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重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题二(终版)

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重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期九月检测(一)数学试题

重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期九月检测(一)数学试题

重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：x ∀∈R ，20x +>，则p ¬为（ ） A.x ∃∈R ，20x +> B.x ∃∈R ，20x +≤ C.x ∃∈R ，20x +<D.x ∀∈R ，20x +≤2.已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}1,2,4B =，则U B A = （ ） A.{}1,3,5B.{}1,3C.{}1,2,4D.{}1,2,4,53.已知集合{A =，{}1,B m =，且A B A = ，则m 等于（ ）A.0B.1C.0或3D.1或3或04.下列说法中正确的个数为（ ）①0.333Q ∈；②0∈∅；③{}0∅⊆；④{}{}0∅⊆；⑤{}0∅=；⑥{}{}11,2,3∈；⑦{}{}22x x m m ≥=≥；⑧{}{}2211x y x y y x =+==+A.2B.3C.4D.55.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，p 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是p 的必要不充分条件；②r 是s 的充分不必要条件；③q 是p 的充分不必要条件；④s 是q 的充要条件.正确的命题序号是（ ） A.①B.②C.③D.④6.若{}{}2,0,1,,0a a b −=，则20232023a b +的值是（ ）A.1−B.0C.1D.27.已知全集U =R ，集合{}18,P x x x Z =−<≤∈，{}05M x x x =∈≤>R 或之间关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素共有（ ）A.8个B.6个C.5个D.4个 8.对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N −=∈∉，()()M N M N N M ⊕−⊂−，设9,4A x x x =≥−∈R ，{}0,B x x x =<∈R ，则A B ⊕=（ ） A.9,04 −B.9,04−C.[)9,0,4−∞−+∞D.()9,0,4−∞−+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ） A.a Q ∈是a ∈R 的充分不必要条件 B.x y =是x y =的必要不充分条件C.21x >是1x >的充分不必要条件 D.0a b +<是0a <，0b <的必要不充分条件10.下列命题正确的是（ ） A.x ∃∈R ，x x >B.x ∀∈R ，2350x x −−>C.{}x y y ∀∈是无理数，4x 是有理数D.,a b ∃∈R ，()2210a b −++≤11.下列命题为真命题的是（ ）. A.若0a b >>，则11a b a b+>+ B.若0m n >>，则11m mn n +<+C.如果0c a b >>>，那么a c a −D.1a b ≥>−，则11a ba b ≥++ 12.若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M −∈，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是（ ） A.A B 是优集B.A B 是优集C.若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D.若A B 是优集，则A B 是优集三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足12x −≤<，01y <≤，则2x y −的取值范围是______. 14.已知(){},12A x y xy ==，(){},,,B x y x y y x =∈<N ，则A B = ______.15.命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++−≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______. 16.若集合{}1,2,3,4,5,6,7M ，且M 中至少含有两个奇数，则满足条件的集合M 的个数是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{},03U A x x ==≤≤R ，{}12B x m x m =−≤≤.（1）3m =，求()U A B ； （2）若B A ，求m 的取值范围.18.新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A ，B 两种消毒液，购买A 种消毒液花费了2500元，购买B 种消毒液花费了2000元，且购买A 种消毒液数量是购买B 种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B 种消毒液比购买一桶A 种消毒液多花30元. （1）求购买一桶A 种、一桶B 种消毒液各需多少元？（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资.其中A ，B 两种消毒液准备购买共50桶.如果学校此次购买A 、B 两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B 种消毒液？19.现有A ，B ，C ，D 四个长方体容器，A ，B 的底面积均为2x ，高分别为x ，y ；C ，D 的底面积均为2y ，高分别为x ，y （其中x y ≠）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 20.设{}1,3A =−，{}230Bx xax b =−+=，已知B ≠∅，且“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求34a b +的值.21.已知a ，b 是实数，求证：44221a b b −−=成立的充要条件是221a b −=. 22.已知n 为正整数，集合(){}{}122,,,,1,1,1,2,,2ni A x x x x i n αα==⋅⋅⋅∈−=⋅⋅⋅∣具有性质P ：“对于集合A中的任意元素()122,,,n x x x α=⋅⋅⋅，1220n x x x ++⋅⋅⋅+=，且120i x x x ++⋅⋅⋅+ ，其中1,2,,21i n =⋅⋅⋅−”.（1）当3n =时，写出满足条件的集合A ；（2）当9n =时，求129x x x ++⋅⋅⋅+的所有可能的取值.重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B ACBCBCCABDADBCD ACD13.[)3,2−14.()()(){}12,1,6,2,4,315.62a −<≤−16.871.命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即p ¬：x ∃∈R ，20x +≤，故选B2.由{}3,5U B = ，而{}1,3A =，所以{}1,3,5U B A = .故选：A3.由题意，集合{A =，{}1,B m =，因为A B A = ，可得B A ⊆，则满足3m =或m =1m ≠，解得3m =或0m =.故选：C. 4.①③⑦正确，故选：B.5.因为p 是r 的的充分条件，所以p r ⇒.因为q 是r 的充分不必要条件，所以q r ⇒，r q . 因为s 是r 的必要条件，所以r s ⇒.因为p 是s 的必要条件，所以s p ⇒. 因为r s ⇒，s q ⇒，所以r p ⇒，r 是p 的充分条件，命题①错误；因为s p ⇒，p r ⇒，所以s r ⇒，又r s ⇒，所以r 是s 的充要条件，命题②错误；因为q r ⇒，r s ⇒，s p ⇒，所以q p ⇒，p q ，故q 是p 的充分不必要条件，命题③正确； 因为r q ，r s ⇔，所以s q ，又q s ⇒，所以s 是p 的必要不充分条件，命题④错误，故选：C.6.因为{}{}2,0,1,,0a a b −=，所以①21a a b ==−或②21a b a = =− ，由①得01a b = =− 或11a b = =− ，其中01a b = =− 与元素互异性矛盾，舍去，11a b = =− 符合题意，由②得11b a = =− ，符合题意，两种情况代入202320230a b +=，答案相同.故选：B7.因为{}05M x x x =∈≤>R 或，所以{}05U M x x =<≤ .题图中阴影部分表示的集合为()UP M ，因为{}{}18,0,1,2,3,4,5,6,7,8P x x x Z =−<≤∈=，所以(){}1,2,3,4,5UP M = ，所以该集合中共有5个元素.8.集合9,4A x x x =≥−∈R ，{}0,B x x x =<∈R ，则R9,4A x x x =<−∈R ， {}R 0,B x x x =≥∈R ，由定义可得：{}{}[)R 0,0,A B x x A x B A B x x x −=∈∉==≥∈=+∞R 且 ，{}R 99,,44B A x x B x A B A x x x−=∈∉==<−∈=−∞−R 且 ，所以()()[)9,0,4A B A B B A⊕=−−=−∞−+∞，选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C.9.对于A ，a Q ∈是a R ∈的充分不必要条件，正确；对于B ，x y =等价于x y =±是x y =的必要不充分条件，正确； 对于C ，21x >等价于1x >或1x <−是1x >的必要不充分条件，错误； 对于D ，0a b +<是0a <，0b <的必要不充分条件，正确；故选：ABD 10.对于A ：当0x <时，0x x x =−>>，故A 正确；对于B ：当1x =时，23570x x −−=−<，故B 错误； 对于C ：当x π=时，4x 是无理数，故C 错误；对于D ：2a =，1b =−时，()()22210a b −++=，A 正确；故选：AD. 11.对于A ，令2a =，12b =，则11a b a b+=+，A 错误； 对于B ，()1011m m n m n n n n +−−=<++，11m mn n+<+，B 正确. 对于C ，000a b a b c a c b >>⇒−<−<⇒<−<−，同乘以()()1c a c b −−，得110c b c a<<−−，又0a b >>，∴a bc a c b>−−，C 正确. 对于D ，1a b >− ，则110a b +≥+>，()()11a b a ab b ab b a +=+≥+=+，则11a ba b≥++，D 正确.故选BCD.12.对于A 中，任取x A B ∈ ，y A B ∈ ，因为集合A ，B 是优集，则x y A +∈，x y B +∈，则x y A B +∈ ，x y A −∈，x y B −∈，则x y A B −∈ ，所以A 正确；对于B 中，取{}2,Ax x k k Z ==∈，{}3,Bx x m m Z ==∈，则{}23,A B x x k x k k Z ===∈或 ，令3x =，2y =，则5x y A B +=∉ ，所以B 不正确；对于C 中，任取x A ∈，y B ∈，可得,x y A B ∈ ，因为A B 是优集，则x y A B +∈ ，x y A B −∈ ，若x y B +∈，则()x x y y B =+−∈，此时A B ⊆；若x y A +∈，则()y x y x A =+−∈，此时B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A = 为优集；或B A ⊆，则A B B = 为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.13.因为01y <≤，所以220y −≤−<，因为12x −≤<，所以322x y −≤−<，所以2x y −的取值范围是[)3,2−14.由12,xy x y y x=∈ <N 解得121x y == 或62x y = = 或43x y = = ，所以，()()(){}12,1,6,2,4,3A B = . 15.命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++−≥”的否定为：“x ∀∈R ，()()22210a x a x +++−<”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，所以当20a +=即2a =−时，10−<恒成立，满足题意；当20a +≠即2a ≠−时，只需()()220Δ2420a a a +< =+++< ，解得：62a −<<− .综上所述，实数a 的取值范围是62a −<≤−.16.考虑反面的两种情况：若M 中不含有奇数，则集合M 的个数等价于集合{}2,4,6的子集的个数，即328=.若M 中只含有一个奇数，则有4种可能，集合M 的个数等价于集合{}2,4,6的子集的个数的4倍，即32432×=.不考虑奇数条件时集合M 共721127−=，故共有12783287−−=个. 17.解：（1）由题意知当3m =时，{}26B x x =≤≤，故{}26U B x x x =<>或 ， 而{}03A x x =≤≤，故()[)0,2UA B =（2）当B =∅时，12m m −>，∴1m <−，符合题意；当B ≠∅时，需满足012312m m m m≤−≤ −≤，且01m ≤−，23m ≤中等号不能同时取得，解得312m ≤≤， 综上所述，m 的取值范围为1m <−或312m ≤≤. 18.解：（1）设购买一桶A 种消毒液x 元，购买一桶B 种消毒液y 元，则有25002000230xy y x =×−=， 解得5080x y ==所以，购买一桶A 种消毒液需50元，购买一桶B 种消毒液需80元. （2）设购买A 种消毒液m 桶，购买B 种消毒液n 桶， 则有5050803250m n m n +=+≤ ，(),N m n ∈得()5050803250n n −+≤，解得25n ≤，所以最多可以购买25桶B 种消毒液19.解：①当x y >时，则3223x x y xy y >>>，即A B C D >>>；在此种条件下取A ，B 能够稳操胜券 ②当x y <时，则3223y y x yx x >>>，即D C B A >>>；在此种条件下取D ，C 能够稳操胜券.③又()()()()332232322()0x y xy x y x x y y xy x y x y +−+=−+−=−+>.∴在不知道x ，y 的大小的情况下，取A ，D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握. 故可能有1种，就是取A ，D . 20.详解：因为B A ⊆，B ≠∅，所以①当{}1B =−时，则222Δ4301(1)303a a b b a b =− −×⇒ =−++=， 所以()1143432433a b +=×−+×=−， ②当{}3B =时，则226Δ43033330a a b b a b =−× ⇒ =−+=， 所以34364330a b +=×+×=③当{}1,3B =−时，则2Δ4302131133a b a a b b −×>=−+=⇒=− −×=， 所以()3432412a b +=×+×−=，综述：①当{}1B =−即213a b =−=时，14343a b +=−， ②当{}3B =即63a b == 时，3430a b +=，③当{}1,3B =−即21a b ==−时，342a b +=. 21.解：先证明充分性：若221a b −=，则()()44222222222222221a b b a b ab b a b b a b −−=−+−=+−=−=成立.所以“221a b −=”是“44221a b b −−=”成立的充分条件； 再证明必要性：若44221a b b −−=，则442210a b b −−−=， 即()442210a b b −++=， ∴()24210a b −+=，∴()()2222110a b a b ++−−=， ∵2210a b ++≠， ∴2210a b −−=， 即221a b −=成立.所以“221a b −=”是“44221a b b −−=”成立的必要条件. 综上：44221a b b −−=成立的充要条件是221a b −=.22.解：（1）3n =时，由题设，在126,,,x x x ⋅⋅⋅中，有3个1+，3个1−集合A 中的元素为()11,1,1,1,1,1α=−−−，()21,1,1,1,1,1α=−−−，()31,1,1,1,1,1α=−−−，()41,1,1,1,1,1α−−−，()51,1,1,1,1,1α=−−−∴()()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1A=−−−−−−−−−−−−−−−（2）9n =时，首先证明11x =，且181x =−，在120i x x x ++⋅⋅⋅+ 中，令1i =，得10x ，从而有11x =， 在120i x x x ++⋅⋅⋅+ 中，令17i =，得12170x x x ++⋅⋅⋅+ .又12180x x x ++⋅⋅⋅+=，故)1812170x x x x =−++⋅⋅⋅+ ，从而有181x =−，考虑()1,,1,1,,1α=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−，即1291x x x ==⋅⋅⋅==，1011181x x x ==⋅⋅⋅==−此时1299x x x ++⋅⋅⋅+=为最大值，现交换9x 与10x ，使得91x =−，101x =，此时1297x x x ++⋅⋅⋅+=，现将91x =−逐项前移，直至21x =−，在前移过程中，显然1297x x x ++⋅⋅⋅+=不变，这一过程称为1次“移位”，依此类推，每次“移位”，129x x x ++⋅⋅⋅+的值依次递减2，经过有限次移位，129,,,x x x ⋅⋅⋅一定可以调整为1，1−交替出现.注意到9n =为奇数，所以1291x x x ++⋅⋅⋅+=为最小值， 所以129x x x ++⋅⋅⋅+的所有可能取值，1，3，5，7，9.。

重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期数学作业(二) PDF版含答案

重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期数学作业(二) PDF版含答案

(2)若 A B = ，求实数 a 的取值范围．
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21．(12 分) 已知函数 f (x) = x + 4 ． x
(1)用函数单调性的定义证明 f (x) 在区间[2, +) 上为增函数； (2)解不等式： f (x2 − 2x + 4) f (7) ．
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22．(12 分) 已知二次函数 f (x) = x2 − 2ax + 5 ，其中 a 1 ． (1)若函数 f (x) 的定义域和值域均为[1, a] ，求实数 a 的值；
1．已知全集U = R ，集合 A, B 满足 A B ，则下列选项正确的有( )
A． A B = B
B． A B = B
C． ( U A) B =
D． A ( U B) =
2．已知集合 A, B 均为全集U =1, 2,3, 4 的子集，且 U ( A B) = 4, B = 1, 2 ，则
A U B 等于( )
(2) 若 函 数 f (x) 在 区 间 (−, 2] 上 单 调 递 减 ， 且 对 任 意 的 x1, x2 [1, a +1] ， 总 有
f (x1) − f (x2 ) 3 成立，求实数 a 的取值范围．
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重庆八中高 2023 级国庆假期数学作业(二)答案
一、选择题
1
2
3
4
a =3 3a 4
，解得 a = 3；
当 a<0 时， B = {x 3a x a} ，应满足：
3a = 2
a
4
，解得 a .
当 a = 0 时， B = ， A B = ，舍去；
a = 3 时， A B = {x 3 x 4} .

