电容的充放电过程及其应用

电容的充放电过程及其应用

一、实验目的

1．观察RC 电路的矩形脉冲响应。

2．了解RC 微分电路、积分电路及耦合电路的作用及特点。

3．学习双踪示波器的使用方法。 二、实验原理

1． RC 串联电路的充放电过程

在由电阻R 及电容C 组成的直流串联电路中，暂态过程即是电容器的充放电过程（图1），当开关K 打向位置1时，电源对电容器C 充电，直到其两端电压等于电源E 。这个暂态变化的具体数学描述为q ＝CUc ，而I = dq / dt ，故

dt dUc

C

dt dq i == （1） E iR Uc =+ （2） 将式(1)代人式(2)，得 E RC

Uc RC dt dUc 11=+

考虑到初始条件t=0时，u C =0，得到方程的解：

[]()()

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨

⎧-=-=-==RC t E U E U RC t R E i RC t E U C R /exp /exp ）/-（exp -1C 上式表示电容器两端的充电电压是按指数增长的一条曲线，稳态时电容两端的电压等于电源电压E ，如图2(a) 所示。式中RC=τ具有时间量纲，称为电路的时间常数，是表征暂态过程进

行得快慢的一个重要的物理量，由电压u c 上升

到0.63E ，1/e ≈0.37，所对应的时间即为τ。

当把开关k 1打向位置2时，电容C 通过电阻R 放电，放电过程的数学描述为

将dt dUc C

i =，代人上式得

01

=+Uc RC

dt dUc 由初始条件t ＝0时，Uc ＝E ，解方程得

⎪

⎩⎪⎨⎧--=--=-=)

/exp()/exp()

/exp(RC t E U RC t R E

i RC t E Uc R

表示电容器两端的放电电压按指数律衰减到零，τ也可由此曲线衰减到0.37E 所对应的时间来确定。充放电曲线如图2所示。 2. 半衰期T 1/2

图2 RC 电路的充放电曲线 （a ）电容器充电过程 （b ）电容器放电过程 U R

Uc

K

1 2 V

E R C 图1 RC 串联电路

与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T 1/2，即当U C （t ）下降到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同样反映了暂态过程的快慢程度，与t 的关系为：T 1/2 =τln2 = 0.693τ（或τ= 1.443T 1/2）

3. RC 电路的矩形脉冲响应。

若将矩形脉冲序列信号加在电压初值为零的RC 串联电路上，电路的瞬变过程就周期性地发生了。显然，RC 电路的脉冲响应就是连续的电容充放电过程。如图3所示。

图3 RC 电路及各元件上电压的变化规律

若矩形脉冲的幅度为U ，脉宽为t p 。电容上的电压可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅≤≤-=-

-211

0)1()(t t t e U t t e U t u t

t c τ

τ 电阻上的电压可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅-≤≤⋅=-

-2

110)(t t t e U t t e U t u t

t

R ττ

即当10t t ≤≤时，U t u i =)(，电容被充电；当21t t t ≤≤时，电容器经电阻R 放电。 4．RC 电路的应用

（1）微分电路。取RC 串联电路中的电阻两端为输出端，并选择适当的电路参数使时间常数τ<

dt

t du RC dt du RC i R t u i c c )

()(0⋅≈⋅

=⋅=

(t u i )(t R )

(t C )(t u i

(t u R (t u C u

u

u

-t

t

t

上式说明，输出电压)(0t u 近似地与输入电压)(t u i 成微分关系，所以这种电路称微分电路。微分电路在矩形脉冲电压)(t u i 的作用下，输出正、负尖脉冲信号。如图 4所示。在矩形正脉冲波形的前沿输出正尖脉冲波，在其后沿输出负尖脉冲波。尖脉冲在实际应用中可作为触发信号。

（a ）基本原理图 （b ）输出波形图

图4 RC 微分电路及输入和输出电压波形

（2）RC 耦合电路

若改变上述电路的参数，使得τ>>t p ，微分电路转变为耦合电路。其输出波形如图5所示。这种电路在多级交流放大电路中经常作为级间耦合电路。

（3）RC 积分电路

如果将RC 电路的电容两端作为输出端，电路参数满足τ>>t p 的条件，则成为积分电路。由于这种电路电容器充放电进行得很慢，因此电阻R 上的电压)(t u R 近似等于输入电压

)(t u i ，其输出电压)(0t u 为：

dt t u RC dt R t u C dt t i C t u t u i R c c ⋅≈⋅=⋅=

=⎰

⎰⎰)(1)(1)(1)()(0 上式表明，输出电压)(0t u 与输入电压)(t u i 近似地成积分关系。其输入、输出波形如

(t u i )

(0t

-(0t u )

(t u i

(0u (u i t

t

图5 RC 耦合电路电压波形