第二章_材料的晶体结构

1、晶面指数：
1) 建立坐标系：在六方晶系中，为了 明确的表示晶体底面的(六次)对称 性，底面用互成120度的三个坐标 轴x1、x2、x3，其单位为晶格常数 a，加上垂直于底面的方向Z，其单 位为高度方向的晶格常数c。注意 x1、x2、x3三个坐标值不是独立的 变量。 2) 方法同立方晶系， (hkil)为在四个 坐标轴的截距倒数的化简，自然可 保证关系式h＋k＋I＝0。底面指数 为(0001),侧面的指数为(1010)。
°
°
7). 立方晶系 a = b = c , α = β = γ = 90 ;
°
布 拉 菲 空 间 点 阵 晶 胞
三斜：简单三斜 a b c,
90o
单斜：简单单斜 a b c, 底心单斜
90o
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 相互垂直。



试说明一个面心立方等于一个体心四方 结构。 在立方系中绘出｛110｝、｛111｝晶 面族所包括的晶面，及（112）和（12 0） 晶面。
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
a b c,
90
o
空间点阵和晶胞的关系
同一空间点阵可因选取晶胞的方式不同而得出不同的晶胞 体心立方 面心立方 简单三斜 简单菱方
新晶胞不能反映立方晶系空间点阵的对称性，故不能这样选取。
120o
120o 120o
六方晶系只有简单六方点阵， 在简单六方点阵的上下面中心
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
2、晶向指数
标定方法：
1. 平移晶向(或坐标)，让原 点为晶向上一点，取另一 点的坐标，有:
2. 并满足p＋q＋r＝0 ； 3. 化成最小、整数比 u：v：t：w 4. 放在方方括号[uvtw]，不加逗号，负号记在上方 。
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
2). 单斜晶系 3). 正交晶系 4). 六方晶系 5). 菱方晶系 6). 正方晶系 a=b=c, a=b=c, a=b=c, a=b=c, a=b=c, α = γ = 90 = β; α = β = γ = 90° ; α=β= 90°,γ=120°; α = β = γ = 90°; ° α = β = γ = 90 ;
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
晶带定律的应用（1）
晶面1 (h1 k1 l1) 晶带轴 (u v w) 晶面2 (h2 k2 l2)
u:v:w
k1
l1
k2 l2 l2
:
l1
h1
h2 h2
:
h1
k1 k2
u h1 h2
v k1 k2
w l1 l2
晶带定律的应用（2）
晶向1 (u1 v1 w1) 晶面 (h k l) 晶向2 (u2 v2 w2)
添加结点后是否形成一个新的
c a
ba
点阵——底心六方点阵，如果 它满足六方晶系的对称性，那 它就是一个新的点阵。
但是所形成的点阵不再具有6次旋转对称，因而不再是六方晶 系，而带心点阵可以连成简单单斜点阵，因而不是新点阵。
为什么没有底心四方和面心四方？ 如果存在，从上图可以看出，底心四方可以连成体积更小
3) 改变符号时，前三项要满足p＋q＋r＝0的相关性 要求。
三、其他晶体学概念
1.晶向的原子密度（线密 度）：该晶向单位长度上的
节点(原子)数。
2.晶面的原子密度（面 密度） ：该晶面单位
面积上的节点(原子)数。
3.晶带和晶带轴：相交和平行于某一晶向的所有晶面 的组合称为晶带，此直线叫做它们的晶带轴。晶带 用晶带轴的晶向指数表示。 在立方晶系中有：
晶体结构和空间点阵的区别
任何一种晶体都有它自己的特定的晶体结构，不可能有两 种晶体具有完全相同的晶体结构。因此，晶体结构的数目 极多，为了便于研究晶体，可把它抽象为空间点阵。

晶体结构=结构基元+空间点阵


晶体结构是在每个空间点阵点上安放一个结构基元。
晶体结构是由结构基元在三维空间呈周期性重复排列，把结
2. 3.
4.
5.
晶面指数特征：与原点位置无关；每一指数对应 一组平行的晶面。平行晶面的晶面指数相同，或 数字相同，符号相反。


晶面族：原子排列情况相同，但空间位向不同 的一组晶面的集合。 表示方法：用花括号{hkl}表示。例如：

可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有 结果都是该族的范围。
晶面指数的例子


晶胞：空间点阵中能代表 原子排列规律的最小的几 何单元称之为晶胞，是构 成空间点阵的最基本单 元。——能表达晶体结构 的最小重复单位。 换言之：晶胞在三维空 间有规则地重复排列组成 了晶体。
晶胞
c c
β α b a γ β α a γ
b
图 空间点阵
选取的原则晶胞
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
2 2 2 2
• 不同晶面族的晶面间距也不相同。

