高中数学竞赛中有关不等式的研究【文献综述】

毕业论文文献综述
数学与应用数学
高中数学竞赛中有关不等式的研究
不等式研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。

目前，对不等式理论的研究的数学学者已经遍布世界各个国家。

当一个人站在满天星空之下，我们一定会为数之不尽的点点星光而感叹，也一定会为了特别闪亮的星星而特别的注视。

同样，数学中不等式也是那么那么的繁多。

在现在的不等式理论里，包含了更加全面的知识理论，回首过去，我们知道不等式理论是从 C.F.Gauss，A.L.Cauchy（只举极为最重要的）奠定近似方法的理论基础时开始发展起来的。

大约在十九世纪末和二十世纪初，许多不等式被证明了，其中一些成为了经典不等式，而大多则是孤立的、无联系的结果。

1934年出版的G..H..Hardy 的经典著作《不等式》，不等式领域从孤立公式的汇集改造成为系统的学科，这是全世界几乎公认的。

1.G.波利亚（涂泓、冯承天译）.《怎样解题》[M].上海科技教育出版社.2007,5
世界著名数学家和数学教育家波利亚的《怎样解题》中文版于1948年问世，距今已60周年．在介绍波利亚生平的基础上，论述了3个方面的问题：（1）《怎样解题》的基本思想以及学者们研究发展它的情况；（2）波利亚的数学教育思想；（3）在学习接受波利亚数学教育思想的过程中应注意的问题.
评论：这本书首先，让我们重温波利亚这位伟大数学教育家的思想精髓；其次，让我们了解数学教育工作的前辈们在6o年以前的民国时期做了些什么；再次，让我们认真地思考在新的条件下如何有效地发展波利亚的数学教育思想．在新的条件下如何有效地发展波利亚的数学教育思想．
2.李名德,李胜宏.《高中数学竞赛培优教程》（一试）[M].浙江大学出版社.2007,3(2)13 5~152
为了适应广大中学生对数学奥林匹克竞赛知道教程的需要，以及为从事中学数学工作者指导学生提供有益的参考资料，由浙江大学教授、博士生导师、全国数学奥林匹克竞赛领队李胜宏和浙江大学教授李名德先生主编的《高中数学竞赛培优教程》（一试）为我们指引了方向. 评论：本书详细的讲解了高中竞赛不等式的各种题型的证明、解法、应用以及三个重要不等式.
3. 陈卓华.利用平凡不等式证明竞赛不等式[J].《中国科教创新导刊》.2008,8，95
本文通过对《寻找匹配因子证明不等式》,《竞赛不等式的创新证法—向量内积法》、《也谈
一类竞赛不等式的创新证法》三个文章中的不等式证明方法的研究和总结,设计出了利用本文列举的不等式来证明方法简单.
评论：本文通过例题详细的讲解了如何利用匹配因子的方法，构造均值不等式证明不等式；如何利用向量内积的方法，构造向量来证明不等式；如何利用数学期望的性质，构造离散型随机变量的概率分布证明不等式。

