2021人教A版高考数学总复习《盘点优化解析几何中的方略技法》

答案 D
思维升华 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而
快速求出双曲线的实轴长，进而求出双曲线的离心率，大大减小了运算量.
【训练 1】 抛物线 y2＝4mx(m＞0)的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，若点
A(－m，0)，则|PF|的最小值为________. |PA|
(2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2). 当直线 l⊥x 轴时，直线 l 的方程为 x＝1，
2
1， 6
1，－ 6
则 C 2 2 ，D 2 2 ，此时 CD 的中点不是 N，不合题意.
故设直线
l
的方程为
y－1＝k
x－1 2
，
将 C(x1，y1)，D(x2，y2)代入 2x2＋y2＝2(x≠±1)得
将 x＝y－2 代入x2＋y2＝1 得 7y2－12y＝0， 43
解得
y＝0
或
y＝12，所以 7
y1＝172.
因此△AMN 的面积 S△AMN＝2×12×172×172＝14494.
(2)由题意知，t＞3，k＞0，A(－ t，0).
将直线 AM 的方程 y＝k(x＋ t)代入x2＋y2＝1 t3
得(3＋tk2)x2＋2 t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
A. 2
B. 3
C.3
2
D. 6 2
解析 焦点 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，在 Rt△AF1F2 中，|AF1|＋|AF2|＝4，① |AF1|2
＋|AF2|2＝12，② 联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝2 2，即 2a＝2 2，又 2c＝2 3，
故双曲线的离心率 e＝c＝ 3＝ 6，故选 D. a 22
xP·m）2
xP＝m
时取等号)，所以|PF|≥ |PA|
2， 2
所以|PF|的最小值为 2.
|PA|
2
答案 2 2
技法二 设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，
或弦的中点的轨迹方程时，常常用代点法求解.
【例 2】 已知点 A，B 的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线 AM，BM 相交于点
M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点 M 的轨迹方程；
(2)若过点 N
1，1 2
的直线
l
交动点
M
的轨迹于
C，D
两点，且
N
为线段
CD
的中
点，求直线 l 的方程.
解 (1)设 M(x，y)，因为 kAM·kBM＝－2， 所以 y · y ＝－2(x≠±1)，
x＋1 x－1 化简得 2x2＋y2＝2(x≠±1)，即为动点 M 的轨迹方程.
盘点优化解析几何中的方略技法
微点聚焦突破 技法一 巧用定义，揭示本质
定义是导出其性质的“发源地”，解题时，善于运用圆锥曲线的定义，以数形结 合思想为指导，把定量分析有机结合起来，可使解题计算量大为简化. 【例 1】 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分 别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率 是( )
(1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积；
(2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k 的取值范围.
解 (1)设 M(x1，y1)，则由题意知 y1＞0，
当 t＝4 时，E 的方程为x2＋y2＝1，A(－2，0). 43
由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为π. 4
因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2.
由 x1·(－
t)＝t2k2－3t得 3＋tk2
x1＝
t（3－tk2）， 3＋tk2
故|AM|＝|x1＋
ห้องสมุดไป่ตู้t|
1＋k2＝6
t（1＋k2）. 3＋tk2
由题设知，直线 AN 的方程为 y＝－1(x＋ t)， k
同理可得|AN|＝6k t（1＋k2）. 3k2＋t
由 2|AM|＝|AN|得3＋2tk2＝3k2k＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1).
∵yx11－－yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－ba22＝－12，∴a2＝2b2. 又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴c＝ 2. a2
即椭圆 C 的离心率 e＝ 2. 2
答案 2 2
技法三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的
2x21＋y21＝2，① 2x22＋y22＝2，②
①－②整理得 k＝y1－y2＝－2（x1＋x2）＝－2×2×12＝－1，
x1－x2
y1＋y2
2×1
x－1 ∴直线 l 的方程为 y－1＝－1× 2 ，
即所求直线 l 的方程为 2x＋2y－3＝0.
思维升华 1.本题设出 C，D 两点坐标，却不求出 C，D 两点坐标，巧妙地表达
出直线 CD 的斜率，从而快速解决问题.
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：(1)凡是不必直接计
算就能更简洁地解决问题时，都尽可能实施“设而不求”；(2)“设而不求”不可
避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
【训练 2】
过点
M(1，1)作斜率为－1的直线与椭圆 2
C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)相交
于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________.
解析
ax212＋by212＝1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ax222＋by222＝1，
∴（x1－x2）（x1＋x2）＋（y1－y2）（y1＋y2）＝0，
a2
b2
∴yx11－－yx22＝－ba22·xy11＋＋xy22.
解析 设点 P 的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP
＋ m)2 ＋ y 2P ＝ (xP ＋ m)2 ＋ 4mxP ， 则
|PF| |PA|
2
＝
（xP＋m）2
＝
（xP＋m）2＋4mxP
1 1＋（x4P＋mxmP ）2≥1＋（2
1 4mxP
＝1(当且仅当 2
方法来解，也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根
与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小，解
题过程简捷. 【例 3】 已知椭圆 E：x2＋y2＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k
t3 ＞0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA.