2020届山东省青岛市崂山区青岛第二中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆y 2+4x 2＝1的焦距为（ ）A ．2B C ．D 【答案】B【解析】直接利用椭圆的方程，求得,a b 的值，然后求得2c ，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程2241y x +=，可得2211,4a b ==，又由22234c a b =-=，解得2c =2c =. 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．已知命题P ：∃x ＞0，lgx ≤0，则￢P 是（ ） A ．∃x ≤0，lgx ＞0 B ．∀x ＞0，lgx ＞0 C ．∀x ＞0，lgx ＜0 D ．∃x ＞0，lgx ≤0【答案】B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定，得到答案. 【详解】由题意，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题:0,lg 0P x x ∃>≤， 可得:0,lg 0P x x ⌝∀>>. 故选B. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记特称命题与全称命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.3．已知双曲线C ：y 222x b-=1（b ＞0）的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝±3xD ．y ＝【答案】B【解析】根据题意，求得2,1c a ==，进而求得b 的值，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y b b-=>的焦距为4，可得2,1c a ==，又由2223b c a =-=，所以双曲线的方程为2213x y -=，所以该双曲线的渐近线的方程为3a y x xb =±=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4 B ．14C ．14-D ．±14【答案】D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p ，即可得到结果，得到答案. 【详解】由题意，抛物线2x my =-，可得21y x m=-， 又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即122m =，解得14m =±. 故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为p 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ） A ．a c b +- B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b【答案】D【解析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．椭圆的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）A B ．35C ．45D 【答案】C【解析】运用椭圆的定义，可得420a =，求得5a =，再由直线垂直于x 轴时，弦长最短，求出弦长，解得b ，最后利用离心率公式，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由椭圆的定义，可得12122MF MF NF NF a +=+=， 由于2MF N ∆的周长为20，可得420a =，即5a =， 过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直与x 轴时，弦长最短，令x c =-，代入椭圆的方程，可得2by a=±，即22185b a =，解得29b =，所以4c =，所以椭圆的离心率为45c e a ==. 故选C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中求曲线的离心率(或范围)问题，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2212016x y -=B ．2211620x y -=C ．2211224x y -=D ．2212412x y -=【答案】B【解析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，见解析被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d ==双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =，则b =4a =，可得双曲线的方程为2211620x y -=.故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.8．抛物线x 2＝4y 上的点到直线y +5＝0的距离的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【解析】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，利用点到直线的距离公式表示出距离，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，可得点到直线50y +=的距离为d ==，当m =时，取得最小值为1. 故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．已知直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ＜0）与抛物线C ：y 2＝﹣4x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足|AF |＝2|BF |，则k 的值是（ ） A．3-B．C．D ．﹣【答案】C【解析】直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案.【详解】由题意，抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =，直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，可得2222(24)0k x k x k --+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得1212242,1x x x x k +=-=， 由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =-=-，因为2AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入可得212x =-或21x =（舍去），此时12,3x k =-=-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理应用韦达定理是解答此类问题的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.10．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2122e e -的最小值为（ ） A ．2 B ．﹣2C ．6D ．﹣6【答案】B【解析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解. 【详解】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得122,2m n a n m a +=-=， 由线段1PF 的垂直平分线过点2F ，可得2n c =又由点P 在第二象限，所以12PF PF <，即m n <，所以2m c <，且2m c <， 即1222,22m c a c m a +=-=， 又由椭圆和双曲线的离心率，可得1212,c c e e a a ==， 则21122221242222e a c c c m mm e a c c m c c c+-=-=-=+----42≥=-， 当且仅当122mm c c=--，即m c =时，上式取得最小值2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.二、多选题11．（多选题）给出下列选项中，能成为x ＞y 充分条件的是（ ） A ．xt 2＞yt 2B ．（x ，y ）是曲线x 3﹣y 3﹣x 2＝1上的点C ．11x y＜＜0D ．（x ，y ）是双曲线x 2﹣y 2＝1上的点【答案】ABC【解析】首先分清条件和结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选的答案能推得x y >成立，即可求解 【详解】由题意，对于A 中，由22xt yt <可知，20t >，可得x y >成，所以A 正确； 对于B 中，点(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点，则(,)x y 满足323(1)x x y -+=， 可得33x y >，即x y >成立，所以B 正确；对于C 中，由110x y <<，可得0,0x y <<，又由110x y y x xy--=>，可得0x y ->，即x y >成，所以C 正确；对于D 总，点(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，可得22x y >，不一定得到x y >成立，所以D 不正确. 故选ABC. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中熟练应用不等式的性质，以及曲线的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12．（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B ．过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为22b aC ．抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为x 1x 224p = D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A【解析】直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为(,0),(,0)A a B a -， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，则222PB PBn n n k k m a m a m a⋅=⋅=+--， 又因为点(,)P m n 在椭圆上，可得22221m n a b +=，解得2222(1)m n b a=-，所以22PB PBb k k a⋅=，所以A 项是正确的； 对于B 中，设双曲线22221x y a b-=右焦点(c,0)F ，（1）当直线与双曲线的右支交于1122(,),(,)A x y B x y ，（i ）当直线AB 的斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22bAB a=，（ii ）当直线AB 的斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，联立方程组2222()1y k x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=，则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，由焦半径公式可得22122222()22c a ck AB AF BF e x x a a a a k b =+=+-=⋅-- 222222222222222222ac k ac c b a a a b a k b a a a k=-=->-=--， 所以当直线AB 的斜率不存在时，AB 的长最小，最小值为22b a．（2）当过(c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得AB 的最小值为2a ．综上可得，当222b a a ≤，即b a <，此时过焦点的弦长最短为22b a ； 当222b a a>，即b a >，此时过焦点的弦长最短为2a ．所以B 项是不正确的；对于C 中，充分性：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x x =，此时12x x =，因为2124p x x =，所以122p x x ==，此时直线AB 过焦点(,0)2P F .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩，得222(22)0k x bk p x b +-+=， 所以2122b x x k=，且2480p kpb ∆=->，又因为22(0)y px x =>且2124p x x =，所以2224b k p =，解得2b k p =或2b k p =-，所以直线AB 方程为2b y x b p =-+或2b y x b p=+, 当直线2b y x b p =-+时，取0y =时，2p x =，直线AB 过焦点(,0)2P； 当直线2b y x b p =+时，取0y =时，2p x =-，直线AB 过焦点(,0)2PF -； 所以充分性不成立．必要性：当直线AB 过焦点(,0)2PF 时， 设过焦点的直线AB 的方程为2p x my =+，代入22(0)y px x =>，可得2220y pmy p --=，则212y y p =-，则222212121222()444y y y y p x x p p ===. 所以抛物线22(0)y px x =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 经过抛物线的焦点的必要不充分条件是2124p x x =，所以C 是不正确的.对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题，直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题14．若“∃x 0∈[﹣4，﹣2]，01 2x（）＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围为_____．