关于细菌繁殖的数学建模
《数学建模》课程设计--一年生植物的繁殖
淮阴工学院《数学建模》课程设计班级：计科1091姓名：刘红斌学号： 1094101109选题： A 组第 09 题教师：王小才胡平姜红燕数数理院2011年12月.一年生植物的繁殖摘要本文研究生植物的繁殖问题，根据生植物的繁殖规律建立了一个多年后该植物繁殖数量变化情况的三阶线性常系数差分方程模型。
实验利用MATLAB数学软件采用一维搜索的方法，最终确定了1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例b的取值范围，得到了当0.139b<时就不能繁殖的结果。
此模型能够b≥时该植物就能一直繁殖下去，而当0.139很好地解决类似此类预计某项事物发展规律的问题，具有较强的规律性。
关键词：MATLAB，三阶差分方程，一维搜索.一 、问题重述1.1背景资料与条件一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。
这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第二年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。
现在在一片空地上种上0x =500颗某种该植物。
记一棵植物春季产种的平均数为c ,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b ,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b , 活过两个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b ,1岁种子发芽率1a ，2岁种子发芽率2a ，3岁种子发芽率3a ，12310,0.7,0.4,0.2c a a a ====为固定值，b 是变量。
1.2需要解决的问题试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。
二、问题的假设1. 不考虑恶劣的气候环境影响种子春季的种量；2. 不考虑食物链对该植物的影响；3. 不存在自然灾害的破坏；4. 不考虑外部作用使该植物发生突变或变异。
三、符号的说明k x ：第k 年植物数量c ：一棵植物春季产种的平均数 0a ：空地上初始的植物数量 1a ：1岁种子发芽率 2a ：2岁种子发芽率 3a ：3岁种子发芽率b ：1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例四、问题分析.根据所给条件，能够将k 年之后植物的数量表示出来，但是1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例b 不能确定，所以本题是在其他条件都确定的情况下，比较在b 的不同取值下，植物数量的变化规律。
例析高中生物教学中的数学建模
例析高中生物教学中的数学建模作者：蔡丽萍来源：《都市家教·下半月》2013年第04期【摘要】本文通过分析“种群数量的变化”一节教材内容，论述了师生一起体验数学建模在高中生物的运用方法，领悟生物学研究的科学方法。
【关键词】数学建模；高中生物数学建模是建立数学模型过程的简称，而数学模型是将现实问题归结成数学问题，即用数学的语言将问题的本质描述出来。
它的主要思维过程是：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构，也就是说采用数学的语言如公式、图表或算法来描述这个现实对象中各相关变量之间的关系。
本课内容选自人教版的生物必修3模块《稳态与环境》中的第四章第二节《种群数量的变化》，课程标准关于本节的具体内容标准为“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”。
因此引导学生用数学方法解释生命现象，揭示生命活动规律是本节教学策略的着眼点，而数学模型是联系实际问题与数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能。
在科学研究中，数学模型是发现问题、解决问题和探索新规律的有效途径之一。
在教学中，通过分析问题→探究数学规律→解决实际问题→建构数学模型的方法，让学生体验由具体到抽象再具体再抽象的思维不断转化过程。
一、设置问题情境导入，学生及时融入课堂细菌的结构和分裂方式较简单，学生容易理解细菌数量如何增长的数学问题，学生是学习的主体，要求学生通过观察实验数据总结规律，完成问题。