2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题200,2x R x ∃∈>的否定是（ ） A ．2,2x R x ∃∈≤ B ．2,2x R x ∃∈< C ．2,2x R x ∀∈< D ．2,2x R x ∀∈≤【答案】D【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出选项.【详解】命题200,2x R x ∃∈>的否定为：2,2x R x ∀∈≤.故选：D2．函数()13f x x=-的定义域为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)()1,33,-⋃+∞ C ．()()1,33,-+∞D ．[)3,+∞【答案】B【分析】利用根式与分式有意义，结合交集的定义即可求解.【详解】要使()f x 有意义，则1030x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且3x ≠.所以函数()13f x x=-的定义域为[)()1,33,-⋃+∞. 故选：B.3．已知a R ∈,则2a >是22a a >的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解不等式22a a >，再根据不等式的解集即可得到答案. 【详解】因为220(2)02a a a a a ->⇒->⇒>或a<0. 所以2a >是22a a >的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.4．函数()f x 满足()112f x x-=，则()2f =（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】令122x -=，求出x ，再代入计算可得. 【详解】解：因为()112f x x-=，令122x -=，解得12x =-，所以()12212f ==--. 故选：B 5．函数()232xf x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域可排除B ，再利用特殊值的函数值的符号即可排除AC. 【详解】解：220x -≠，则2x ≠± 所以函数的定义域为{}2x x ≠，故排除B ； 当2x ()0f x >，故排除A ；()110f =-<，故排除C.故选：D.6．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为()0n N t n n N <=≥（00,t N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时约为（ ） A ．9小时 B ．7小时C ．6小时D ．5小时【答案】C【分析】按照题目所给的条件，算出0t 和0N ，再代入计算即可.【详解】解：因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以016N <，10=，即040t =5=，解得064N =， 所以()645,64n t n n <=≥⎩，所以()404967t ==≈（小时）. 故选：C7．已知函数()29,1,1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)5,0- B ．(],2-∞-C ．[]5,2--D ．(),0∞-【答案】C【分析】根据分段函数每段递增，以及左边一段的最高点不高于右边一段的最低点，列不等式组求解即可.【详解】函数()29,1,1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增 12019aa a a ⎧-≥⎪⎪∴<⎨⎪---≤⎪⎩，解得52a -≤≤- 故选：C.8．若正实数,x y 满足11y x y x->-，则下列结论错误的是（ ） A ．11x x y y +<+ B11yx<C ．11x x y y -<-D ．121x y +<+【答案】C【分析】根据条件化简得到y x >，计算得到A 正确，根据函数()1f x x x =-的单调性得到B 正确，取特殊值判断C 错误，平方得到D 正确，得到答案. 【详解】11y x y x ->-，即()110y x xy ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，(),0,x y ∈+∞，故y x >. 要11x x y y +<+，即xy x xy y +<+，即x y <，A 正确； 易知函数()1f x x x=-在()0,∞+上单调递增，故()()f x f y <，11x y x y-<-，即11x y y x+<+，B 正确；取1,12x y ==，代入11x x y y -<-计算得到104<，不成立，C 错误；121x y +<+，平方得到121x y +<+，即2x y <，成立，D 正确.故选：C.二、多选题9．图中矩形表示集合,,U A B 是U 的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）A ．()()U U AB ⋂ B ．()U A B ⋂C ．()BA BD ．()()UUA B ⋂【答案】BC【分析】根据阴影部分不在集合A 中，在集合B 中可得答案, 【详解】根据图形可得阴影部分不在集合A 中，在集合B 中， 即阴影部分可以表示为()()U BA B A B ⋂⋂，，故选：BC10．若0,0a b >>，且3a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．2292a b +≥B 32≥C D ．3183a b +≥【答案】AC【分析】利用基本不等式即可判断ABC ，根据()311313a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭结合基本不等式即可判断D.【详解】解：因为()()22222292ab a b a b a b +=++≥=+，当且仅当32a b ==时，取等号， 所以2292a b +≥，故A 正确；对于B 322a b +=，当且仅当32a b ==时，取等号，故B 错误；对于C ，因为()2222a b +≥++，当且仅当32a b ==时，取等号，C 正确；对于D ，()3113113144333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当3b aa b=，即)312a ==时取等号，故D 错误.故选：AC.11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，若()10f =，则下列说法正确的是（ ）A ．x ∀∈R ，M ∃∈R ，使()f x M ≥B ．若()()13f x f -<，则(),4x ∈-∞C ．若()0xf x <，则()(),10,1x ∈-∞-⋃D ．()f x 的解析式可以为()223f x x x =+-【答案】ACD【分析】取()0M f ≤可判断A 选项；利用函数()f x 的单调性与奇偶性解不等式()()13f x f -<，可判断B 选项；分0x <、0x >解不等式()0xf x <，可判断C 选项；验证()223f x x x =+-满足题干中的条件，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，若()10f =， 故函数()f x 在(],0-∞上单调递减，故()()min 0f x f =，故x ∀∈R ，M ∃∈R ，当()0M f ≤时，()f x M ≥恒成立，A 对； 对于B 选项，若()()13f x f -<，且函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以，()()13f x f -<，可得13x -<，即313x -<-<，解得24-<<x ，B 错； 对于C 选项，由题意可知()()110f f -==.当0x <时，由()0xf x <，可得()()01f x f >=-，所以，1x <-； 当0x >时，由()0xf x <，可得()()01f x f <=，所以，01x <<. 若()0xf x <，则()(),10,1x ∈-∞-⋃，C 对；对于D 选项，若()223f x x x =+-，则该函数的定义域为R ，()()()222323f x x x x x f x -=-+--=+-=，即函数()223f x x x =+-为偶函数，当0x ≥时，()223f x x x =+-，则函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()10f =，故()f x 的解析式可以为()223f x x x =+-，D 对.故选：ACD.12．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.现已知函数()11f x ax a x =++-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()12y f x a =+-为奇函数 B ．当0a >时，()f x 在()1,+∞上单调递增 C ．若方程()0f x =有实根，则()[),01,a ∞∞∈-⋃+ D ．设定义域为R 的函数()g x 关于()1,1中心对称，若12a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为()(),1,2,,2022i i i A x y i =，则()()()112220222022x y x y x y ++++++的值为4044【答案】ACD【分析】对于A.根据题意改写函数得到新解析式即可判断；对于B.可用特殊值法判断错误，也可根据增函数定义进行判断；对于C.令()0f x =写出a 的解析式即可判断a 的取值范围；对于D 根据题意可知()f x 和()g x 关于()1,1中心对称，所以交点关于()1,1中心对称，即对称的横或纵坐标之和为2,由此得出答案. 【详解】对于A.()()11121211f x a a x a a ax x x+-=+++-=++-由解析式可知1y ax x=+是奇函数，故A 正确；对于B.特殊值法33152322212f a a a ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭-，()1223121f a a a =++=+- 即3(2)122a f f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，若02a <<，则()f x 在()1,+∞上不是单调递增，故B 错误.对于C.令()101f x ax a x =++=-，分离参数后211a x=-，()(]21,0)(0,1x ∞-∈-⋃ 故()[)21,01,1x ∞∞∈-⋃+-，C 正确； 对于D.由A 可知，当12a =时，()f x 关于()1,1中心对称，且()g x 关于()1,1中心对称，所以这2022个交点关于()1,1对称，故()()122022122022202220224044x x x y y y +++++++=+=，D 正确.故选：ACD 【点睛】思路点睛：①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数⨯奇函数=偶函数， 偶函数⨯偶函数=偶函数，奇函数⨯偶函数=奇函数；②关于对称中心对称的两个点，两个点横坐标之和等于两倍对称中心的横坐标，两个点纵坐标之和等于两倍对称中心的纵坐标.三、填空题13．计算：021632727(2)8⎛⎫⎡⎤---= ⎪⎣⎦⎝⎭__________. 【答案】13π+##π13+【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】解：021632727(2)8⎛⎫⎡⎤--- ⎪⎣⎦⎝⎭()21363231π32⨯⨯=-+-+91π3813π=-+-+=+.故答案为：13π+.14．已知函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，()32f x x m =-，则()()1f f -=__________.【答案】8-【分析】先利用()00f =求出m ，利用奇函数的定义，求出()1f -，再求()()1f f -. 【详解】函数()f x 为奇函数()020f m ∴=-=，2m =∴当0x ≥时，()3f x x =∴()()(31121f f -=-=-=-，()()()()(312228f f f f -=-=-=-=-故答案为：8-.15．写出一个同时具有下列性质①②的函数()f x ：__________.①函数()f x 对其定义域内的任意两个不等实数12,x x 都满足不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；②函数()f x 为偶函数.【答案】()2f x x =（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需写出符合题意的函数解析式即可，不妨令()2f x x =，利用奇偶性的定义判断②，利用重要不等式判断①.【详解】解：令()2f x x =，则()()()22f x x x f x -=-==，即()2f x x =为偶函数，满足条件②，设12,R x x ∀∈且12x x ≠，则()211f x x =，()222f x x =，222121212122224x x x x x x x x f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()222211221222224f x f x x x x x +++==，因为2212122x x x x +>，所以222212121222244x x x x x x +++>， 即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故满足①； 故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 分别对其定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()()2123,(0)f x x x x g x x x=-∈=<R ，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线4y x b =-+，则实数b 的取值范围是__________.【答案】14,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意得到2234x x x b -≥-+，计算180b =+≤得到一个范围，再根据双勾函数的单调性得到函数()14K x x x=+的最大值，综合得到答案. 【详解】2234x x x b -≥-+，即220x x b +-≥恒成立，故180b =+≤，解得18b ≤-；14x b x ≤-+，即14x b x +≤，函数()14K x x x =+在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，故()max 142K x K ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故b 4≥-.综上所述：14,8b ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：14,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知{}2650A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.(1)若1a =，求()Z A B ⋂； (2)从①()AB =RR ；②A B B =；③()B A ⋂=∅R 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若__________，求实数a 的所有取值构成的集合C . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)(){}Z5AB =(2)条件选择见解析，10,,15C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【分析】（1）当1a =时，求出集合B 、A ，利用补集和交集的定义可求得集合()Z A B ⋂； （2）选①，分0a =、0a ≠两种情况讨论，在0a =时，直接验证即可；在0a ≠时，求得1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，根据()AB =RR 可得出关于a 的等式，综合可得出集合C ；选②，分析可知B A ⊆，分0a =、0a ≠两种情况讨论，在0a =时，直接验证即可；在0a ≠时，求得1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，根据B A ⊆可得出关于a 的等式，综合可得出集合C ；选③，分0a =、0a ≠两种情况讨论，在0a =时，直接验证即可；在0a ≠时，求得1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，根据()B A ⋂=∅R ，可得出关于a 的等式，综合可得出集合C .【详解】（1）解：当1a =时，{}{}101B x x =-==，又因为{}{}26501,5A x x x =-+==，故(){}Z5AB =.（2）解：若选①，当0a =时，B =∅，则B =RR ，满足()AB =RR ，当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()AB =RR ，则11a =或5，解得1a =或15. 综上所述，10,,15C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若选②，A B B =，则B A ⊆.当0a =时，B =∅，满足B A ⊆；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，则11a =或5，解得1a =或15.综上所述，10,,15C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若选③，当0a =时，B =∅，满足()B A ⋂=∅R ；当0a ≠时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为()B A ⋂=∅R ，则11a =或5，解得1a =或15.综上所述，10,,15C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.18．已知幂函数()()2157m f x m m x -=-+，且()()=f x f x -.(1)求函数()f x 的解析式； (2)若()()(),,1f xg x a b f x =+均为正数且()()1g a g b +=，求()()f a f b +的最小值.【答案】(1)()2f x x =(2)2【分析】（1）根据幂函数得到2571m m -+=，解方程再验证函数的奇偶性得到答案.（2）代入数据计算得到2211111a b +=++，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）幂函数()()2157m f x m m x -=-+，则2571m m -+=，解得2m =或3m =，当2m =时，()f x x =是奇函数，舍去；当3m =时，()2f x x =是偶函数，满足.故()2f x x =.（2）()()()22211111f x x g x f x x x ===-+++，()()221111111g a g b a b +=-+-=++， 即2211111a b +=++， ()()2222112f a f b a b a b +=+=+++-()()22222222222211111122211111111b a b a a b b a b a b a +=+++⎛⎫+⎡⎤+++⨯-=⎣⎦++≥⋅= ⎪+++++⎝⎭， 当22221111b a a b ++=++，即1a b ==时等号成立，故()()f a f b +的最小值为2. 19．已知函数()()21,43,f x x g x x x x =-=-+∀∈R ，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =.(1)写出函数()M x 的解析式，并画出它的图象；(2)当[]0,x a ∈时，若函数()M x 的最小值为322a-，求实数a 的取值集合.【答案】(1)()[]()()21,1,443,,14,x x M x x x x ∞∞⎧-∈⎪=⎨-+∈-⋃+⎪⎩，图象见解析(2)1,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）分别求出()()f x g x ≥，()()f x g x <的解集，即可得出函数()M x 的解析式，再根据一次函数和二次函数的图象作图即可；（2）分01a <<和1a ≥两种情况讨论，求出函数的最小值，从而可得出答案. 【详解】（1）解：当2143x x x -≥-+，即14x ≤≤时，()1M x x =-，当当2143x x x -<-+，即>4x 或1x <时，()243M x x x =-+，所以()[]()()21,1,443,,14,x x M x x x x ∞∞⎧-∈⎪=⎨-+∈-⋃+⎪⎩， 函数图象如图所示：（2）解：由（1）可得，函数()M x 在(),1-∞上递减，在()1,+∞上递增， 当01a <<时，函数()M x 在[]0,a 上递减，所以()()2min 34322a M x M a a a ==-+=-，解得12a =或3（舍去），当1a ≥时，函数()M x 在[]0,a 上的最小值为()31022aM ==-，解得3a =， 综上实数a 的取值集合为1,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭.20．北京2022年冬奥会和冬残奥会，向世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了进一步宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()11P x =+，该商品的日销售量()Q x （单位：个）与时间x 部分数据如下表所示：x （天）5 10 15 20 25 30(1)给出以下三种函数模型：①()Q x ax b =+，②()20Q x a x b =-+，③()Q x c =， 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(2)求该商品的日销售总收入()(*130,T x x x N ≤≤∈）（单位：元）的最小值.（注：日销售总收入=日销售价格⨯日销售量）【答案】(1)模型②，()()*20120130,Q x x N x x =--≤≤∈+(2)3413【分析】（1）根据数据的对称性选择模型②，再代入数据计算参数得到答案.（2）计算()T x 的解析式，根据函数的单调性和均值不等式，分段计算函数的最小值，再比较得到答案.【详解】（1）根据表格数据，()Q x 的函数值关于120对称，故选择()20Q x a x b =-+合适.()552015105Q a b a b =-+=+=，()10102010110Q a b a b =-+=+=，解得1,120a b =-=，故()20120Q x x =--+，验证均满足.故()()*20120130,N Q x x x x =--+≤≤∈（2）()()()()**100101,120,N 1120120140139,2030,N x x x xT x P x Qx x x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪⎛⎫=⋅=+⋅--+=⎨ ⎪⎝⎭⎪-++<≤∈⎪⎩当*120,N x x ≤≤∈时，()100101101121T x x x =++≥=，当100x x =，即10x =时等号成立；当*2030,N x x <≤∈时，()140139T x x x-++=在(]20,30上单调递减，故最小值为()1403413013930330T -++==. 综上所述：当30x =时，()T x 有最小值为3413元. 21．设函数()f x 的定义域为()4,4-，且满足：()()()()20250f x y f x f y f +=++，且当04x <<时，()0f x >.(1)根据函数奇偶性和单调性的定义证明函数()f x 在定义域上的奇偶性和单调性； (2)求关于x 不等式()310x f x f x -⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集.【答案】(1)证明见解析 (2)(]35,3,15⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）令0x y ==，即可求出()0f ，从而得到()()()f x y f x f y +=+，再令y x =-，即可说明函数的奇偶性，再利用定义法证明函数的单调性；（2）根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域. 【详解】（1）解：因为()()()()20250f x y f x f y f +=++， 令0x y ==，可得()()()()00020250f f f f =++，解得()00f =， 所以()()()f x y f x f y +=+，令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数， 设()124,4,x x ∈-∀且12x x <，则212111211121()()()()()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-， 因为12x x <，所以210x x ->，故21()0f x x ->， 所以()f x 在()4,4-上单调递增；（2）解：因为()f x 为()4,4-上单调递增的奇函数，所以不等式()310x f x f x -⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭等价于()31x f x f x -⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 等价于31344414x x x x x x -⎧+≤⎪⎪-⎪-<<⎨⎪-<+<⎪⎪⎩，解得53x -<≤-或315x <≤， 即不等式的解集为(]35,3,15⎛⎤--⎥⎝⎦.22．已知函数()()f x g x ==(1)证明：()()222f x g x =+，并求函数()f x 的值域；(2)已知a 为非零实数，记函数()()()x x h f g x a =-的最大值为()m a . ①求()m a ；②求满足()1m a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的所有实数a .【答案】(1)证明见解析，函数()f x的值域为2⎤⎦(2)①()()12,,00,211,22a a m a a a a a ∞∞⎧⎛⎤⎪-+∈-⋃ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎪=+∈ ⎨ ⎝⎭⎪⎫∈+⎪⎪⎣⎭⎩；②1a =-a ≤≤【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，求出函数()g x 的值域，从而可得出答案； （2）①由（1）得()()212f xg x =-，令(),t f x t ⎤=∈⎦，分a<0，102a <≤，a ≥和12a <<四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案；（2）求出1m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分a<0，102a <≤，12a <<a ≤≤2a <<和2a ≥六种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：由函数()f x得020x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得02x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为[]0,2，由函数()g x =，得()20x x -≥，解得02x ≤≤，所以函数()g x 的定义域为[]0,2，所以()()2222f x x x g x =+-+=+，()g x =因为[]0,1x ∈，所以()[]2110,1x --+∈，所以()[]0,1g x ∈，所以()[]22,4f x ∈，又()0f x ≥，所以函数()fx 的值域为2⎤⎦；（2）解：①由（1）得()()212f xg x =-，则()()()()()22a h f f a x x x x x a f g =-+-+=， 令(),t f x t ⎤=∈⎦，则()2,2a h t t t a t ⎤=-++∈⎦， 对称轴为1t a =， 当a<0时，则10a<， 所以()()max 22h t h a ==-+， 当12a ≥，即102a <≤时，()()max 22h t h a ==-+，当10a <≤a ≥()max h t h ==12a <，即12a <<()max 112h t h a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，综上所述()()12,,00,211,22a a m a a a a a ∞∞⎧⎛⎤⎪-+∈-⋃ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎪=+∈ ⎨ ⎝⎭⎪⎫∈+⎪⎪⎣⎭⎩； ②因为()()12,,00,211,22a a m a a a a a ∞∞⎧⎛⎤⎪-+∈-⋃ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎪=+∈ ⎨ ⎝⎭⎪⎫∈+⎪⎪⎣⎭⎩， 所以()[))(12,,02,11,22a a am a a a a ∞∞⎧-+∈-⋃+⎪⎪⎪⎛⎫=+∈⎨ ⎪⎝⎭∈⎩，当a<0时，122a a -+=-+，解得1a =-（1a =舍去），当102a <≤时，2a -+=2a =，当12a <<时，12a a +=a =，a ≤≤时，()1m a m a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2a <12a a +，解得a =，当2a ≥12a =-+，解得a =，综上1a =-a ≤≤. 【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论.。

重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题

重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
重庆市第八中学校 2023-2024 学年高一上学期期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 P = {(1, 2),(1,3)} ，则集合 P 中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
2．命题“ "x Î R ， x2 - 2x +12 £ 0”的否定为（ ）
五、证明题 19．已知 VABC 的三边长为 a, b, c ，其中 a = 2 .求证： VABC 为等边三角形的充要条件
是 b2 + c2 - 2(b + c) = bc - 4 ．
六、解答题 20．如图，现将正方形区域 ABCD 规划为居民休闲广场，八边形 HGTQPMKL 位于正
方形 ABCD 的正中心，计划将正方形 WUZV 设计为湖景，造价为每平方米 20 百元；在 四个相同的矩形 EFUW ， IJVW ,VZON,UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米 2 百元；
22．若在函数 f ( x) 的定义域内存在区间[a,b] ，使得 f ( x) 在[a,b] 上单调，且函数值的
取值范围是[ma, mb] （ m 是常数），则称函数 f ( x) 具有性质 M ．
(1)当
m
=
1 2
时，函数
f
(
x)
=
x 否具有性质 M ?若具有，求出 a ， b ；若不具有，说明
理由；
(2)若定义在 (0, 2) 上的函数
f
(x) =
x+
4 x
-5
具有性质 M
m ，求 的取值范围．
试卷第51 页，共33 页