【答案】m ＞4【解析】根据0[4,2]x ∈--时，得到01()[4,16]2x∈，结合存在性命题为真命题，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当0[4,2]x ∈--时，可得01()[4,16]2x∈， 又因为“001[4,2],()2x x m ∃∈--<”是真命题，所以4m >.故答案为：4m > 【点睛】本题主要考查了存在性的真假的判定与应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中正确理解存在性命题的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2，则C 的离心率为_____．【解析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，可得m 2+n 2＝4c 2，且12mn ＝a 2，由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2，即为c =，可得e ca==.. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 16．设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB |＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．【答案】22116y x +=【解析】设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，再利用AB 4=，即可得到点M 的轨迹方程，得到答案. 【详解】设A （x 1，2x 1 ），B （x 2，﹣2x 2 ），M （x ，y ），则AB 中点M （122x x +，x 1﹣x 2） 所以x 122x x +=，y ＝x 1﹣x 2， 又因为|AB |2＝（x 1﹣x 2）2+（2x 1+2x 2）2＝16，即y 2+（4x ）2＝16，所以M 的轨迹方程为22116y x +=，故答案为：22116y x +=.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，结合条件用AB 的长求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是平面内的两个定点，|PF 1|•|PF 2|＝a 2（a 是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a ＝c ，则曲线过原点；③若0＜a ＜c ，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____． 【答案】①②【解析】设(,)P x y 2a = ，得到22224[()][()]x c y x c y a ++⋅-+=，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.【详解】由题意设P （x ，y ）2a =，即[（x +c ）2+y 2]•[（x ﹣c ）2+y 2]＝a 4，对于①中，因为把方程中的x 被﹣x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称； 把方程中的y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称； 把方程中的x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变， 故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．对于②中，若a ＝c ，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的； 对于③中，因为（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2c ，（当且仅当，|PF 1|＝|PF 2|＝c 时取等号），所以（|PF 1||PF 2|）min ＝c 2，所以若0＜a ＜c ，则曲线不存在，所以不正确．故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.四、解答题18．已知A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＞0，a ＞0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（0，1）．【解析】根据一元二次不等式的解法，求得集合A ＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，再由”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2>0，a >0}＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |（x +2）（x ﹣3）≥0}＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，若”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，则满足332aaa<⎧⎪>-⎨⎪>⎩，解得0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次方程的解法，结合充分、必要条件，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．【解析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；（2）由方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围(2,2)-．（2）命题q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，当p为真，q为假时，2203mm m-⎧⎨≤≥⎩＜＜或，解得﹣2＜m≤0．当p为假，q为真时，2203m mm≤-≥⎧⎨⎩或＜＜，解得2≤m＜3．综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题,p q，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）AB =【解析】（1）已知：，b=2，a 2=b 2+c 2，联立解得a,b,c 的值，即可得椭圆方程；（2）易得直线l 的方程y=x+3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：4x 2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB 的长．【详解】(1)已知椭圆焦距为2，即，b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=.(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215,4x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB =2=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长12l x=-=，其中()11,A x y，()22,B x y是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.21．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；（2）若AF=λFB，AP=μPB，证明：λ+μ为定值．【答案】（1）（2）证明见解析，定值为0【解析】（1）由直线与抛物线联立得2610x x-+=，根据1228AB x x=++=，求得点D到直线10x y+-=的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；（2）设:(1)l y k x=-，联立方程组，求得121244y y y yk+==-，，结合AF =λFB，AP=μPB，得到λ12yy=-，1222y ky kμ+=-+，进而求得λμ+为定值，得到答案. 【详解】（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，所以直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由直线与抛物线联立得x2﹣6x+1＝0，所以x1+x2＝6，x1x2＝1．于是|AB|＝x1+x2+2＝8．点D到直线x+y﹣1＝0的距离d==所以S182=⨯=；（2）证明：设直线l：y＝k（x﹣1）．则P（﹣1，﹣2k），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得ky 2﹣4y ﹣4k ＝0，121244y y y y k+==-，，∵AF =λFB ，AP =μPB ，所以（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，﹣2k ﹣y 1）＝μ（x 2+1，y 2+2k ）， ∴λ12y y =-，1222y k y k μ+=-+．∴λ+μ()()()121211222222222880222y y k y y y y kk y y k y y k y y k +++-+=--=-=-=+++（定值）． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，R 的坐标（0，﹣2）．【解析】（1）根据条件转化为P 到(0,1)A 的距离与它到直线1y =-的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点P 的轨迹方程；（2）利用对称性可得R 在y 轴上，设(0,)R t ，再结合MRQ NRQ ∠=∠，则0RM RN k k +=，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得()22k t +，进而求得t 的值. 【详解】（1）因为点P 到A （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣4的距离小3，所以点P 在直线y ＝﹣4的上方，点P 到A （0，1）的距离与它到直线y ＝﹣1的距离相等所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，y ＝﹣1为准线的抛物线， 所以方程为x 2＝4y ；（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为R （0，t ），设直线l 的方程为y ＝kx +2，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得x 2﹣4kx ﹣8＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣8， 所以()()2112121212RM RN x y t x y t y t y t x x k x x k -+---=+=+ ()()()1212121212402x x x x t x x k t x x +-++===，因为k ≠0，所以2t =-，则R （0，﹣2）， 综上，R 的坐标（0，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23．已知椭圆C 1：23x +y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b-=的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为2． （1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ •2OQ =-5，求|M 1M 2|的取值范围．【答案】（1）23x -y 2＝1；（2）|M 1M 2|∈（0]． 【解析】（1）由椭圆的顶点可得23a =，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得1b =，进而得到双曲线的方程；（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，消去y ，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标运算，求得,m k 的关系式，再由直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，即可求得12M M 的取值范围. 【详解】（1）由椭圆C1：23x+y2＝1的左右顶点为（0），0），可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0=b＝1，所以双曲线C2的方程为23x-y2＝1；（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，代入23x-y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，要与C2相交于两点，则应有()()2222213036413330kk m k m⎧-≠⎪⎨----⎪⎩＞⇒22213013km k⎧-≠⎨+⎩＞①，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x22613kmk=-，x1•x2223313mk+=--．又1OQ•2OQ =x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，又1OQ•2OQ=-5，所以有2113k-[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5 整理得m2＝1﹣9k2…②，将y＝kx+m，代入23x+y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③由①②③有：0＜k216＜．设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x42613kmk-=+，x3•x4223313mk-=+．所以|M1M2|=又m2＝1﹣9k2，代入有：|M1M2|=|M1M2|=⇒|M 1M 2|＝，令t ＝k 2，则t ∈（0，19]， 令f （t ）()21(13)t t t +=+⇒f ′（t ）31(13)t t -=+，又t ∈（0，19]， 所以f '（t ）＞0在t ∈（0，19]内恒成立，故函数f （t ）在t ∈（0，19]内单调递增，故f （t ）∈（0，572]，则有|M 1M 2|∈（0]． 