方法新颖，但构造需要技巧.
4. 武增明.求解抽象函数不等式问题的探究策略[J].数理化学习（高三）.2010,8,16~17
纵观近几年的高考试题，抽象函数不等式问题一直倍受命题者的关注．这类问题往往具有抽象性、综合性、技巧性、隐蔽性等特点．为此，笔者以近两年出现的一类典型抽象函数不等式问题为例，认真分析和总结了几种解决这一类问题的常用方法，以期对大家有所帮助.
评论：由本文的数例可知，对于求解抽象函数不等式问题，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、定义域及值域等知识．
5. 赵维奇.柯西不等式的多种应用[J].数理化学习（高三）.2010,7,18~20
著名的柯西不等式是：对任意的两组数据a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn有不等式（a 1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2．当且仅当b1=b2=····=bn=0,或，a1/b1=a2/b2=····=an/bn时，等号成立.
评论：柯西不等式是高中数学竞赛中一个重要的基本不等式，在应用柯西不等式解题时，应注意不等式的各种变式应用.
6.代志强.放缩法——解数列与不等式问题的好帮手[J].湖南教育下旬.2010,8,56
数列与不等式综合问题的解决过程体现了多种数学方法和数学能力,是考查数学思维能力和数学思想方法的好素材.因此,这类题常常出现在高考的压轴题中,是历年命题的热点.解决这类问题的方法比较多，而且有很强的技巧性．本文从常见的两种数列不等式的题型入手，分析用放缩法解决数列与不等式综合问题的途径.
评论：放缩法是数列与不等式综合问题中常用的处理方法，“积式”及“和式”的各项放缩变形是问题解决的关键．因此，要结合题目的特点，将各项放大或缩小成为特殊数列的形式，方便求积或求和，从而
得证．
7. 李淑燕. 一个不等式的证法再探[J].数理化学习（高三）.2010,7,23~24
题目设a、b是正数，且a＋b=1，求证（a＋1）^2＋（b＋1）^2≥9/2. 该题是一道经典的不等式证明题．由于思维方式和思维水平的不同，可获多种证明方法.
评论：此论文从多个角度多种方式证明这道经典不等式，全方位的总结了高中竞赛不等式的各种解法.
8. 施耀选,李建华. 巧用“均值不等式”的几类方法[J].数学教学研究.2010,29(8),54~55
“均值不等式”在证明不等式及各类最值问题中具有广泛的应用．然而由于其表现形式的多样性。

需要经过适，当的变形和处理．本文结合典型例题给出了巧用“均值不等式”的几类方法.
评论：“均值不等式”是证明不等式及其各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，它是考查素质、能力的一个窗口，也是高考数学备考的一个重点知识点．但由于其变形公式多，约束条件“苟刻”(一正、二定、三相等)往往不能直接应用，而要经过适当的变形、恰当的处理和一些技巧的运用后才能应用．本文给出了巧用“均值不等式”的几类方法，并通过实例如以解释和说明．
外文翻译：
9.Tasos C.Christofides. Maximal inequalities for demimartingales and a strong law of large numbers[J]. Department of Mathematics and Statistics.6 June 2000, Pa ges 357~363
本文Newman和Wright(Z.Wahrsch.Verw.Geb.59(1982)361 371)首次将Chow最大不等式从（局部）鞅的情况推广到半（局部）鞅的情况。

这个结论可以作为证明其他不等式如Hajek-Renyi不等式和Doob最大不等式的“资源”的不等式，并且由此得出了强大数定律。

数学期望值为零的联合随机变量的部分和是半鞅。

因此，最大不等式和强大数定律在情况被运用联合随机变量中有特殊的运用。

评论：本文阐述半鞅最大不等式和强大数定律
10.Several kinds of inequality[J]. Comptes Rendus Mathematique. 30 April 2002, Pages 875-879
本文主要论述了几种数学不等式的证明，包括比较法、综合法、分析法、反证法、换元法和放缩法对不等式的证明的基本思路。

主要参考文献
1.G.波利亚（涂泓、冯承天译）.《怎样解题》[M].上海科技教育出版社.2007,5
2.李名德,李胜宏.《高中数学竞赛培优教程》（一试）[M].浙江大学出版社.2007,3(2)135~1 52
3. 陈卓华.利用平凡不等式证明竞赛不等式[J].《中国科教创新导刊》.2008,8，95
4.武增明.求解抽象函数不等式问题的探究策略[J].数理化学习（高三）.2010,8,16~17
5. 赵维奇.柯西不等式的多种应用[J].数理化学习（高三）.2010,7,18~20
6.代志强.放缩法——解数列与不等式问题的好帮手[J].湖南教育下旬.2010,8,56
7.李淑燕. 一个不等式的证法再探[J].数理化学习（高三）.2010,7,23~24
8.施耀选,李建华. 巧用“均值不等式”的几类方法[J]. 数学教学研究.2010,29(8),54~55 外文翻译：
9.Tasos C.Christofides. Maximal inequalities for demimartingales and a strong law of large numbers[J]. Department of Mathematics and Statistics.6 June 2000, Pages 357~363 10. Efim Gluskin, Vitali Milman.Several kinds of inequality [J]. Comptes Rendus Mathematique. 30 April 2002, Pages 875-879。