展示：细菌的繁殖图（单细胞的原核生物）在营养和生存空间没有限制的情况下（理想条件下），试推算不同时间内一个细菌的繁殖情况，细菌的数量不断增长，学生可以自主得出细菌增长的数学方程式：N=2n学生完成表格，绘制曲线：时间（分钟）20 40 60 80 (180)细菌数量（个）同数学方程式相比，曲线图表示的模型有什么局限性？曲线图能更直观地反映出种群数量的增长趋势，但不够精确。
让学生自主构建出细菌种群数量变化的图表和曲线，认识到生物现象和规律是可以用数学语言表达出来的。
毕业设计_细菌增长模型数学建模一等奖论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：武汉理工大学参赛队员(打印并签名) : 1. 江泽武2. 徐佳恒3. 陈影指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2012 年 11月 29 日评阅编号：编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注细菌增长模型摘要针对题目所提要求，我们建立了两个细菌增长模型，分别用于对细菌的增长情况做短期和中长期的模拟及预测。
为了对细菌增长发展做短期的预测，根据题目所表述的意思，在短期内，细菌处于自然理想的条件下，每20min左右会通过分裂生长繁殖一代，暂且短期内不考虑细菌的死亡，，我们建立离散Malthus细菌增长模型，主要的参数变量即为其单位时间内的增长量，在理想条件下，由于增长率为一确定的常数，以此来建立简单的细菌增长模型，来模拟此状态下种群的数量形式，其变化形式将呈现指数增长，由于其简单可行，在初始阶段预测种群的数量变化有着合理的数学理论基础。
为了对细菌的生长做中长期的模拟，由Malthus细菌增长模型，模拟酵母菌的生长，发现短期内有一定的重合度，但一定时间后，发现存在较大误差，因此我们根据实际情况，建立新的模型，得出数量和时间的函数关系。
考虑到生物学上细菌在培养基的生长时，在营养的有限情况下，封闭培养基里生物数量的增长最终都趋近于零，查阅资料可知，经过一段时间后，种群数量趋于一个稳定的值，为排除生长营养不足对细菌数量的干扰，我们假设细菌生长在稳定的培养基里，外界环境不受破坏，则在一定的空间内，细菌数量随时间的函数图象呈“S”型曲线增长，我们通过假设满足增长率的倒数成线性增长关系，建立线性回归方程，选取前面17组数据，用最小二乘法拟合出其参数，然后根据误差分析该假设的合理性，最终得出离散的Beverton-Holt模型，最后解出细菌数量关于时间的函数解析式，并计算出第17h、18h的细菌数量，与题目给出数据进行比较，进而判定该模型的合理性。
细菌生长模型的建立与预测
细菌生长模型的建立与预测细菌生长是生物学中一个重要的研究领域，它涉及到许多方面，比如营养与代谢、环境对生长的影响、细胞分裂等。
为了更深入地了解细菌生长，科研人员们建立了各种数学模型，以便预测和控制细菌的生长。
一、传统的细菌生长模型早期的细菌生长模型主要是基于普里茨-逊环境生态学模型和米歇尔-门德尔生长定律的拓展。
其中最常用的是Monod模型，它假定细菌生长速率在不同的底物浓度下都能达到最大值，而且底物浓度越高，生长速率就越大。
这样，根据Monod方程可以得到底物浓度对于细菌生长的影响，从而预测某种特定的细菌菌种在不同环境条件下的生长情况。
二、近年来的细菌生长模型然而，除了Monod模型，近年来还出现了更多新的细菌生长模型，主要是为了更准确地描述细菌生长的过程。
其中一种比较常见的模型是Gompertz模型，它引入了两个参数，分别表示最大生长速率和生长期的延长程度。
通过对比Gompertz模型和传统的Monod模型，可以发现Gompertz模型更适合使用于分散或不均匀分布的样本中。
此外，还有一种名为Logistic模型的细菌生长模型，它考虑到细菌生长的饱和点，即在其生长过程中渐趋稳定的一段时间。
对于Logistic模型而言，代表细菌生长速度的参数是生长速度的最大值，同时还存在一个饱和密度的参数，用来描述细菌种群最大的数量。
三、利用细菌生长模型预测菌落生长量细菌生长模型主要用于预测细菌增长的情况，对于实际应用中的医学、食品、环境等方面也有着重要的现实意义。
例如，医学领域中的抗生素效用测试需要使用到经典的生长曲线（growth curve），可以根据不同时间点菌落的数量来预测细菌的生长情况。
在食品加工业中，细菌的生长状态也是非常重要的，预测菌落生长量可以帮助生产者及时发现菌落数量的迅速增长，以便减少或避免食品污染的风险。
总之，细菌生长模型的建立与预测对于我们更好地了解和掌握细菌生长机制、有效地预测细菌的生长情况有着重要的帮助。
数学建模-细菌繁殖