【点睛】 本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明． 【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析【解析】设200(,)2y P y p为抛物线上一点，法线与x 轴交于M ，反射光线为PN ，F 为抛物线的焦点，,PF PM 的斜率，根据角的正切值，证明NPM PNx π∠+∠=即可.【详解】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．证明：不妨设抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反射光线为PN ，如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ，由光的反射性质可知∠FPM ＝∠MPN ，由y 2＝2px ，不妨设P 在第一象限，P （202y p ，y 0）， 当y 0＝0时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合，当y 0≠0时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k （x 202y p-）+y 0， 代入抛物线方程可得：ky 2﹣2py ﹣ky 02+2py 0＝0，令△＝4p 2﹣4k （2py 0﹣ky 02）＝0可得k 0p y =， 故法线PM 的斜率为0y p-． 不妨设P 在第一象限，设∠PMx ＝α，∠PFM ＝β，∠NPM ＝θ，则tanα0y p =-，tanβ00220022y py p y p x ==--， ∴tanθ＝tan ∠FPM ＝tan （α﹣β）()()()0022222220000000232220000022022221y py y y p p y y p y p y p y y py py p py p p p y p y p -----+-====--+-⋅-． ∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，∴PN ∥x 轴．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用抛物线的几何性质，结合直线的斜率和倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。
山东省青岛市2020届高三二模数学试题(解析版)
山东省青岛市2020届高三二模数学试题一、选择题1．若全集U =R ，集合{}2A y y x=∈=R ，(){}3log 1B x y x =∈=-R ，则()RA B =（ ）A ．(]1-∞，B ．[]1,2C ．0,1D ．[)0,1 【答案】C【解析】由题{}[)20,A y y x=∈==+∞R ，(){}()3log 11,B x y x =∈=-=+∞R(],1RB =-∞，()RA B =0,1.故选：C2．任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中r =()02θπ≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】因为2112+===+i z i ，所以55cos sin 66ππ=+z i ，所以z 的辐角主值为56π.故选：D 3．“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若1a =，则()11110⨯+-⨯=，即两直线垂直，充分性满足；必要性：直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直，则()1110a ⨯+-⨯=，解得1a =，必要性满足；即“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的充要条件.故选：A4．已知函数()()2sin ,0log ,0x x f x a x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，且716f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．ln 2【答案】A 【解析】7751()sin()sin 6662f πππ-=-==，所以2711()log ()1622f f f a π⎛⎫⎛⎫-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32a =．故选：A ． 5．在连续5次模拟考试中，统计甲、乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为111，乙同学5次成绩的中位数为103，则x y +的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】依题意1021071161101201115x +++++=，解得0x =.乙的中位数为103，所以3y =.所以3x y +=.故选：A 6．已知函数()()sin 03sin f x x x πωωω⎛⎫-⎪⎝⎭⋅=>的最小正周期为π，则函数()f x 的一个对称中心可以是（ ） A ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,124π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,34π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】由题可得()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭⋅31sin 22sin x x x ωωω⎛⎫- ⎝=⎪⎪⎭2sin 31sin 2x x x ωωω-=231cos 244x x ωω--=11sin 6224x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()0ω> 最小正周期为π，即2,12ππωω==所以()11sin 2642f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令,,,62122k x k k Z x k Z ππππ+=∈=-∈，所以其对称中心为1,,2124k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭，结合选项可得，B 选项符合题意.故选：B7．已知非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y <++ B ．y x x y x y+>+ C ．1111xya a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭D ．x y y x >【答案】D【解析】依题意非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则20,11a a ≠+>，所以01x y <<<.不妨设11,42x y ==，则2211614161616,,175201720111142===>⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项错误；315535,2,422444y x x y x y +=+=+==<，所以B 选项错误；由于1011a <<+，根据指数函数的性质可知：11421111a a ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误.依题意01x y <<<，要证明x yy x >，只需证明ln ln xyy x >，即证ln ln x y y x >，即证ln ln y x y x >，构造函数()()ln 01xf x x x=<<，()'21ln x f x x-=，由于01x <<，所以ln 0x <，所以()'21ln 0x f x x -=>在区间()0,1上恒成立，所以()f x 区间()0,1上递增，所以ln ln y x y x>，所以x yy x >.故D 选项正确.故选：D 8．已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（ ） A ．5050 B ．4041C ．4040D ．2020【答案】B【解析】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =，又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点， 因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =，即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点，所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点.故选：B.二、多选题9．已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4+B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce aB 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .10．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQB ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅>D ．4S =【解析】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+,故B 正确； 对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD11．如图，正方形123SG G G 的边长为1，E ，F 分别是12G G ，23G G 的中点，2SG 交EF 于点D ，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S GEF -中必有（ ）A ．SG ⊥平面EFGB ．设线段SF 的中点为H ，则//DH 平面SGEC ．四面体S GEF -的体积为112D ．四面体S GEF -的外接球的表面积为32π【解析】对选项A ，在折前正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴折成四面体S EFG -后，SG GE ⊥，SG GF ⊥，又GE GF G =， ,GE GF ⊂平面EFG ，SG ∴⊥平面EFG ．所以选项A 正确. 对选项B ,对选项B ,连接,DH 因为ED DF =,SH HF =,所以//DH SE ,因为SE ⊂平面SEG ,HD ⊄平面SEG ,所以//DH 平面SGE .所以选项B 正确. 对选项C ,前面已经证明SG ⊥平面GEF ,所以SG 是三棱锥S GEF -的高，且1SG =.由题得12GE GF ==，22112()()222EF =+=，所以222,2GE GF EF EGF π+=∴∠=.所以11112228EGFS =⨯⨯=， 所以四面体S GEF -的体积为1111=3824⨯⨯.所以选项C 错误. 对选项D ,由于,,SG GE SG GF GE GF ⊥⊥⊥,所以可以把三棱锥S GEF -放到长方体模型之中，长方体的三条棱为,,GS GE GF ,所以三棱锥的外接球的直径2221166321()(),422162R R S ππ=++∴=∴=⨯=.所以选项D 正确.故选：ABD.12．某同学在研究函数()f x =()f x 变形为()x f =，则下列关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增 B ．函数()f x 的图象是中心对称图形C ．函数()f x 的值域是)⎡+∞⎣D ．方程()()1ff x =无实数解【答案】ACD【解析】设(0,1)A ，(2,1)B ，()x f =表示x 轴上点(,0)P x 到,A B 两点的距离之和，设(1,0)Q ，以,A B 为焦点，Q 为短轴上一个端点，作椭圆，x 轴与此椭圆相切于点Q ，当P 从Q 向右移动时，PA PB +逐渐增大，即函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，A 正确；当P 与Q 重合时，PA PB +最小，最小值为，因此()f x 的值域是)+∞，C 正确；函数图象关于直线1x =对称，不是中心对称是，B 错误；当0x =或2x =时，()1f x =+()f x ≥因此()0f x =和()2f x =都无解，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题13．抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 14．已知tan 33θ=()cos sin 60θθ=-︒__________.3【解析】由题()cos 3sin 6031313333sin cos tan θθθθθ====-︒---. 15．已知函数()xf x e ax =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）的图象恒过定点A ，（1）则点A 的坐标为__________；（2）若()f x 在点A 处的切线方程21y x =+，则a =__________. 【答案】()0,1 1-【解析】当0x =时，()01f =，∴点A 的坐标为()0,1；()x f x e a ='-，()012f a '∴=-=，解得：1a =-.16．已知()()20211n nnx a a x a x a x n +=++++∈*N ，设012n n S a a a a =++++；数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T，当112020n T -≤时，n 的最小整数值为__________. 【答案】11【解析】因为()()20211n nn x a a x a x a x n +=++++∈*N ，令1x =，得0122n n n S a a a a =++++=，所以112n n S =，所以11(1)12211212n n nT ⋅-==--，所以112020n T -≤即为120202n ≤，所以11n ≥， 四、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，3AD =，2BC =.