重庆市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题解析

重庆市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题解析

重庆2023—2024学年度（上）高2026级国庆学情检测数学试题数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效.4．做选考题时，按要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:p x R ∀∈，2210x +>，命题p 的否定是（）A.x ∀∈R ，2210x +≤B.x ∃∈R ，2210x +>C.x ∃∈R ，2210x +<D.x ∃∈R ，2210x +≤【答案】D 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题:p x R ∀∈，2210x +>的否定是：x ∃∈R ，2210x +≤故选：D2.函数()11f x x =+-的定义域为（）A.[)2,-+∞B.()1,+∞C.[)()2,11,-⋃+∞ D.()()2,11,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】由题意，得2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥-且1x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()2,11,-⋃+∞．故选：C ．3.游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用h 表示游泳池的水深，t 表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】函数图像不过原点，排除AC ；函数值有一段时间不变，排除B ，得到答案.【详解】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC ；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B .故选：D4.已知函数243,0()3,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，则((5))f f =（）A.1B.0C.1- D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式求解即可.【详解】解：由题知()5352f =-=-，所以()((5))24831f f f =-=-+=-.故选：C5.若a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式中一定成立的是（）A.ab ac > B.ac bc> C.a b c b> D.222a b c >>【答案】A 【解析】【分析】题目已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】解：a b c >> 且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a << ,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故A 项正确;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,当1a =,0b =,1c =-时,222a c b =>,故D 项错误.故选A【点睛】本题主要考查给定条件判断不等式的性质，注意考虑,,a b c 的正负.6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ､b ､c ，则三角形的面积S 可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足3a =，5b c +=，则此三角形面积的最大值为（）A.32B.3C.D.【答案】B 【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入已知3a =，然后由基本不等式求得最大值．【详解】由题意()13542p =+=S =()83b c ==≤-+=，当且仅当44-=-b c ，即b c =时等号成立﹐∴此三角形面积的最大值为3.故选：B ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7.如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.【详解】如果[][],Z x y n n ==∈，则有[)1212,,,0,1x n d y n d d d =+=+∈，x y ∴-=121d d -＜，所以[][]=x y 是1x y -＜的充分条件；反之，如果1x y -＜，比如 3.9, 4.1x y ==，则有0.21x y -=＜，根据定义，[][][][]3,4,x y x y==≠，即不是必要条件，故[][]=x y 是1x y -＜的充分不必要条件；故选：A .8.若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A.()1,2- B.()(),21,-∞-+∞ C.()2,1- D.()(),12,-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求得4yx +的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得m 的取值范围.【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2min 4y m m x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭即可，因为两个正实数x ，y 满足142x y +=，即1212x y+=，则1221124428⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y x y x x x y y x ，当且仅当28x yy x=，即1,4x y ==时，等号成立，即min24y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得22m m ->，即220m m -->，解得m>2或1m <-，所以实数m 的取值范围是()(),12,-∞-+∞ ．故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.9.下列各组函数表示的是不同函数的是（）A.()f x =()g x x =B.()f x x =与()g x =C.()1f x x =+与()0g x x x =+D.()f x =与()g x =【答案】ACD 【解析】【分析】利用相同函数的定义求解.【详解】A.()f x ={}|0x x ≤，且()f x ==-，()g x x =的定义域为{}|0x x ≤，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；B.()f x x =的定义域为R，()g x x ==定义域为R ，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；C.()1f x x =+的定义域为R ，()0g x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，所以不是同一函数，故错误；D.，由010x x ≥⎧⎨+≥⎩得0x ≥，所以()f x =的定义域为{}|0x x ≥，由20x x +≥，得0x ≥或1x ≤-，所以函数()g x =的定义域为{|0x x ≥或}1x ≤-，所以不是同一函数，故错误；故选：ACD10.下列不等式，其中正确的是（）A.3322(,R)a b a b ab a b +≥+∈B.()232x x x R +>∈C.222()11f x x x =+≥- D.222(1)a b a b +≥--【答案】BD 【解析】【分析】结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【详解】解：332222222()()()()()()a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +--=-+-=--=-+ ，2()0a b - ，a b +的符号不定，所以33+a b 与22a b ab +的大小不定，A 错误；2223(1)220x x x -+=-+> ，故232x x +>，B 正确；222222()1111f x x x x x =+=-++--，当210x -<时，()0f x <，故C 错误．2222222(1)(1)0a b a b a b +-++=-++ ，故222(1)a b a b +-- ，D 正确；故选：BD ．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11.若正实数a ，b 满足2a b +=，则下列说法正确的是（）A.ab 有最大值1B.有最大值2C.11a b+有最小值2 D.22a b +有最大值2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式，即可判断选项.【详解】对于A 项，因为212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，则ab 的最大值为1，故A 正确；对于B 项，()()224a b a b a b a b =+++++=+=，当且仅当1a b ==时取等号，+的最大值为2，故B 正确；对于C 项，因为()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为2，故C 正确；对于D 项，因为()2222424212a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当1a b ==时取等号，所以22a b +的最小值为2，故D 错误.故选：ABC12.已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”下列结论中正确的有（）A.集合{11---不是“完美集”B.若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2C.2n =的“完美集”个数无限D.若*i a ∈N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定A 错误，B 和C 正确；设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，得到121n a a a n -⋅⋅⋅<，分2n =和3n =，两种情况分类讨论，可判定D 正确.【详解】对于A 中，((112-+-+=-，(112--+=-，集合{11--+是“完美集”，所以A 错误；对于B 中，若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，设12120a a a a t +=⋅=>，根据根和系数的关系1a 和2a 相当于20x tx t -+=的两根，由240t t ∆=->，解得4t >或0t <（舍去），所以124a a ⋅>，所以1a 、2a 至少有一个大于2，所以B 正确；对于C 中，由B 知，一元二次方程20x tx t -+=，当t 取不同的值时，12,a a 的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以所以C 正确；对于D 中，不妨设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，由1212n n n a a a a a a na ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+<，得121n a a a n -⋅⋅⋅<，当2n =时，即有12a <，所以11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“完美集”；当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“完美集”A 只有一个，为{}1,2,3．当4n ≥时，由()1211231n a a a n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即有()1231n n >⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，事实上，()()()()221231123222n n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-≥--=-+=--+>，矛盾，所以当4n ≥时不存在完美集A ，所以D 正确．故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()y f x =的图象如图所示，那么其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是______.【答案】[)(]1,24,5U【解析】【分析】根据图中数据即可求解.【详解】解：由题中图形可得，只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是：[)(]1,24,5U 故答案为：[)(]1,24,5U .14.已知集合{}2210,A xax x x =++=∈R ∣的子集只有两个，则实数a 的值为______．【答案】0或1【解析】【分析】分类讨论确定集合A 中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论．【详解】0a =时，1{}2A =-，子集只有两个，满足题意，0a ≠时，若440∆=-<a 即1a >，则A =∅，子集只有1个，不满足题意；若0∆>，即1a <，则集合A 有两个元素，子集有4个，不满足题意，1a =时，Δ0=，{1}A =-，子集只有两个，满足题意，所以0a =或1.故答案为：0或1，15.函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()(2)f a f a =+，则()2f a =__________.【答案】4【解析】【分析】根据函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩各段的定义域，分02a <<，2a ≥两种情况，由()(2)f a f a =+求解.【详解】当02a <<时，则22a +>，因为()(2)f a f a =+，所以()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得1a =或4a =-（舍去），所以()22284f a =-⨯+=.当2a ≥时，则22a +>，因为()(2)f a f a =+，所以()28228a a -+=-++无解.综上：()24f a =故答案为：4【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.16.已知a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，则411()a b b a b a b b++---的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】两次利用基本不等式求最值即可.【详解】∵a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，∴2424812(22)22a b b b a b a b b a b b -++≥=+=--⋅-+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当4a b b b a b -=-且2a b b -=，即334a b ==时，等号同时取到，故答案为：12四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合：{}{}2237,560A x x B x x x =-≤=--<：（1）求集合A 、B ；（2）求A B ⋃和()R A B ⋂ð．【答案】（1）{}25A x x =-≤≤，{}16B x x =-<<（2）{}26A B x x ⋃=-≤<，(){}56R A B x x ⋂=<<ð【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ；（2）利用并集的定义可得A B ⋃，由补集的定义可得R A ð，再根据交集的定义即可求得()R A B ⋂ð．【小问1详解】∵237x -≤，∴7237x -≤-≤，解得25x -≤≤，∴{}25A x x =-≤≤，∵2560x x --<，∴()()610x x -+<，解得16x -<<，∴{}16B x x =-<<【小问2详解】∵{}25A x x =-≤≤，{}16B x x =-<<，∴{}26A B x x ⋃=-≤<，{2R A x x =<-ð或}5x >，∴(){}56R A B x x ⋂=<<ð18.已知定义在R 上的函数满足：()()2223f x f x x x +-=-+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）若不等式()21f x ax ≥-在[]1,3上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()21213f x x x =++（2）13a ≤+【解析】【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；（2）要使()21f x ax ≥-在[]1,3上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.【小问1详解】将()()2223f x f x x x +-=-+的x 替换为x -得()()2223f x f x x x -+=++，联立()()()()22223223f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩解得()21213f x x x =++【小问2详解】不等式()21f x ax ≥-为2121213x x ax ++≥-，化简得116x a x≤++，要使其在[]1,3上恒成立，则min 116x a x ⎛⎫≤++⎪⎝⎭，111163x x ++≥+=+，当且仅当x =取等，所以13a ≤+．19.党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x （单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中2240,040180001652250,40100x x x y x x x ⎧+≤<⎪=⎨+-≤≤⎪⎩，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．（1）将利润P （单位：万元）表示为年产量x （单位：百台）的函数；（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．【答案】（1）221201000,0401800051250,40100x x x P x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨--+≤≤⎪⎩；（2）当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元.【解析】【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当040x ≤<时，()22160240100021201000P x x x x x =-+-=-+-；当40100x ≤≤时，18000180001601652250100051250P x x x x x=--+-=--+，即221201000,0401800051250,40100x x x P x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨--+≤≤⎪⎩；【小问2详解】当040x ≤<时，22212010002(30)800P x x x =-+-=--+，所以当30x =时，max 800P =，当40100x ≤≤时，36001250512505650P x x ⎛⎫=-+≤-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当3600x x=时取等号，即60x =时取等号，∵800650>，∴当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元．20.已知关于x 的不等式2(2)20ax a x -++≤.（1）若a<0，求不等式的解集；（2）若0a >，不等式的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦（2）12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）先根据一元二次不等式的解法解含参不等式，再结合不等式的解集中恰有3个整数，即可得解.【小问1详解】当a<0时，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a ==，此时21a>，则由2(2)20ax a x -++≤，得2(1)0x x a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，故不等式解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】当0a >时，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a ==，若21a <，即02a <<时，不等式解集为21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是1，2，3，所以02234a a <<⎧⎪⎨≤<⎪⎩，解得1223a <≤；若21a=，即2a =时，不等式解集为{}1，此时不符合题意；若若21a >，即2a >时，不等式解集为2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，而201a <<，此时不等式解集2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦只有一个整数解1，故不符合题意，综上所述，实数a 的取值范围为12,23⎛⎤⎥⎝⎦.21.已知集合{}{}222|320,|(2)210A x x x B x x a x a a =-+==-++-+=.（1）当{}1A B ⋂=时，求实数a 的值；（2）若R R A B ⋃=ð时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）(]{}8,01,7⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由1B ∈解方程求出a 的值，再检验即可；（2）由R R A B ⋃=ð得出B A ⊆，结合子集的定义得出B 可能为∅，{}1，{}2，{}1,2，分别讨论这四种情况，得出实数a 的取值范围．【小问1详解】{}{}2|3201,2A x x x =-+==，∵{}1A B ⋂=，∴1B ∈，即221(2)210a a a -++-+=，解得0a =或1a =.当0a =时，{}{}2|2101B x x x =-+==，符合题意；当1a =时，{}{}2|3201,2B x x x =-+==，{}1,2A B = ，不合题意，综上，0a =．【小问2详解】∵R R A B ⋃=ð，∴B A ⊆，即B 可能为∅，{}1，{}2，{}1,2.当B =∅时，22(2)4()021a a a ∆-+=+-<，即2780a a ->，解得a<0或87a >，当集合B 中只有一个元素时，22(2)4()021a a a ∆-+=+-=，解得0a =或87a =，当0a =时，{}{}2|2101B x x x =-+==，符合题意；当87a =时，117B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当{}1,2B =时，由根与系数的关系可知22122112a a a +=+⎧⎨-+=⨯⎩，又22(2)4()021a a a ∆-+=+->，解得1a =，∴所求实数a 的取值范围是(]{}8,01,7⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．22.对于函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠，若存在0x ∈R ，使得320000(1)(1)mx ax b x b x ++-+-=成立，则称0x 为函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠的“囧点”．（1）当m ＝2，a ＝－3，b ＝2时，求函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠的“囧点”；（2）当m ＝0时，对任意实数b ，函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠恒有“囧点”，求a 的取值范围．【答案】（1）“囧点”1=1x ，212x =-（2）10a -≤<【解析】【分析】（1）利用“囧点”定义布列方程，即可得到结果；（2）函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠恒有“囧点”，等价于函数2(1)(1)(0)y ax b x b a =+++-≠恒有“囧点”，结合判别式即可得到结果.【小问1详解】当m ＝2，a ＝－3，b ＝2时，32231y x x x =-++，由题意知：∴32231x x x x -++=，∴()()22110x x +-=，解得1=1x ，212x =-，所以当m ＝2，a ＝－3，b ＝2时，函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠的“囧点”1=1x ，212x =-．【小问2详解】由题知：2(1)(1)(0)ax b x b x a +-+-=≠，所以2(2)(1)0ax b x b +-+-=，由于函数2(1)(1)(0)y ax b x b a =+++-≠恒有“囧点”，所以2(2)4(1)0b a b ∆=---≥，即24(1)4(1)0b a b a -+++≥，又因为b 是任意实数，所以()110a a ∆=+≤，。

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一 含答案

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一 含答案

重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(一)满分：150分 测试时间：120分钟姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、 选择题（共12题，1~8题为单选题，每题5分，9~12题为多选题，全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分，共60分）1．已知集合{}2|1M x x ==，{}|2N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为( ) A ．{}2 B ．{}2,2- C ．{}2,0-D ．{}2,2,0-2．已知集合{}2,0A =，{}|,,B z z x y x A y A ==+∈∈ ，则集合B 的非空子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．83．一元二次方程()24005ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a < B ．0a > C ．2a <-D ．1a >4．已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为12(,)x x ，则1212ax x x x ++的最大值是( ) AB． CD．5．设集合{}2|60A x x x =->-，{}0|()(2)B x x k x k =---<，若A B ≠∅，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}21|k k k <->或 B ．{}|21k k -<< C ．{}43|k k k <->或D ．{}|43k k -<<6．下列各式：①212a a +>；②12xx +≥2≤；④22111x x +≥+. 其中正确．．的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．已知函数()1(1)3(1)f x x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A ．12 B ．32 C ．52D ．728．设0c <，()f x 是区间[],a b 上的减函数，下列命题中正确．．的是( ) A ．()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + B ．()f x 在[],a b 上有最小值()f a C ．()f x c -在[],a b 上有最小值()f a c - D ．()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a9．【多选题】若01,1a b c <<>>，则下列结论中正确．．的有( ) A ．111a b c>++ B ．c a cb a b->-C >D ．21b a ->-10．【多选题】设[]x 表示不大于实数x 的最小整数（例如：[2.5]2=，[2.2]3-=-），则满足关于x 的不等式2[][]120x x +-≤的解可以为( )A B ．C ．π-D ．5-11．【多选题】下列说法中正确．．的有( ) A ．命题“32,1x x x ∀∈>+R ”的否定是“32,1x x x ∃∈<+R ”B ．若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)-∞-+∞C ．22,421x ax x x ∀∈+≥-R 恒成立，则实数a 的取值范围是[6,)+∞ D ．已知211:3,:()10(0)2p x q x a x a a≤≤-++≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞12．【多选题】已知函数2()(,)f x x mx n m n =++∈R ，不等式()x f x <的解集为(,1)(1,)-∞+∞，则( )A ．1,1m n =-=B ．设()()f x g x x=，则()g x 的最小值为(1)1g = C ．不等式()(())f x f f x <的解集为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞。

