解析几何大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

（ 2）若过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 G , H 两点（ G 在 M , H 之间） 设直线 l 的斜率 k 0 ，在 x 轴
上是否存在点 P(m,0) ，使得以 PG , PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出
果不存在，请说明理由． 【答案】
x2 （1） 4
y2
（ 1）求抛物线 C 的方程；
（ 2）已知点 P 在抛物线 C 上且异于原点，点 Q 为直线 x 1 上的点，且 FP FQ ．求直线 PQ 与抛物线
C 的交点个数，并说明理由．
【答案】（1） y2 4 x （ 2） 1 个
【解析】
（ 1）抛物线的准线方程为 x
p
，
2
所以点 E 2，t 到焦点的距离为 2 p 3．解得 p 2 ． 2
以 H 为圆心， HA为半径的圆方程为： （ x－ m2） 2＋（ y－ m） 2＝m4－ 7m2 ＋ 15，①
⊙ M方程：（ x－ 4）2＋ y2＝ 1. ②
①－②得：直线 AB的方程为（ 2x－ m2－4）（ 4－m2）－（ 2y－m） m＝ m4－7m2＋ 14.
15 当 x＝ 0 时，直线 AB在 y 轴上的截距 t ＝ 4m－ m（ m≥ 1 ），
（ 2） 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程 .
【答案】
x2 y2 1
（1） 4 3
（ 2）
（ 2）易得直线 OP 的方程 y A, B 在椭圆上 , 所以 x12 y12
43
1 x,设
A
x1, y1
, B x2 , y2
, AB 中点 R x0, y0
, 其中 y0
2
1 , x22 y22 1 , 相减得
解法二：①当 AB⊥x 时， A（ a， 2a），B（ a，－ 2a），则 l OA： y ＝ 2x， l OB：y＝－ 2x. 由 y＝ 2x， 得点 S 的坐标为 S（－ a，－ 2a），则 F→S＝（－ 2a，－ 2a）．
x＝－ a，
由
y＝－ 2x， 得点 T 的坐标为
T（－ a， 2a），则 F→T＝（－ 2a， 2a）．
直线 l 在 y轴上的截距 m 的取值范围．
【答案】
AOB 为钝角，求
x2 y2
（ 1）
1 （ 2）
82
（ 2）由直线 l 平行于 OM 得直线 l 的斜率为
故 l 的方程为 y
1 x
m．
2
，又 l 在 y 轴上的截距 m ，
由
得
，又线与椭圆 C 交于 A ， B 两个不同的点，
设 A x1， y1 ， B x2， y2 ，则
1、已知圆
和圆
.
（ 1）若直线 l 过点 A(4,0) 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ，求直线 l 的方程； （ 2）设平面上的点 P 满足： 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l 2 ，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，
且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点
,即
43
1 x0 , 因为
2
,
故
,
, 其中
且m 0.
令
,则
,
令 f m 0 得 m 1 7 , （因 4 和 1 7 不满足
且 m 0 , 舍去）
当
时, f m 0, 当
时 , f m 0 , 所以 , 当 m 1 7 时 , S ABP
取得最大值 , 此时直线 l 的方程为
.
10、已知抛物线
的焦点为 F ，抛物线 C 上存在一点 E 2,t 到焦点 F 的距离等于 3 ．
,或
解之得：点
P 坐标为 (
3
13 ,)
或
(
5
,
1) 。
22 2 2
2、已知椭圆
与抛物 线
MF2
1 ，且椭圆与抛物线的交点
Q 满足 QF
5 ．
2
（ 1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
共交点 F2 ，抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于
（ 2）过抛物线上的点 P 做抛物线的切线 y kx m 交椭圆于 A ， B 两点，设线段 AB 的中点为 C (x0, y0 ) ，求
（ y0≥ 1）作两条直线与⊙ M分别相切于 A、 B 两点，分别交抛物线于 E、 F 两点．
（ 1）当∠ AHB的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF的斜率；
（ 2）若直线 AB在 y 轴上的截距为 t ，求 t 的最小值．
【答案】 1
（ 1）－ 4 （ 2） -11
法二：∵当∠ AHB的角平分线垂直 x 轴时，点 H（ 4， 2）， ∴∠ AHB＝60°，可得 kHA＝ 3， kHB＝－ 3，∴直线 HA的方程为 y＝ 3x－ 4 3＋ 2，
F 的坐标为（
a， 0），
∴ N→F＝（ a，－ n）．∵ M→N＝（－ m， n），
∴由
M→N·→NF＝ 0，得
2
n ＋ am＝ 0.