（1）若13CD =+ABCD 的面积；（2）若32sin 5BCD ∠=，0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求sin ADC ∠.【解析】（1）连接BD ，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：2224BD AB AD =+=，所以2BD =，在BCD 中，由余弦定理知：2222cos 22BC CD BD C BC CD +-==⋅， 因为()0,C π∈，所以4Cπ，所以132ABDSAB AD =⋅=113sin 2ABDSBC CD C +=⋅⋅=，所以ABCD 的面积132ABD BCDS SS=+=+.（2）在BCD 中，由正弦定理知：sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，所以sin 3sin 5BC BCD BDC BD ⋅∠∠==. 因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 所以0,2BDC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，4cos 5BDC ∠=. 在Rt △ABD 中，3tan AB ADB AD ∠==， 所以6ADB π∠=，所以3341433sin sin 6525210ADC BDC π+⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 18．试在①PC BD ⊥，②PC AB ⊥，③PA PC =三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO ⊥面ABCD 成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P ABCD -中，AC BD O =，底ABCD 为菱形，若__________，且60ABC ∠=︒，异面直线PB 与CD 所成的角为60︒，求二面角A PB C --的余弦值. 【解析】若选②：由PO ⊥平面ABCD 知，又PC AB ⊥，所以AB ⊥面P AC ，所以AB AC ⊥， 所以90BAC ∠=︒，BC BA >，这与底面ABCD 为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③. 下面证明：PO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥. 因为PC BD ⊥，PC AC C =，所以BD ⊥平面APC.又因为PO ⊂平面APC ，所以BD PO ⊥. 因为PA PC =，O 为AC 中点，所以PO AC ⊥. 又ACBD O =，所以PO ⊥平面ABCD ，因为PO ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OP 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为//AB CD ，所以PBA ∠为异面直线PB 与CD 所成的角， 所以60PBA ∠=︒.在菱形ABCD 中，设2AB =，因为60ABC ∠=︒，所以1OA =，3OB = 设PO a =，则21PA a =+，23PB a =+在PBA 中，由余弦定理得：222+2cos PA BA BP BA BP PBA =-⋅⋅∠，所以22211432232a a a +=++-⨯+，解得6a = 所以()0,1,0A -，)3,0,0B ，()0,1,0C ，( 6P .设()1111,,n x y z =为平面ABP 的法向量，()3,0AB =，(AP =， 由1100n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：11110y y +=+=⎪⎩， 令11z =得()12,n =.设()2222,,n x y z =为平面CBP 的法向量，()3,1,0CB =-，( 0,CP =-，由2200n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：222200y y -==⎪⎩， 令21z =得：()22,n =.设二面角A PB C --的平面角为θ， 所以12121cos 3n n n n θ⋅==，所以二面角A PB C --的余弦值为13. 19．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，2121n n S n a +++=，n *∈N .（1）证明：当2n ≥时，11n n a a +=+；（2）若4a 是2a 与8a 的等比中项，求数列{}2nn a ⋅的前n 项和n T .【解析】（1）因为2121n n S n a +++=，可得当2n ≥时，()2122n n S n a n -+=≥，两式相减得：()221212n n n a a a n ++=-≥，所以22121n n n a a a +++=，即()()22112n n a a n ++=≥. 因为数列{}n a 的各项均为正数，所以当2n ≥时，11n n a a +=+. （2）由（1）得：422a a =+，826a a =+，因为4a 是2a 与8a 等比中项，所以2428a a a =⋅，即()()222226a a a +=⋅+，解得22a =，又21222a a +=，所以11a =，所以211a a -=，从而11n n a a +-=对n *∈N 恒成立，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，所以22n nn a n ⋅=⋅，所以()211222122n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ ()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯两式相减得：212222n n n T n +-=+++-⨯()1212212n n n +-=-⨯-()1122n n +=-⋅-，所以()1122n n T n +=-⋅+.20．已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，双曲线2214x y -=的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，2=，解得：212t =.()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.21．已知函数()()22ln 12sin ,0f x ax x x a =++->.（1）若1a ≥，证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求正实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）01a << 【解析】（1）由题知()222cos 1f x ax x x'=+-+，()00f '=， 令()() h x f x '=，则()()21'2sin 1h x a x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭，若1a ≥，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()()22112sin 21sin 011h x a x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=-+≥-+>+ +⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()()00h x h >=，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以()()00f x f >=.（2）①若1a ≥，由（1）知：()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 因此0x =不可能是()g x 的极大值点.②若01a <<，令()()()212sin 1x h x a x x ϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝'==+⎭-+， 因为当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()342cos 01x x x ϕ'=+>+，所以()x ϕ即()h x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 又因为()()'0210(0)h a ϕ==-<，212102212h a ππϕπ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥'==+-> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦， 因此存在0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足：() 0h a '=，所以当()1,x a ∈-时，()()0a h x h ''<=， 所以()()f x h x '=在()1,a -上单调递减，()()000f h '==，所以当()1,0x ∈-时，()0f x '>；当()0,x a ∈时，()0f x '<； 所以()f x 在()1,0-上单调递增；在()0,a 上单调递减； 综上，当0x =是()f x 的极大值点时，01a <<.22．中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：若该大学体重超重人数y 与月份变量x （月份变量x 依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A 队员控制，此后排球仅在A 队员、B 队员和C 队员三人中传递，已知每当球由A 队员控制时，传给B 队员的概率为12，传给C 队员的概率为12；每当球由B 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给C 队员的概率为13；每当球由C 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给B 队员的概率为13.记n a ，n b ，n c 为经过n 次传球后球分别恰由A 队员、B 队员、C 队员控制的概率.（i ）若3n =，B 队员控制球的次数为X ，求EX ； （ii ）若n 112233n n a b c --=+，111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，2n ≥，n ∈*N，证明：25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断经过200次传球后A 队员控制球的概率与25的大小. 附1：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211=n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnx x x ====-⋅--=--∑∑∑∑；a y bx =-.附2：参考数据：515180i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑.【解析】（1）由已知可得：1234535x ++++==，640540420300200210042055y ++++===，又因为515180i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑，所以51522215518063001120ˆ1125553105i ii i i x y xybx x ==--===-=--⨯-∑∑，所以ˆˆ4201123756ay bx =-=+⨯=， 所以ˆˆˆ112756ybx a x =+=-+， 当()11275610y x x *=-+<∈N 时，7x ≥，所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下. （2）（i ）由题知X 的可能取值为：0，1，2；()121102326P X ==⨯⨯=；()121112111211112322332323218P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=；()121111222322339P X ==⨯⨯+⨯⨯=；X 的分布列为：所以()012618918E X =⨯+⨯+⨯=. （ii ）（法一）由111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，两式相加得：()11113n n n n n b c a b c ---+=++.因为112233n n n a b c --=+，所以1132n n n b c a --+=，132n n n b c a ++=，代入等式得113122n n n a a a +-=+，即111233n n n a a a +-=+所以1121222333n n n n a a a a a a +-+=+==+，因为10a =，21212223233a =⨯+⨯=，所以12233n n a a ++=，所以1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以数列25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为23-的等比数列，所以1222553n n a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即122153n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此经过200次传球后A 队员控制球的概率1992002221535a ⎡⎤⎛⎫=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （法二）由题知：111123n n n c a b --=+，所以11223n n n b c a --=-， 所以11112222333n n n n n n a b c c a c ----=+=-+，又因为1111123n n n n n b a c a c --=+=--，所以1111123n n n n c a a c --=---，所以112212223n n n n n n a c a c a a --=-+-=--，所以12233n n a a -=-+，所以1222535n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又因为10a =，所以122055a -=-≠， 所以数列25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为23-的等比数列， 所以1222553n n a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即122153n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此经过200次传球后A 队员控制球的概率1992002221535a ⎡⎤⎛⎫=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。
