学术论文 14021198 程浩关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减法的若干探讨

关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减

法的若干探讨

程浩

北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191

薛玉梅

北京航空航天大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，

100191

摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了 一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广. 关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式 一、引言

我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即： 设函数()()()x h x g x f ,,在0x 附近有定义，且()()()0~x x x g x f → 则：若()()a x h x f x x =→0

lim ，则()()a x h x x x =→g lim 0

；

若()()

a x f x h x x =→0

lim

，则()()a x x h x x =→g lim 0.（在0x 附近()()0,0≠≠x g x f ）

那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得： 若()()()0~x x x g x f →，则()()()()()()x h x g x h x f x x x x ±=±→→0

lim lim （若两极限存在）但

在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如： 例1计算x

x x x 30sin sin tan lim

-→ 正解 303030sin cos sin lim sin tan lim sin sin tan lim x

x

x x

x x x x x x x x x -=-=-→→→

()21

sin 21cos cos 1sin lim 2230==-=→x x

x x x x x 错解 0sin tan tan lim sin sin tan lim

3030=-=-→→x

x

x x x x x x

究竟是什么原因导致了错误呢？ 原来若我们所求极限是

型极限的话，我们轻易替换可能出现错误，不难验证若分子分母函数的极限都存在且不等于0时，等价无穷小可以适用于加减.因此我

们主要探讨0

型极限.我们只讨论减法运算.

二、从无穷小阶量化角度得到的结论

笔者从无穷小量化的角度得到了如下结论：

定理1设()()()0~x x x g x f →，()0lim 0

=→x h x x ，()0lim 0

=→x F x x ，()()()

a x F x h x f x x =-→0

lim

, （1）当()x f 和()x h ()0x x →不是等价无穷小量，则

()()()()()()

a x F x h x f x F x h x g x x x x =-=-→→00

lim lim

；

（2）当()()()0~x x x h x f →，则

()()()()()()

a x F x h x f x F x h x g x x x x =-=-→→00

lim lim

成立当且仅当()()x g x f -是()x F 的高阶无穷小量. 证明 以下设()x h 的阶数为m ，()x f 的阶数为n ，()()x h x f -的阶数为p ，()x F 的阶数为

q ，

()()x g x f -的阶数为s.

分析：()()()a x F x h x g x x =-→0

lim

等价于()()()

()()()0lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→x F x h x g x F x h x f x x 即等价于()()()

x F x g x f -为无穷小，等价于()()x g x f -为()x F 的高阶无穷小.在开篇的例子中由于

x x sin tan -与x 3sin 为等价无穷小，故出现了错误（两者均为3阶无穷小量）.

现在我们来更深入地探讨这个问题.由于()()()

,lim

a x F x h x f x x =-→ 若0=a ，则()()x h x f -为 ()x F 的高阶无穷小；若0≠a ，则()()x h x f -为 ()x F 的等价无穷小.这就产生了两个问题：

（1） ()()x h x f -的阶数与()x f 和()x h 的阶数有何关系；（2）()()x g x f -的阶数与()x f 和()x g 的阶数有何关系.

对问题（1），我们可证下面命题：

定理2若n m ≠，则{}n m p ,m in =；若n m =，则m p ≥. 证明 若n m ≠，不妨设n m >.则由题可设()()0lim ,0lim

00≠=≠=→→d x x f c x x h n

x x m x x ，则

()()()()00lim lim lim

000

≠=+=⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅-=--→→→d d x x x h x x f x x h x f n m m x x n x x n x x ，故{}n m p ,m in =得证. 若n m =，()()()()c d x x h x

x f x x h x f m x x m x x m x x -=-=-→→→000

lim lim lim

若d c ≠，则m p =；若d c =，则()()x h x f -是m

x 的高阶无穷小，故m p >，命题后半部分得证.定理2得证

由定理2我们还可以解决问题（2）.我们有如下定理：

定理3(1)若n m ≠，s q <则，这样()()x g x f -必为()x F 的高阶无穷小；

(2)若n m =，则

当d c ≠则s q <，()()x g x f -为()x F 的高阶无穷小；