重庆八中2023—2024学年度(上)半期考试高二年级数学试题含答案解析

重庆八中2023—2024学年度(上)半期考试高二年级数学试题含答案解析

重庆八中2023—2024学年度（上）半期考试高二年级数学试题一、单选题(共 24 分)1已知i 是虚数单位若复数z 满足：z (1−i 3)=1−i 则|z |=（ ） A −i B 1 C i D 0【答案】B 【分析】根据复数的运算求z 进而求其模长 【详解】因为z (1−i 3)=1−i 即z (1+i )=1−i 可得z =1−i1+i =(1−i )2(1+i )(1−i )=−i所以|z |=1 故选：B 2若椭圆C:x 2m +y 22=1的离心率为√33则m =（ ） A3或23 B 83C3或43D 43或83【答案】C 【分析】根据焦点位置分类讨论利用离心率计算求解即可 【详解】若椭圆焦点在x 上则a 2=m,b 2=2 所以c 2=a 2−b 2=m −2故e 2=c 2a 2=m−2m=1−2m =13解得m =3若椭圆焦点在y 上则a 2=2,b 2=m 所以c 2=a 2−b 2=2−m 故e 2=c 2a 2=2−m 2=1−m 2=13解得m =43综上m =3或m =43 故选：C3“直线3x +4y +m =0与圆x 2+y 2−2x =0相切”是“m =−8”的（ ）条件． A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求m 的值进而结合充分、必要条件分析判断 【详解】因为圆x 2+y 2−2x =0即(x −1)2+y 2=1可知圆心为(1,0)半径为1 若直线3x +4y +m =0圆x 2+y 2−2x =0相切 则|3+0+m |5=1解得m =2或m =−8又因为{−8}是{−8,2}的真子集所以“直线3x +4y +m =0与圆x 2+y 2−2x =0相切”是“m =−8”的必要不充分条件 故选：B4已知DE 分别为△ABC 的边BCAC 的中点且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为（ ） A 43a +23b ⃗ B 23a −23b⃗ C 23a +43b⃗ D 23b ⃗ −43a【答案】C 【分析】根据题意可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合中线的性质运算求解即可 【详解】因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +12(a +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )整理得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +43b⃗ ． 故选：C ．5若曲线C上存在点M使M到平面内两点A(−5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）A x+y=5B x29+y24=1C x2+y2=16D x2=16y【答案】B 【分析】根据题意可知M的轨迹为：x 216−y29=1即与其有交点的曲线都是“好曲线”结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线【详解】由题意知：M平面内两点A(−5,0)B(5,0)距离之差的绝对值为8由双曲线定义知：M的轨迹以A,B为焦点的双曲线且a=4,c=5即轨迹方程为：x 216−y29=1可知：“好曲线”一定与x 216−y29=1有交点结合各选项方程的曲线知：所以不是“好曲线”的是x 29+y24=1故选：B6如图所示双曲线型冷却塔的外形是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面已知该冷却塔的上口半径为3cm下口半径为4cm高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算）则冷却塔的最小直径为（）A√5748cm B√2878cm C√5744cm D√2874cm 【答案】C 【分析】先作出双曲线图根据图像代入点求出点的坐标最后求出a 的值 【详解】 如图所示根据题意作出冷却塔的双曲线函数图设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 因为冷却塔的上口半径为3cm 下口半径为4cm 高为8cm 所以设双曲线上的点A (3,y 1),B (4,y 2)且y 1−y 2=8将A,B 代入可得{9a2−y 12b 2=116a 2−y 22b 2=1 两式相减得7a 2=y 22−y 12b 2=(y 2−y 1)(y 2+y 1)b 2 又双曲线离心率为3所以b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=8所以b 2=8a 2代入可得7a 2=−8(y 2+y 1)8a 2得y 2+y 1=−7所以y 1=12将点(3,12)代入可得9a 2−132a 2=1解得a =√5748所以冷却塔的最小直径为2a =√5744故选：C7已知点M 是圆x 2+y 2=1上的动点点N 是圆(x −5)2+(y −2)2=16上的动点点P 在直线x +y+5=0上运动则|PM|+|PN|的最小值为（）A√139+5B√149+5C√139−5D√149−5【答案】D【分析】根据圆的性质可得|PM|+|PN|≥|PO|+|PA|−5求点O(0,0)关于直线x+y+5=0对称的点为B 结合对称性分析求解【详解】由题意可知：圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)半径r1=1圆(x−5)2+(y−2)2=16的圆心A(5,2)半径r2=4则|PM|≥|PO|−1,|PN|≥|PA|−4即|PM|+|PN|≥|PO|+|PA|−5设点O(0,0)关于直线x+y+5=0对称的点为B(a,b)则{b−0a−0=1a 2+b2+5=0解得a=b=−5即B(−5,−5)因为|PO|=|PB|则|PM|+|PN|≥|PB|+|PA|−5≥|AB|−5=√149−5所以|PM|+|PN|的最小值为√149−5故选：D8点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点点PQ为C上关于坐标原点对称的两点|PQ|=|F1F2|△PF1Q的面积为18a2e为椭圆的离心率则e2为（）A7 8B710C79D712【答案】A【分析】根据题意可知：PF1QF2为矩形利用椭圆的定义结合勾股定理和面积关系运算求解【详解】根据椭圆的对称性可知：PF1QF2为平行四边形且|PQ|=|F1F2|所以PF1QF2为矩形可知△PF1Q的面积即为△PF1F2的面积设|PF1|=m,|PF2|=n则m+n=2a,m2+n2=4c2可得mn=12[(m+n)2−(m2+n2)]=12(4a2−4c2)=2b2由面积关系可得12mn=b2=18a2即a2−c2=18a2所以e2=78故选：A二、多选题(共12 分)9若三条不同的直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x−y+1=0,l3:3x−y−5=0能围成一个三角形则m的取值不可能为（）A−2B−6C−3D1【答案】ABC【分析】根据题意结合若l1//l2或l1//l3或重合时结合两直线的位置关系列出方程即可求解【详解】由直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x−y+1=0,l3:3x−y−5=0若l1//l2或重合时则满足m1=2−1解得m=−2；若l1//l3或重合时则满足m3=2−1解得m=−6；若l1经过直线l2与l3的交点时此时三条直线不能围成一个三角形联立方程组{x−y+1=03x−y−5=0解得x=3,y=4即交点P(3,4)将点P代入直线l1可得3m+2×4+m+4=0解得m=−3故选：ABC10椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1F2过F2的直线l与C交于PQ两点且点Q在第四象限若|F1Q|:|F2Q|:|PQ|=5:1:4则（）A△PF1F2为等腰直角三角形B C的离心率等于√22C△QF1F2的面积等于a26D直线l的斜率为√22【答案】ABC【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知|PF1|=|PF2|且满足|PF1|2+|PQ|2=|F1Q|2即可得A正确；易知S△QF1F2=S△QF1P−S△PF1F2=a26可得C正确；在等腰直角三角形△PF1F2中可知直线l的斜率为−1计算可得C的离心率等于√22【详解】对于选项A：因为|F1Q|:|F2Q|:|PQ|=5:1:4不妨设|F2Q|=m,|PQ|=4m,|F1Q|=5m(m>0)又因为|PQ|=|QF2|+|PF2|=4m可得|PF2|=3m；利用椭圆定义可知|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=6m所以|PF1|=3m；即|PF1|=|PF2|=3m所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点如下图所示：由|PF1|=3m|PQ|=4m,|F1Q|=5m可知满足|PF1|2+|PQ|2=|F1Q|2所以PF1⊥PF2故A正确；对于选项B：在等腰直角三角形△PF1F2中易知a2+a2=(2c)2即可得离心率e=ca =√22故B正确；对于选项C：因为△PF1F2为等腰直角三角形且|PF1|=3m=a因此△QF1F2的面积为S△QF1F2=S△QF1P−S△PF1F2=12|PQ||PF1|−12|PF2||PF1|=6m2−92m2=3 2m2=16a2故C正确；此时可得直线l的斜率k PQ=k PF2=−1故D错误；故选：ABC11如图已知EF分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱BC和CD的中点则（）A A1E与B1D1是异面直线B B1C与EF所成角的大小为2π3C A1F与平面B1EB所成角的正弦值为√33D二面角C−D1B1−B的余弦值为√63【答案】AD【分析】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；作出异面直线所成的角判断B建立空间直角坐标系向量法判断CD 【详解】对A因为E在平面A1B1C1D1外A1在平面A1B1C1D1内B1D1在平面A1B1C1D1内所以A1E与B1D1是异面直线故A正确；对B由中点知EF//BD,又B1D1//BD所以EF//B1D1即∠D1B1C为B1C与EF所成的角在等边△D1B1C中∠D1B1C=π3故B错误；以D为原点DADCDD1分别为xyz轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为2D(0,0,0)A1(2,0,2)C(0,2,0)D1(0,0,2)F(0,1,0)由题意可知平面BEB 1的法向量可取DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−2) 设A 1F 与平面B 1EB 所成角为α则sinα=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√9=13所以A 1F 与平面B 1EB 所成角的正弦值为13故C 错误； 又D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2) D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2) 设平面D 1B 1B 的法向量为m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅D 1B 1→=2x 1+2y 1=0m →⋅BB 1→=2z 1=0令x 1=1得m ⃗⃗ =(1,−1,0)设平面D 1B 1C 的法向量n ⃗ =(x 2,y 2,z 2) 则{n ⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2z 2=0n ⃗ ⋅D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2+2y 2=0令y 2=−1可得n ⃗ =(1,−1,−1)则cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√2×√3=√63又因为二面角C −D 1B 1−B 为锐角所以二面角C −D 1B 1−B 的余弦值为√63故D 正确 故选：AD ．12已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点坐标F (1,0)圆E:(x −1)2+y 2=1直线y =k (x −1)与C 交于AB 两点与E 交于MN 两点（AM 在第一象限）O 为坐标原点则下列说法中正确的是（ ） A OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B 若|AB |=4|MN |则k =±1 C OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ D |AM |⋅|BN |=1【答案】BCD 【分析】对于A ：将直线方程与抛物线方程联立消元后利用根与系数的关系再求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；对于C ：由于直线过圆心则由圆的性质可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0从而可进行判断；对于B 利用弦长公式求出|AB |而|MN |=2然后由题意列方程可求出k 的值；对于D ：由题意可得|AM |⋅|BN |=(|AE |−1)⋅(|BE |−1)再结合抛物线的性质化简计算即可 【详解】因为抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点坐标F (1,0)则p2=1 解得p =2可知抛物线C:y 2=4x对于选项A ：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 3,y 3),N(x 4,y 4) 联立方程{y =k(x −1)y 2=4x消去x 得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0 则Δ=(2k 2+4)2−4k 4=16(k 2+1)>0可得x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1) =(1+k 2)x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2=1+k 2−k 2⋅2k 2+4k2+k 2=−3 即OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3故A 错误； 对于选项C ：因为直线y =k (x −1)恒过圆心E(1,0)则OM ⊥ON 可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ 故C 正确； 对于选项B ：因为直线过抛物线的焦点(1,0)所以|AB |=x 1+x 2+2=4k 2+4 因为|MN |=2|AB |=4|MN |所以4k 2+4=8解得k =±1所以B 正确； 对于选项D ：因为直线过抛物线的焦点(1,0)所以|AM |⋅|BN |=(|AE |−1)⋅(|BE |−1)=(x 1+1−1)(x 2+1−1)=x 1x 2=1故D 正确； 故选：BCD三、填空题(共 12 分)13已知向量a ，b ⃗ 夹角为π4且|a |=1|b ⃗ |=√2则|2a +b ⃗ |=______． 【答案】√10 【分析】由|2a +b ⃗ |=√(2a +b⃗ )2再根据向量的运算律及数量积的定义求解即可+|b⃗|2=√10解：因为|2a+b⃗|=√(2a+b⃗)2=√4a2+4a b⃗+b⃗2=√4|a |2+4|a |⋅|b⃗|cosπ4故答案为：√1014直线l:y=kx−3与曲线C:√1−(y−2)2=x−1有两个交点则实数k的取值范围是______．【答案】(12,4]5【分析】根据题意分析可得曲线C是以(1,2)为圆心1为半径的右半圆结合图象分析求解【详解】由C:√1−(y−2)2=x−1可得(x−1)2+(y−2)2=1且x≥1所以曲线C是以(1,2)为圆心半径为1的右半圆直线l:y=kx−3过定点P(0,−3)斜率为k如图当直线过A(1,1)时可得k=1−(−3)=41−0当直线l:y=kx−3与曲线C相切时则=1√k2+1解得k=125,4]所以实数k的取值范围为(125,4]故答案为：(12515过抛物线y2=4x上的点P(1,t)且与圆(x−2)2+y2=1有且只有一个公共点的直线有______条．【答案】3由已知求出点P(1,2)或P(1,−2)先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率得出点斜式方程表示出圆心到直线的距离列出方程求解即可得出斜率进而得出直线方程【详解】由题意可知t2=4解得t=±2则点P(1,2)或P(1,−2)且圆(x−2)2+y2=1的圆心C(2,0)半径r=1①当点P(1,2)时当直线l斜率不存在时此时l方程为x=1与圆相切满足题意；当直线l斜率存在时设斜率为k1此时直线l方程为y−2=k1(x−1)即k1x−y−k1+2=0因为直线l与圆相切所以圆心C(2,0)到l的距离d1=r即11√k1+1=1√k1+1=1整理可得4k1+3=0解得k1=−34所以直线方程为3x+4y−11=0；②当点P(1,−2)时当直线l斜率不存在时此时l方程为x=1与圆相切满足题意；当直线l斜率存在时设斜率为k2此时直线l方程为y+2=k2(x−1)即k2x−y−k2−2=0因为直线l与圆相切所以圆心C(2,0)到l的距离d2=r即22√k2+1=2√k2+1=1整理可得4k2−3=0解得k2=34所以直线方程为3x−4y−11=0；综上所述：直线方程为x=1或3x+4y−11=0或3x−4y−11=0共有3条故答案为：316贵州榕江“村超”火爆全网引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”被列为国家级非物质文化蹴即踢鞠即球北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示顶点A 在底面的射影落在△BCD内它的体积为√32其中△BCD和△ABC都是边长为2的正三角形则该“鞠”的表面积为______．【答案】529π【分析】由线面垂直关系利用分割法求三棱锥体积由垂直关系结合球心性质找到球心位置再运算求解球半径即可【详解】如图取BC的中点E连接DEAE因为BC⊥DEBC⊥AE又DE⊂平面AEDAE⊂平面AEDDE∩AE=E所以BC⊥平面AEDBC⊂平面ABC所以平面ABC⊥平面AED同理可证平面BCD⊥平面AED设△BCD和△ABC的中心分别为H、F在平面AED内过F、H分别作AE,ED的垂线设交点为O即FO⊥AE,HO⊥ED又平面ABC∩平面AED=AE由面面垂直的性质定理可知：OF⊥平面ABC同理可得：OH⊥平面BCD即球心为O设“鞠”的半径为R连接OE则V A−BCD=V B−AED+V C−AED=13S△AED⋅BC即：√32=13×12AE⋅DE⋅sin∠AED⋅BC又因为BC=2AE=DE=√3所以sin∠AED=√32又顶点A 在底面的射影落在△BCD 内则∠AED =60° 由HE =FEOE 为公共边得Rt △OHE 与Rt △OFE 全等 则OE 为∠AED 的角平分线所以∠OEH =30° 在Rt △OEH 中因为EH =13DE =√33则OH =EH ⋅tan30°=13在Rt △OCH 中CH =2√33则R 2=OH 2+CH 2=(13)2+(2√33)2=139所以该“鞠”的表面积S =4πR 2=4π×139=529π故答案为：529π 四、证明题(共 6 分)如图S 为圆锥顶点O 是圆锥底面圆的圆心ABCD 为底面圆的两条直径AB ∩CD =O 且SO =3P 为母线SB 上一点SP =PB =52．17 求证：SA//平面PCD ； 18 求圆锥SO 的体积． 【答案】17 证明见解析 18 16π 【分析】（1）连结PO 由中位线性质有PO//SA 利用线面平行的判定定理即可证结论； （2）根据已知求底面半径进而求出底面积应用圆锥体积公式求体积 【17题详解】 连结PO 如图∵P 、O 分别为SB 、AB 的中点∵PO//SA 又PO ⊂平面PCD SA ⊄平面PCD ∵SA//平面PCD 【18题详解】 ∵PB =52P 为SB 的中点 ∵SB =5∵OB =√SB 2−SO 2=√52−32=4 则底面圆面积S 1=π×OB 2=16π∵圆锥体积V =13⋅S 1⋅SO =13×16π×3=16π 五、问答题(共 18 分)已知过抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点斜率为1的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)且|AB |=8．19 求该抛物线的方程；20 在抛物线C 上求一点D 使得点D 到直线x −y +3=0的距离最短． 【答案】19 y 2=4x 20 D(1,2) 【分析】（1）首先表示出直线l 的方程再联立直线与抛物线方程消去y 列出韦达定理再根据焦点弦公式计算可得；（2）设D(y 024,y 0)再利用点到直线的距离及二次函数求最小值即可得解 【19题详解】 如图由已知得焦点F(p2,0) ∵直线l 的方程为y =x −p2联立{y 2=2px y =x −p 2 消去y 整理得x 2−3px +p 24=0 设A (x 1,y 1)B (x 2, y 2)则x 1+x 2=3p|AB|=(x 1+p 2)+(x 2+p2)=x 1+x 2+p =4p =8p =2∵抛物线C 的方程为y 2=4x 【20题详解】 设D(y 024,y 0) 则D 到直线的距离d =|y024−y 0+3|√12+(−1)2=0204√2=024√2当y 0=2时d min =4√2=√2此时x =y 024=1所以D(1,2)在△ABC 中内角ABC 的对边分别为abc 点D 在边BC 上且点D 是靠近C 的三等分点∠DAB =90°．21 若B =45°△ADC 的面积为1求b ； 22 求tanAtanB的值． 【答案】21 √1022 −3【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得AB再求得BC的值利用余弦定理可求得b的值；（2）在△ACD中利用正弦定理以及诱导公式化简可得出tanAtanB的值【21题详解】如图因为BD=2DCB=45∘∠DAB=90∘则△ABD为等腰直角三角形且AB=AD因为BD=2DC所以S△ABD=2S△ADC=2所以S△ABD=12AB⋅AD=12AB2=2所以AB=AD=2则BD=√2AB=2√2CD=12BD=√2∴a=BD+CD=3√2在△ABC中由余弦定理可得:b2=a2+c2−2accosB=18+4−2×3√2×2×√22=10故b=√10【22题详解】在△ACD中由正弦定理可得ACsin∠ADC =CDsin∠DAC即bsin(90∘+B)=13asin(A−90∘)即bcosB=−a3cosA由正弦定理可得sinBcosB =−sinA3cosA所以tanB=−13tanA即tanAtanB=−3如图1四边形ABCD是梯形AB//CDAD=DC=CB=12AB=4点M在AB上AM=MB将△ADM 沿DM折起至△A′DM如图2点N在线段A′C上．图1 图223 若A ′C =2NC 求证：平面DNM ⊥平面A ′BC ； 24 若A ′C =2√6平面DNM 与平面CDM 夹角的正弦值为√55求A ′NA ′C 值．【答案】23 证明见解析 24 A ′NA ′C =23 【分析】（1）取DM 中点O 得DM ⊥A ′C 再根据线面垂直可得A ′C ⊥平面DMN 根据面面垂直的判定定理分析证明；（2）建立空间直角坐标系设A ′N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求两个平面的法向量根据向量夹角公式运算求解【23题详解】取DM 中点O 连接A ′O,CO,CM因为△A ′DM,△CDM 为等边三角形则A ′O ⊥DM,CO ⊥DM 且A ′O ∩CO =OA ′O,CO ⊂平面A ′CODM ⊥平面A ′CO 由A ′C ⊂平面A ′CO 所以DM ⊥A ′C 又因为DC =DA ′=4所以DN ⊥A ′C且DN ∩DM =DDN,DM ⊂平面DMN 所以A ′C ⊥平面DMN 又A ′C ⊂平面A ′BC 所以平面A ′BC ⊥平面DMN 【24题详解】由题意可得：OC =A ′O =2√3 且A ′C =2√6所以OC 2+A ′O 2=A ′C 2 可得OC ⊥OA ′而A ′O ⊥OD,CO ⊥OD以O 为坐标原点分别以OD,OC,OA ′所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz则D(2,0,0),M(−2,0,0),C(0,2√3,0),A ′(0,0,2√3)设A ′N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1) 则A ′N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3λ,−2√3λ)可得DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A ′N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3λ,2√3−2√3λ) 得N(0,2√3λ,2√3−2√3λ)所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3λ,2√3−2√3λ),MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,0) 设平面DMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z) 由{MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =4x =0DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =−2x +2√3λy +(2√3−2√3λ)z =0 令y =λ−1则x =0,z =λ可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,λ−1,λ) 由题意可知：平面DMC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1) 设平面DMN 与平面DMC 的夹角为θ∈(0,π2)则sinθ=√55,cosθ=√1−sin 2θ=2√55则cos θ=|cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√55即|√(λ−1)2+λ2|=25√5解得λ=23或λ=2（舍去） 所以A ′NA ′C =23六、解答题(共 6 分) 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．25 求椭圆C 的标准方程；26 若直线l 与椭圆C 相交于AB 两点与y 轴相交于M(0,m)点若存在实数m 使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求m 的取值范围． 【答案】25x 24+y 2=126 (12,1)∪(−1,−12) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；（2）根据直线l 是否存在斜率结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可 【25题详解】因为该椭圆的离心率为√32所以有c a=√32⇒c 2a 2=34⇒a 2−b 2a 2=34⇒b 2a 2=14(1)在方程x 2a 2+y 2b 2=1中令x =±c 解得y 2=b 2(1−c 2a 2)=b 4a 2⇒y =±b 2a 因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1 所以有b 2a −(−b 2a )=1(2)由(1),(2)可得：{a =2b =1所以椭圆的方程为x 24+y 2=1； 【26题详解】当直线l 不存在斜率时由题意可知直线与椭圆有两个交点与纵轴也有两个交点不符合题意； 当直线l 存在斜率时设为k 所以直线l 的方程设为y =kx +m于是有{x 24+y 2=1y =kx +m⇒(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0因为该直线与椭圆有两个交点所以一定有Δ=64k 2m 2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0 化简得4k 2−m 2+1>0设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)于是有x 1+x 2=−8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2−41+4k 2因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB⃗⃗⃗⃗⃗ =4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以(x 1,y 1)+3(x 2,y 2)=4(0,m )⇒x 1+3x 2=0⇒x 1=−3x 2 代入x 1+x 2=−8km1+4k 2中得−3x 2+x 2=−8km1+4k 2⇒x 2=4km1+4k 2 于是有(−3x 2)⋅x 2=4m 2−41+4k 2⇒−3(4km1+4k 2)2=4m 2−41+4k 2化简得k 2=m 2−14−16m 2代入4k 2−m 2+1>0中得4⋅m 2−14−16m 2−m 2+1>0⇒14<m 2<1⇒m ∈(12,1)∪(−1,−12)【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB⃗⃗⃗⃗⃗ =4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得到x 1=−3x 2 七、证明题(共 6 分)已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为y =±x 左焦点为F 左顶点M 到双曲线E 的渐近线的距离为1过原点的直线与双曲线E 的左、右支分别交于点C 、B 直线FB 与双曲线E 的左支交于点A 直线FC 与双曲线E 的右支交于点D ．27 求双曲线E 的方程；28 求证：直线AD 过定点．【答案】27 x 22−y 22=128 证明见解析【分析】（1）由条件列关于a,b,c 的方程解方程求a,b,c 由此可得双曲线方程；（2）设B (x 0,y 0),C (−x 0,−y 0)分别联立直线FBFC 与双曲线方程结合关于系数关系求点A 和点D 坐标利用点斜式表示直线AD 的方程再证明直线过定点【27题详解】设双曲线的半焦距为c 则F (−c,0)因为双曲线E 的渐近线为y =±x 则a =b又因为左顶点M (−a,0)到双曲线E 的渐近线y =±x 的距离为√2=1 解得a =√2则b =√2,c =√a 2+b 2=2所以双曲线E 的方程为x 22−y 22=1．【28题详解】设B (x 0,y 0),C (−x 0,−y 0)若y 0=0则x 0=√2 故B(√2,0),C(−√2,0),A(−√2,0),D(√2,0) 直线AD 的方程为y =0；若y 0≠0设直线FB 的方程为x =x 0+2y 0y −2 直线FB 的方程与双曲线E:x 22−y 22=1联立 [(x 0+2)2y 02−1]y 2−4(x 0+2)y 0y +2=0．又x 02−y 02=2则(2x 0+3)y 2−2(x 0+2)y 0y +y 02=0 所以y 0y A =y 022x0+3即y A =y 02x 0+3,x A =−3x 0−42x 0+3． 同理y D =−y0−2x 0+3,x D =3x 0−4−2x 0+3 则k AD =y 02x 0+3−−y 0−2x 0+3−3x 0−42x 0+3−3x 0−4−2x 0+3=y 0(−2x 0+3)+y 0(2x 0+3)(−3x0−4)(−2x 0+3)−(3x 0−4)(2x 0+3)=−3y 0x 0 则直线AD 方程为y −y 02x 0+3=−3y 0x 0(x −−3x 0−42x 0+3)令y =0则12x0+3=3x 0(x −−3x 0−42x 0+3) 即x =x3(2x 0+3)+−3x 0−42x 0+3=−4(2x 0+3)3(2x 0+3)=−43 所以直线AD 过定点(−43,0)．。