青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段期中高三模块考试数学试题答案
数学试题 第1页 共3页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——（数学）试题答案答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补，所以sin sin ADC ABC ∠=∠=，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=， 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=，即6AD CD ⋅=，所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=，所以AD CD+=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ，平面PAD ，又（Ⅱ）如图，作于点O ， 则平面ABCD过点O 作于点E ，连接PE ，以O 为坐标原点，以OA,OE,OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则 取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =， 可得120a d +=，151015a d +=，解得11a =-，2d =，ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BCn BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos 5θ=数学试题 第2页 共3页则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足：12b a =，131(2)n n n n n nb a b a b ++++=， 可得11b =，1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-，即为14n nb b +=，所以数列{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列， 可得14n n b -=（Ⅱ）2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】（Ⅰ）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝34， 4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2．故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B (2， 1) 因此直线l 的斜率为12，设直线l的方程为：y ＝12x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ， x 28＋y 2 2＝1，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0．（Δ＞0） 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4 ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1 －x 1＋2＝(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)(2＋x 2) (2－x 1)而(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1 y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1·x 2－t (x 1＋x 2) ＋x 1－x 2－4＝－x 1·x 2－t (x 1＋x 2)－4 ＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形．22. 【解析】（Ⅰ）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=， 故0.032a b +=； 而0.016a b -=，联立两式解得，0.024,0.008a b ==；所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；（Ⅱ）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为：2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+；（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；123(1500)C (1)P X p p ==-， 123(900)1C (1)P X p p ==--，故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ；数学试题 第3页 共3页令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ，2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以g p （）的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】（Ⅰ）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1mina f x f f a-<==，不成立，102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅱ）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a >有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xx h x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+<。
青岛崂山二中高三数学期中2019-2020学年度试题——崂山校区
2019-2020学年山东新高考质量测评联盟10月联考试题高三数学本试卷分第1卷和第I 卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前，考生务必用0.5mm 的黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共有12道小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{-1，0，1，2}，B ＝{x |x 2log ≤2}，则A∩B 等于（ ） A. {-1,0,1} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{0,1} 2. 命题“ヨx ＞1，x+e ≥2＂的否定形式是（ ） A.∀x ≤1，x+e x ＜2 B.∀x>1，x+e x <2 C.ヨx ＞1，x+e x ＜2 D.ヨx ≤1，x+e x ＜23.总体由编号为01，，4.的5个个体组成，利用下面的随机数表流取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）附：第六行至第九行的随机数表A.3B.19C.38D.204.下列函数中是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数的是( ) A.y=|x|+1 B.y=21x C y=x+X1 D.y=3-|x|5.在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X ～N(86，σ2)，若已知P(80＜X ≤86)＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为( )A.0.86B.0.64C.0.36D.0.146.已知a 是第一象限的角，且coS a=135,求π）（）π（32cos 4-sin +∂∂的值为（ ） A.34213 B.-34213 C.14213 D.-142137.设函数f(x)=x 3+ax 2+(a-1)x(a ∈R)为奇函数,则曲线y=2)(x x f 在点(1.0)处的切 线方程为（ ）A.y=-2x+2B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=x-I 8.在空间中,已知为不同的直线,为不同的平面，则下列判断正确的是9. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13-14cm,径粗0.2-0.3cm,多用竹子制成，也有用木头、普骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字，如图,是利用算筹表示数1-9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为A.13B.14C.15D.1610、函数图象的大致形状是n m l 、、γβα、、)112()(-+=xe x x f11.在正方形ABCD中，AB=2,E是AB中点，将△ADE和△BCE分别沿着DE、EC翻折,使得A、B两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是A. B. C.9π D.4π12、函数，则方程f[f(x)]=1的根的个数是A.7B.5C.3D.1第II卷(非选择题共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数,则y=f(x)的图象恒过的定点的坐标为14.若x>2,则函数的最小值为。
2020-2021青岛市高三数学上期中试卷(带答案)
2020-2021青岛市高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n+B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +7．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A．2B ．34 C ．32或D ．348．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．510．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3511．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.15．设0,0,25x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为______.16．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.17．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．19．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．20．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．三、解答题21．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 22．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线22AM =，求ABC ∆的面积．23．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC 的面积为3，求ABC 的周长．24．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
【KS5U解析】山东省青岛市2020届高三二模数学试题 Word版含解析
A.当 时，曲线 为椭圆，其焦距为
B.当 时，曲线 为双曲线，其离心率为
C.存在实数 使得曲线 为焦点在 轴上的双曲线
D.当 时，曲线 为双曲线，其渐近线与圆 相切
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定 的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定 的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知 的正误.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， .
（1）若 ，求四边形ABCD的面积；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求得 ，由余弦定理求得 ，得 角，计算两个三角形面积后可得四边形面积；
【详解】设 ， ， 表示 轴上点 到 两点的距离之和，
设 ，以 为焦点， 为短轴上一个端点，作椭圆， 轴与此椭圆相切于点 ，当 从 向右移动时， 逐渐增大，
即函数 在区间 上单调递增，A正确；当 与 重合时， 最小，最小值为 ，因此 的值域是 ，C正确；
函数图象关于直线 对称，不是中心对称是，B错误；当 或 时， ，由于 ，
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数进行三角恒等变换，根据最小正周期求得函数解析式，即可求出对称中心.
【详解】由题可得
，
最小正周期为 ，即
所以 ，
令 ，
所以其对称中心为 ，结合选项可得，B选项符合题意.
故选：B
【点睛】此题考查根据函数最小正周期求参数的取值，根据函数解析式求对称中心，关键在于熟练掌握三角恒等变换和对称中心的求解方法.