不变的，且等于该时段初始时刻的变化速度。但这 种近似程度将随着小区间的长度的缩小精度越高。 若对时间间隔无限细分，就可以得到精确值。所以， 经过时间t 后细菌总数为
t n kt kt kt A(t ) = lim A0 (1 + k ) = A0 lim(1 + ) = A0e kt n →∞ n →∞ n n
细菌繁殖
根据已知的对细菌繁殖的统计规律，在营养充足的 t 条件下，时刻细菌的繁殖速度 v(t) 与t 时刻细菌的数 量A(t ) 成正比，比例系数为k ，并且 A(t )是时间t 的 连续函数。试建立细菌数量与时间之间的函数关系。 若某种细菌在繁殖过程中的记录数据如下表所示
3 671 5 937 7 1316 8 1559 10 2186 12 3085
解题过程
从图中容易看出，细菌生长数据与时间成直线关系， 故可用一次函数拟合。
解题过程
第六步： 同样用MATLAB软件，其程序为 > > x = [3 5 7 8 10 12]; > > z = [6.5 6.84 7.18 7.35 7.69 8.03]; > polyfit(x,z,1); ans = 0.1700 5.9900 > > v=0.17*x+5.99; > > plot(x,v,’*’) 出现下面的直线拟合图
n
很多事物的发展变化规律服从这个模型，所以也称 y = Ake kx 为生产函数。 模型
解题过程
第四步：
用MATLAB软件绘制表中所给数据的散点图，其 MATLAB程序为： x = [3 5 7 8 10 12]； > > y = [671 937 1316 1559 2186 3085]； > > plot(x, y, ’*’) 这里是设（A(t ) = y），得到
数学建模细菌繁殖讨论
细菌繁殖讨论
1.问题的提出
细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的，而有些细菌细菌是有益的、更多的是疾病之源。
下面记录了某些细菌的繁殖数据，通过软件Mathematica来研究：
（1）开始时细菌的个数是多少？
（2）如果细菌以过去的速度继续增长，一个月后细菌的个数是多杀？
2.模型假设及符号约定
2.1模型假设
假设1 排除环境对细菌的影响
假设2 细菌个体繁殖能力相同
假设3 一个月三十天
2.2符号约定
y~细菌个数
x~时间
3.模型分析
问题中给了一组观察数据，为了找出细菌个体与繁殖天数之间的关系，将数据导入Excel，画出散点图（见图1）。
图1 时间与细菌繁殖数散点图
通过观察发现，细菌个数与繁殖天数之间成二次函数（见图2）或者指数的
关系（见图3），对比两种拟合，发现指数拟合更优，采用指数拟合。
图3
时间与细菌繁殖指数拟合图
4.结论
选取指数拟合结果，可以认为细菌个数与时间的关系满足
y = 401.57e 0.1697x
（1）
由公式（1）开始时细菌数是402个；由假设3一个月后细菌个数为62577
个。
微分方程建模(溶液浓度)
Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所 找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967
年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型
解决了这一问题。
原理
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t ) ，则有
dN dt N
测定结果与分析
画名 Emmaus的信徒们 洗足 钋210衰变原子数 镭226衰变原子数
8.5 12.6
0.82 0.26
读乐谱的妇人
弹曼陀林的妇人 做花边的人 欢笑的女孩
10.3
8.2 1.5 5.2
0.3
0.17 1.4 6.0
若第一幅画是真品， t t 0 300
y 0 y (t )e
衰减(放射性/污染物的净化) “边际的”(经济学)
应注意题目的 这些词: 改变/变化/增 加/减少
如何建立微分方程?
根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验
的规律等来建立微分方程模型。
微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法
不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
d x C 1V 1 d t C 2V 2 d t
dx C 1V 1 C 2V 2 dt x (0) x0
该模型还适用于 讨论气体的混合
以上两个简单例子的启示:
关键是建立一个 yˊ 、y、t 的方程.