重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期11月月考数学

重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期11月月考数学

重庆八中高2027级高一（上）11月月考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题2x ∀>，210x +≤的否定是（）A ．2x ∃≤，210x +≥B ．2x ∃>，210x +>C ．2x ∃≤，210x +>D ．2x ∃>，210x +≥2．已知函数()f x 的定义域为[]4,2-，则函数(1)2f x y x +=+的定义域为（）A ．()()5,22,1---B ．[)(]5,22,1---C ．()()3,22,3--- D ．[)(]3,22,3--- 3．把函数()y f x =的图象向左，向下分别平移2个单位，得到2x y =的图象，则()f x 的解析式是()A ．()222x f x +=+B ．()222x f x +=-C ．()222x f x -=+D ．()222x f x -=-4．已知3m >，则43m m +-的最小值为（）A ．1B ．3C ．5D ．75．已知函数2()321f x x ax =-+在[1,2]-上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．(,3)-∞-B ．(,3]-∞-C ．(6,)+∞D ．[6,)+∞6．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()321f x x x =++，则0x <时，()f x 的解析式为（）A ．3()21(0)f x x x x =---<B ．3()21(0)f x x x x =--+<C ．3()21(0)f x x x x =+-<D ．3()21(0)f x x x x =-++<7．设R a ∈，若[]1,2x ∃∈，使得关于x 的不等式210x ax -+≥有解，则a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，如[]1.21=，[]22=，[]1.22-=-，令()[]f x x x =-，则下列选项正确的是（）A ．()1.10.1f -=-B ．1133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()11f x f x +=+D ．函数()f x 的值域为[)0,1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知幂函数()()222m mf x m x -=-，则（）A ．1m =B ．()f x 的定义域为R C ．()()f x f x -=-D ．将函数()f x 的图像向左平移1个单位长度得到函数()3(1)g x x =-的图像10．已知x ，y 都为正数，且24x y +=，则下列说法正确的是（）A ．2xy 的最大值为4B ．224x y +的最小值为12C ．21y x +的最小值为94D 11．函数()y f x =的定义域为[1,0)(0,1]-⋃，其图象上任一点(,)P x y 满足||||1x y +=．则下列命题中正确的是（）A ．函数()y f x =可以是奇函数；B ．函数()y f x =一定是偶函数；C ．函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数；D ．若函数()y f x =值域是(1,1)-，则()y f x =一定是奇函数．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．13213410.125()25627--+---=.13．已知全集为R ，集合{|2121}A x a x a =-≤≤+，523B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，若x B ∈是x A ∈的必要条件，则实数a 的取值范围是.14．已知函数2()|67|f x x x =-+在[1,](1)m m >上的最大值为A ，在[,21]m m -上的最大值为B ．①当15m <≤时，A =②若2≥A B ，则实数m 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知全集为R ，集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合{}2|60B x x x =+-<.(1)若2m =，求A B ，R A B ð；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.16．已知函数2()(,,R)f x ax bx c a b c =++∈.(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|4x x <-或2}x >，求关于x 的不等式2240bx ax c -+>的解集；(2)当22b a =-=-，3c =时，函数()f x 在[,1]t t +上的最小值为6，求实数t 的值.17．已知函数()23261x a f x x +-=+是奇函数.(1)求函数()f x 的表达式；(2)用定义法讨论函数()f x 的单调性.18．已知定义域在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足：()()()4f xy f x f y =+-，且当1x >时，()4f x >.(1)求(1)f ，(1)f -的值；(2)证明()f x 是偶函数；(3)解不等式(2)(2)(1)4f f x f x ++<-+.19．若函数Q 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y =-，则称函数Q 是在m x n ≤≤上的“平稳函数”．(1)函数①1y x =+；②2y x =；③2y x =，其中函数______是在12x ≤≤上的“平稳函数”（填序号）；(2)已知函数()2:230Q y ax ax a a =--≠．①当1a =时，函数Q 是在1t x t ≤≤+上的“平稳函数”，求t 的值；②已知函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->，若函数Q 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“平稳函数”，且存在整数k ，使得maxminy k y，求a 的值．1．B【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】由题意知，“22,10x x ∀>+≤”的否定为“22,10x x ∃>+>”.故选：B 2．B【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可.【详解】因为()f x 的定义域为[]4,2-，则[]14,2x +∈-，即[]5,1x ∈-,所以()1f x +的定义域为[]5,1-，又20x +≠，所以函数(1)2f x y x +=+的定义域为[)(]5,22,1--⋃-.故选：B 3．C【分析】直接求解：把函数y=f （x ）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f （x+2）-2，根据题意可得f （x+2）-2=2x ，从而可求f （x ）【详解】∵把函数y=f （x ）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f （x+2）-2∴f （x+2）-2=2x∴f （x+2）=2x +2=2x+2-2+2则f （x ）=2x-2+2故选C ．【点睛】本题主要考查了函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减的应用，要注意解答本题时的两种思维方式.4．D【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】当3m >时，44333733m m m m +=-++≥=--，当且仅当5m =时取等号，所以43m m +-的最小值为7.故选：D 5．D【分析】根据二次函数的性质即可根据23a≥求解.【详解】2()321f x x ax =-+为开口向上的二次函数，且对称轴为3a x =，由于函数在[1,2]-上单调递减，故23a≥，解得6a ≥，故选：D 6．C【分析】利用奇函数的定义计算即可.【详解】因为知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()321f x x x =++，令0x ->，则()()()()()()3321210f x x x f x f x x x x -=-+-+=-⇒=+-<.故选：C 7．B【分析】分离参数结合对勾函数的性质计算即可.【详解】关于x 的不等式210x ax -+≥有解等价于1a x x+≤在[]1,2上有解，由对勾函数的性质可知1y x x =+在[]1,2上单调递增，即max 115222x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以52a ≤.故选：B 8．D【分析】代入具体值即可判断选项A ，B ；对于C 选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D 选项在一个周期的范围内分析出其值域即可.【详解】对于A ，()[]()1.1 1.1 1.1 1.120.9f -=---=---=，故A 错误；对于B ，11111033333f ⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，11112133333f ⎛⎫⎡⎤-=---=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即1133f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，()()11[1]1[]1[]f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=，故C 错误；对于D ，由C 知，()f x 为周期函数，且周期为1，不妨设01x ≤≤，当0x =时，()[]0000f =-=，当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=，此时值域为()0,1，当1x =时，()[]11110f x =-=-=，故当01x ≤≤时，有0()1f x ≤<，故函数()f x 的值域为[0,1)，故D 正确.故选：D.9．BC【分析】由幂函数的系数为1可求得m 、()f x ,则A 选项可判定;由()f x 解析式可求定义域，则B 选项可判定;由()f x 的奇偶性可判定是否满足()()f x f x -=-，则C 选项可判定;把()3f x x =中的x 用1x +代可得向左平移1个单位长度后函数，则D 选项可判定.【详解】由幂函数的定义可知21m -=，所以3m =，所以()3f x x =，故A 选项错误；由()3f x x =可知其定义域为R ，故B 选项正确；()3f x x =为奇函数，所以()()f x f x -=-，故C 选项正确；将()3f x x =的图像向左平移1个单位长度得到函数3(1)y x =+的图像，故D 选项错误；故选：BC.10．ACD【分析】根据给定条件，艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.【详解】正数x ，y ，满足24x y +=，对于A ，2222(42x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当22x y ==取等号，A 正确；对于B ，22222(2)(2)1(2)8224x x y x y x y y ++=≥++-=，当且仅当22x y ==取等号，B 错误；对于C ，211211229(2)()(5)444x y x y y x y x y x +=+=++≥，当且仅当43x y ==取等号，C 正确；对于D ≤=22x y ==取等号，D 正确.故选：ACD 11．AD【分析】结合()f x 的奇偶性、值域等知识确定正确答案.【详解】由()f x 的定义域是[1,0)(0,1]-⋃，得当0x ≠时，1,11,1x y y x y +==-≠≠±，当1x =±时，1,10,0x y y x y +==-==，当100x y -<<⎧⎨>⎩时，1,1x y y x -+==+，当100x y -<<⎧⎨<⎩时，1,1x y y x --==--，当010x y <<⎧⎨>⎩时，1,1x y y x +==-+，当010x y <<⎧⎨<⎩时，1,1x y y x -==-，所以()f x的图象有如下四种情况：根据图象知AD 正确，BC 错误.故选：AD 12．15-【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值.【详解】133421344110.125()25620.549449641572⨯--+---=+--=-=-.故答案为：15-13．314a <<【分析】根据分式不等式的求解化简求解B ,即可将必要条件转化为A B ⊆，进而列不等式可求解.【详解】由523B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭可得1210332x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-+=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，由于x B ∈是x A ∈的必要条件，故A B ⊆,因此1212213a a ⎧<-⎪⎨⎪+<⎩，解得314a <<，故答案为：314a <<14．23[32【分析】分段讨论求出函数()f x 的最大值A ；求出1B ≤及()1f x =时根，画出图形，数形结合求出m 的范围.【详解】函数2267,(,3[3)()67,(3x x x f x x x x ∞∞⎧-+∈--⋃+⎪=⎨-+-∈-+⎪⎩，①当13m <≤-时，函数()f x 在[1,]m 上单调递减，max ()(1)2f x f ==；当33≤m 时，函数()f x 在[1,3上递减，在[3]m 上递增，max ()(1)2f x f ==；当33m <≤+()f x 在[1,3上递减，在[3上递增，在[3,]m 上递减，max ()(1)(3)2f x f f ===；当当35m +≤时，函数()f x 在[1,3上递减，在[3上递增，在[3,3上递减，在[3]m 上递增，max ()(1)(3)2f x f f ===，而(5)2f =，所以2A =；②要使2≥A B ，则1B ≤，令()1f x =，解得：13x =22x =，34x =，43x =，由图得，要使函数2()|67|f x x x =-+在[],21m m -上的最大值为B ，且1B ≤，则3212m m ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩或4213m m ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩332m ≤≤，当5m >时，由图知，2()|67|f x x x =-+在[1,](1)m m >上最大值2()670A f m m m ==-+>，在[,21]m m -上单调递增，最大值(21)()0B f m f m A =->=>，2≥A B 不可能成立，所以实数m的取值范围是3[3]2，故答案为：2；3[3]2.【点睛】关键点点睛：求出方程()1f x =的根，画出函数图象，数形结合是求解本问题第2问的关键.15．(1){}23x x ≤≤(2)32m <【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据补集的定义求出B R ð，最后根据交集的定义计算即可；（2）由A B B = 得A B ⊆，分集合A 为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）{}{}2|6032B x x x x x =+-<=-<<，当2m =时，{}13A x x =≤≤，{}33A B x x ⋃=-<≤，{}32R B x x x =≤-≥或ð，{}23R A B x x ⋂=≤≤ð；（2） A B B = ，∴A B ⊆，当A =∅时，121m m ->-，解得0m <；当A ≠∅时，121,13,212,m m m m -≤-⎧⎪->-⎨⎪-<⎩解得302≤<m ；综上，32m <.16．(1){}12x x -<<(2)2t =-或3．【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理2,8,0b a c a a ==-<，即可将不等式2240bx ax c -+>变形为220x x --<求解；（2）先由对称轴结合最值得出1t >或0t <，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数t 的值．【详解】（1）由于()0f x <的解集为{|4x x <-或2}x >，故4x =-和2x =是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，故42420b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，解得2,8,0b a c a a ==-<，故2240bx ax c -+>变形为()()22448020210ax ax a x x x x -->⇒--<⇒-+<，解得12x -<<，故不等式的解为{}12x x -<<（2）当22b a =-=-，3c =时，22()23(1)2=-+=-+f x x x x ，则对称轴方程为1x =，由于()126f =≠，故1t >或11t +<，即1t >或0t <，当1t >时，最小值2()(1)26f t t =-+=，解得3t =，当0t <时，最小值2(1)26f t t +=+=，解得2t =-，综上：2t =-或3．17．(1)()231xf x x =+(2)()f x 在()1,1-上单调递增，在(),1∞--和()1,+∞上单调递减【分析】（1）根据()00f =求解出a 的值，然后检验即可，由此可求()f x 的表达式；（2）先取值，然后将()()12f x f x -因式分解并判断出其正负，由此可分析出()f x 的单调性.【详解】（1）据题意，()f x 是定义域为R 的奇函数，则()0260f a =-=，解得3a =，所以()()()()()222333,111x x x f x f x f x x x x -=-==-=-++-+，所以()f x 是奇函数，故3a =符合要求，所以()231x f x x =+.（2）12,x x ∀∈R ，且12x x <，则()()()()()()2212211212222212123131331111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()12211221122222121233311111x x x x x x x x x x x x x x -+---==++++，因为12x x <，所以2221120,10,10x x x x ->+>+>，所以()()()2122123011x x x x ->++，当1210x x ->时，即11x >或21x <-时，则()()()()2112221231011x x x x x x -->++，所以()()120f x f x ->，所以()()12f x f x >，此时()f x 单调递减；当1210x x -<，即1211x x -<<<时，则()()()()2112221231011x x x x x x --<++，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，此时()f x 单调递增；综上所述，()f x 在()1,1-上单调递增，在(),1∞--和()1,+∞上单调递减.18．(1)()()14,14f f =-=；(2)证明见解析；(3)()()5,22,1--⋃--【分析】（1）令1x y ==和1x y ==-计算即可；（2）令1y =-结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可；（3）令21121,,0x x x y x x x ==<<，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式.【详解】（1）令1x y ==，则()()()()111414f f f f =+-⇒=；令1x y ==-，则()()()()111414f f f f =-+--⇒-=；（2）易知函数定义域关于原点对称，令1y =-，则()()()()14f x f x f f x -=+--=，满足偶函数的定义，证毕；（3）令21121,,0x x x y x x x ==<<，易知221114x x f x x ⎛⎫>⇒> ⎪⎝⎭，则()()()()22211221111440x x x f x f x f f x f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=⇒-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在0,+∞上单调递增，又()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，所以()()()()()()()2214224241f f x f x f f x f x f x ++<-+⇔++-=+<-，则0241x x <+<-，()()2220416162165150x x x x x x x x <++<-+⇒++=++<，即51x -<<-，即不等式的解集为()()5,22,1--⋃--.19．(1)①(2)①0t =或1t =；②164【分析】（1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可；（2）①求出二次函数的对称轴，然后分1t >，112t ≤≤，102t ≤<和0t <四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用max min 1y y =-列方程可求出t 的值；②由二次函数的性质可知当221m x m +≤≤+时，y 随x 的增大而增大，从而可求出max y ，min y ，然后由max miny k y =为整数可求出m ，再由max min 1y y =-列方程可求出a .【详解】（1）对于①1y x =+在[]1,2上单调递增当1x =时，2y =，当2x =时，3y =，∴max min 1y y =-，符合题意；对于②|2|y x =在[]1,2上单调递增当1x =时，2y =，当2x =时，4y =，∴max min 1y y ≠-，不符合题意；对于③2y x =在[]1,2上单调递增当1x =时，1y =，当2x =时，4y =，∴max min 1y y ≠-，不符合题意；故①是在12x ≤≤上的“平稳函数”；（2）①二次函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->为223y x x =--，对称轴为直线1x =，223y x x =--在1,+∞上单调递增，在(),1∞-上单调递减，当x t =，2123y t t =--，当1x t =+时，()()22212134y t t t =+-+-=-，当1x =时，34y =-．若1t >，223y x x =--在[],1t t +上单调递增，则()22214231y y t t t -=----=，解得1t =（舍去）；若112t ≤≤，223y x x =--在[],1t 上单调递减，在(]1,1t +上单调递增，则()223441y y t -=---=，解得1t =-（舍去），1t =；若102t ≤<，223y x x =--在[],1t 上单调递减，在(]1,1t +上单调递增，则()()2132341y y t t -=----=，解得0t =，2t =（舍去）；若0t <，223y x x =--在[],1t t +上单调递减，则()22122341y y t t t -=----=，解得0t =（舍去）．综上所述，0t =或1t =；②易知，二次函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->对称轴为直线1x =，又221m x m +≤≤+ ，且221m m +<+1m ∴>，3221m x m ∴<+≤≤+，当221m x m +≤≤+时，2:23(0)Q y ax ax a a =-->在[]2,21m m ++上单调递增当21x m =+时取得最大值，2x m =+时取得最小值，∴2max 2min (21)2(21)34484(2)2(2)333y a m a m a m k y a m a m a m m +-+-+====-+-+-++m ，k 为整数，且1m >，38m ∴+=，即m 的值为5，又∵max min 1y y =-，()()()()22101210135225231a a a a a a ⎡⎤∴+-+--+-+-=⎣⎦，164a ∴=．。

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题二(终版答案)

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题二(终版答案)

x +1 2 x +1 −2 0 −x +5 0 x −5 0，
x−2
x−2
x−2
x−2
所以
(
x
− 5)( x
−
2)
0,
解得
x
2
或
x
5
A
=
x
x
2或
x
5 ，
x − 2 0,
B = x −x2 + x + 6 0 ， B = x x −2 或 x 3 ，
A B = x x −2 或 x 5
f (x)max = max f (1), f (a +1).
又 f (1) − f (a +1) = 6 − 2a − (6 − a2 ) = a(a − 2) 0, 所以 f (x)max = f (1) = 6 − 2a. 因为对任意的 x1, x2 [1, a +1] ，总有 f (x1) − f (x2 ) 3 ， 所以 f (x)max − f (x)min 3 ，即 6 − 2a − (−a2 + 5) 3 ，解得1− 3 a 1+ 3 ， 又因为 a 2 ，所以 2 a 1+ 3 ，即实数 a 的取值范围为[2,1+ 3].
重庆八中高 2023 级国庆假期数学作业(二)答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
D
A
D
D
C
C
7
8
9(多选) 10(多选) 11(多选) 12(多选)
C
A
BD
AD
ABD
ABC
二、填空题
13
14
15

重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期作业试卷数学试题二含答案

重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期作业试卷数学试题二含答案

重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(二)满分：150分 测试时间：120分钟姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、 选择题（共12题，1~8题为单选题，每题5分，9~12题为多选题，全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分，共60分）1．已知全集U =R ，集合,A B 满足A B ，则下列选项正确的有( )A ．AB B = B ．A B B =C ．()U A B =∅ D ．()UAB =∅2．已知集合,A B 均为全集{}=1,2,3,4U 的子集，且(){}{}4,B 1,2UA B ==，则UAB 等于( )A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．∅3．函数13y x =-的定义域为( ) A ．(3,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．[1,3)D ．[1,3)(3,)+∞4．若函数()f x 满足关系式3()2(1)f x f x x +-=-，则()2f 的值为( )A ．32-B ．32 C ．52-D ．525．已知集合(){},1,,,A x y x y x y =+=∈R (){}22,5,,B m n mn m n =+=∈Z ，则A B 的子集个数是( )A ．1B ．2C ．4D ．86．下面命题错误．．的是( ) A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的否定是“存在1x <,则21x ≥”C ．设,x y ∈R ,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件7．已知函数()f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．[]-3,0B ．[]0,3C ．[]-3,3D ．[]3,128．已知函数22,01,()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()2()f x a a =+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A ．(2,1)--B ．(2,1]--C ．(0,1)D ．[0,1)9．【多选题】“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．01a <<B ．01a ≤≤C ．102a <<D ．0a ≥10．【多选题】如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点(3,0)A -，且对称轴为1x =-，则以下选项中正确．．的为( ) A ．24b ac > B ．21a b -=C ．0a b c -+=D ．5a b <11．【多选题】已知函数2()(1)1a x f x x x =≥+-的值域为[),m +∞，则实数a 与实数m 的取值可能为( )A ．0,0a m ==B ．1,1a m ==C ．3,3a m ==D ．2,2a m ==12．【多选题】设,a b 均为正数，且+2=1a b ，则下列结论正确．．的是( ) A ．ab 有最大值18B ．2a b +有最大值2C ．22a b +有最小值15D ．22a b -有最小值14-二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．已知函数(21)f x -的定义域为(0,1)，则函数(13)f x -的定义域是____________．14．若正数,a b 满足1a b +=，则212a b+的最小值为____________． 15．已知2((),)()(31)14,1x f x a x ax x a ⎧=⎨-≥⎩-+<是定义在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是____________．16．关于x 的不等式组22202(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则实数k的取值范围是____________．三、解答题（共6题，共70分）17．(10分) 已知全集U =R ，集合{}21=2,B 602x A xx x x x ⎧+⎫≤=-++<⎨⎬-⎩⎭．(1)求A B ；(2)求()()UU A B ．18．(12分) 设集合2{|230}A x x x =+-<，集合{}||1B x x a =+<． (1)若3a =，求AB ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围．19．(12分) 已知函数2()22(0)f x ax ax a a =-++<，若()f x 在区间[2,3]上有最大值1． (1)求a 的值；(2)若()()g x f x mx =-在[2,4]上单调，求数m 的取值范围．20．(12分) 已知集合{}{}222=680,430A x x x B x x ax a -+<=-+<．(1)若{}34A B x x =<<，求实数a 的值； (2)若A B =∅，求实数a 的取值范围．21．(12分) 已知函数4()f x x x=+． (1)用函数单调性的定义证明()f x 在区间[2,)+∞上为增函数；(2)解不等式：2(24)(7)f x x f -+≤．22．(12分) 已知二次函数2()25f x x ax =-+，其中1a >． (1)若函数()f x 的定义域和值域均为[1,]a ，求实数a 的值；(2)若函数()f x 在区间(,2]-∞上单调递减，且对任意的12,[1,1]x x a ∈+，总有12()()3f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．重庆八中高2023级国庆假期数学作业(二)答案一、选择题二、填空题17.【解答】解：（1）因为122x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，122x x +≤⇔-1202x x +-≤-⇔502x x -+≤-502x x -⇔≥-， 所以()()520,20,x x x --≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩解得2x <或5x ≥∴{2A x x =<或}5x ≥，{}260B x x x =-++<，∴{2B x x =<-或}3x >，∴{2A B x x ⋂=<-或}5x ≥（2）{2A x x =<或}5x ≥，U R =∴{}25UA x x =≤<{2B x x =<-或}3x > ∴{}23UB x x =-≤≤∴()(){}25U U A B x x ⋃=-≤<18. 【解答】解：（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-．3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，(4,2)B ∴=--． (4,1)A B ∴⋃=-．（2）由||1x a +<，解得11a x a --<<-．(1,1)B a a ∴=---．p 是q 成立的必要条件，∴1311a a ---⎧⎨-⎩， 解得：02a ．∴实数a 的取值范围是[0,2]．19. 【解答】解：（1）函数的图象是抛物线，0a <，∴ 函数图象开口向下， 对称轴是直线1x =, ∴ 函数()f x 在[]2,3单调递减，∴ 当2m ≥时, max (2)21,y f a ==+=∴ 1a =-（2）1a =-，∴ 2()21,f x x x =-++∴ 2()()(2)1,g x f x mx x m x =-=-+-+()g x 的图象开口向下，对称轴为直线22mx -=， []()2,4g x 在上单调 ∴ 2-22,4,22m m-≤≥或 从而6m ≤-或2m ≥-m ∴的取值范围为(,6][2,)-∞-⋃-+∞20. 【解答】解：{}2680A x x x =-+< {24}A x x ∴=<<（1） 当0a >时，{3}B x a x a =<<，应满足：334a a =⎧⎨≥⎩，解得3a =； 当<0a 时，{3}B x a x a =<<，应满足：324a a =⎧⎨≥⎩ ，解得a ∈∅. 当0a =时，B =∅，A B ⋂=∅，舍去；3a ∴=时， {34}A B x x ⋂=<<.（2） 要满足A B ⋂=∅，当0a >时，{3}B x a x a =<<，应满足：4a ≥ 或 32a ≤.203a ∴<≤或 4a ≥. 当0a <时，{3}B x a x a =<<，应满足：2a ≤ 或 34a ≥ 0a ∴<时成立.当0a =时，B =∅，满足A B ⋂=∅.0a ∴=时也成立综上所述，23a ≤或 4a ≥时，A B ⋂=∅.21.【解答】（1）证明：任取12,[2,)x x ∈+∞ 且12x x <, 则有：()()()()()()2112121212121212124444x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122x x ≤< 12120,4x x x x ∴-<>()()120f x f x ∴-<, 即()()12f x f x <,4()f x x x∴=+在[2,)+∞上为增函数. （2）解：2242x x -+≥ 结合（1）得()f x 在[2,)+∞上递增，2247x x ∴-+≤ 解得： 13x -≤≤ 故不等式得解集是[-1,3]22.解：（1）因为()f x 在(,]a -∞上为减函数，所以()f x 在[1,]a 上单调递减，即在[1,]a 上，max min ()(1),()()1f x f a f x f a ====.所以有22125125a a a a =-+⎧⎨=-+⎩，所以2a =， 所以实数a 的值为2.（2）因为()f x 在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥，所以()f x 在[1,]a 上单调递减，在[,1]a a +上单调递增，又因为()f x 的对称轴为x a =，所以{}2min max ()()5,()max (1),(1).f x f a a f x f f a ==-+=+又2(1)(1)62(6)(2)0,f f a a a a a -+=---=-≥所以max ()(1)62.f x f a ==-因为对任意的12,[1,1]x x a ∈+，总有12()()3f x f x -≤，所以max min ()()3f x f x -≤，即262(5)3a a ---+≤，解得11a ≤≤+又因为2a ≥，所以21a ≤≤a的取值范围为[2,1+。

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版)

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版)