2020-2021青岛市高三数学上期中一模试题带答案
∴ OH HB sin HBO 20sin 60 10 3 ，
v 10 3 5 3 （米/秒）． 46 23
故选 B． 【点睛】 本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用 恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
2020-2021 青岛市高三数学上期中一模试题带答案
一、选择题
1．已知函数
f
(n)
n2 (n为奇数时) n2 (n为偶数时)
，若
an
f (n)
f (n 1) ，则
a1 a2 a3
A． 0 C． 100
a100
B．100 D．10200
y 0
2．若不等式组
2
x
x y
y
2 0
表示的平面区域是一个三角形，则实数
x y 0
由
x y 2x y
2
得
A
2 3
,
2 3
，
由
y 0 2x y
2
得
B
1,0
．
y 0
若原不等式组
2x
x
y
y
2 0
表示的平面区域是一个三角形，则直线
x
y
a
中
a
的取值范
x y a
围是 a 0,1
故选： D
【点睛】
4 3
,
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
如解析中图形，可在 HAB 中，利用正弦定理求出 HB ，然后在 RtHBO 中求出直角边 HO 即旗杆的高度，最后可得速度．
青岛二中高三期中理科数学试题
数学试题 第1页 共7页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段期中高三模块考试——（数学）试题命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的；第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1. 设集合2{1213},{log }A x x B x y x =-≤+≤==，则=A B I ( ) A.B.C. D.2．若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为( ) A.1B. 1-C.2D. 2-3. 已知是等差数列的前n 项和，，则2a =( ) A.5B.6C.7D.84. 命题为“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.B.C. D.4a ≤5．函数（其中e 为自然对数的底数）的图像大致为( )6. 若非零向量,a b r r满足=a b r r ，向量2+a b r r 与b r垂直，则a b r r 与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．7．如图，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点B 在双曲线的右支上，矩形OFBD 与矩形AEGF 相似，且矩形OFBD 与矩形AEGF 的面积之比为 2:1 ，则该双曲线的离心率为( ) B.1+ C.2+D.8． 已知定义在R 上的函数满足，且当时，，则()2020f = ( )A. B. 0 C. 1 D.2 9.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. C.D.10．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若1266363780S S S S S S ---⋅-=，且正整数,m n 满足31252m n a a a a =， 则18m n+的最小值是（ ） A ．53 B ．95 C ．157D ．7511.（多选题）如图，设的内角所对的边分别为，cos cos )2sin a C c A b B +=，且3C A Bπ∠= .若点是外一点，1,3DC DA == ，下列说法中，正确的命题是（ ）A ．的内角3B π=B ．的内角3C π=[0,1][1,0]-[1,0)-(0,1]n S {}n a 3778,35a a S +==[]21,2,20x x a ∀∈-≥1a ≤2a ≤3a ≤()()11x xe f x x e +=-1501206030()f x ()()()(),11f x f x f x f x -=+=-[]0,1x ∈()()2log 1f x x =+1-()sin f x a x x =-56x π=12()()4f x f x ⋅=-12x x +3π-03π23πABC ∆,,A B C ,,a b c D ABC ∆ABC ∆ABC ∆数学试题 第2页 共7页C ．四边形面积的最大值为+32D ．四边形面积无最大值12. （多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量ξ服从正态分布)2(2δ，N ,()40.84P ξ<=，则()24P ξ<<=0.16.B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3 .C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a =.D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16.13. （多选题） 设函数，若有4个零点，则的可能取值有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上） 14. 若o cos 27a = ,)o o cos72cos18+的值为_______.(用a 表示)15．在中，，其外接圆圆心满足0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r ，则AB AC ⋅uu u r uuu r= .16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1 ,,则此球的表面积=_________.17.已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式222()()0x x e f e a x f ax -≥ 恒成立，则正数的最大值为_______.三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（本小题满分12分） 如图，在平面四边形ABCD中，1=AB，1=BC ，3CA =，且B ∠与D ∠互补，32⋅=uuu r uu u r AD CD .（Ⅰ）求ACD V 的面积；（Ⅱ）求ACD V 的周长.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥的一个侧面PAD 为等边三角形，且平面平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形,.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2)n n n n n nb a b a b ++++= .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若211(+5)log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．ABCD ABCD 2()ln (0)2ax f x ax a e=->()f x a ABC △1BC =O P ABC -PA ⊥ABC 2,1,60AB AC BAC ==∠=()y f x =R ()f x '0x >()()22x f x xf x '>-x R ∀∈a P ABCD -PAD⊥2,3AD BD BAD π==∠=BD PD ⊥P BC D --数学试题 第3页 共7页21. （本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,(2,1)P -是椭圆1C 上一点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设A B Q 、、是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于AB 的直线l 与椭圆1C 相交于不同于P Q 、的两点C D 、,点C 关于原点的对称点为E . 证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．22. （本小题满分14分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中0.016a b -=.（Ⅰ）求这300名玩家测评分数的平均数；（Ⅱ）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为()01p p <<，且每款游戏之间改进与否相互独立. （i ）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；（ii ）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．(以聘请专家费用的期望为决策依据)23．（本小题满分14分）已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<.青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——（数学）试题答案答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD数学试题 第4页 共7页14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补，所以sin sin 4ADC ABC ∠=∠=，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=， 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=，即6AD CD ⋅=，所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=， 所以AD CD +=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ，平面PAD ，又（Ⅱ）如图，作于点O ， 则平面ABCD过点O 作于点E ，连接PE ，以O 为坐标原点，以OA,OE,OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =， 可得120a d +=，151015a d +=，解得11a =-，2d =， 则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足：12b a =，131(2)n n n n n nb a b a b ++++=， 可得11b =，1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-，即为14n nb b +=，ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD ⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos θ=数学试题 第5页 共7页所以数列{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列， 可得14n n b -=（Ⅱ）2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】（Ⅰ）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝34， 4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2．故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B (2， 1) 因此直线l 的斜率为12，设直线l的方程为：y ＝12x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ， x 28＋y 2 2＝1，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0．（Δ＞0） 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4 ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1 －x 1＋2＝(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)(2＋x 2) (2－x 1)而(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1 y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1·x 2－t (x 1＋x 2) ＋x 1－x 2－4＝－x 1·x 2－t (x 1＋x 2)－4 ＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形．22. 【解析】（Ⅰ）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=， 故0.032a b +=； 而0.016a b -=，联立两式解得，0.024,0.008a b ==；所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；（Ⅱ）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为：2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+；（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；123(1500)C (1)P X p p ==-， 123(900)1C (1)P X p p ==--，故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ； 令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ，2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .数学试题 第6页 共7页当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以g p （）的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】（Ⅰ）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1mina f x f f a-<==，不成立，102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅱ）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a >有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+<数学试题第7页共7页。
青岛市第二中学2020届高三数学上学期期中试卷附答案解析
青岛市第二中学2020届高三数学上学期期中试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的；第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1. 设集合2{1213},{log }Ax x B x y x =-≤+≤==，则=A B I ( )A.B. C. D.2．若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为( )A.1B. 1-C.2D. 2-3. 已知是等差数列的前n 项和，，则2a =( ) A.5B.6C.7D.84. 命题为“”为真命题的一个充分不必要条件是( )A.B.C.D.4a ≤5．函数（其中e 为自然对数的底数）的图像大致为( )6. 若非零向量,a b r r满足=a br r ，向量2+a b r r 与b r垂直，则a b r r 与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．7．如图，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点B 在双曲线的右支上，矩形OFBD 与矩形AEGF相似，且矩形OFBD 与矩形AEGF 的面积之比为2:1 ，则该双曲线的离心率为( )A.2 B.12+ C.22+ D.228． 已知定义在R 上的函数满足，且当时，，则()2020f = ( )A. B. 0 C. 1 D.2[0,1][1,0]-[1,0)-(0,1]n S {}n a 3778,35a a S +==[]21,2,20x x a ∀∈-≥1a ≤2a ≤3a ≤()()11x x e f x x e +=-150o 120o 60o 30o ()f x ()()()(),11f x f x f x f x -=+=-[]0,1x ∈()()2log 1f x x =+1-9.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. C.D.10．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若1266363780S S S S S S ---⋅-=，且正整数,m n 满足31252m n a a a a =， 则18m n+的最小值是（ ） A ．53 B ．95 C ．157D ．7511.（多选题）如图，设的内角所对的边分别为，3(cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点是外一点， 1,3DC DA == ，下列说法中，正确的命题是（ ） A ．的内角3B π=B ．的内角3C π=C ．四边形面积的最大值为53+32D ．四边形面积无最大值12. （多选题）下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布)2(2δ，N ,()40.84Pξ<=，则()24P ξ<<=0.16.B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3 .C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a =.D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16.13. （多选题） 设函数，若有4个零点，则的可能取值有( ) A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上） 14. 若ocos 27a = ,则()o o 2cos72cos18+的值为_______.(用a 表示)()sin 3cos f x a x x =-56x π=12()()4f x f x ⋅=-12x x +3π-03π23πABC ∆,,A B C ,,a b c D ABC ∆ABC ∆ABC ∆ABCD ABCD 2()ln (0)2ax f x ax a e=->()f x a15．