设点 P 的坐标为（ x， y），由 O→M＝ 2O→N＋P→O，有（ m， 0）＝ 2（ 0， n）＋（－ x，－ y），
m＝－ x，
y n＝ 2.
代入 n2＋ am＝ 0，得 y2＝ 4ax. 即点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝ 4ax.
由
y＝ k（x－ a）， y 2＝ 4ax ，
得
ky 2－ 4ay－ 4ka 2＝0，∴
y 1y2＝－
4a2.
则
F→S·
F→T＝
4a2
＋
16a 4 （－ 4a2）
＝
4a2－
4a2＝
0.
因此，以线段 ST 为直径的圆经过点 F.
7、如图，已知抛物线 C：y2＝x 和⊙ M：（ x－ 4）2＋ y2＝ 1，过抛物线 C上一点 H（ x0， y0）
（ 2）设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A， B 两点，直线 OA， OB与直线 x＝－ a 分别交于点 S， T，试
判断以线段 ST 为直径的圆是否经过点 F？请说明理由．
【答案】 （ 1） y 2＝ 4ax （ 2）经过
【解析】
（ 1）
∵椭
圆
x2 1＋a
2＋
y
2＝
1
（
a>0）右焦点
x＝－ a，
∴ F→S· F→T＝（－ 2a）×（－ 2a）＋（－ 2a）× 2a＝ 0.
y
2 1
y
2 2
②当 AB不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 y＝ k （ x－ a）（ k≠ 0）， A 4a，y 1 ， B 4a， y 2 ，
同解法一，得
F→S·
→FT＝
4a2＋
16a4 .
y1y2
∵ t 关于 m的函数在 [1 ，＋∞）单调递增，∴ t min＝－ 11.
y1
4－ x1
法二：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），∵ kMA＝ x1－ 4，∴ kHA＝ y1 ，
可得，直线 HA的方程为（ 4－ x1） x－ y1y＋ 4x1－ 15＝0，
同理，直线 HB的方程为（ 4－ x2） x－ y2y＋ 4x2－ 15＝0， ∴（ 4－ x1） y20－ y1y0＋ 4x1－15＝ 0，（ 4－ x2） y20－ y2y0＋4x2－ 15＝ 0， ∴直线 AB的方程为（ 4－ y20）x－ y0y＋ 4y20－ 15＝ 0，
6 ，所以点 M 的坐标为
6 ,0
．
3
3
6、已知点
F
是椭圆
1
x2 ＋a
2＋
y
2＝
1
（
a>0）的右焦点，点
M（ m， 0）， N（ 0，n）分别是 x 轴， y 轴上的动点，
且满足 M→N· N→F＝0. 若点 P 满足 O→M＝ 2→ON＋ P→O（ O为坐标原点） ．
（ 1）求点 P 的轨迹 C 的方程；
联立方程组
y＝ 3x－ 4 y2＝ x，
3＋ 2， 得
3y2－ y－ 4
3＋2 ＝0，
3
3－6
13－ 4 3
∵ yE＋ 2＝ ，∴ yE＝
， xE＝
.
3
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3
－ 3－6
13＋ 4 3
1
同理可得 yF＝
3
， xF＝
3
，∴ kEF＝－ 4.
（ 2）法一：
设点 H（ m2， m）（ m≥1）， HM2＝ m4－ 7m2＋ 16，HA2＝ m4－ 7m2＋15.
