高考理科数学定积分与微积分基本

定积分与微积分基本定理

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身 1．[2011·郑州一中模拟] 已知f (x )为偶函数，且 ⎠⎛0

6

f(x)d x ＝8，则⎠

⎛6－6f(x)d x ＝( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16

2．[2011·福州模拟] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e ](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0

e

f(x)d x 的值为( )

A .43

B ．2

C ．1

D .23 3．[2011·临沂模拟] 若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛0

2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系

是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

4．如图K 15－1

A ．2 3

B ．2－ 3

C .323

D .35

3

能力提升

5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎛0

1f(x)d x ＝2，则a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．[2011·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π

3

，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面

积为( )

A .12

B ．1

C .3

2

D . 3 7．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )

A ．260 m

B ．258 m

C ．259 m

D ．261.2 m

8．若⎠⎛0

k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．以上均不对

9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( )

A ．0.28 J

B ．0.12 J

C ．0.26 J

D ．0.18 J 10．[2011·洛阳模拟] 设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函数

f K (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

K ，f (x )≤K ，f (x )，f (x )>K ，则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分⎠⎛214f K (x)d x 的值为________．

11.⎠⎛0

1(x －x 2)d x ＝________.

12．[2011·枣庄模拟] ∫π

2

0(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________.

13．由抛物线y 2＝2x 与直线x ＝1

2

及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体

积为________．

14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点

处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为27

4

，求f(x)的解析式．

图K 15－2

15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)； (2)求函数S ＝f(t)在区间(0,1]

难点突破

16．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2

的切线PQ(Q 为切点)．

(1)求切线PQ 的方程；

(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关． 参考答案：

【基础热身】

1．D [解析] ⎠

⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛0

6f(x)d x ＝2×8＝16.

2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e 0f(x)d x 可以分为两段，即∫e 0f(x)d x ＝⎠⎛0

1x 2

d x

＋∫e 1

1x d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪10＋ln x e 1

＝13＋1＝43，所以选A . 3．D [解析] a ＝⎠⎛0

2x 2d x ＝13x 3⎪⎪

20＝83，b ＝⎠⎛0

2x 3d x ＝14x 4⎪⎪

2

0＝4，c ＝⎠

⎛0

2sin x d x ＝－cos x ⎪⎪

20＝1－cos 2<2，

∴c

4．C [解析] ⎠

⎛

1－3(3－x 2－2x)d x ＝

⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪

1

－3＝323

.

【能力提升】 5．C [解析] ⎠⎛

1f(x)d x ＝

⎠⎛0

1(ax 2＋1)d x ＝

ax 33＋x ⎪⎪

10＝a

3＋1＝2，解得a ＝3.