在中，，其外接圆圆心满足0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r ，则AB AC ⋅uu u r uuu r= .16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1 ,,则此球的表面积=_________. 17.已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式222()()0x x e f e a x f ax -≥ 恒成立，则正数的最大值为_______.三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18．（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，31=-AB ，31=+BC ，3CA =，且B ∠与D ∠互补，32⋅=uuu r uu u r AD CD .（Ⅰ）求ACD V 的面积；（Ⅱ）求ACD V 的周长.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥的一个侧面PAD 为等边三角形，且平面平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形, .（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2)n n n n n nb a b a b ++++= . （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若211(+5)log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．ABC △1BC =O P ABC -PA ⊥ABC 2,1,60AB AC BAC ==∠=o()y f x =R ()f x '0x >()()22x f x xf x '>-x R ∀∈a P ABCD -PAD ⊥2,23,3AD BD BAD π==∠=BD PD ⊥P BC D --21. （本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为32,(2,1)P -是椭圆1C 上一点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设A B Q 、、是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于AB 的直线l 与椭圆1C 相交于不同于P Q 、的两点C D 、,点C 关于原点的对称点为E . 证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．22. （本小题满分14分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中0.016a b -=.（Ⅰ）求这300名玩家测评分数的平均数；（Ⅱ）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为()01p p <<，且每款游戏之间改进与否相互独立.（i ）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；（ii ）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．(以聘请专家费用的期望为决策依据)23．（本小题满分14分）已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数. （Ⅰ）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<.答案解析答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD 14.2a 15.1216.16π 17.e 18. 【解析】（Ⅰ）在ABC V 中，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以15sin 4ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补， 所以15sin sin 4ADC ABC ∠=∠=，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=u u u v u u u v ，所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=u u u v u u u v u u u v u u u v ，即6AD CD ⋅=u u u v u u u v ，所以1315sin 24ACD S AD CD ADC =⋅⋅∠=V u u u v u u u v . （Ⅱ）在ACD V 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=， 所以26AD CD +=，所以ACD V 的周长为263AD CD AC ++=+.19. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ，平面PAD ，又 （Ⅱ）如图，作于点O ， 则平面ABCD过点O 作于点E ，连接PE ，ABD ∆2,23,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD ⊥PO ⊥OE BC ⊥以O 为坐标原点，以OA,OE,OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面DBC 的一个法向量为设平面PBC 的法向量为则 取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =， 可得120a d +=，151015a d +=，解得11a =-，2d =， 则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足：12b a =，131(2)n n n n n nb a b a b ++++=， 可得11b =，1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-，即为14n nb b +=，所以数列{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列， 可得14n n b -=（Ⅱ）2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++Q11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L21. 【解析】（Ⅰ）由题意可得⎩⎨⎧1－b 2a 2＝34，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝2．故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．()()()()1,0,0,1,23,0,0,0,3,3,23,0D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-u u u r u u u r()0,0,1(),,n x y z =r00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r202330x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =rθ25cos 5θ=（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B (2， 1) 因此直线l 的斜率为12，设直线l 的方程为：y ＝12x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ， x 28＋y 22＝1，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0．（Δ＞0） 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4 ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1－x 1＋2＝(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)(2＋x 2) (2－x 1)而(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1 y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1·x 2－t (x 1＋x 2) ＋x 1－x 2－4＝－x 1·x 2－t (x 1＋x 2)－4 ＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形．22. 【解析】（Ⅰ）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=， 故0.032a b +=； 而0.016a b -=，联立两式解得，0.024,0.008a b ==；所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；（Ⅱ）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为：2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+；（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；123(1500)C (1)P X p p ==-， 123(900)1C (1)P X p p ==--，故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ； 令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ，2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以g p （）的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】（Ⅰ）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++g g ，当102a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1min a f x f f a-<==，不成立， 102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅱ）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a > 有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++g g ，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211x e ax x ≥++，即2112xe x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+<。
山东省青岛市崂山区青岛第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷版)
青岛二中2019-2020学年第一学期期末考试高二数学试题一､单选题1.若复数311i z i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（i为虚数单位），则||z =（ ）. A.18B.14C. 1D. 82.已知命题0:p x R ∃∈，2010x +≤，则p ⌝为（ ）.A. x R ∃∈，210x +>B. x R ∀∈，210x +>C. x R ∃∈，210x +≥D. x R ∀∈，210x +≥3.抛物线y ＝14x 2的焦点坐标是( ) A. (0，116) B. (116，0)C. (1，0)D. (0，1)4.若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ）. A. -4B. -3C. -2D. 25.设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数不小于1”是“222x y +>”成立的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6.函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A. B.C. D.7.已知点F 1，F 2分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 在双曲线C的右支上|F 1F 2|=2|OM|，△MF 1F 2的面积为4a 2，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.28.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 均有()222()()0x x f x x f x '-+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式2()0xx f x e ->的解集是（ ）.A. (,)e +∞B. (1,)+∞C. (,1)-∞D. (,)e -∞二､多选题9.在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A. 若1233AD AC AB =+u u u v u u u v u u u v ，则可知3BC BD =u u u v u u u vB. 若Q 为ABC∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++u u u v u u u v u u u v u u u vC. 若0PA BC ⋅=u u u v u u u v ，0PC AB ⋅=u u u v u u u v ，则0PB AC ⋅=u u u v u u u vD. 若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =u u u u v10.对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. “a b =”是“ac bc =”的充要条件 B. “a b >”是“22a b >”的充分条件C. “5a <”是“3a <”的必要条件D. “5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件11.正方体1111ABCD A B C D -中，E 棱AB 的中点，F 为棱CD 上的动点，则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值可以是（ ）. B.2C.1012.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点是12F F P 、，是椭圆上一点，若122PF PF =，则椭圆的离心率可以是（ ） A.14B.13C.12D.23三､填空题13.当复数2(32)()z x x x i x R =++-∈（i 为虚数单位）的实部与虚部的差最小时，1zi =-________. 14.已知抛物线2:4C y x=焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且4FA FB =-u u u r u u u r，则||AB =________.15.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE ，如图，四边形ABCD ，ABEF 均为等腰梯形，////AB CD EF ，平面ABCD ⊥平面ABEF ，梯形ABCD ，ABEF 的高分别为3，7，且6AB =，10CD =，8EF =，则BF DE ⋅=u u u v u u u v________.16.已知函数()(1)2xf x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________.四､解答题17.已知命题()21,,1x p x m x ∀∈+∞≥-：恒成立；命题q ：方程22122x y m m +=-+表示双曲线．()1若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；()2若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围．18.已知直线:l y x b =-+与抛物线28y x =交于A ､B 两点（异于原点）.（1）若直线l 过抛物线焦点，求线段||AB 的长度； （2）已知O 为坐标原点，若OA OB ⊥，求b 的值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知平面PAB ⊥平面ABCD ，且PA AB ⊥，ABC V 为等边三角形，4PA =，2AB =，AC CD ⊥.PD 与平面PAC 所成角的正弦值为64.（1）证明: //BC 平面PAD ；（2）若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.20.已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于()()3344,,,E x y F x y 两点，若12341111y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.22.己知函数()ln f x ax x =-（a是常数，且0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当()y f x =在1x =处取得极值时，若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）求证:当2n ≥，*n N ∈时，22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .。
山东省青岛市崂山区青岛第二中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
由 可得 ，
即有 为直角三角形，且 ，
因为 的面积为 ，
所以
又因为 ，
所以 ，
由双曲线定义可得 ，
可得 ，
，
∴双曲线 的离心率为 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件
12．已知椭圆 的左，右焦点是 是椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率可以是（）
A． B． C． D．
三、填空题
13．当复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部的差最小时， ________.