可以表示为导数的最常见的量:
速率
增长(生物学/ 人口问题)
从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
种群数量增长方式
500 400 300 200 100 20 40 60 80 100 180 时间
增长速率 越来越快
自然界中种群的指数增长
1859年，一个英格 兰的农民带着24只 野兔，登陆澳大利 亚并定居下来，但 谁也没想到，一个 世纪之中，这个澳 洲“客人”的数量 呈指数增长，达到6 亿只之巨。
澳洲野兔
理想条件下，如果种群的起始数量为N0，并 且第二年的数量是第一年的λ倍，那么： N 0λ 一年后种群数量N1＝________ ，
2 N λ 两年后种群数量N2＝________ ， 0 t N λ t年后种群数量Nt＝________ 。 0
二、指数增长 ——J型增长
1、存在条件——理想条件 2、数学模型——公式法 、曲线图法
优点： 科学，精确 优点： 直观
t
Ｎt＝N0λ
时间（min)
20
40
60
80
100
120
140
160
细菌（个）
增长率 (%/20min)
2
4
8
16
32
64
128 256
100% 128 128
(4-2)/2 100% 100% 100% 32 64 4 8 16 4-2=2 增长速度v 2 8 32 (个/20min)
种群密度越大环境阻力越大
三、逻辑斯谛增长（S型增长）
小组讨论
种 群 数 量
从图中你得到了哪些信息？
发现了什么问题？
K
（环境容纳量）
K/2
A
时间
四、“J”型曲线与“S”型曲线的比较： 项目
前提条件 种群增长率 K值
“J”型曲线 “S”型曲线
环境资源无限 保持稳定
数学教学中的数学建模与应用
数学教学中的数学建模与应用数学，作为一门基础学科，不仅在学术领域有着重要地位，更是在我们的日常生活中无处不在。
在数学教学中，数学建模与应用是帮助学生理解数学知识、培养数学思维和解决实际问题能力的重要手段。
数学建模，简单来说，就是将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的过程。
它是连接数学理论与实际应用的桥梁，让学生能够看到数学在现实世界中的作用和价值。
在教学中引入数学建模，首先能够激发学生的学习兴趣。
传统的数学教学往往侧重于理论知识的传授和公式的推导，容易让学生感到枯燥乏味。
而通过数学建模，将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
比如，在讲解函数概念时，可以引入手机话费套餐的选择问题，让学生通过建立函数模型来分析不同套餐的费用情况，从而选择最适合自己的套餐。
这样的例子能够让学生明白数学不是纸上谈兵，而是能够解决生活中的实际问题，从而激发他们的学习热情。
数学建模还能够培养学生的创新思维和实践能力。
在建模过程中，学生需要对实际问题进行分析、抽象和简化，选择合适的数学工具和方法，建立数学模型，并通过求解和验证来不断完善模型。
这个过程需要学生发挥自己的想象力和创造力，尝试不同的方法和思路，培养了他们独立思考和解决问题的能力。
例如，在研究城市交通拥堵问题时，学生可以通过收集数据、建立交通流量模型，提出缓解拥堵的方案，这不仅锻炼了他们的实践能力，也培养了他们的创新精神。
此外，数学建模有助于培养学生的团队合作精神。
在实际建模中，往往需要学生分组合作，共同完成任务。
在小组中，学生们需要分工协作，交流讨论，发挥各自的优势，共同解决问题。
这种团队合作的经验对于学生今后的发展具有重要意义。
在数学教学中，数学建模的应用非常广泛。
在物理学中，通过建立数学模型可以研究物体的运动规律；在经济学中，可以用数学模型来分析市场供求关系和预测经济走势；在生物学中，数学模型可以帮助研究生物种群的增长和变化。
关于细菌繁殖的数学建模
关于大草履虫的种群数量增长研究在放有10ml 培养液的培养瓶中放入10只大草履虫，然后每隔天统计一次大草履虫的数量。
其种群增长表格和曲线如下：模型的建立根据假设可知，N 。
1，增长率r 1，繁殖i 代后细菌的数量为M ,繁殖i 1 代后细菌的数量为M 1，则有N i 1(1 r)N i(1)模型的求解代入以上数据根据等差数列公式即可解得：N i当t 72h 时，t it代入（2）即可得，72h 细菌的数量：N2216216繁殖n 代后细菌数量为2n 个。
(2)20由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响＜ 查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定, 其数量时间关系图象呈“ s ”型曲线。
5.2.1.模型的建立由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响＜ 查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定, 其数量时间关系图象呈“ s ”型曲线。
