实验_趸缴纯保费的计算1

实验 趸缴纯保费的计算实验目的：掌握趸缴纯保费的相关知识。

要求学生熟悉死亡即付寿险、死亡年末给付的寿险的计算，同时了解死亡即付寿险与死亡年未给付寿险的趸缴纯保费的关系以及递增型寿险与递减型寿险的关系，要求学生掌握利用Excel 计算趸缴纯保费的方法。

基本假设纯保费(net prenuim)是指只覆盖保障风险的费用，不包含经营管理费用和附加利润。

在厘定纯保费时要遵循纯保费均衡原理，纯保费均衡原理是指保险人收取的纯保费应该恰好等未来的保险赔付金。

各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应该遵循这条基本原则。

趸缴是一种缴费形式，是指将所有的费用一次性缴清。

趸缴纯保费(net single prenuim)是指在保单生效日，被保险人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。

运用均衡原则厘定纯保费时，一般遵循如下三条假定：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立、同分布； 假定二：实保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合； 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。

以上三条假定的意义是将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故加以考虑。

对于单个被保险人而言，他何时发生风险事故，他和保险人约定的受益金额等于多少都是无法预测的，但是对于一个大数总体而言，剩余寿命的分布是有稳定的统计规律的，可以用生命表很好地测度。

所以可以用总体的剩余寿命分布来测度在各个时点的索赔发生的概率，再根据约定的各个时点的赔付额以及考虑利息因素的影响，就可以综合测定纯保费了。

趸缴纯保费的定义 赔付额现值Z 的概率分布若被保险人t 时刻死亡即刻给付1元保险赔付额，设赔付额现值变量为Z ，则x t e v Z t t -<≤==-ωδ0,其中，t 为(x)的余命，余命随机变量T(x)的概率密度函数为)()(t f x T 。

那么赔付额现值Z 小于P 的概率这：)Pr()Pr()Pr(P e P v P Z t t <=<=<-δ不等号两边同时取对数，得)ln Pr()ln Pr()Pr(δδPt P t P Z ->=<-=<也就是说，求赔付额现值Z 小于P 的概率可以转换为求余命t 大于δPln -的概率，或通过余命t 的分布可以求得保险赔付额现值Z 的概率分布。

趸缴纯保费的定义1、赔付额现值Z 的数学期望根据基本假设，赔付额现值Z 的数学期望E[Z]定义如下：⎰⎰⎰∞-∞∞===0)(0)(0)()()()(][dt t f e dt t f v dt t f z Z E x T t x T t x T δ2、趸缴纯保费的定义趸缴纯保费就定义为赔付额现值Z 的数学期望，定义符号x A 为(x)投保终身寿险的趸缴纯保费，(x)投保n 年期寿险的趸缴纯保费1|:n x A ，则有：⎰∞-==0)()(][dt t f e Z E A x T t x δ⎰-==nx T t n x dt t f e Z E A 0)(1|:)(][δ3、赔付额现值Z 的方差（1）终身寿险赔付额现值Z 的方差为：22220)(2)(])[(][)(])[()(x x x T A A Z E Z E dt t f Z E z Z Var -=-=-=⎰∞（2） n 年期寿险赔付额现值Z 的方差为：21|:1|:2220)(2)(])[(][)(])[()(n x n x n x T A A Z E Z E dt t f Z E z Z Var -=-=-=⎰方差主要用于衡量实际赔付额的现值与趸缴纯保费的差异，方差越大，说明差异越大，反之则差异越小。

