高等数学II试卷及答案

学院、系 专业班级 学号 姓名 ······························密··························

······封·······························线········ 06/07试卷（B ） （本试卷共 4 页） 1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的 （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 3、设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 4、 级数 ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关。 5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是 (A) 1 ； (B) 3e ； (C) 3-e ； (D) 1-. 6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式 （A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++ （B ）x Bx Ax 2cos )(2+ （C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）x B Ax 2cos )(+ 答 1、 2、 3、 4、 5、 6、 一. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4小题，每小题4分，总计 16 分 ） 1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。 2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)31,2,1(处的切线方程是 。 3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。 4、如果幂级数

()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . 二. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。

2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向的方向导数。

得分

阅卷人

四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ）

1、(7分)计算二重积分 224+-⎰⎰D x y dxdy 其中D ：x 2+y 2≤9.

2、（7分）设f (x ,y )为连续函数，写出积分

在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。（要求：必须画出积分区域的图形）

五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ） 1、（7分）判别级数∑∞=+1

)]1[ln(1n n n 的敛散性。

2、（8分 ）求幂级数∑∞=+11n n nx

的收敛域及和函数.

六、解答下列各题（本大题共 3小题，总计 19分 ）

1、（5分）求微分方程0)()(7='+''t x t x 的通解。

2、（7分）

求微分方程024)12(=+-'+-y e y x 的通解。

3、（7分）设⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++++++-=+∞→)!1(!3!21)1(lim 122n x x x x x y n n 试证明y 是初始值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+==0

d d 0x y y x x y 的解。

得分

阅卷人 得分

阅卷人 得分

阅卷人

学院、系 专业班级 学号 姓名 ······························密··························

······封·······························线········《高等数学Ⅱ》期末考试 参考答案及评分标准 三. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在大题末的表格中）（本大题共 6 小题，每小题 4分，总计 24 分 ） 答 1、 C 2、 B 3、 C 4、 C 5、 B 6、 A 四. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4 小题，每小题 4分，总计 16 分 ） 1、[]2222)()(),(),,(xy y x y x y x f f ++=ϕ。 2、312221-=-=-z y x 3、C x y +=331 4、)3,1[- 三、解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 12 分 ） 1、 x x z x cos sin 1= （3分） y z y 1= （5分） 2、 {}(){}0,2,11,,0,1,2±=-±=z e x y n 2分 0cos 52cos 51cos =±=±=γβα 3分 ()()()()()()()01210,1,20,1,20,1,20,1,20,1,20,1,2=-=====z e z u x y u y x u ∂∂∂∂∂∂ 5分 5052251±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+±=n u ∂∂ 7分 四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ） 1、解 D 分为D 1：x 2+y 2－4≤0. D 2:4≤x 2+y 2≤9 2分 224+-⎰⎰D x y dxdy 2223220002(4)(4)=-+-⎰⎰⎰⎰d r rdr d r rdr ππθθ 5分 412π= 7分 2、解

=

7 五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）

1、解法1 记[]0)1ln(1>+=

n n n u 有

[][])2ln(1)2ln(1)2ln()1ln()11ln()1ln(11+≤+⎦⎤⎢⎣⎡++=+++=++n n n n n n u u n n n n n （3分）