令R r 1，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus差分方程如下N i i RN i （3）以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：图1指数增长模拟图由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“ J”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地用Malthus 模型对本题进行分析存在一定的局限性。
对此，进行如下分析与修正:早期细菌增长规律：R=1，种群数量保持稳定；OvRvI种群数量下降；R=0,此时没有繁殖，种群在这一代中灭亡。
对于R>1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。
由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式：Nt/Nt+11/R在图2中给出了比率“N 与N t 的函数关系。
4.2种群数量的变化
曲线图与数学方程 式比较，优缺点？
直观，但不够精确。
理想条件下的种群增长模型
实例一：1859年，一位英国人来到澳大利亚定居，他带
来了24只野兔。让他没有想到的是，一个世纪之后，这24 只野兔的后代竟达到6亿只以上。漫山遍野的野兔与牛羊 争食牧草，啃啮树皮，造成植被破坏，导致水土流失。后 来，人们引入了黏液瘤病毒才使野兔的数量得到控制。
“J”型 “S”型 生存环境的条件有限 营养充足，温度、pH等条件适宜
营养物质过度消耗、pH发生变化、有害代谢产物积累
2015年4月5日星期日
35
增长率与增长速率
增长率：在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率 ：
（现有个体数-原有个体数）/ 原有个体数 X100%
增长速率：指单位时间种群增长数量:
（K/2) （种群增长速率最快） 指数增长期
N0 （种群增长速率加快） 时间
（种群个体数少且要适应新环境，种群增长速率缓慢） 延滞期
种群数量 小于K/2值时 种群— 增长速率加快
种群数量在 K/2值时， 种群— 增长速率最大
K/2
种群数量 K
种群数量 大于K/2值时 种群— 增长速率减慢
种群数量达到K值时， 种群— 增长速率为0
理想条件下的种群增长模型
实例二：在20世纪30年代时，
人们将环颈雉引入到美国的一 个岛屿，在1937～1942年期间， 这个环颈雉种群的增长大致符 合“J”型曲线（右图）。
二．种群增长的“Ｊ”型曲线
自然界确有类似的细菌， 在理想条件下种群数量的 增长会如图中J型曲线增 长。 其理想条件是什么？ 气候适宜 食物充足 空间充裕 外无天敌
捕捞后，使鱼的 种群数量维持在 K/2，此时增长 率最大，鱼的种 群数量会迅速回 升
4.2《种群的增长方式》
增 长
增长最快，此后便减速增长到
曲
K值便停止或在K值上下波动 种
线
群
数 量
增
长
速 率
时间
种群数量
小结：“J”形曲线和“S”形曲线比较
“J”形曲线
“S”形曲线
产生 条件
资源空间无限、 不受其他生物制 约等理想条件下
自然条件下资源空间有限、受 其他生物制约
起始增长很慢，随 起始加速增长，K/2时增长最
K
S形
K/2
A
B 如果你是渔场主，你怎么让自
己的渔场获得最大的收益，实 现渔场的可持续发展？
田鼠是自然界生物链中的一个 物种，不宜赶尽杀绝。
实例分析
根据种群数量增长的相关知识，分析大熊猫种 群数量锐减的原因？
栖息地遭到破坏后，由 于食物的减少和活动范 围的缩小，其K值变小。
濒危动物保护 建立自然保护区， 给大熊猫更宽广的 生存空间，改善他 们的栖息环境，可 以提高K值。
内分泌调节
密度增加→压力增大→刺激中枢神经系统→内分泌 失调（生长激素、性激素分泌减少、抗体减少） →出生率下降、死亡率上升→种群数量减少
橘红色的旅鼠，以便吸引天敌
肾上腺增大、 生殖腺退化 以及低血糖
种群密 度过大
雌鼠排 卵功能 减退
生殖力↓ 死亡率↑ 迁出率↑
种群数量↓
Thank You！
不受其他生物制约
N0
时间
三、种群增长的J型曲线
实例1：环颈雉
20世纪30年代， 人们将环颈雉引入 美国的一个岛屿。
三、种群增长的J型曲线
实例2：凤眼莲
凤眼莲原产于南美，1901年作为花卉引入中国.由于繁殖迅速， 又没有竞争对手和天敌，它过渡繁殖对水面采取了野蛮的封锁 策略，导致水下植物得不到足够光照而死亡 。
数学建模 细菌繁殖问题
细菌繁殖摘要本文针对酵母菌种群繁殖的基本特点，为达到解决所列出的三个问题的目的，建立了符合实际情况的预测模型。
预测模型：根据题目给出的已知条件，最终建立了符合本题的Logistic模型。
综合考虑了各种因素，利用计算机MATLAB编程分别对问题进行求解，并分别绘制出本题的Logistic数学模型和问题三中所列的二次多项式的曲线，以供对比。
对于问题一得出，本文建立了种群预测的Malthus模型以及符合本题的Logistic模型，模型中参数K的值为：0.00081411，参数M的值为：663.97。