在实务中，希望这种差异越小越好，即方差越小越好。

死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定记K 为被保险人整值剩余寿命，v 为年利率为i 时的贴现率，k z 为第k 保单年度单位保额的现值，则：,2,1,0,1==+k v z k kX 岁的人投保单位保额死亡年末赔付的各险种的趸缴纯保费为：终身寿险：∑∑∑∑∞=++∞=++∞=+∞======0101|1|1)(k k x k xk x k x k k x k k k x k k x d vl l d vq vq zZ E AN 年定期寿险：∑∑∑∑-=++-=++-=+-======11111|11|1|:1)(n k k x k xn k x k x k n k x k k n k x k kn x d vl l d vq vq z Z E AN 年期生存险：xnx n x n nn x l l v p v A+==1|: N 年期两全保险：xnx n n k kx k xn x n x n x l l v d vl AAA +-=+++=+=∑101|:1|:|:11投保初始保额为单位保额，每年递增单位保额的死亡年末赔付n 年期寿险的趸缴纯保费为：()∑∑-=++-=++=+=111|11|:)1(1)1(n k k x k xn k xk k n x d vk l q vk IA投保初始保额为单位保额，每年递增单位保额的死亡年末赔付终身寿险的趸缴纯保费为：()∑∑∞=++∞=++=+=01|1)1(1)1(k k x k xk xk k x d vk l q vk IA投保初始保额为n 个单位保额，每年递减单位保额的死亡年末赔付n 年期寿险的趸缴纯保费为：()∑∑-=++-=+-=-=111|11|:)(1)(n k k x k xn k xk k n x d vk n l q vk n DA死亡后立即给付保险趸缴纯保费的厘定X 岁投保死亡后立即给付的寿险的给付时间T 可表为T=K+S ，这里0≤S<1，在实务上，通常假设S 服从均匀分布，在此假设下，各种寿险的趸缴纯保费为：终身寿险：∑∑∞=++∞=+++===0111)1ln(1k k x k xk kx k xx x d vl i i d vl i A iA δδN 年定期寿险：∑∑-=++-=+++===11111|:1|:1)1ln(1n k k x k xn k kx k xn x n x d vl i i d vl i AiAδδN 年期两全保险：xnx n n k kx k xn x n x n x l l v d vl i AAA +-=+++=+=∑11|:1|:|:11δ 投保初始保额为单位保额，每年递增单位保额的死亡年末赔付n 年期寿险的趸缴纯保费为：()()∑-=+++==111|:1|:)1(1n k k x k xn x n x d vk l i IA iIA δδ投保初始保额为单位保额，每年递增单位保额的死亡年末赔付终身寿险的趸缴纯保费为：()()∑∞=+++==01)1(1k k x k xx x d vk l i IA iIA δδ投保初始保额为n 个单位保额，每年递减单位保额的死亡年末赔付n 年期寿险的趸缴纯保费为：()()∑-=++-==111|:1|:)(1n k k x k xn x n x d v k n l i DA iDA δδ实验中用到的主要的excel 函数及基本计算方法1、excel 函数SUMPRODUCT函数定义：SUMPRODUCT （x 向量的区域引用，y 向量的区域引用）函数功能：计算向量{}n x x x x ,,,21 =和向量{}n y y y y ,,,21 =对应分量之和，即计算∑kky x。

例如，x={1,3,5,7,9},y={2,4,6,8,10}，则：=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑10987654321k ky x在excel 中如果将x 向量的数据依次存放在A2：A6中，而y 向量依次存放在B2：B6中，则使用SUMPRODUCT 函数计算的公式则为：=SUMPRODUCT(A2:A6,B2:B6)。

如下图所示：2、趸缴纯保费的基本计算方法在利用生命表计算趸缴纯保费时，要用到的主要计算公式为：∑-=++11n k k x k d v，在这里，x 向量即为折现因子的各次方幂，即：{}{}nn v v v x x x ,,,,,,2121 =；y 向量即为各年的死亡人数，即：{}{}1121,,,,,,-++=n x x x n d d d y y y 。

在计算中，只要知道了{}nv v v ,,,21在工作表的区域引用和{}11,,,-++n x x x d d d 就可计算得到∑-=+1n k k x kd v 的值，即∑-=+1n k kx k d v 的基本计算公式可写为： =SUMPRODUCT({}n v v v ,,,21 的区域引用，{}11,,,-++n x x xd d d的区域引用)实验内容实验内容一题目：年龄为30岁的人购买一离散型寿险保险，有如下规定：在30岁到40岁之间死亡给付6万元，在40岁至50岁之间死亡给付8万元，50岁到60岁之间死亡给付10万元，60岁仍然生存则给付20万元，假设年利率为6%，求其趸缴纯保费。

实验指导：一、令随机变量K(x)为x 岁的人的取整余命，保险赔付额现值为Z ，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤=++++30)(,20000030)(20,10000020)(10,8000010)(0,600001)(1)(1)(1)(x K v x K v x K v x K v Z x K x K x K x K趸缴纯保费为：xx k kx k x k k x k x k k x k x x x k x k x k k x kx k k x k x k xk xk k k x k k k x k k l l v d v l d v l d v l l l v l d v l d v l d vp v q v q v q vZ E 30302920119101901303029201191019130302920|11910|19|1200000100000800006000020000010000080000600002000001000008000060000)(+=++=++=+++=++=++=++=+=+=+⨯+++=⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=∑∑∑∑∑∑∑∑∑二、数据在excel 工作表中的布局和计算公式如下图所示：三、excel 计算公式及说明： 1、折现因子i v +=11，kki v )1(1+=，其中，i 为年利率，存放在M2单元格，k 依次存放在M4，M5，M6，……单元格，所以计算公式为：=1/（1+M2）^M4 =1/（1+M2）^M5 =1/（1+M2）^M6 …………………… 为方便输入，将利率所在单元格的引用改为绝对引用，所以v 的计算公式就为：=1/（1+$M$2）^M4，这样，只需输入第一个公式，其余公式进行复制即可了。