A, B ，在 x 轴上是否存在点
M ，使得
， 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（ 1） 3 （2）（ -1 ，0） 2
5、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： （ 1）求椭圆 C 的方程；
的短轴长为 2 2 ，离心率 6 ． 3
（ 2）已知 A 为椭圆 C 的上顶点，点 M 为 x 轴正半轴上一点， 过点 A 作 AM 的垂线 AN 与椭圆 C 交于另一点
N ，若 【答案】
，求点 M 的坐 标．
（ 1）
（ 2）
【解析】
（ 1）因为椭圆 C 的短轴长为 2 2 ，离心率为 6 ， 3
2b 2 2
a6
所以 c
6
解得 b
2 ，所以椭圆 C 的方程为 x 2
a3
6
a 2 b2 c2
c2
y2 1．
2
在直角 △AMN 中，由 AMN 60 ，得
，
所以
，解得 m
15 令 x＝ 0，可 得 t ＝ 4y0－ y0 （ y0≥ 1）， ∵ t 关于 y0 的函数在 [1 ，＋∞）单调递增，∴ t min＝－ 11.
8、已知椭圆
的一个焦点 F ( 6,0) ，点 M 2,1 在椭圆 C 上．
（ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）直线 l 平行于直线 OM （ O 坐标原点），且与椭圆 C 交于 A ， B 两个不同的点，若
，
．
所以
，于是 2 m 2 ．
uuuv uuuv AOB 为钝角等价于 OA OB 0，且 m 0 ，则
，
即 m2 2 ，又 m 0 ，所以 m 的取值范围为
．
9、椭圆 C : x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的离心率为
1
, 其左焦点到点
P 2,1 的距离为
2
10 . 不过原点 O 的
直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点 , 且线段 AB 被直线 OP 平分 . （ 1） 求椭圆 C 的方程；
x0 的取值范围． 【答案】
（ 1） y2
x2 4x ， 9
（ 2） ( 1,0)
y2 1 8
y kx m （ 2）显然 k 0 ， m 0 ，由 y2 4x ，消去 x ，得
由题意知
，得 km 1 ，
y kx m
由 x2 9
y2 ，消去 y ，得 1
8
其中
又k
1 ，得
m
，化简得 ，解得 0 m2 9 ．
【答案】
P 的坐标。
（1） y 0或
（2） (
3
,
13 )
或
(
5
,
1)
22 2 2
【解析】
（ 1）设直线 l 的方程为： y k( x 4) ，即
由垂径定理，得：圆心 C1 到直线 l 的距离
，
点到直线距离公式，得：
求直线 l 的方程为： y 0或
，即 y 0或
；
故有：
，
化简得：
关于 k 的方程有无穷多解，有：
所以抛物线 C 的方程为 y2 4 x ．
故直线 PQ 的斜率
．
故直线 PQ 的方程为
，即
．①
又抛物线 C 的方程 y2 4 x ，②
联立消去 x 得
，故 y
y0 ，且 x
y02 ． 4
故直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点．
11、已知圆 C1 与 y 轴相切于点（ 0， 3），圆心在经过点（ 2， 1）与点（﹣ 2，﹣ 3）的直线 l 上． （ 1）求圆 C1 的方程；
，
， ，
设 A(x1, y1) ， B( x2, y2 ) ，则
．
由 k2
11
2
，得 x0
m9
1 ．∴ x0 的取值范围是 ( 1,0) ．
3、已知椭圆
C
：
x a
2 2
y2 b2
1 (a
b
1 0) 的 离心率 e ，点 A(b,0) ，点 B、F 分别为椭圆的上顶点和左
2
焦点，且
.
（ 1） 求椭圆 C 的方程；
专题 16 解析几何大题部分
【训练目标】 1、 理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系； 2、 掌握直线方程的 5 种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两
点间的距离，两平行间的距离公式； 3、 识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法； 4、 掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断； 5、 掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。 6、 掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质； 7、 掌握椭圆，双曲线的离 心率求法； 8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 9、 掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题求法； 【温馨小提示】 本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生 来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用 一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。 【名校试题荟萃】
1
3
（2）
m 的取值范围？如
（Ⅱ）设直线 l 的 方程为
，
设
，则
，
由于菱形对角线垂直，则
即
，
，
，
，
解得
，
，（当且仅当 3 4k 时，等号成立） . k
所以存在满足条件的实数 m ， m 的取值范围为
.
4、已知椭圆
．
（ 1）若椭圆 C 的离心率为 1 ，求 n 的值； 2
（ 2）若 过点 N ( 2,0) 任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点