对于问题二得出，自初始时刻起，20小时时酵母菌的数量为：663.06。
该种群的增长呈现出S型，前期呈指数型增长，中后期增长缓慢，种群数量最终达到最大值：663.97。
对于问题三得出，根据计算机MATLAB程序绘制出的本题Logistic数学模型以及问题三中所列的二次多项式的曲线。
对两条曲线进行对比，易知符合本题的Logistic模型具有更好的预测能力。
关键词：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；预测1 问题重述已知酵母菌种群在培养物中的增长情况，见附录中表a 所示。
现根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。
根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题：问题一：建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数； 问题二：利用问题一中的模型，预测20小时时酵母菌的数量；问题三：若用二次多项式2210)(t k t k k t N ++=（其中)2,1,0(=i k i 为常数）作为新模型，试从误差角度说明新模型与问题一中的模型哪个具有更好的预测能力，并画出对比曲线。
2 问题的基本假设与说明1）假设题目所给的数据全部真实可靠，可以作为检验所建立的数学模型的准确性的事实依据。
2）在自然环境中，细菌繁殖增长会受到各方面复杂因素的影响，为简化模型，本文以题目中给出的实测数据，作为衡量所建立的数学模型准确度的主要因素。
4.2_种群数量的变化
2.右图是一动物种群
迁入一个适宜环境后的 增长曲线图，据图 回答(1)～(5)题：
d点增长率为零
d 。 (1)图中表示种群数量最大的一点是________ b (2)图中表示种群增长速度最快的一点是________ 。 2 (3)该种群的增长速率由缓慢到增大是在迁入________ 年后开始的。 S (4)此动物种群增长的曲线呈________ 型。 (5) 既要获得最大的捕获量，又要使动物资源的更新不受 破坏，应该使该动物种群的数量保持在________ b 点。
影响种群数量变化的因素：
直接因素：出生率、死亡率、迁入、迁出
间接因素：食物、气候、传染病、天敌 重要因素：人类的活动
研究种群数量变化有何意义？ 1、野生生物资源合理利用和保护（如鱼类的捕 捞），以及濒危动物种群的拯救和恢复。
2、有害动物的防治—蝗虫的防治
探究：培养液中酵母菌种群数量的变化
一般步骤: 提出问题——作出假设——讨论探究思路——制定计 划——实施计划——分析结果，得出结论——表达和 交流——进一步探究。
故增长率不能等同于增长速率。
种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线 斜率。
16 （中）× 25 （小）
酵母菌培养液稀释10倍后，第一次抽样
检测结果为：4个中方格中共有40个酵母菌，
则每毫升菌液中含有酵母菌__________ 1.6×107 个 。
②从试管中吸出培养液计数之前，建议你将试管轻
轻震荡几次，这是为什么？
使培养液中的酵母菌均匀分布，以保证
估算的正确性，减少误差。
分析结果，得出结论
将所得数值用曲线图表示出来，分析实验结果是否支持你 所做的假设。
结论： 酵母菌的种群数量在营养条件有限的情 况下是呈 “S”型增长，但之后会下降。温度、 营养成分会影响酵母菌种群数量的变化。
342种群数量变化
世界人口增长曲线
我国人口数量变化
事例3
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（一）种群增长的“J”型曲线
种群的数量连续增长 Nt = N0λt N0：种群的起始数量 λ：种群数量是前一年的 λ倍 Nt：t年后的种群数量
在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等理想条件下
三、种群增长曲线
针尖上的细菌
建立种群数量变化的数学模型
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细菌菌落
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适宜条件下，细菌20分钟繁殖一代
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数学模型：用来描述一个系统或它性质的数学形式
研究实例细菌20min分裂一次在资源和环境无限的环境中，细菌种群的增长不会受种群密度增加的影响Nn=2n观察、统计细菌数量，对自己所建立的模型进行检验或修正
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自然界的资源和空间有限种内斗争加剧捕食者数量的增加
生态学家高斯（Gause）实验：在0.5ml培养液中放入5个大草履虫，每隔24h统计一次大草履虫的数量。