重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(一)满分：150分 测试时间：120分钟姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、 选择题（共12题，1~8题为单选题，每题5分，9~12题为多选题，全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分，共60分）1．已知集合{}2|1M x x ==，{}|2N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为( ) A ．{}2 B ．{}2,2− C ．{}2,0−D ．{}2,2,0−2．已知集合{}2,0A =，{}|,,B z z x y x A y A ==+∈∈ ，则集合B 的非空子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．83．一元二次方程()24005ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a < B ．0a > C ．2a <−D ．1a >4．已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a −+<<的解集为12(,)x x ，则1212ax x x x ++的最大值是( ) A．3 B．3−C．3D．3−5．设集合{}2|60A x x x =−>−，{}0|()(2)B x x k x k =−−−<，若A B ≠∅，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}21|k k k <−>或 B ．{}|21k k −<< C ．{}43|k k k <−>或D ．{}|43k k −<<6．下列各式：①212a a +>；②12xx +≥2≤；④22111x x +≥+. 其中正确．．的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．已知函数()1(1)3(1)f x x x x x +≤⎧=⎨−+>⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A ．12 B ．32 C ．52D ．728．设0c <，()f x 是区间[],a b 上的减函数，下列命题中正确．．的是( ) A ．()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + B ．()f x 在[],a b 上有最小值()f a C ．()f x c −在[],a b 上有最小值()f a c − D ．()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a9．【多选题】若01,1a b c <<>>，则下列结论中正确．．的有( ) A ．111a b c>++ B ．c a cb a b−>−C >D ．21b a −>−10．【多选题】设[]x 表示不大于实数x 的最小整数（例如：[2.5]2=，[2.2]3−=−），则满足关于x 的不等式2[][]120x x +−≤的解可以为( ) AB．C ．π−D ．5−11．【多选题】下列说法中正确．．的有( ) A ．命题“32,1x x x ∀∈>+R ”的否定是“32,1x x x ∃∈<+R ”B ．若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x −<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)−∞−+∞C ．22,421x ax x x ∀∈+≥−R 恒成立，则实数a 的取值范围是[6,)+∞D ．已知211:3,:()10(0)2p x q x a x a a≤≤−++≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞12．【多选题】已知函数2()(,)f x x mx n m n =++∈R ，不等式()x f x <的解集为(,1)(1,)−∞+∞，则( )A ．1,1m n =−=B ．设()()f x g x x=，则()g x 的最小值为(1)1g = C ．不等式()(())f x f f x <的解集为(,0)(0,1)(1,)−∞+∞D ．已知31,42()1(),2x h x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若()(22)h x h x <+，则x 的取值范围是3(,)4−+∞二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．函数11y x=−的定义域是________________．14．已知函数11x f x x −⎛⎫=⎪+⎝⎭，则(3)f 的值为________________． 15．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，则购买________________张游泳卡最合算．16．若不等式2322x ax a −−≤+≤−有唯一解，则实数a 的值为________________．三、解答题（共6题，共70分）17．(10分) 设全集为{}{}22,430,0(0)A x x x B x x a a =−+≤=−<>R ． (1)当4a =时，求,A B A B ；(2)若B A ⊆R，求实数a 的取值范围．18．(12分) 已知关于x 的不等式2430ax x −+<的解集为{}1x x b <<． (1)求,a b 的值； (2)解关于x 的不等式12bx ax −≤+．19．(12分) 已知函数()23f x x =−． (1)解不等式2()f x x <；(2)设函数()()g x x f x =−的最大值为m ，设正实数,a b 满足2a b m +=，求141a b++的最小值．20．(12分) 学校里两条相互垂直的道路,AM AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求点,B P 在AM 上，点,D Q 在AN 上，且PQ 过点C ，其中100,30,20AM AN AB AD ====，如图，记三角形花园APQ的面积为S ．(1)设(0)DQ x x =>，建立三角形花园APQ 的面积S 关于x 的表达式及S 的最小值； (2)要使三角形花园APQ 的面积不小于1600，请问DQ 的长应该在什么范围内?21．(12分) 已知命题2000:[1,1],0p x x x m ∃∈−−−≥是假命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(3)(2)0x a x a −−−<的解集为A .若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．22．(12分) 已知函数22()(0)6kxf x k x k=>+．(1)若()f x m >的解集为{}32x x x <−>−或，求不等式2530mx kx ++>的解集； (2)若存在3x >，使得()1f x >成立，求k 的取值范围．。

重庆市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

重庆市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

2023年重庆高2026届高一上期10月月考数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.命题“0,320x x ∀>->”的否定是（）A.000,320x x ∃>-≤B.000,320x x ∃≤-≤C.0,320x x ∀≤->D.0,320x x ∀>-≤【答案】A 【解析】【分析】由特称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可确定答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为000,320x x ∃>-≤.故选：A2.已知集合{}()2|20,{|30}A x x x B x x x =--≤=->，则A B ⋃=（）A.[]0,2 B.(]0,2 C.[)1,3- D.[]1,3-【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求解集，再由集合的并运算求集合.【详解】由题设{}|12,{|03}A x x B x x =-≤≤=<<，则{|13}[1,3)A B x x =-≤<=- .故选：C3.若102x <<的最大值是（）A.14B.24C.12D.22【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式求积的最大值.21224x x +-=≤=，当且仅当12124x x x =-⇒=时等号成立.4.故选：B4.如图，已知全集U =R ，集合{}{}2Z |90,|20A x x B x x =∈-≤=-≥，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.7B.6C.5D.4【答案】C 【解析】【分析】解一元二次、一元一次不等式求集合，再由阴影部分的集合为()U A B ð，应用交补运算求集合，即可得答案.【详解】由题设{}{}Z |33{3,2,1,0,1,2,3},|2A x x B x x =∈-≤≤=---=≥，由图知：阴影部分为()U A B ð，而{}|2U B x x =<ð，则(){3,2,1,0,1}U A B =--- ð，所以阴影部分共有5个元素.故选：C5.设实数,a b 满足111b a>>，则下列不等式一定成立的是（）A.a b <B.2ab b <C.11a ab b +<+ D.1a b ab +<+【答案】D 【解析】【分析】先由题设不等式可得01b a <<<，故可判断A 的正误，利用作差法可判断BCD 的正误，故可得正确的选项.【详解】因为111b a>>，故01b a <<<，故A 错误.又0a b ->，故()20ab b b a b -=->，故2ab b >，故B 错误.又110b +>>，()()()()1110111a b b a a a a b b b b b b b +-++--==>+++，故11a ab b +>+，故C 错误.又()11(1)(1)(1)ab a b a b b a b +--=---=--，由01b a <<<可得10,10a b -<-<，故()()110a b -->，故10ab a b +-->即1ab a b +>+，故D 正确.故选：D.6.已知:p “()2()3x m x m ->-”是:q “2340x x --≤”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.][(),44,-∞-⋃+∞ B.()(),44,∞∞--⋃+C.()4,4- D.[]4,4-【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求,q p 为真对应x 的范围，根据必要不充分条件求参数范围.【详解】由()2:()3()[(3)]0p x m x m x m x m x m ->-⇒--+>⇒<或3x m >+，由2:340(4)(1)014q x x x x x --≤⇒-+≤⇒-≤≤，又p 是q 成立的必要不充分条件，则q p ⇒且p ¿q ，所以4m >或314m m +<-⇒<-，故m 的取值范围为()(),44,∞∞--⋃+.故选：B7.已知集合{}2|10,R ,{|0}A x x ax x B x x =-+=∈=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为（）A.2a <B.22a -<<C.2a >- D.2a ≥【答案】A 【解析】【分析】由题设2()10f x x ax =-+=在(0,)+∞上无解，结合二次函数性质求参数范围即可.【详解】对于2()1f x x ax =-+开口向上且对称轴为2ax =，(0)10=>f ，由A B ⋂=∅，即()0f x =在(0,)+∞上无解，若0a >时，只需24022a a ∆=-<⇒-<<，即02a <<；若0a ≤时，此时对称轴02a≤且(0)10=>f ，故满足题设；综上，2a <.故选：A8.已知关于x 的不等式组()224502525x x x x x k ⎧-++<⎪⎨+<-+⎪⎩的解集中有且仅有一个整数，则实数k 的取值范围为（）A.()()6,23,4-⋃ B.[)(]6,23,4-⋃C.][()5,34,5-⋃ D.][5,34,5⎡⎤-⋃⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数k 求其范围.【详解】对于245(5)(1)01x x x x x --=-+>⇒<-或5x >，而22(25)5(25)()0x k x k x x k +++=++<解集与{|1x x <-或5}x >的交集中有且仅有一个整数，当52k <时，解集为5{|}2x x k -<<-，此时2662k k -<-≤⇒-≤<满足要求；当52k =时，解集为∅，此时不可能满足题设；当52k >时，解集为5{|}2x k x -<<-，此时4334k k -≤-<-⇒<≤满足要求；综上，实数k 的取值范围为[)(]6,23,4-⋃.故选：B二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知命题:p “2R,20x x ax a ∀∈-+>恒成立”为真命题，下列选项中可以作为p 的充分不必要条件的有（）A.103a <<B.01a <<C.01a <≤D.1132a <<【答案】AD 【解析】【分析】由已知命题为真，根据一元二次不等式恒成立有2440a a ∆=-<求参数范围，再由充分、必要性定义判断p 的充分不必要条件.【详解】由“2R,20x x ax a ∀∈-+>恒成立”为真命题，故244001a a a ∆=-<⇒<<，所以103a <<、1132a <<是p 的充分不必要条件，01a <<是p 的充要条件，01a <≤是p 的必要不充分条件.故选：AD10.若1,x A A x ∀∈∈，则称集合A 为幸福集合.对集合11,0,,1,2,32M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集，下列叙述正确的是（）A.幸福集合个数为8B.幸福集合个数为7C.不含1的幸福集合个数为4D.元素个数为3的幸福集合有2个【答案】BD 【解析】【分析】根据题意写出所有的幸福集合，逐项分析即可得解.【详解】具有“幸福关系”的元素组有：11;,2;12-三组，含一组的有{1}，{}1-，1{,2}2共3个，含二组的有{1,1}-，1{1,,2}2，1{1,,2}2-共3个，含三组的有1{1,1,,2}2-共1个.所以M 的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A 错B 对；其中不含1的幸福集合个数为3个，故C 错误；其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D 正确.故选：BD11.已知集合{}{}()22|60,|00A x x x B x ax bx c a =-->=++≤≠，若A B =R ，{|35}A B x x =<≤ ，则（）A.0a >B.关于x 的不等式20cx bx a ++>解集为1|2x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>⎬⎭C.0a b c ++>D.101bc a >-【答案】AD 【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A ，再由交并集的结果可得{|25}B x x =-≤≤，即2,5-是20ax bx c ++=的两个根且a<0，再结合各项判断正误.【详解】由题设{|2A x x =<-或3}x >，又A B =R ，{|35}A B x x =<≤ ，所以{|25}B x x =-≤≤，故2,5-是20ax bx c ++=的两个根且0a >，A 对；则331010bb a ac c a a⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，则120a b c a ++=-<，C 错；222(1031)010310(51)(21)0cx bx a a x x x x x x ++=-+->⇒+-<⇒-+<，所以，解集为11{|}25x x -<<，B 错；22111013010130(066bc a a a a -+=-+=-+>，即101bc a >-，D 对.故选：AD12.已知正实数,x y 满足21xy x y --=，则（）A.xy的最小值为22+B.x y +1C.2x y +32+D.22x y +2+【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式判断A ，根据xy 和x y +得关系判断B ，利用多变量变单变量法判断C ，构造关于xy 的二次函数关系判断D.【详解】因为,x y 为正实数，选项A ：因为21xy x y --=，则21x y xy +=-≥2210-≥，12+≥，22xy ≥，当且仅当12x y +==时等号成立，故A 错误；选项B ：因为21x y xy +=-，所以()()min min 211x y xy +=-=，当且仅当12x y +==时取得最小值，故B 正确；选项C ：由21xy x y --=得()211x y y -=+，当12y =时显然不符合题意，所以12y ≠，则1021y x y +=>-，得12y >或1y <-（舍去），则()1131332242121242222y x y y y y y ++=+=++-+≥+=+--当且仅当()3142422y y =--即24y +=时等号成立，故C 正确；选项D ：()()22222212x y x y xy xy xy +=+-=--，令xy t =，由A 可知22t ≥，则()222223523521222224224x y t t t ⎛⎫+⎛⎫+=--=--≥⨯-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当22t +=时等号成立，故D 错误；故选：BC三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若命题“()0,x ∃∈+∞，使得2a x x>+成立”是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a ≤【解析】【分析】由原命题的否定为真命题可求参数的取值范围.【详解】因为命题“()0,x ∃∈+∞，使得2a x x>+成立”是假命题，故其否定为真命题，即()0,x ∀∈+∞，2a x x≤+为真命题，而2x x+≥x =时等号成立，故a ≤故答案为：a ≤14.设全集{}21,3,9U m m =+-，集合{}{}1,,3U A m A ==ð，则实数m =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据已知可得29m m m +-=，解方程求参数，结合集合中元素的互异性确定参数值.【详解】由{}21,3,9U m m =+-且{}{}1,,3U A m A ==ð，则22993m m m m m +-=⇒=⇒=±，当3m =，则293m m m +-==，不满足集合元素的互异性；当3m =-，此时{}1,3,3U =-，{}1,3=-A 满足题设；综上，3m =-.故答案为：3-15.某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________.【答案】16【解析】【分析】设该班总人数为4n ，两个项目都参加的人数为x ，根据题设并利用容斥原理列方程求n ，即可得答案.【详解】设该班总人数为4n ，则参加“毛毛虫”的人数为n ，参加“两人三足”的人数为2n +，若两个项目都参加的人数为x ，则两个项目都不参加的学生人数为26x +，所以226414n n x x n n ++-++=⇒=，故该班参加“两人三足”比赛的人数是16.故答案为：1616.对任意的正实数,,a b c ，且满足2b c +=，则234181ab a bc a +++的最小值为__________.【答案】6-##6-+【解析】【分析】根据题意将原式整理成()223181a b b c bc a ⎡⎤++⎣⎦++，利用基本不等式可得2341818611ab a a bc a a ++≥+++，再利用基本不等式可求得当1a =-，24,33b c ==时234181ab a bc a +++的最小值为6-.【详解】由正实数,,a b c ，且2b c +=可得()()()2222223344234181818181111a b b c a b a b c bc ab a bc a bc a bc a bc a ⎡⎤++++++⎣⎦+=+=+=+++++4181818226111b c a a a c b a a a ⎛⎫⎛⎫=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭;当且仅当4b cc b=时，即24,33b c ==时，等号成立；又181866666611a a a a +=++-≥=-++，当且仅当()18611a a+=+，即1a=-时，等号成立；所以当1a =，24,33b c ==时，等号成立，此时234181ab a bc a+++的最小值为6.故答案为：6-四､解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知3{}(0),|,A xa xb b a B y y x A x ⎧⎫=<<>>==∈⎨⎬⎩⎭∣（1）若1,32a b ==，求A B ⋂与()A B ⋃R ð；（2）是否存在,a b ，满足4a b +=，且使得A B A B = ，存在则求出,a b 的值，不存在则说明理由.【答案】（1）{}|13A B x x ⋂=<<，()1{|2A B x x ⋃=≤R ð或6}x ≥.（2）存在1,3a b ==，使得A B A B = ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义可求A B ⋂与()A B ⋃R ð；（2）就01a <<、12a ≤<分类讨论后可求,a b 的值.【小问1详解】当1,32a b ==时，1{|3}2A x x =<<，故{}16|B x x =<<，故{}|13A B x x =<< ，1|62A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故()1{|2A B x x ⋃=≤R ð或6}x ≥.【小问2详解】因为0b a >>，故40a a ->>，故02a <<.由题设有33|4B x x a a ⎧⎫=<<⎨⎬-⎩⎭，若01a <<，则344a a ->-且()()()21334340a a a a a a a a---+--==>，故34a a >-且34a a>-，故3|44A B x x a a ⎧⎫=<<-⎨⎬-⎩⎭ ，3|A B x a x a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，由A B A B = 可得343401a a a a a ⎧=⎪-⎪⎪-=⎨⎪<<⎪⎪⎩，无解.若12a ≤<，则()()()13340a a a a a ----=≤，故34a a ≤-且34a a ≤-，故3|A B x a x a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭ ，3|44A B x x a a ⎧⎫=<<-⎨⎬-⎩⎭ ，由A B A B = 可得343412aa a a a ⎧=⎪-⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎪⎩，故1a =.综上，存在1,3a b ==，使得A B A B = .18.关于x 的不等式()()2220R x a x a a -++≤∈的解集为A ，（1）求A ；（2）{}2|5217B x x a =≤+≤-，若A 是B 的真子集，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）4a >.【解析】【分析】（1）讨论参数a 求不等式解集即可；（2）由题设可得a ≥或a ≤-A B 并讨论参数确定范围即可.【小问1详解】由()222()(2)0x a x a x a x -++=--≤，当2a <时，解集{|2}A x a x =≤≤；当2a =时，解集{2}A =；当2a >时，解集{|2}A x x a =≤≤；【小问2详解】由2|242a B x x ⎧⎫=≤≤-≠∅⎨⎬⎩⎭，则2422a a -≥⇒≥a ≤-，又AB ，当a ≤-{|2}A x a x =≤≤，显然不满足；当a ≥{|2}A x x a =≤≤，则()()224282402a a a a a a ->⇒--=+->⇒2a <-或4a >，此时4a >；综上，a 的取值范围为4a >.19.已知函数()221,R f x x x x =-+∈，命题[]():0,2,p x f x a ∃∈<；命题q ：已知190,0,1,x y a x y x y>>+=≤+恒成立.（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若p ，q 这两个命题中存在假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）0a >；（2）(,0](16,)-∞+∞ .【解析】【分析】（1）由题意[]0,2x ∈上()min a f x >，由二次函数性质求函数最小值，即可得参数范围；（2）由q 为真命题时min ()a x y ≤+，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，即得参数范围，讨论p ，q 存在假命题的情况求对应参数范围.【小问1详解】由p 为真命题，则[]0,2x ∈上()min (1)0a f x f >==，故0a >.【小问2详解】若q 为真命题，则min ()a x y ≤+，而199()()101016y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当94,12y x x y x y=⇒==时等号成立，故16a ≤，而p 为真时0a >，由于p ，q 这两个命题中存在假命题，且p 为假0a ≤，q 为假16a >，当p 真q 假时，a 的取值范围16a >；当q 真p 假时，a 的取值范围0a ≤；当q 、p 假时，a 的取值范围∅；综上，a 的范围为(,0](16,)-∞+∞ .20.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x +元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.【答案】（1）选择乙工程队进行建造.（2）9【解析】【分析】（1）设甲工程队的总造价为1y 元，得到1161800()12600y x x =++，结合基本不等式求得()1min 27000y =，设乙工程队的总造价为2y 元，得到[]2218000(1),1,6xy x ⨯+∈=，结合函数的单调性，求得()2min 24000y =，比较即可得到答案；（2）根据题意，得到甲工程队的最低报价为21600，要使得乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：设甲工程队的总造价为1y 元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x米，则甲工程队的总造价为：[]12416233003400126001800()12600,1,6y x x x x x =⨯⨯+⨯⨯++=++∈，又由168x x +≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以()1min 180081260027000y =⨯+=（元），当10a =时，设乙工程队的总造价为2y 元，则()[]21800102218000(11,6y x x x x⨯+=⨯∈=+，因为函数21y x=+在[]1,6x ∈上为单调递减函数，所以()2min 24000y =（元），由2700024000>，所以学校选择乙工程队进行建造.【小问2详解】解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000540021600-=（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，又由乙工程队的造价为()[]2180022180601(1,)a x y a x xx =∈+=+，由（1）知，当6x =时，()2min 21800(124006y a a =⋅+=，由022400016a ≤，解得9a ≤，因为0a >，所以09a <≤，所以实数a 的最大值为9.21.已知()()20f x ax bx c a =++≠，非空集合(){}()(){}120,0A x f x A x f f x ====∣∣（1）证明：12A A ⊆的充要条件是0c =；（2）若12A A =，求b 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）04b ≤<【解析】【分析】（1）首先证明充分性：当0c =时可求得集合{}210A xax bx =+=∣，对参数b 是否为零进行分类讨论，可得集合2A 中至少含有1A 中的所有元素；再证明必要性：若12A A ⊆可得方程()0f x =的所有实数根都是方程()()0f f x =的实根，即()00f c ==，得出证明；（2）根据（1）的结论可知0c =，然后对于参数b 是否为零进行分类讨论，易知当0b =时符合题意，当0b ≠时，对于方程220a x abx b ++=的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得b 的取值范围是04b ≤<.【小问1详解】充分性：若0c =，则(){}{}2100A x f x x ax bx ===+=∣∣；当0b ≠时，可得10,b A a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭若()()0f f x =，可得()0f x =或()bf x a =-；当()0f x =时，120,b x x a ==-；即可得()20,b b A x f x a a ⎧⎫⎧⎫==-⋃-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣所以可得集合2A 中至少含有0,b a-两个元素，可知12A A ⊆，当0b =时，可得{}10A =；此时当()()0f f x =时()0f x =，即可得{}20A =；此时12A A =，满足12A A ⊆；综上可知充分性成立；必要性：因为1A 为非空集合，所以可知当12A A ⊆时，可知方程()0f x =的所有实数根都是方程()()0ff x =的实根，即可得()()()00f f x f ==，即()0000f a b c =⨯+⨯+=，可得0c =，所以必要性成立；综上可得，12A A ⊆的充要条件是0c =；【小问2详解】若12A A =时，满足12A A ⊆；由（1）中的结论可得0c =，此时(){}{}2100A x f x x ax bx ===+=∣∣；当0b =时，可得{}10A =，此时()(){}(){}2100A xf f x x f x A =====∣∣，符合题意；当0b ≠时，可得10,b A a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，此时()20,b b A x f x a a ⎧⎫⎧⎫==-⋃-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣；为使12A A =可知，集合(){}2200,b b x f x x a x abx b a a ⎧⎫⎧⎫=-=++=⊆-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣；对于方程220a x abx b ++=，令()()222244ab a b a b b ∆=-=-①当Δ0<时，即04b <<时，()0,b b xf x a a ⎧⎫⎧⎫=-=∅⊆-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣，符合题意；②当Δ0=时，即4b =时，此时()2b b x f x a a ⎧⎫⎧⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣，但02b a -≠且2b b a a -≠-，不合题意；③当0∆>时，即0b <或4b >时，()44,2222b b b x f x a a a a a ⎧⎪⎧⎫=-=-+--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭∣，为使12A A =，需满足422b b a a a -+=-或422b b a a a --=-，即42b a =，解得0b =；这与大前提0b ≠矛盾，不合题意；综合①②③可得04b <<符合题意；综上可知，满足题意的b 的取值范围为04b ≤<【点睛】关键点点睛：本题在求解参数b 的取值范围时，要结合（1）的结论将0c =代入计算，并根据12A A =将集合{}220xa x abxb ++=∣转化成集合0,b a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，再对参数b 进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果.22.已知集合{}*123,,N n A a a a a =⋯⋯⊆，其中N n ∈且1233,n n a a a a ≥<<<⋯⋯<，若对任意的(),x y A x y ∈≠，都有xy x y k-≥，则称集合A 具有性质k M .（1）集合{}1,2,A a =具有性质3M ，求a 的最小值；（2）已知A 具有性质15M ，求证：111115n n a a --≥；（3）已知A 具有性质15M ，求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.【答案】（1）6；（2）证明见解析；（3）7，理由见解析.【解析】【分析】（1）由性质3M 定义列不等式组求参数范围，结合*N a ⊆即可得最小值；（2）根据定义11||,(1,2,3,...,1)15i i i i a a a a i n ++-≥=-，进而有111115i i a a +-≥，应用累加法即可证结论；（3）首先应用放缩有11115n a ->求得16n <，同理可得()15i n i -<恒成立，假设8n ≥得出矛盾，再讨论7n ≤并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值.【小问1详解】由性质3M 定义知：313622623a a a a a a a ⎧-≥⎧⎪≥⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥-≥⎩⎪⎩，且*N a ⊆，所以a 的最小值为6.【小问2详解】由题设11||,(1,2,3,...,1)15i i i i a a a a i n ++-≥=-，且1n a a <⋯⋯<，所以111111,(1,2,3,...,1)1515i i i i i i a a a a i n a a +++-≥⇒-≥=-，所以122311********* (15)n n n n a a a a a a a a ---+-++-=-≥，得证.【小问3详解】由（2）知：1111115116151n n a n a -⎧>-⎪⇒<⇒<⎨⎪≥⎩，同（2）证明得1115i n n i a a --≥且1,2,3,...,1i n =-，故115i n i a ->，又i a i ≥，所以1()1515n i i n i i ->⇒-<在1,2,3,...,1i n =-上恒成立，当8n ≥，取3i =，则3(3)15n -≥，故8n <，当7n ≤，则22()()1544i n i n i n i n +--≤=<⇒<，即7n ≤.综上，集合A 中元素个数的最大值为7.【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得111115i i a a +-≥为关键；第三问，应用放缩法确定16n <，同理得到()15i n i -<恒成立为关键.。