若 ，可取 ，则 ， 中至少有一个数不小于1不成立，
所以“ ， 中至少有一个数不小于1”是“ ”成立的既不充分又不必要条件.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，同时考查了不等式的性质，属于基础题.
6．B
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
14．已知抛物线 的焦点 和准线 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且 ，则 ________.
15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体 ，如图，四边形 ， 均为等腰梯形， ，平面 平面 ，梯形 ， 的高分别为 ， ，且 ， ， ，则 ________.
2020届山东省青岛市崂山区青岛第二中学高三上学期期中数学试题(含答案解析)
11．（多选题）如图，设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，
3
a
cos
C
c
cos
A
2b
sin
B
，且
CAB
3
．若点
D
是
ABC
外一点，
DC
1，
DA
3
，
下列说法中，正确的命题是（ ）
B A． ABC 的内角 3
C B． ABC 的内角 3
5 3 3
C．四边形 ABCD 面积的最大值为 2
2020 届山东省青岛市崂山区青岛第二中学高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．设集合
A
x
|
1
2x
1
3
，
B
x
|
y
log2
x
，则
A
B
（）
0,1
A．
1, 0
B．
1, 0
C．
0,1
D．
【答案】A
【解析】化简集合 A,B，根据交集的运算求解即可.
【详解】
因为 A x | 1 2x 1 3 [1,1] ， B x | y log2 x (0, ) ，
3 sin( A C) 2sin2 B 3 sin B 2sin2 Bsin B 3 2
CAB B (0, 2 ) B ，C A B
3
3
3
3 ,因此 A,B 正确；
四边形 ABCD 面积等于 SABC SACD
3 AC2 1 AD DC sin ADC
4
2
3 ( AD2 DC2 2AD DC cos ADC) 1 AD DC sin ADC
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D．若样本数据 ， ，…， 的方差为2，则数据 ， ，…， 的方差为16．
【答案】BC
【解析】根据正态分布性质求 即可判断A;根据方程变形即可确定 ， 的值，再判断B;根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D.
【解析】运用辅助角公式，化简函数 的解析式，由对称轴的方程，求得 的值，得出函数 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数 为辅助角 ，
由于函数的对称轴的方程为 ，且 ，
即 ，解得 ，所以 ，
又由 ，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设 ， ，
所以 ，
当 时， 的最小值 ，故选D.
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】先根据条件确定周期，再根据周期将自变量转化到已知区间，最后代入求结果.
【详解】
， ， ，
故选：B
【点睛】
本题考查函数周期及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．已知函数 的图像的一条对称轴为直线 ，且 ，则 的最小值为( )
A． B．0C． D．
【答案】D
【解析】由题设，求得正项等比数列 的公比为 ，进而根据等比数列通项公式，化简得 ，结合基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
设正项的等比数列 的公比为 ，其中 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故选A.
【点睛】
【答案】A
【解析】“ ， ”为真命题可转化为 恒成立，可得 ，根据充分必要条件可选出答案.
【详解】
若“ ， ”为真命题，可得 恒成立
只需 ，
所以 时， ， ”为真命题，
“ ， ”为真命题时推出 ，
故 是命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件，
选A.
【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.
【答案】C
【解析】根据等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可求出 ，即可求出公差，再根据通项公式求出 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
故 ，
，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题.
4．命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
A． 的内角 B． 的内角
C．四边形 面积的最大值为 D．四边形 面积无最大值
【答案】ABC
【解析】先根据正弦定理化简条件得 ，再结合 得 ，最后根据三角形面积公式表示四边形 面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.
【详解】
,因此A,B正确；
四边形 面积等于
因此C正确，D错误，
故选：ABC
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
12．（多选题）下列说法中，正确的命题是（）
A．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 ．
B．以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 ， 的值分别是 和0.3．
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当 时， 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可.
【详解】
因为函数定义域为 ，且 ，所以函数为偶函数，
故函数 有4个零点等价于 时， 有2个零点，
当 时， ，
则
当 ，当
由 得 ，当 时， ，当 时， ，
【答案】B
【解析】根据已知得复数z的表达式，再根据复数的除法运算，将复数z的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，计算化简得复数z，从而得解.
【详解】
由 得
，
所以复数z的实部为 ，
故选B.
【点睛】
本题考查复数的概念与乘法、除法运算，属于基础题.
3．已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则 （）
A．5B．6C．7D．8
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.
四、解答题
18．如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，且角D与角B互补， .
（1）求 的面积；
（2）求 的周长.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）通过角D与角B互补，先求出 ，采用正弦定理的面积公式求解 即可
（2）要求 的周长，即求 ，结合余弦定理进行整体求解即可
【详解】
（1）在 中，由余弦定理得 .
【答案】
【解析】令 先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到 在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】
因为当 时，有不等式 成立，
所以 ，
令 所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，
由题得
所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对 ，不等式 恒成立，
所以 ，
因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.
所以 .
因为角D与角B互补，
所以 ， .
又 ，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【点睛】
本题考查解三角形的具体应用，第一问正弦定理求面积，第二问利用余弦定理求周长，解三角形的核心思想为：将边角关系转化到同一个三角形，利用正弦余弦定理进行求解，一般是先正弦再余弦
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
10．记 为正项等比数列 的前n项和，若 ，且正整数m,n满足 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】A
如图：
所以 有极小值 ，要使函数有 个零点，只需 即可，
即 ，
解得 ，
所以 可取 ，故选BCD.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当 时 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.
三、填空题
14．若 ，则 的值为_______．（用 表示）
【答案】
【解析】因为 ，所以利用两角和与差余弦公式化简,即得结果.
当x＞0时， ，
所以 ，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.
所以 ，
所以a＜e,
所以正整数 的最大值为2.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查两角和与差余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．若在△ 中, ，其外接圆圆心 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】根据题意可得， 为△ 的重心，由重心与外接圆圆心重合可得△ 为等边三角形，即可求解.
【详解】
由 ，得 为△ 的重心，又 为外接圆圆心，所以可得
【详解】
（1）证明：在 中， ， ， ，
∴ .
又平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴ .
（2）如图，作 于点 ，
则 平面 ，
过点 作 于点 ，连接 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ， ， ，
， ，
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
6．若非零向量 ， 满足 ，向量 与 垂直，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，且 与 垂直，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ 与 的夹角为 ．
故选 ．
7．如图，双曲线 的右顶点为A，右焦点为F，点B在双曲线的右支上，矩形OFBD与矩形AEGF相似，且矩形OFBD与矩形AEGF的面积之比为2：1，则该双曲线的离心率为
本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，以及基本不等式的应用，涉及到不等式与数列的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、多选题
11．（多选题）如图，设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，且 ．若点 是 外一点， ， ，下列说法中，正确的命题是（）
则 ，即 ，
取 ，
设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本题主要考查了面面垂直，线面垂直，线线垂直，二面角的向量求法，属于中档题.
20．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足： ，且 （1）求数列 和 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）将 转化为 的形式列方程组，解方程组求得 的值，进而求得数列 的通项公式，由此化简 ，判断出数列 是等比数列，进而求得数列 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列 的前 项和 .
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，
所以 ；
由 ，
，所以数列 是以 为公比，首项 的等比数列，
（2）因为
5．函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（）
A． B．
C． D．