(二) 种群增长的“S”型曲线
2.K值（环境容纳量）： 在环境条件不受破坏的情况下， 一定空间中所能维持的种群最大数量。
-----灭鼠
方法1:药物杀死老鼠、 安放捕鼠夹
方法2:清除垃圾，严密储存食物、 增加天敌等
降低K值，最有效
N＜K／2
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四、研究种群数量变化的意义
2.种群数量在K/2值时 种群增长率最大
3.种群数量小于K/2值时 种群增长率增加
1.种群数量达到K值时 种群增长率为零
研究方法提出问题提出合理假设根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正
细菌(数量)生长规律的数学模型
题目：细菌(数量)生长规律的数学模型北京理工大学吴帆 200810431.摘要：假定在繁殖过程中,细菌不发生变异.其繁殖过程可归结为细菌(活体)个体数变化的问题，实际上这个模型就是一个细菌数量关于时间t的一个函数。
在培养皿上涂有一薄层培养基.显然细菌的繁殖是受到了环境的限制,细菌只能沿着平面向外按扩散方式繁殖.由于只有在外层的细菌接触培养液，内层细菌都处于不繁殖状态，根据这个细菌的繁殖特点，和细菌在失去培养基条件保持生命体时间τ为定值的条件。
模拟出细菌生长-死亡曲线的数学模型的整体结构。
不仅如此，由于处于繁殖状态的细菌个数是和当前菌落半径成正比的，类比人口增长的马尔萨斯模型与该模型的改进，利用各个参数之间的微分关系，求出细菌繁殖速率与时间的关系，这也反映出环境阻力对细菌生长的影响，（这是原文章所忽略的）。
将反映出环境阻力的细菌生长曲线带入细菌生长-死亡曲线的数学模型的整体结构。
就可以得到一个含参的细菌数量关于时间的一个函数。
利用这个函数实际细菌接种实验结果就可以得到一个接近实际的细菌生长规律的数学模型。
这也就是本论文的分析结果。
2.模型建立：a．问题背景：少量的细菌，接种到一定体积的、合适的新鲜液体培养基中，在适宜的条件下进行培养，定时测定培养液中的菌量，以菌量的对数作纵坐标、生长时间作横坐标，绘制的曲线为生长曲线。
一般生长曲线可分为延迟期、对数期、稳定期和衰亡期，生长曲线是微生物在一定环境条件下于液体培养时所表现出的群体生长规律。
不同的微生物其生长曲线不同，即使是同一种微生物，在不同的培养条件其生长曲线也不同，测定在一定条件下培养的微生物的生长曲线。
在科学研究及生产上是非常有意义的。
b．理论分析：其一，在二维培养基平面下细菌生长和三维空间不同，由于细菌活动自由度的限制，只有在外表层的细菌接受营养来源，也就是说只有分布在外层的细菌才有参与繁殖的条件。
其二，对于同种细菌，在没有营养供给的条件下并不会直接死亡，而是维持一段时间的活体状态，由于同种细菌个体内部生物结构大致相同，所以这段延迟时间是一个客观存在的，确定的数值。
细菌生长与适应的数学模型
细菌生长与适应的数学模型随着科技水平的发展，人类对各种生物的研究也日益深入。
其中，对微小生物的研究一直是热点之一。
在微生物中，细菌被认为是最常见、最广泛分布、最具代表性的生物。
细菌的生长和适应是细菌研究领域的核心问题之一，而数学模型则是研究这些问题的常用方法之一。
一、细菌生长的数学模型细菌生长的数学模型是指用数学方法来描述细菌的生长和繁殖规律。
目前，细菌生长的常用模型有单个细胞增值模型、传代增值模型、寿命分布模型等。
单个细胞增值模型是最简单的细菌生长模型之一，也是最早被研究的模型之一。
该模型假设在一定条件下，单个细胞生长速率是恒定的，与其他细胞的存在无关。
该模型的方程可以用以下公式表示：dN/dt = kN其中，dN/dt表示单位时间内细菌数量的变化量，k表示细菌增殖速率，N表示初始时刻的细菌数量。
传代增值模型是一种更加贴近现实的模型。
该模型包含细菌之间的相互作用和竞争等因素，能更加真实地反映细菌生长状态。
该模型的方程可以用以下公式表示：dN/dt = (G * N - k * N * N) / K其中，dN/dt表示单位时间内细菌数量的变化量，G表示细菌的增殖速率，k表示细菌的竞争系数，K表示环境的容纳量。
寿命分布模型是一种可以描述细菌在生长过程中出现死亡的模型。
该模型基于统计学原理，假设细菌在生命的不同阶段死亡的概率是相同的，并且各细菌个体之间是独立的。
该模型的方程可以用以下公式表示：dN(t)/dt = -λ * N(t)其中，dN(t)/dt表示在时间t时刻细菌数量的变化量，λ表示细菌死亡率。
在该模型中，细菌的寿命分布是指在每一个时刻，生命从开始到该时刻结束的概率密度函数。
寿命分布模型常用于研究细菌死亡的生理现象，及其与环境条件的关系。
二、细菌适应的数学模型细菌适应的数学模型是指用数学方法来描述细菌对外界环境变化的响应和适应规律。
目前，关于细菌适应的数学模型主要包括突变积累模型、基因表达模型和基因调控网络模型等。
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关于大草履虫的种群数量增长研究
在放有10ml 培养液的培养瓶中放入10只大草履虫，然后每隔一天统计一次大草履虫的数量。
