极坐标知识讲解及典型例题

极坐标

一、直角坐标系、平面上的伸缩变换

1、直角坐标系

（1）一维直角坐标系

（2）平面直角坐标系

（3）空间直角坐标系

注意：在平面直角坐标系与空间直角坐标系中都有右手系与左手系之分，我们习惯性地使用右手系。

2、平面上的伸缩变换

以正弦曲线为例，x

y sin

=曲线上所有点的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的b倍，即 X=ax ，其中a，b>0，该式是平面上伸缩变换的坐标表达式。 Y=by

二、极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选

一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点

M，

用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

图1

练习:在极坐标系中，画出以下三个点

A （1，4π）

B （2，23π）

C （3，-4

π） 思考：上述点关于极轴以及极点的对称点

说明：（1）通常限制ρ≥0，当ρ=0时，该点与极点重合，θ不确定，ρ也可以

允许<0，此时M(ρ, θ)位于与极轴成θ角的射线的反向延长线上，

该点与（-ρ, θπ+）重合；

（2）极坐标系中的点与有序实数对(ρ, θ)的对应关系：

2、直角坐标与极坐标的互化：直角坐标（x ，y ）→极坐标（ρ，θ） ρ=22y x +

tan θ=x

y 极坐标（ρ，θ）→直角坐标（x ，y ） x=ρθcos

y=ρθsin

注意：若已知直角坐标，在确定极坐标时，极角的确定光知道极角的正切值是

确定不出来的，还必须知道该点对应在直角坐标的象限。

练习1：将下列直角坐标化为极坐标

A （1，-1）

B （1，π）

练习2：将下列极坐标化为直角坐标

A （2，3

2π） B （1，2） 练习3：分别求下列条件中AB 中点的极坐标

（1）（4，

3π）（6，-32π）；（2）（4，3

π）（6，32π） 三、曲线的极坐标方程 1、定义：在极坐标系下，方程),(θρF 0=，如果曲线C 是由极坐标),(θρ满足方程的所有点组成的，则称方程),(θρF 0=为曲线C 的极坐标方程。

练习：说明下列极坐标方程分别表示什么曲线？

（1）1=ρ （2）4πθ=

2、圆的极坐标方程

（1）圆心在极轴上，且过极点的圆

注意：也可以先写出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程。

练习：写出满足下列条件的圆的极坐标方程

（1） 圆心为（3,0），半径为1； （2）圆心为（0，0），半径为1；

（3）圆心为（-2,0），半径为1； （4）圆心为（0,2），半径为1；

（5）圆心为（0，-2），半径为1.

3、直线的极坐标方程

⑴ ⑵ ⑶

（4） （5） θ

ρcos 2a =θρcos a =θ

ρcos a -=θρsin a =图4θρsin a -=图5

4、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）

设OA =P

e MN MO =，e p =+θ

ρρcos ⇒θρcos 1e ep -= 其中，当01为双曲线

极坐标练习题

一．选择题

1．已知⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛

-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3

4,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ）

A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π

B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π

C ．⎪⎭

⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭⎫

⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆

4．圆)sin (cos 2θθρ+=

的圆心坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭

⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ）

A ．2sin =θρ

B ．2cos =θρ

C ．4cos =θρ

D ．4cos -=θρ

6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛

--ππ则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπ

θ表示的图形是（ ）

A ．一条射线

B ．一条直线

C ．一条线段

D ．圆

8、直线αθ=与1)c o s

(=-αθρ的位置关系是（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关，不确定

9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214-π

B.2-π

C.12-π

D.2

π 10.极坐标方程c o s 2s i n 2

ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆

二．填空题（每题5分共25分）

11、曲线的θθρcos 3si n -=直角坐标方程为_

12．极坐标方程52sin

42=θρ化为直角坐标方程是 13．圆心为⎪⎭

⎫ ⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 14．已知直线的极坐标方程为2

2)4sin(=+π

θρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫ ⎝

⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________ 16、与曲线01cos =+θρ关于4π

θ=

对称的曲线的极坐标方程是___________ 17、 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点， 则|AB|=