在简单立方晶胞中 复杂立方晶胞


其中fcc和bcc晶体中m一般为2，但要具 体分析。
晶面间距（4）
复杂晶胞
体心立方
面心立方 密排六方
附加面 Dhkl/2
h + k + l = 奇数
h k l不全为奇数或者不全为偶数 h + 2k = 3n (n=1,2,3….), l为奇数
a b c,
90o
六方：简单六方
a1 a2 a3 c,
90o , 120o
菱方：简单菱方 a b c, 90o
四方：简单四方 a b c, 体心四方
90o
立方：简单立方 体心立方 面心立方
三、其他晶体学概念
5.两晶向之间的夹角： 在立方晶系中按矢量关系，晶向[u1v1w1]与[u2v2w2] 之间的夹角满足关系：
在立方晶系，晶面之间的夹角也就是为其法线的夹角， 用对应的晶向同样可以求出。
上图是金属中常见的密排六方晶体结构，但它不能看作一种 空间点阵，这是因为位于晶胞内的原子与晶胞角上的原子具 有不同的周围环境，这样的晶体结构应属简单六方点阵。
晶体结构和空间点阵的区别
图 几种晶体结构的点阵分析 (a) γ-Fe (b) NaCl (c) CaF2 (d) ZnS 尽管它们的晶体结构完全不同，但是它们的点阵类型相同，都是面心立方。
面称为晶面。
晶面指数：表示晶面方位 的符号。
1. 建立坐标系 结点为 原点，三棱为方向， 点阵常数为单位 （原 点在标定面以外，可 以采用平移法）； 晶面在三个坐标上的 截距a1 a2 a3 ； 计算其倒数 b1 b2 b3 ； 化成最小、整数比h： k ：l ； 放在圆方括号(hkl)， 不加逗号，负号记在 上方 。
h:k :l
v1 v2
w1 w2
:
w1
u1
w2 u2 u2
:
u1
v1 v2
h u1 u2
k v1 v2
l w1 w2
晶带定律的应用（3）
晶轴1 (u1 v1 w1) 晶轴2 (u2 v2 w2) 晶轴3 (u3 v3 w3) 若
u1 u 2 u 3 v1 v2 v3 w1 w2 0 w3
的简单四方点阵，面心四方可以连成体积更小的体心四方
点阵，因此不存在底心四方点阵和面心四方点阵。
由上图可以看出。4个简单四方可以连成一个底心四方， 4个体心四方可以连成一个面心四方，但面积都比原来 大，这与晶胞的选取原则相抵触。
为什么不存在体心单斜和面心单斜点阵？ 如果存在，由上图可以看出，2个体心和面心单斜都可 以连成一个底心单斜点阵，因而不是新的点阵。
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分 析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间 理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，
它只能有14种类型。
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具 体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在 的晶体结构是无限的。
第二章 材料的晶体结构

本章的主要内容 晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的晶体结构 共价晶体的晶体结构
第一节 晶体学基础
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一、晶体结构、空间点阵和晶胞
晶体结构：晶体中原子（分子、离子） 在三维空间的具体排列方式。


空间点阵：由几何点做周期性的规则排 列所形成的三维阵列。 空间点阵中的点 －阵点。它是纯粹的几何点，各点周围 环境相同。 晶格：描述晶体中原子排列规律的空间 格架称之为晶格。
•任何晶体的晶胞都可以看成是平行六面体，不同晶
体的区别在于：
•（1）不同晶体的晶胞其大小和形状不同
•（2）围绕每个接点的原子种类、数量及分布不同。
1855年,法国学者布拉维(Bravais)用数学方法证 明了空间点阵共有且只 能有十四种,并归纳为七个晶系:
二、.晶系与布拉菲点阵
1). 三斜晶系 a = b = c , α = β = γ = 90 ;
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i ＝－ ( h + k ) 。
晶系晶向与晶面指数
三、六方晶系晶面与晶向指数
3、晶向族与晶面族
1) 同一族的晶向或晶面 也具有等同的效果；
2) 三个水平方向具有等 同的效果，指数的交 换只能在他们之间进 行，Z轴只能改变符 号 ；
3.
4. 5.
晶向指数的例子

正交晶系一些重要晶向的晶向指数
一、晶向与立方晶系晶向指数
晶向指数特征：与原点位置无关；每一指数对应一组 平行方向一致的晶向。若晶体中两晶向相互平行 但方向相反，则晶向指数中数字相同而符号相反。 晶向族：原子排列情况相同，但空间位向不同的一组 晶向的集合。 表示方法：用尖括号<uvw>表示 。 举例：

正交点阵中一些晶面的面指数
晶向(crystal direction): 在晶格中,任意两原子 之间的连线所指的方向。代表了晶体中原子列的 方向。
晶向指数：表示晶向方位 符号。 标定方法：
1. 2. 建立坐标系 结点为原点，三 棱为方向，点阵常数为单位 ； 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 平移晶向或坐标，让第一点在 原点则下一步更简单)； 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2z1 ； 化成最小、整数比u：v：w ； 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
晶胞选取的原则
•选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； •平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；
•当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目 应最多； •当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体 积。
•晶轴：晶胞的三条棱的长度就是点阵沿这些方向的周期，这三体棱 就叫晶轴。 •晶胞棱边长度a、b、c，其单位为nm ,棱间夹角α、β、γ。这六个 参数叫做点阵常数。 •晶胞的大小由三条棱的长度决定，晶胞的形状取决于这些棱的夹角。

晶面间距（3）
正交晶系
d hkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
构基元抽象成一个点，晶体结构就抽象成空间点阵。
一个晶体结构抽象成空间点阵的基本规则是：每一个点各
自的物理和几何环境应该完全相同，这些点称为等同点。
图1-5 几种晶体点阵的平面图(a、b、c)和它们的空间点阵(d)
（a）刚性球堆积
（b）晶格及晶胞
点阵中的晶胞选取
（ c）晶胞及点阵参数
三、晶面指数和晶相指数 .晶面(crystal face): 在晶格中由一系列原子所构成的平
则
三个晶轴同在一个晶面上
晶带定律的应用（4）
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2) 晶面3 (h3 k3 l3) 若
h1 h 2 h3
k1 k2 k3
l1 l2 0 l3
则
三个晶面同属一个晶带
三、其他晶体学概念
4.晶面间距：指相邻两个平行晶面之间 的距离 • 晶面间的距离越大，晶面上的原子排列 越密集。 • 同一晶面族的原子排列方式相同，它们 的晶面间的间距也相同。