理4-2又给出了定义Poisson 过程的另一种方法。

从一列均值为1/λ的独立同分布的指数随机变量序列{},1n X n ≥出发，定义第n 个事件发生的时刻为n S ，则12n n S X X X =+++这样就定义了一个计数过程，且所得计数过程{},0t N t ≥就是参数为λ的Poisson 过程。

第4章Poisson过程

第4章Poisson过程Poisson过程是一种常见的随机过程，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。

本章将介绍Poisson过程的定义、特性和应用，并详细解释其背后的数学原理。

1. Poisson过程的定义与特性Poisson过程是一个连续时间随机过程，其特点是在一定时间内事件发生的数量满足泊松分布。

具体来说，Poisson过程满足以下几个条件：1)事件发生的间隔是独立的，即事件之间的时间间隔是随机的且相互独立。

2)事件发生的概率是相等的，即在单位时间内事件发生的概率是恒定的。

3)事件发生的次数满足泊松分布，即在给定时间内事件发生的次数服从参数为λ的泊松分布，其中λ是单位时间内事件发生的平均次数。

Poisson过程的重要特性包括：1)非负增量性质：即在给定时间内，事件发生的次数是非负的。

2)无记忆性质：即给定过去的事件信息，事件发生的概率与未来的事件无关。

3)稀疏性质：即在大部分时间段内，事件都不会发生。

2. Poisson过程的应用Poisson过程在实际应用中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用例子：2) 网络流量建模：在网络流量分析中，可以使用Poisson过程来描述网络中的数据包到达情况，进而进行网络拥塞控制和负载均衡。

3) 突发事件模拟：在灾难响应和紧急情况下的资源调度中，可以使用Poisson过程来模拟事件的发生情况，进而进行调度和分配。

4) 电子设备故障：在电子设备可靠性分析中，可以使用Poisson过程来建模设备故障的发生情况，进而进行设备寿命评估和维修策略制定。

3. Poisson过程的数学原理Poisson过程的数学原理基于泊松分布和指数分布的性质。

泊松过程的定义要求事件发生的间隔是独立的，而指数分布的性质恰好满足了这一要求。

具体来说，如果事件之间的时间间隔满足参数为λ的指数分布，那么事件发生的次数就会满足参数为λ的泊松分布。

Poisson过程的数学表示可以使用随机变量N(t)来表示在时间段[0,t]内事件发生的次数。

北大随机过程课件泊松过程

[N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关，则称 N(t)
为平稳增量计数过程.
2021/7/1
基本概念--泊松过程
❖泊松过程为满足下列假设的计数过程:
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+
o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
2021/7/1
泊松过程
❖泊松过程
❖泊松过程递推微分方程 ❖泊松过程母函数 ❖泊松分布的几个问题
❖非齐次泊松过程 ❖复合泊松过程 ❖过滤泊松过程
N (t)N 1(t)N 2(t)是参数为1 2 的泊松
过程
2021/7/1
泊松分布相关的问题
❖(7). 泊松过程的差
❖如果 N1(t),N2(t)是参数分别为 1, 2 的
相互的独立泊松过程，则他们的和 N (t)N 1(t)N 2(t)是否为泊松过程?
2021/7/1
非齐次泊松过程
❖定义：
❖泊松过程的均值:
E N (t) nP{N (t) n} n0
d dz
(
z

)
z
1
d dz
e
t
(1
z
)
z
1
t
2021/7/1
泊松过程的统计特征
❖泊松过程的均值:
E N (t) nP{N (t) n} n0
d dz
(
z
)

第4章 Poisson过程(使用版)

符号说明设{ N(t) ，t 0 }为泊松过程， N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
Tn , (n 1, 2, 3,L ) （ i 1,2, ）表示第 n 次事件发生的时刻
Xn , (n 1, 2,3,L ) （ i 1,2, ）
表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155 ||
Home
8/19
第二节 Poisson过程的若干分布
1.到达时间间隔和到达时间的分布
P{N (t) 0} et Home
11/19
可见 X 2 也服从均值为1/ 的指数分布且 X 2 与 X1 独立同分布。
一般地对 n 1和t，s1，s2，，sn1 0 P{X n t | X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
解反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
X 1 (t) 和 X 2 (t) 的速率分别为 1 1/10 ， 2 1/15
下面证明两路车混合到达过程 X (t) 服从速率为
1 2 的泊松分布
Home
13/19
事实上 X (t) = X1(t) +X 2 (t) 是独立增量且 X (t s) X (t) 是相互独立地服从泊松分布的随机变量
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
| X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}

第章 Poisson过程ppt课件

(nk)!
k!(n n !k)! s k 1s n k,k0 ,1 ,2 , ,n .
精选课件
16
泊松过程的数字特征
均值函数方差函数
N (t)E [N (t)]t
N 2(t)V ar[N (t)]t
自相关函数
R N (s,t) E [N (s)N (t)]
m in (s,t) 2 st s(t 1 ), (s t)
λ ο （3）存在λ 0 , 当 h 0 时， P { N ( t h ) N ( t) 1 } h ( h ) ,
ο （4）当 h 0 时， P { N ( t h ) N ( t) 2 } (h ) .
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10
Poisson过程的等价性(说明)
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11
Poisson过程定义的应用
证: (1) 因 {X1>t}={[0, t ]内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
F X 1 t 1 P X 1 t 1 e t , t 0 .
即X1 服从均值为1/λ的指数分布.
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21
(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有
P{X2>t|X1=s}=P{在(s, s+t ]内事件A不发生|X1=s }
(40.5)1 e40.5 (42)4 e42
1!
4!
0.0155
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8
事故的发生次数和保险公司接到的索赔数
若以N(t)表示[0,t]时间内发生事故的次数. Poisson过程 {N(t),t 0}是很好的一种近似. 考虑保险公司每次赔付都是1, 每月平均4次接到索赔要求，则一年中它要付出的平均金额为多少？

泊松过程(1)

λt
4.1到达时间间隔与等待时间分布到达时间间隔与等待时间分布
五、到达时刻的条件分布 1）首次到达时刻的条件分布）
定理 4.3 强度为 λ 的齐次 Poisson 过程 {N t , t ≥ 0} 的第一个到达时刻 S 1在 N t = 1的条件下服从在上的均匀分布，区间 [0, t ]上的均匀分布，即 (S 1 N t = 1) ~ U [0, t ] .
=
P ( N s = 1)P (N s ,t = 0) P ( N t = 1)
平稳增量
=
P ( N s = 1)P ( N t − s = 0) P ( N t = 1)
λse − λs e − λ (t − s ) = − λt λte
∴ (S1 N t = 1) ~ U [0, t ]
s = t
λ
4.1到达时间间隔与等待时间分布到达时间间隔与等待时间分布
四、Poisson过程的等价定义过程的等价定义
{N t , t ≥ 0}是强度为 λ 的齐次 Poisson 过程
⇔ 时间间隔序列 {X n , n = 1,2, L}i.i.d 且服从 Exp(λ )
1
⇔ 到达时刻序列 {S n , n = 0,1,2, L}服从 Erlang (n, λ )
∑
n
=
n! ∏ i =1 ∆t i
n
(
)
t
n
4.1到达时间间隔与等待时间分布到达时间间隔与等待时间分布
f S1 ,L, S n (t1 ,L , t n N t = n )
= lim P (t i − ∆t i < S i < t i ,1 ≤ i ≤ n N t = n )