重庆八中 2022——2023 学年度(上)半期考试高一年级数学参考答案

重庆八中 2022——2023 学年度(上)半期考试高一年级数学参考答案

重庆八中2022——2023学年度（上）半期考试高一年级参考答案13.13π+ 14. 8- 15.2()f x x =（答案不唯一）16.[4-，]8-8.解：因为正实数x ，y 满足11y x y x ->-，整理得1()(1)0y x xy-+>，即0y x >>.选项A ：11y y x x +<+满足糖水不等式，故选项A 正确；选项B ：11xy <整理得11y x ，构造函数1()f x x=，易知()f x 在(0,)+∞单调递增，11y x <，故选项B 正确；选项C ：构造函数221()|1|1x x x f x x x x x x ⎧≥⎪=-=⎨<<⎪⎩- -+ 0，可知函数()f x 在(0,)+∞不具有单调性，故选项C 错误；选项D ：由0y x >>，可得110y x +>+>，所以2110y x +>+>，故选项D 正确；12.解：函数()(1)21111f x ax a a x a x x =++=-++--，根据题意有1(1)2f x a ax x+-=+，则函数(1)2y f x a =+-为奇函数，函数()f x 图像关于(1,2)a 成中心对称，所以选项A 正确.选项B :当0a >时，()(1)211f x a x a x =-++-可由函数1y ax x=+向右平移1个单位，向上平移2a 个单位得到.又易知函数1y axx=+在)+∞上单调递增，所以()f x 在1,)++∞上单调递增，∴选项B 错误；选项C :21()111ax a f x ax a x x -+=++=--，()0f x =有解，即210ax a -+=有解，所以4(1)00a a a ∆=--+≥⎧⎨≠⎩，即(,0)[1,)a ∈-∞∞+，选项C 正确；选项D :当12a =时，()f x 关于(1,1)中心对称，又函数()g x 关于(1,1)中心对称，112220222022()()()220224044x y x y x y ∴++++++=⨯=，故选项D 正确；故选：ACD ． 16.解：()f x ，()g x 的隔离直线为4y x b =-+，则2234x x x b -≥-+对一切实数x 成立，即220x x b +-对一切实数x 成立，故△180b =+，解得18b ≤-△；又14x b x -+对一切0x <恒成立，即14(0)b x x x+<恒成立，当0x <时，1142(4x x x+--=-，当且仅当14x x -=-，即12x =-时取等号，4b ∴-△；由△△，得148b --，∴实数b 的取值范围是[4-，1]8-．17.解：（1）{}2{|50}1,65A x x x +=-==，当1a =时，{1}B =，则{}()5Z A B =；………5分 （2）无论选择△△△中的哪一个，均有B A ⊆， 当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆，当B ≠∅时，即0a ≠时，1{}B a=，此时若满足B A ⊆，则11a =或15a =，解得1a =或15， 综上10,,15C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．.……………………………………………………………………………… 10分18.解：（1）由函数21()(57)m f x m m x -=-+是幂函数，则2571m m -+=，解得2m =或3m =；当2m =时，()f x x =，不合题意；当3m =时，2()f x x =，满足题意．故2()f x x =．………………………………………………………………………………………5分 （2）由（1）可得，()()()2211f x x g x f x x ==++， ()()()()2222222222211111a b a b a b g a g b a b a b ++∴+=+==++++，化简有221a b =，故1ab =. ()()2222f a f b a b ab ∴+=+≥=，当且仅当1a b ==时，()()min 2f a f b +=⎡⎤⎣⎦．.…………………………………………………12分19.解：（1）()max{()M x f x =，243,[4,)(,1]()}1,(1,4)x x x g x x x ⎧-+∈+∞-∞=⎨-∈⎩，()M x 图象如下图所示：………………………………6分（2）由（1）中图象可知：函数()M x 在[0x ∈，1]上单调递减，在(1x ∈，4]上单调递增，在(4x ∈，)+∞上单调递增，当01a <时，2()()43223min M a a x g a a ==-+=-，12a ∴=或3a =（舍），当1a >时，()()1min M x f =2023a==-，3a ∴=故实数a 的取值集合为：1{,3}2．………………………………………………………………12分20．解：（1）由表中的数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调， 所以选择模型△：()|20|Q x a x b =-+，从表中任取两组值，不妨令(10)10110(20)120Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩，解得1120a b =-⎧⎨=⎩，即()|20|120Q x x =--+，显然表中其它各组值均满足这个函数，故函数的解析式()|20|120(130Q x x x =--+，x ∈N )*．……………………………………5分 （2）由（1）知，**100,120,()|20|120140,2030,x x x Q x x x x x ⎧+∈=--+=⎨-+<∈⎩N N ， *100101,120,*()()()140139,2030,x x x x T x P x Q x x x x x ⎧++∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<∈⎪⎩N N ， 当120x ，*x ∈N ，100()101T x x x=++在[1，10]上单调递减，在[10，20]上单调递增，当10x =时，()T x 取得最小值(10)121T =（元)，当2030x <，*x ∈N ，140()139T x x x=-++在(20，30]上单调递减，当30x =时，()T x 取得最小值2341(30)11312133T =+=<（元)，则当130x ，*x ∈N ，341()(30)3min T x T ==（元)，故商品的日销售收入的最小值为3413元．………………………………………………………12分21.解：（1）结合题意易知函数()f x 为奇函数且在()4,4-上单调递增，下面证明之，取0x y ==得到(0)2027(0)f f =，所以(0)0f =，故()16()()16x y f f x f y xy +⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦， 一方面，取y x =-，则(0)()()0f f x f x =+-=，即()()f x f x =--，所以函数()f x 为奇函数，……………………………………………………3分另一方面，对任意的12,x x ∈()4,4-，不妨设12x x <， 则()2121211216()()()()16x x f x f x f x f x f x x -⎡⎤-=+-=⎢⎥-⎣⎦， 因为210x x ->，12160x x ->，故()211216016x x x x ->-，又()()()2112121216444401616x x x x x x x x -+--=<--，故()2112160416x x x x -<<-， 所以有()2121211216()()()()016x x f x f x f x f x f x x -⎡⎤-=+-=>⎢⎥-⎣⎦， 故：21()()f x f x >，所以函数()f x 在()4,4-上单调递增；……………………………………7分（2）由（1）易知，()f x 在()4,4-上单调递增，因为3(1)()0x f x f x-++≤，即33(1)()(x x f x f f x x --+≤-=-）， 因为函数()f x 在()4,4-上单调递增，故：31414344x x x x x x -⎧+≤-⎪⎪-<+<⎨⎪-⎪-<<⎩，解得(]35,3,15x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，故不等式的解集为(]35,3,15⎛⎤-- ⎥⎝⎦．……………………………………………………………12分22.解：（1）()f x=()2()222f x gx ∴=+=+；)2()202f x x ∴=+≤≤，易知2()f x 在()0,1x ∈递增，在()1,2x ∈递减，故[]2()24f x ∈，，()0f x >，所以()f x ⎤∈⎦．……………………………………………3分（2）令()f x t ⎤=∈⎦，则()2()2a h x t t t a ϕ-==++， △当0a <时，()t ϕ的对称轴10t a=<，故()t ϕ在t ⎤∈⎦递增，故()()22m a a ϕ==-； 当0a >时，分三种情况讨论：（i ）当102a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()t ϕ在t ⎤∈⎦递增，故()()22m a a ϕ==-； （ii ）当122a ⎛∈⎝⎭，时，()t ϕ在t ∈递增，在1,2t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递减，故()112m a a a a ϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭；（iii ）当a ⎫∈+∞⎪⎣⎭时，()t ϕ在t ⎤∈⎦递减，故()m a ϕ==综上：()m a=12,0211,2222a a a a a a a ⎧-≤≠⎪⎪⎪+<<⎨⎪≥且；……………………………………………………………8分△当2a⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，(10a∈，此时需分三种情况讨论： （i ）当1a ∈⎣，即a∈⎣时，()1m a m a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （ii ）当112a ⎡∈⎢⎣⎭，即a ⎤∈⎦时，()112a m a m a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得a =； （iii ）当110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()2a ∈+∞，时，()12m a m a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，解得2a =； 当122a⎛∈ ⎝⎭时，即)1a ∈时，()112m a a m a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭a =（舍）； 当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，即()12,a ∈+∞时，()12m a a m a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2a =（舍）；当(),0a ∈-∞时，即()1,0a ∈-∞时，()1122m a a m a a ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，解得1a =-；综上：{}12a ∈-⎢⎣.………………………………………………………………………12分。

重庆八中 2023——2024 学年度(上)期末考试高一年级数学模拟试卷

重庆八中 2023——2024 学年度(上)期末考试高一年级数学模拟试卷

重庆八中2023——2024学年度（上）期末考试高一年级数学模拟试题一．单选题：题号12345678答案DDCDBCAA3．解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由扇形的面积公式：212S R α=，因为扇形的半径长为2R =，面积为4S =，所以扇形的圆心角的弧度数是2．故选.C 4．解：根据题意可得02815n C =⋅，则当10A I =时，101528n n t ⋅=⋅，所以，20233log 2log 23228(28(28(56h 2332n t -=⋅=⋅=⋅=，即当放电电流10A I =，放电时间为56h ．故选：D ．5.解：函数()()26f x ln x x =---，0x <时函数是连续函数，(2)2460f ln -=+-< ，()1260f e e -=+->，故有(2)()0f f e --< ，根据函数零点的判定定理可得，函数()()26f x ln x x =---的零点所在的区间为(,2)e --，故选：B ．6.解：由于函数2tan()63y x ππ=-+在一个周期内单调递减，令()2632k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得6561()k x k k Z -<<+∈，故函数2tan()63y x ππ=-+的单调递减区间为(65k -，61)()k k Z +∈．故选：C ．7.解：根据题意，()f x 对任意的x R ∈都有51()(22f x f x +=-，则有(3)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为3的周期函数，则(2020)(16733)f f f =+⨯=（1），(2019)(0)f f =，又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当3(,0)2x ∈-时，2()log (1)f x x =--，则2(1)log (11)1f -=-+=-，则f （1）(1)1f =--=，故(2020)(2019)10f f f -=-=（1）(0)1f -=；故选：A ．8．解： 函数(1)y f x =+是偶函数，(1)y f x ∴=+的图象关于y 轴对称，(1)y f x =+ 向右平移1个单位得到()y f x =，()y f x ∴=的图象关于直线1x =对称，若对任意a 、[1,)()b a b ∈+∞≠总有()()()()af b bf a af a bf b +<+成立，即()()()()0a b f a f b -->，()f x ∴在[1,)+∞上单调递增，()f x ∴在(,1)-∞上单调递减，因此由()(2)4f x f <，可得2141x -<-，即213x -<，所以3213x -<-<，解得12x -<<，即不等式()(2)4f x f <的解集为(1,2)-，故选A .二．多选题题号9101112答案BCDABDABDCD9．解：cos()cos θθ-=，A 不符合题意；cos()cos πθθ+=-，B 符合题意；sin(cos 2πθθ-=-，C 符合题意；3sin()cos 2πθθ-=-，D 符合题意．故选：BCD ．10．解：对于A ，1113a a b a b a a b a b a b ++=+=+++= ，当且仅当12a b ==时取等号，故A 项正确；对于B ，2323()4545a b a b a b a b ab ab ab b a++++++===+，所以454545()()99a b a b b a b a b a+=++=+++ ，当且仅当2a =，即5a =-，4b =-时取等号，故B 项正确；对于C ，211222125(1)(21)(22)(21)(2228a b a b a b +++++=++⨯= ，当且仅当2221a b +=+，即14a =，34b =时取等号，故C 项错误；对于D ，因为0a >，0b >，1a b +=，所以01a <<，22244(1)(2)a b a a a +=+-=-，又因为01a <<，所以22(2)(02)4a -<-=，即244a b +<，故D 项正确．故选：ABD ．11.解： 将()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin(22)g x x ϕ=-的图象，故当4πϕ=时，()sin(22)sin(2)cos 22g x x x x πϕ=-=-=-，为偶函数，故A 正确；当12x π=时，求得(sin(2)16123f x πππ+=⨯+=，为最大值，可得12x π=是函数(6f x π+的一条对称轴，故B 正确；()sin(222)sin(2cos 2422g x x x x πππϕϕϕ+-=+--=-=- ，当[4x π∈，23π，2[2x π∈，43π，故()4g x πϕ+-没有单调性，故C 错误；若函数()1sin(22)1y g x x ϕ=+=-+的一个对称中心为(3π，1)，则223k πϕπ⨯-=，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，令1k =-，可得56πϕ=，故D 正确，故选：ABD ．12.解： 函数()cos([])2f x x π=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，由10x -< ，[]1x =-，()1f x =；由01x < ，[]0x =，()1f x =；由12x < ，[]1x =，()0f x =；由23x < ，[]2x =，()1f x =-，由34x < ，[]3x =，()0f x =；⋯，11()(0)122f f -+==，11(22f f +=（1）0=，1111((2222f f -+≠+，函数1(2y f x =+不是偶函数，所以A 不正确；则()f x 的值域为{1-，0，1}，故B 不正确；由上面的分析可得()f x 为周期函数，且最小正周期4T =，故C 正确；()f x 与7log |1|y x =-的图象恰有一个公共点，故D 正确．故选：CD ．三．填空题13．1(,1)2-；14．8-；15．9[,)4+∞；16．015．解：对x R ∀∈，()3f x 恒成立，即为13x x ae e + ，由0xe >，可得231x xa e e - 恒成立，设2231139()()24x x x g x e e e =-=--+，当132x e =即23x ln =时，()g x 取得最大值94，可得94a ，即有a 的取值范围为9[4，)+∞．16．．解： (0,2cos()24ππααα∈=-，2sin 2sin )2ααα∴=+，两边平方可得：21sin 2(1sin 2)2αα=+，即22sin 2sin 210αα--=，2(0,)απ∈ ，sin 20α>，∴解得sin 21α=，可得cos 20α=．四．解答题17．解：（1）211log 313(0.008)2254(3)0.2232(52)lg lg lg lg π+--++++=-++⨯++356210ππ=-+++=+．（2）3sin()cos()tan()cos()cos (sin )tan (sin )222cos sin(2)tan()sin()sin (tan )sin πππααπαααααααπααπαπααα--++-⋅-⋅⋅-==-------⋅-⋅19．18.解：（1）2()12sin cos 2sin f x x x x ωωω=+-sin 2cos2x x ωω=+4x πω=+；所以()f x 的最小正周期为2|2|T ππω==，1ω=；（2）所以()sin()1424f πππ=+=；（3）由02x π- ，得32444x πππ-+ ，所以2sin(2)[1,]42x π+∈-；当242x ππ+=-，即38x π=-时，()f x取得最小值为．19.解：（1）由已知可得2sin cos αα=-，则1tan 2α=-，所以2222sin cos cos 2tan 11sin cos cos 215tan sin cos tan ααααααααααα++-+===++；（2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 213tan βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯，因为(0,2πβ∈，所以2(0,)βπ∈，又13tan 233β=->-，则52(,)6πβπ∈，因为(0,)απ∈，1tan 23α=->-，则5(,)6παπ∈，则52(,2)3παβπ+∈，所以724παβ+=．20．解：（1） 不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即0m =时，2x =，2401∴=-+k ，解得2=k ，则2401x m =->+，816161.5(816)36(0)1x y x x m m m x m +∴=⨯-+-=--+ ；（2）16163637(1)11y m m m m =--=--+++3737829-=-= ，当且仅当1611m m =++，即3m =时，等号成立，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．21．解：（1）由题意可知，T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+；因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈；因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(23f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++4cos 21x =+；设()t g x =，因为1cos 21x - ，所以3()5g x - ；又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+-- 恒成立，即2()(32)230h t t m t m =-+-- 在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩ ，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩ ，解得112m - ，所以m 的取值范围是1[2-，1]．22．解：（1）由题知，当0x >，21()()log x g x f x x+==，设0x <．则0x ->，所以2211()log log x x g x x x-+--==-，因为()g x 是奇函数，所以2()log 1x g x x =-，又因为(0)0g =所以221log ,0()0,0log ,01x x x g x x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）令2221()log ()log ()0h x a x x=++=，整理得210ax x +-=，因为()h x 有且只有一个零点，所以方程210ax x +-=有且只有一根或两相等根，当0a =时，1x =，符合题意，当0a ≠时，只需△140a =+=，所以14a =-，此时2x =，符合题意，综上，14a =-或0a =．（3）在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则1211a a x x +>+，221211log ()log ()a a x x +>+，所以12()()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在[t ，1]t +上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +，所以2222211(1)1()(1)log ()log ()log 11(1)at a t f t f t a a t t at a t +++-+=+-+=+++ ，即2(1)10at a t ++- ，对任意1[,1]2t ∈成立，因为0a >，所以函数2(1)1y at a t =++-的图象开口向上，对称轴102a t a+=-<，所以函数2(1)1y at a t =++-在(0,)+∞上单调递增，所以当12t =时，y 有最小值3142a -，所以31042a - ，解得23a ，所以a 的取值范围为2[,)3+∞．。

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版答案)

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版答案)

