几种不同类型的函数模型知识点

几种不同类型的函数模型

一 函数模型及数学建模

函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．

那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学结论还原为实际问题．

建模过程示意图：

二 几种常见的函数模型

1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)；

2．反比例函数模型：f(x)＝k x

＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)；

4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)；

5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)；

6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；

7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．

三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较

正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异．

直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)

上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)

的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x

数的变化规律．

总结：（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a x (a>1),y=log a x(a>1)和y=x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不

同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)

的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x 的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x 的增大，y=a x (a>1)的图象逐渐表现为与y 轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x 轴平行一样；（5）当a>1,n>0

时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有a x ＞x n ＞log a x ；（6）当0x 0时，有log a x

＜x n ＜a x

一次函数模型

例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．

图(1) 图(2)

(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．

思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．

解：(1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15

x ＋29(x≥0)，y 2＝12x(x≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623

时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x<9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜；当x>9623

时，y 1

例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．

解：设每天从报社买进

设每月所获利润为y ∵y＝0.8x ＋550在[250,400]上是增函数，∴当x ＝400时，y 取得最大值870.

即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 二次函数模型

例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人

数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32

倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．

(1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格；

(2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？

思路点拨：首先用标价x 表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利润函数，再利用函数关系解决相关问题．

解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b(k<0)，则旺季的最高价格为－b k

元/件，利润函数L(x)＝(x －100)(kx ＋b)＝kx 2－(100k －b)x －100b ，x∈[100，－b k ]．当x ＝100k －b 2k ＝50－b 2k

时，L(x)最大．由题意知50－b 2k ＝140，解得－b k ＝180.即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×23

＝120(元/件)．

(2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n(m<0)，则淡季的最高价格为－n m

＝120(元/件)，即n ＝－120m ，利润函数L(t)＝(t －100)(mt －120m)＝m(t －110)2－100m ，t∈[100,120]．当t ＝110时，L(t)

最大．

所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．

二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二次”互为关联的重要特征，因此在应用型问题中是最为重要的模型．此外作为一个考点，由于二次函数涉及函数单调性、区间最值等诸多方面，因此有理由相信，今后这类试题仍将是重点．本题最为重要的特点是逆向运用二次函数最值问题，通过旺季最值的取得来获得参变量之间的关系进而对淡季羊毛衫的价格作出判断与预测．这种方法值得去关注．

指数函数模型

例4 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

思路点拨：复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息 解：已知本金为a 元．1期后的本利和为y 1＝a ＋a×r＝(1＋r)a ；2期后的本利和为y 2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r ＝

a(1＋r)2；3期后的本利和为y 3＝a(1＋r)3；…