自考高等数学一历年真题

全国2010年10月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1.设函数

x x f 31)(+=的反函数为)(x g ，则)10(g =（ ）

2B.-1C.2D.3

2.下列极限中，极限值等于1的是（ ）

e )11(lim x

x x -∞→x x x sin lim ∞→2)1(lim x

x x x +∞→.x x x arctan lim ∞→ 3.已知曲线

x x y 22

-=在点

M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为

A.(-1，3)

B.(1，-1)

C.(0，0)

D.(1，1) 4.设

C x F x x f +=⎰)(d )(，则不定积分⎰x f x x

d )2(2

=（ ）

C F x +2

ln )

2((2x )(2x )2.2(2x )

5.若函数),(y x z z

=的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数

y

x z

∂∂∂2=（ ）x sin -y sin x cos .y cos 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则f (x 2)的定义域是.

7.极限=-+-∞→1

7272lim n n n

n n .

8.设某产品的成本函数为C (q )=1000+8

2

q ，则产量120时的边际成本为.

9.函数212x

x

y -=在0处的微分.

10.曲线2

ln 2

-+=x x x

y 的水平渐近线为.

11.设函数f (x )(1)(2)(3)，则方程0)(='x f 的实根个数为.

12.导数

⎰

=-x

t t t x

d )1(d d .

13.定积分

x x d |1|20

⎰

-.

14.二元函数f (x ，y )24-1的极小值为.

15.设(x )是由方程所确定的隐函数，则导数

x

y

d d .

三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16.设函数

|

|sin )(x x x x f -=

，问能否补充定义f (0)使函数在0处连续?并说明

理由. 17.求极限

)5

cos 1(lim 2x

x x -∞→. 18.设函数322在0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 的值. 19.求微分方程

)1()2(322y x y y ++='的通解.

20.求不定积分

⎰

--x x

x d 112

.

四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.设函数f (x ) ，求)0()0()0(f f f ''+'+.

22.计算定积分⎰-=

1

2

1

d 12arctan

x x I

.

23.计算二重积分⎰⎰+=

D

y x y x

I

d d )1(2

，其中D 是由直线，2及y 轴所围成

的区域.

五、应用题(本题9分)

24.在一天内，某用户t 时刻用电的电流为2)24(100

1

)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t

.

(1)求电流I (t )单调增加的时间段；

(2)若电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?

六、证明题(本题5分)

25.设函数f (x )，g (x )在区间[，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f ()(x )=2. 证明：

⎰

⎰

-=a

a

a

x x g x x g x f 0

d )(2d )()(.

全国2010年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题 课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.函数f (x )⎪⎭

⎫

⎝⎛-21x 的定义域为（ ） A.[-1，1] B.[-1，3] C.（-1，1） D.（-1，3）

2.要使无穷级∑

∞

=0

n n

aq （a 为常数，a ≠0）收敛，则（ ）

A.0.5

B.1

C.1.5

D.2

3.函数⎪⎩⎪⎨

⎧≥<+=1

31

2)(3

x x

x x x f 在1处的导数为（ ） A.1 B.2 C.3

D.不存在

4.函数2(12)的极小值为（ ） A.3 B.2 C.1

D.0

5.下列反常积分收敛的是（ ） A.

⎰

+∞

1

2

d 1x x B.

⎰

+∞

1d 1x x

C.⎰

+∞

1

d ln x

x

D.

⎰

+∞

1

d ln x x

x

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设⎩⎨⎧≤->=0

10

1)(x x x f ，g (x )2+1,则f [g (x )].

71

arctan lim

2+∞

→x x x .

8∞

→n lim [ (2) n ].

9.函数⎩

⎨

⎧≤≤-<≤-=21e e 1

0)(x x x k x f x

在1处连续，则. 10.设函数 x ,则y ″. 11.设函数2,则其弹性函数Ex

Ey . 12.曲线x

x

y ln =

的水平渐近线为. 13.不定积分

⎰

-2

2d x

x .

14.微分方程（12）(12)0的通解是.

15.设y

x 322e

-,则y

x z

∂∂∂2.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.求极限x

x x

x x x sin cos lim

--→.

17.求曲线2 x 的凹凸区间.

18.求函数f (x )4-2x 2+5在区间[-1，2]上的最大值和最小值. 19.已知函数f (x )满足

⎰

+=C x x

x f x e d )

(，求⎰x x f d )(.

20.方程()=1确定了隐函数(),求

y

z

x z ∂∂∂∂,. 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.设 ，求y ′. 22.计算定积分

⎰+1

d )1ln(x x x .

23.计算二重积分⎰⎰

D

y y x y d d e 2

，其中D 是由x 12及x 轴所围成

的闭区域.

五、应用题（本大题9分）

24.过抛物线2+1上的点（1，2）作切线，该切线与抛物线及y 轴所围成的平面图形为D . (1)求切线方程； （2）求D 的面积A ；

（3）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积.

六、证明题（本大题5分）

25.证明：当x >0时，1+x x +>12

1

.

全国2010年4月高等教育自学考试

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。