射影几何学的背景

彭赛列，他是画法几何的创始人蒙日的学生。 1822年，彭赛列用综合法著作了射影几何的 第一部系统著作《论图形的射影性质》，在当 时轰动的全欧洲，堪称是射影几何学里程碑式 的著作。他是认识到射影几何是一个新的数学 分支的第一个数学家。 后来，代数的方法也被用来研究射影几何学，但他们在研究过 程中都使用了度量概念。
为什么德扎格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲， 德扎格是可以和笛卡儿媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方 法研究几何问题，可以迅速得到数量结果，而射影几何主要是对 几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工 具． 第二个原因是，德扎格的写作形式比较古怪，他引进了70个新术 语，其中多是从植物学借用的．例如，他用棕(Palm)、干、树来 表示三种不同性质的直线．这类语句及不易理解的思想，使他的 书难于阅读．除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很 少有人欣赏他的著作．
例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10．1)时，从O到矩形各点
的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在 人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四 边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形 一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全
射影几何的背景
制作人：罗华幸 伍秋燕
主讲人：董言言
一、射影几何的起源
射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不的．在中世纪，
画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世
界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个 数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数
帕斯卡
射影几何的产生，除了德扎格作出的贡献，帕斯卡也为射影几何学的早期工 作做出了重要的贡献。 帕斯卡(B．Pascal，1623—1662) 是德扎格的学生，仅仅活了39岁．他是一 位了不起的天才，在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注 目的贡献，他是手摇计算机的发明者，还是法国著名的文学家，物理方面的 成就也不少． 1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点 共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中 的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中 很多定理都是射影几何方面的内容。德扎格和他是朋友，曾经 敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多 性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建 议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。
四、射影几何学的鼎盛时代 德国数学家施淘特(Staudt,1798——1867)以一种摆脱代 数和度量关系的全新方法建立了射影几何学。 到1872年德国人克莱因(Felix Klein,1849——1925)再详 细总结施淘特、凯莱(Cayley,1821——1895)等前辈的工作基 础之上，企图从群论的观点，一射影几何为基础，导出当时 的各派几何学，其中包括欧式几何、仿射几何、非欧几何、 反演几何等，所以19世纪有句名言“一切几何学都是射影几 何”，射影几何在当时也登峰造极，到达了最隆盛的时代。
虽然射影几何学是在长期的发展实践中逐渐形成的， 并且有了翻天覆地的变化，但它还处于不断发展和变 化之中，数学家对它的理解继续爱拓广和加深。无论 过去，现在还是未来，射影几何学在整个庞大的数学 体系中都占有一席之地。
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等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，
截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未
找到答案的问题．
阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张 玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不 同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所 有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种 关系．于是他进一步提出问题：同一景物的任 意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么 共同的数学性质？他留给后人的这些问题成为 射影几何的出发点．
帕斯卡
Fra Baidu bibliotek
三、射影几何的确立
虽然德扎格和帕斯卡对射影几何的产生作出了非常重要 的贡献，但他们的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量 性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概 念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的 研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用 的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于 解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。
阿尔贝蒂
二、射影几何的产生
射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格(G．Desargues，1591— 1661)．1639年，他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》 (Brouillon projet dune atteinte aux événements des rencontres du cone avec un plan)．这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展，被公认为这 一学科的经典．但它在发表之初，却没有受到数 学家们的重视．德扎格把书印了50份，分送给他的朋友， 不久便全部散失了．直到1845年，沙勒(M．Chasles， 1793—1880)才偶然发现了一个手抄本，由波德 (N．G．Poudra)加以复制，使德扎格的射影几何成果复 明于世，1950年左右，这部书的一个原版本终于在巴黎 被发现，并复制发行． 德扎格
学家阿尔贝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)认真考虑了这一问题．他在1435年
写成的《论绘画》(Dellapittura，1511年出版)一书中阐述了这样的思想：在眼 睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一 个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫 做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是 在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景．