重庆八中高2023级国庆假期数学作业(一)答案一、选择题二、填空题3212.对于A ，∵f(x)=x 2+mx +n(m,n ∈R)，不等式x <f(x)的解集为，即x 2+(m −1)x +n >0的解集为，∴m −1=−2，n =1，即m =−1,n =1，故A 正确； 对于B ，由A 可得，设g(x)=f(x)x=x 2−x+1x=x +1x −1，当x >0时，x +1x −1⩾2√x ·1x −1=1，当且仅当x =1时，取等号，即g(x)⩾g(1)=1， 当x <0时，−x >0，∴−x +1−x⩾2√−x ·1−x =2，当且仅当x =−1时，取等号，∴x <0时，g(x)⩽g(−1)=−3，故g(x)无最大值，也无最小值，故B 错误； 对于C ，由不等式x <f(x)的解集为，则不等式f(x)<f(f(x))，得f(x)<1或f(x)>1，即x 2−x +1<1或x 2−x +1>1， 解得解集为，故C 正确；对于D.，知ℎ(x)={34,x ⩽12f(x),x >12，即ℎ(x)={34,x ⩽12(x −12)2+34,x >12，当x ⩽12时，ℎ(x)是常函数，当x >12时，ℎ(x)是单调递增，若 ℎ(x)<ℎ(2x +2)，则{x ⩽122x +2>12或x >12，解得−34<x ⩽12或x >12，∴x 的取值范围是，故D 正确．故选ACD ．16.若不等式－3≤x 2－2ax ＋a≤－2有唯一解，则方程x 2－2ax ＋a ＝－2有两个相等的实根，解得a=21-或三、解答题17．解：由已知条件可得：A ={x |1≤x ≤3},B ={x |−√a <x <√a}， (1)当a =4时，B ={x |−2<x <2}，则A⋂B ={x |1≤x <2},A⋃B ={x |−2<x ≤3}，(2)C R A ={x |x <1,或x >3}，因为B ⊆C R A ，所以√a ≤1，解得0<a <1。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题2(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题2(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2Z 9,2A x x B x x =∈≤=>-，则A B = （）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{}23x x -<≤【正确答案】C【分析】先求出集合A 中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.【详解】集合{}{}{}2Z 9Z 333,2,1,0,1,2,3A x x x x =∈≤=∈-≤≤=---，而{}2B x x =>-，故{1,0,1,2,3}A B =- ，故选：C2．sin10cos50cos 40cos10︒︒+︒︒=（）A ．12B C D ．【正确答案】C【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin10cos50cos 40cos10sin10cos50cos 9050cos10︒︒+︒︒=︒︒+︒-︒︒()cos50sin10sin 50cos10sin 5010sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选：C3．已知25a =，则lg 40=（）A ．31a a ++B ．131a a ++C ．13a a ++D ．311a a ++【正确答案】A 【分析】由题意可得lg 5lg 2a =，lg 5lg 2a =⋅，又由lg5lg 21+=，可得1lg 21a =+，化简得lg 4012lg 2=+，代入即可得答案.【详解】解：因为25a =，所以2lg 5log 5lg 2a ==，所以lg 5lg 2a =⋅，又因为lg5lg 21+=，所以1lg 21a =+，所以23lg 40lg(104)lg10lg 412lg 2111a a a +=⨯=+=+=+=++.故选：A.4．函数()11f x x =-+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.【详解】解：因为(),1112,1x x f x x x x ≥⎧=-+=⎨-<⎩，且()11111f =-+=，()00112f =-+=，故符合题意的只有A.故选：A5．设0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出,,a b c 的范围，然后即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.30.30.201()22212-=>>= ，0.20.2log 0.3log 0.21<=，∴c<a<b ．故选：D6．已知()()()()12324,1log ,1a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．2,23⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(],2-∞-【正确答案】D【分析】根据1x ≥的解析式()12log f x x =判断出()f x 在R 上为减函数，从而得32020a a -<⎧⎨--≥⎩，求解即可．【详解】解：因为当1x ≥时，()12log f x x =为减函数，又因为()f x 在R 上为单调函数，所以()f x 只能为单调递减函数，当1x <时，一次函数()()324f x a x a =--单调递减，当1x ≥时，指数函数()12log f x x =，所以将1x =代入得：()121log 10f ==，又因为()f x 在R 上为单调递减函数，所以32020a a -<⎧⎨--≥⎩，解得：2a ≤-，故选：D ．7．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，且()30f =，则满足()10xf x +≥的x 的取值范围是（）A ．(]{}[),402,-∞-+∞U UB ．(][][),20,14,-∞-+∞U UC ．[][]4,10,2--⋃D ．(][][),41,02,-∞--+∞U U 【正确答案】D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出()()()0330f f f ==-=，然后对x 、1x +的符号进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性可得出不等式()10xf x +≥的解集.【详解】因为定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，则该函数在()0,∞+上也为增函数，且有()()()0330f f f ==-=，当010x x <⎧⎨+<⎩时，即当1x <-时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≤=-，此时13x +≤-，解得4x ≤-，此时4x ≤-；当=1x -时，则()00f -=，合乎题意；当010x x <⎧⎨+>⎩时，即当10x -<<时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≤=，可得13x +≤，解得2x ≤，此时10x -<<；当0x =时，则有()010f ⨯=，合乎题意；当010x x >⎧⎨+>⎩时，即当0x >时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≥=，可得13x +≥，解得2x ≥，此时2x ≥.综上所述，满足不等式()10xf x +≥的x 的取值范围是(][][),41,02,-∞--+∞U U .故选：D.8．已知函数()|22|x f x =-，若()()f a f b =（a b ¹），则a b +的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【正确答案】B【分析】由()22,12222,1x xx x f x x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，可知1,a b <<由()()f a f b =可得224,a b +=根据基本不等式可求a b +的取值范围.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-<=-=⎨-≥⎩若1,a b <<由()()f a f b =，则2222,a b a b-=-∴=与a b ≠矛盾；同理1,a b <<也可导出矛盾，故1,2222,224,a b a b a b <<∴-=-∴+=而222242,a b a b ++><=即 2.a b +<故选B本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．函数()42log f x x =与()2xg x =的图象关于y x =对称C ．()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数D ．函数()225f x x x =-+单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞【正确答案】BCD【分析】对于A ，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B ，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C ，根据奇函数定义判断即可；对于D ，根据二次函数单调性判断即可；【详解】因为命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故A 错误；函数()422log log f x x x ==与()2xg x =互为反函数，故其图象关于y x =对称，故B 正确；因为()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，可求得定义域为()1,1-关于原点对称，又()()11ln ln 11x x f x f xx x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，故函数为奇函数，故C 正确；因为22225,0()2525,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，所以函数的单调递增区间为[]1,0-，和[)1,+∞，故D 正确．故选：BCD ．10．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【正确答案】ABD【分析】由题意得()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，可得242sin cos 25θθ=-，根据θ的范围，可得sin θ，cos θ的正负，即可判断A 的正误；求得sin cos θθ-的值，即可判断D 的正误，联立可求得sin θ，cos θ的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】因为1sin cos 5θθ+=，所以()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，则242sin cos 25θθ=-，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，cos 0θ<，所以π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=，故D 正确；联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得4sin 5θ=，3cos 5θ=-，故B 正确；所以sin 4tan cos 3θθθ==-，故C 错误.故选：ABD.11．已知实数,a b 均不为1，且满足0a b >>，则下列关系式中恒成立的是（）A ．2ab a <B ．1122a b a b->-C ．44(()55a b>D ．log 1b a >【正确答案】AB【分析】A ，B 选项利用基本不等式的性质即可；C 选项利用函数的单调性即可；取12,2a b ==判断D 选项即可.【详解】实数,a b 均不为1，且满足0a b >>，所以22a a b a a ab ab a ⋅>⋅⇔>⇔<，故A 选项正确；由0a b >>，所以20a b >2>，所以11022a b<<，所以1122a b->-，所以1122a b a b->-成立，故B 选项正确；由函数45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且0a b >>所以44()()55a b<，故C 选项错误；当12,2a b ==时，12log log 211b a ==-<，故D 选项错误；故选：AB.12．已知函数()sin ,(0,2)4f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数()g x ，且不等式()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列说法正确的是（）A ．1ω=B ．34π为()g x 的一个零点C ．()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()2g x =在(0,10)x π∈上共有30个解【正确答案】BC【分析】确定()sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到A 错误，计算3π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭得到B 正确，ππ,442x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数单调递增，C 正确，计算共有9个根，D 错误，得到答案.【详解】()sin 24g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故πsin 21444g ππω⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ππ22π442k πω⨯+=+，故142k ω=+，Z k ∈，(0,2)ω∈，故0k =时，12ω=满足，故A 错误；()sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3πsin 0444g π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,442x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()g x 单调递增，C 正确；()sin 42g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，π2π44x k π+=+或3π2π44x k π+=+，Z k ∈，当π2π44x k π+=+，即2πx k =时，Z k ∈，2π,4π,6π,8π是方程得到解；当3π2π44x k π+=+，即π2π2x k =+时，Z k ∈，π5π9π13π17π,,,,22222是方程的解.综上所述：共有9个解，D 错误.故选：BC三、填空题13．已知函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______．【正确答案】12##0.5【分析】根据函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求得α的值，可得()f x ，即可求()2f 的值.【详解】解：函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以11222f α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1α=-所以()1f x x -=，则()11222f -==.故答案为.1214．已知1a >，则21a a +-的最小值为m ，取得最小值时a n =，则2n m -=______．【正确答案】1【分析】利用基本不等式可求得m 的值，利用等号成立的条件可求得n 的值，进而可求得2n m -的值.【详解】因为1a >，所以()22111111a a a a +=-++≥=--，当且仅当1a =时取等号．故1m =，1n =，所以，21n m -=．故答案为.115．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，33OA OC ==，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是______．【正确答案】8π3##8π3【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB 、COD 的面积即可.【详解】由题意可得，扇形AOB 的面积是212π33π23⨯⨯=，扇形COD 的面积是212π11π233⨯⨯=．则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是183ππ33π-=．故83π16．函数()()sin f x A x b ωϕ=++的图象如图，则()()()()()()()0122020202120222023S f f f f f f f =+++⋅⋅⋅++++的值为______．【正确答案】2024【分析】根据图象可确定()f x 最小正周期4T =，由此可得()()()()5060123S f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦，由此可求得结果.【详解】由图象可知：()f x 最小正周期4T =，()()()()01234f f f f +++=，()()()()506012350642024S f f f f ∴=⨯+++=⨯=⎡⎤⎣⎦.故答案为.2024四、解答题17．集合{}{}||21|7,|223A x xB x k x k =-≤=-<<+.(1)当2k =时，求A B ⋃；(2)问题：已知______，求k 的取值范围.从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B A ⋃=；②A B B = ；③A B ⋂=∅.【正确答案】(1){}|35A B x x =-≤< (2)答案见解析【分析】（1）先解得{}|34A x x =-≤≤，再根据集合的并集计算即可；（2）分B =∅，B ≠∅两种情况解决即可.【详解】（1）由题知，{}{}||21|7,|223A x xB x k x k =-≤=-<<+，因为|21|7x -≤，解得34x -≤≤，所以{}|34A x x =-≤≤，当2k =时，{}|25B x x =<<，所以{}|35A B x x =-≤< .（2）选①或②，由题知B A ⊆，由（1）得，{}|34A x x =-≤≤，由题得，{}|223B x k x k =-<<+，当B =∅时，223k k -≥+，解得5k ≥，当B ≠∅时，532234k k k <⎧⎨-≤-<+≤⎩，解得112k -≤≤，综上，5k ≥或112k -≤≤.选③，当B =∅时，223k k -≥+，解得5k ≥，当B ≠∅时，5224k k <⎧⎨-≥⎩，或533k k <⎧⎨+≤-⎩，解得35k ≤<，或6k ≤-，综上，3k ≥或6k ≤-.18．（1）已知3cos 5α=-，α为第三象限角，求sin α的值；（2）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.【正确答案】（1）4sin 5α=-；（2）57.【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得sin α的值；（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为α为第三象限角，则4sin 5α==-；（2）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.19．已知二次函数()21f x ax bx =++（a ，b ∈R 且0a ≠），x ∈R ．(1)若函数()f x 的最小值为()10f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间；(2)在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围．【正确答案】(1)()221f x x x =++，减区间（−∞，−1]，增区间[−1，＋∞）(2)(),1-∞【分析】（1）根据函数()f x 的最小值为()10f -=，可得(1)10f a b -=-+=，且12b a-=-，可得,a b 的值，从而得到()f x 的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；（2）分离参数k ,求解二次函数()f x 在区间[]3,1--上的最小值，即可得k 的范围．【详解】（1）由题意知(1)10f a b -=-+=，且12b a-=-，∴1,2a b ==．∴()221f x x x =++，因为函数()f x 对称轴=1x -，开口向上，∴()f x 单调减区间为（−∞，−1]，单调增区间为[−1，＋∞）；（2）()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，转化为21x x k ++>在[]3,1--上恒成立．设[]2()1,3,1g x x x x =++∈--，则()g x 在[]3,1--上递减．∴min ()(1)1g x g =-=．∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．20．已知函数()()2log 3,(0a f x x ax a =++>且1)a ≠.(1)当4a =，求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()y f x =的定义域为R ，求a 的取值范围；【正确答案】(1)函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.(2)(0,1)(1,⋃【分析】(1)根据函数解析式，先求出函数的定义域，然后利用复合的单调性即可求解；(2)根据对数函数的性质可知：230x ax ++>恒成立，根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解.【详解】（1）因为4a =，所以函数24()log (43)f x x x =++，要使函数有意义，则有2430x x ++>，解得：1x >-或3x <-，所以函数定义域为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞.令22()43(2)1u x x x x =++=+-，开口向下，对称轴为2x =-，则()u x 在(1,)-+∞上单调递增，在(,3)-∞-上单调递减，又因为4log y u =在(0,)+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知：当4a =，函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.（2）因为函数()()2log 3,(0a f x x ax a =++>且1)a ≠的定义域为R ，也即230x ax ++>在R 上恒成立，所以2120a ∆=-<，解得：a -<<所以实数a的取值范围为(0,1)(1,⋃.21．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()y f x =的值域；(2)求函数()y f x =严格增区间；(3)若不等式()2()a f x a f x ⋅+≥对任意[0,]2x π∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,2+(2)π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)a ≥【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；（2）由（1）可知，ππ5π2444x ≤+≤，结合正弦函数的单调性，即可求解；（3）参变分离得()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；转化为求函数的最值.【详解】（1）π()sin 2cos22)24f x x x x =++=++.因为[0,]2x π∈，所以ππ5π2444x ≤+≤，所以πsin(2)[42x +∈-，所以()f x的值域为[1,2+；（2）因为ππ5π2444x ≤+≤，又sin y x =在ππ[,22-上严格增，所以当442πππ2x ≤+≤时，()f x 严格增，解得π08x ≤≤所以函数()y f x =的严格增区间为π[0,]8；（3）因为()20f x +>，所以不等式等价于()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；即max21()2a f x ⎡⎤≥-⎢⎥+⎣⎦，因为()234f x ⎡+∈+⎣，，所以当()24f x +=+时，()()2f x f x +所以实数a 的取值范围为273a +≥.22．定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若()()31,212x f g x ==-，函数()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦有三个不同的零点，求m 的取值范围.【正确答案】(1)奇函数，证明过程见详解.(2)413m -≤<-【分析】(1)奇函数，令0x y ==，求得(0)0f =，令y x =-，进行证明即可；(2)先证明函数的单调性，利用单调性将方程化简为()()()2()322g x m g x m -+-=有三个不同的零点，令()g x t =换元，再利用根的分布即可求解.【详解】（1）奇函数，证明如下：因为定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得：(0)(0)(0)f f f =+，则有(0)0f =，令y x =-，则有(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为R 上的奇函数.（2）令12,x y x x x +==，则12y x x =-，不妨令12x x >，因为对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，所以1212()()()f x f x f x x =+-，则1212()()()f x f x f x x -=-，因为当0x >时，有()0f x >，所以12)(0f x x ->，也即12())0(f x f x ->，所以12()()f x f x >，则函数()f x 为R 上的单调递增函数，因为3(1)2f =，令1x y ==，则(2)(1)(1)3f f f =+=，因为()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦，即()()()2()323(2)f g x m g x m f ⎡⎤-+-==⎣⎦，又函数()f x 为R 上的单调递增函数，由题意可知，也即()()()2()322g x m g x m -+-=有三个不同的零点，令()g x t =，则有2(3)220t m t m -+--=，因为()21x g x =-，所以21x t =-，因为y t =与21x y =-的交点个数为0,1,2，所以2(3)220t m t m -+--=的解得个数为0,1,2，因为函数()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦有三个不同的零点，所以2(3)220t m t m -+--=必有两个不同的解12,t t ，且1(0,1)t ∈，2{|0t t t ∈=或1}t ≥.①当20t =时，1m =-，此时方程为220t t -=，解得：12t =不满足题意，故舍去；②当21t =时，1(3)220m m -+--=，则有43m =-，此时方程为252033t t -+=，解得：123t =满足题意；③当21t >时，由根的分布可知：220(3)02201(3)1220m m m m ⎧-+⨯-->⎨-+⨯--<⎩，解得：413m -<<-，综上，实数m 的取值范围为413m -≤<-.。

2024-2025学年重庆八中高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年重庆八中高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀x∈R，x2−x+1>0”的否定是( )A. ∃x∈R，x2−x+1>0B. ∃x∈R，x2−x+1≤0C. ∀x∈R，x2−x+1>0D. ∀x∈R，x2−x+1≤02.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩∁U B=( )A. {4,5}B. {3,4,5}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}3.下列各组函数表示同一函数的是( )A. f(x)=1，g(x)=xB. f(x)=x,g(x)=x2xC. f(x)=x,g(x)=3x3D. f(x)=x2,g(x)=(x)24.已知函数f(x)=ax2+bx+c，若a>b>c，且a+b+c=0，则函数f(x)的图象可能是( )A. B. C. D.5.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[2]=2，[−1.2]=−2，则“x>y”是“[x]>[y]”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.对任意两个实数a，b，定义min{a,b}={a,a≤bb,a>b，若f(x)=2−x2，g(x)=x2−2，则下列关于函数m(x)=min{f(x),g(x)}的说法错误的是( )A. 函数m(x)是偶函数B. 方程m(x)=−2有两个根C. 不等式m(x)>−x的解集为(1,2)D. 函数m(x)的值域为(−∞,0])<f(−2)，则实数x的取值7.已知函数f(x)是定义在[−4,a−1]上的偶函数，在[−4,0]上单调递增.若f(x+a5范围是( )A. (−∞,−3)∪(1,+∞)B. (−3,1)C. [−5,−3)∪(1,3]D. [−3,1)∪(3,5]8.对于函数f(x)，若存在x0∈R，f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点.若函数f(x)=mx2+(n−1)x+n−8对∀n∈R恒有两个相异的不动点，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,0]∪[6,+∞)B. (−∞,0)∪(6,+∞)C. (0,6]D. (0,6)二、多选题：本题共3小题，共18分。

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重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(二)
满分：150分 测试时间：120分钟
姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、 选择题（共12题，1~8题为单选题，每题5分，9~12题为多选题，全
部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分，共60分）
1．已知全集U =R ，集合,A B 满足A B ，则下列选项正确的有( )
A ．A
B B = B ．A B B =
C ．()
U A B =∅
D ．(
)U
A
B =∅
2．已知集合,A B 均为全集{}=1,2,3,4U 的子集，且
(){}{}4,B 1,2U
A B ==，则
U
A
B 等于( )
A ．{}3
B ．{}4
C ．{}3,4
D ．∅
3．函数1
3
y x =-的定义域为( ) A ．(3,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．[1,3)
D ．[1,3)
(3,)+∞
4．若函数()f x 满足关系式3
()2(1)f x f x x +-=-，则()2f 的值为( )
A ．32
-
B ．
32 C ．52
-
D ．
52
5．已知集合(){},1,,,A x y x y x y =
+=∈R (){}
2
2,5,,B m n m
n m n =+=∈Z ，则
A B 的子集个数是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6．下面命题错误．．的是( ) A ．“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的否定是“存在1x <,则21x ≥”
C ．设,x y ∈R ,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件
D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 7．已知函数()123f x x x =---，则函数()f x 的值域为( ) A ．[]-3,0
B ．[]0,3
C ．[]-3,3
D ．[]3,12
8．已知函数22,01,()1,1x x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()2()f x a a =+∈R 恰有两个互异的实
数解，则a 的取值范围为( ) A ．(2,1)--
B ．(2,1]--
C ．(0,1)
D ．[0,1)
9．【多选题】“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A ．01a <<
B ．01a ≤≤
C ．1
02
a <<
D ．0a ≥
10．【多选题】如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点(3,0)A -，且对称轴为1x =-，则以下选项中正确．．的为( ) A ．24b ac > B ．21a b -= C ．0a b c -+=
D ．5a b <
11．【多选题】已知函数2()(1)1
a x f x x x =≥+-的值域为[),m +∞，则实数a 与实数
m 的取值可能为( )
A ．0,0a m ==
B ．1,1a m ==
C ．3,3a m ==
D
．a m =
=12．【多选题】设,a b 均为正数，且+2=1a b ，则下列结论正确．．的是( ) A ．ab 有最大值
1
8
B
C ．22a b +有最小值
15
D ．22a b -有最小值14
-
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．已知函数(21)f x -的定义域为(0,1)，则函数(13)f x -的定义域是____________． 14．若正数,a b 满足1a b +=，则
21
2a b
+的最小值为____________． 15．已知2
((),)()(31)14,1x f x a x ax x a ⎧=⎨-≥⎩
-+<是定义在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是____________．
16．关于x 的不等式组2220
2(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩
的整数解的集合为{}2-，则实数k
的取值范围是____________．
三、解答题（共6题，共70分）
17．(10分) 已知全集U =R ，集合{}
21=2,B 602x A x x x x x ⎧
+⎫
≤=-++<⎨⎬-⎩⎭
．
(1)求A B ；
(2)求()()U
U A B ．
18．(12分) 设集合2{|230}A x x x =+-<，集合{}
||1B x x a =+<． (1)若3a =，求A
B ；
(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围．
19．(12分) 已知函数2()22(0)f x ax ax a a =-++<，若()f x 在区间[2,3]上有最大值1． (1)求a 的值；
(2)若()()g x f x mx =-在[2,4]上单调，求数m 的取值范围．
20．(12分) 已知集合{
}{
}
2
22
=680,430A x x x B x x ax a -+<=-+<． (1)若{}34A B x x =<<，求实数a 的值； (2)若A B =∅，求实数a 的取值范围．
21．(12分) 已知函数4()f x x x
=+
． (1)用函数单调性的定义证明()f x 在区间[2,)+∞上为增函数； (2)解不等式：2(24)(7)f x x f -+≤．
22．(12分) 已知二次函数2()25f x x ax =-+，其中1a >． (1)若函数()f x 的定义域和值域均为[1,]a ，求实数a 的值；
(2)若函数()f x 在区间(,2]-∞上单调递减，且对任意的12,[1,1]x x a ∈+，总有
12()()3f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．。

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