其种群增长表格和曲线如下：
模型的建立
根据假设可知，10=N ，增长率1=r ，繁殖i 代后细菌的数量为i N ，繁殖1+i 代后细菌的数量为1+i N ，则有
1(1)i i
N r N +=+ （1）
模型的求解
代入以上数据根据等差数列公式即可解得：
2i
i N = （2）
当h t 72=时，
726021620t i t ⨯=
==∆
代入（2）即可得， 72h 细菌的数量：
2162162N =
繁殖n 代后细菌数量为2n 个。
由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。
查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s ”型曲线。
5.2.1. 模型的建立
由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。
查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s ”型曲线。
令1R r =+，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus 差分方程如下
1i i N RN += （3） 以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：
图1 指数增长模拟图
由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“J ”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地
用Malthus 模型对本题进行分析存在一定的局限性。
对此，进行如下分析与修正：
早期细菌增长规律： R=1，种群数量保持稳定； 0<R<1种群数量下降；
R=0，此时没有繁殖，种群在这一代中灭亡。
对于R>1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R 中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。
由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式：
图2 比率
1
t
t N N +与t N 的函数关系 在图2中给出了比率1
+t t
N N 与t N 的函数关系。
图5-2-1中的点A 所表示生物
意义可以这样理解：当种群数量非常小的时候，种群之间的相互竞争非常小甚至没有，此时净增长率R 不需要任何的修改。
因此，模型1t t N RN +=，当种群数量非常小的时，关系仍然成立。
重新改写成该方程得到
11
t t N N R +=
(4)
然而，随着种群数量的增加，种群之间的竞争越来越强，这使得精确的净增长率被这种竞争而修正，并且一定存在一点使得竞争强到种群的数量不再增长，此时即有1
+t t N N 充分接近1。
设此时的种群数量达到种群的环境容纳量K ，即为
图2中的点B 。
由图2知，当种群数量从A 点到B 点时，比值1
+t t
N N 也有一定的增加。
为了
简单起见，我们直接假设比值1
+t t N N 与t N 具有如图2中的直线关系，该直线的方
程式为
1
t
t t N aN b N +=+ （5） 5.2.2 模型的求解
本题以酵母菌为例，由题目中酵母菌数量变化表，对数据进行分析，先取前17组数据，分别求出t N 与1
+t t N N ，处理后可得到如下表格：
表2 酵母菌增长情况
以小时计的时间
t
观察到的酵母菌生物量
t N
生物量的变化
1t t N N +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 18 29 47 71 119 175 257 351 441 513 560 595 629 641 651 656 660
0.556 0.621 0.617 0.662 0.597 0.680 0.681 0.732 0.796 0.860 0.916 0.941 0.946 0.981 0.985 0.992 0.994 \
根据最小二乘法的拟合原理，取a 、b 为使得函数()()21
,()t t t E a b f N x ==-∑值
最小时的值。
其中令t x 是n t =时1
+t t
N N 的数值。
用matlab 进行线性拟合
图3 拟合直线图
由此可得的1
+t t
N N 关于t N 的解析式为：
1
0.00061890.58766t
t t N N N +=+ （6) 根据以上解析式（6），我们可以看出，随着种群数量N 越来越大，1
+t t N N 越
来越大，则种群的增长率r 及R 越来越小，符合基本的生物学规律，而拟合的方差很小，具有很强的规律性。
随着繁殖代数i 的增长,即时间的变长，最终指数项将趋近于0，故种群的数量最终呈现稳定的值max N ，与题目假设、生物学知识刚好吻合。