分形分维
分形分维11
19 2013-7-28
混沌游戏的分形图形的数学模型
Sierprinski 三角形是一个著名的混沌游戏的 分形图形，可用迭代函数系统(Iterated Function Systems IFS)模型来描述。 仿射变换 (Affine Transform) w (x ,x ) = (a x + b x +e , c x +d x +f ) 其中 a, b, c, d, e, f 均为实数，则称 w 为二维 仿射变换. 在直角坐标中其形式为：
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Koch雪花曲线
Koch雪花曲线
Von Koch (1870-1924)
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欧氏几何与分形几何
Koch曲线处处连续，但处处不 可导，其长度为无穷大。 欧氏几何是建立在公理之上的 逻辑体系。其研究的是在旋转、 平移、对称变换下各种不变的 量，如角度、长度、面积、体 积，其适用范围主要是人造的 物体。 分形几何由递归、迭代生成， 主要适用于自然界中形态复杂 的物体。分形几何不再以分离 的眼光看待分形中的点、线、 面，而是把它看成一个整体。
1 2 1 2 1 2
x ab x e w y cd y f
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Sierprinski 三角形的IFS
IFS
w 1 2 3 a 0.5 0.5 0.5 b 0 0 0 c 0 0 0 d 0.5 0.5 0.5 e 1 50 50 f 1 1 50
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Sierprinski 三角形一个程序：
mip的分形维数
mip的分形维数
分形维数是用于描述分形结构复杂程度的一个参数，常用符号为D。
对于二维平面上的分形结构，可以通过计算覆盖它的最小正方形数来得到它的分维数。
但对于三维或更高维的分形结构，需要使用更复杂的方法来计算。
MIP（Multiscale Image Processing）算法是一种常用的计算分形维数的方法，它通过不断缩小分形结构的尺度来得到分维数。
具体来说，MIP算法首先将分形结构进行二值化，并对每个像素进行标记，然后按照不同的尺度进行缩放，并统计每个尺度下的像素数量。
最后将这些数据进行处理，得到分维数的近似值。
MIP 算法可以应用于各种分形结构，如分形曲线、分形图形、分形细胞等，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
- 1 -。
分维与分形
分维与分形
2004级数学试点班 张德懿
分维与分形
什么是分维？
分形几何简介
分形几何与 欧氏几何的类比
一个特例
• Sierpinski三角形
1·什么是分维
一 、为什么要分维？ • 分维为我们认识世界中的复杂形态提供了 一个新的尺度。复杂性是现代科学的前沿， 在科学研究的过程中，发现了许多分形规 则的复杂形态，而分数维的是测量这些复 杂程度的一种度量。也就是说分维是对复 杂性作定量分析的工具。
• 易见，这样定义的维数包括规整的对象 易见， 的整数维。 （线、面、体）的整数维。 • D线=log2/log2=1 • D面=log4/log2=2 • D体=log8/log2=3 对于Sierpinski三角形我们有： 对于Sierpinski三角形我们有： 三角形我们有
D=log3/log2 =1.58…
3、分形几何和欧几里得集合的对比
• • • • • • 欧几里得几何 经典的（2000多年的历史） 基于特征长度和比例 图形规则 图形的层次结构有限 局部一般不具有整体的信 息 图形越复杂，背后的规则 也越复杂 • • • • • • • 分形几何 现代数学的怪物（30多年 的历史） 无特征长度之比 实用于大自然现象 图形不规则 图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图形越复杂，其背后的规 则经常越简单
2 ·分形几何简介
• 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例 如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复 杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的 地面等等，都表现了 客观世界特别丰富的现象。 基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活 的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几 里得几 何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性 不同层次的复杂性。分形 不同层次的复杂性 几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的 秩序和结构的新方法。
第十一章 分形结构和分数维
dB
lim
0
ln N ( ,F ln(1/ )
)
,
称为计盒维数。
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 （1）海岸线和边界线(Ruler)
20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的长
度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 测r得的长度
不同。N (r) 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍然 是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其 性质的。
3
分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆 4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲 座”教授,IBM公司的研究员.
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。
Koch曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学）
维数 (1) 相似维
N (1/ 4) 41
分形(Fractals)
内容提要
• 分形的例子 • 分形的定义及分维 • 产生分形的数学模型 • 产生分形的物理模型
芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。
分形维数算法
分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。
规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。
这些分形图形具有严格的自相似性。
无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形, 如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。
对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的(观测尺度可以趋于无限小)。
不管我们怎样缩小(或放大)尺度(标度)去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。
因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。
分形维数D=lnN(X)/ln(l/X) (2-20)如Cantor 集，分数维D=ln2/ln3=； Koch 曲线分数维D=ln4/ln3=; Sierpinski 海绵分数维D=ln20/ln3=o对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。
不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法血。
(1)尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。
不断改变尺码入，得到一系列长度N (入),入越小、N越大。
如果作InN〜5入图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幕函数关系N〜X (2-21)上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson 公式。
Richards。
n是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。
海岸线绝对长度L被表示为：L=N X ~ X e (2-22)他得到挪威东南部海岸线的分维D~,而不列颠西部海岸线的分维这说明挪威的海岸线更曲折一些s 。
分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用
分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用华北科技学院常浩宇1分形、分形几何学和分形维数1.1 分形分形是指自然界中的一些形体，它们具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次，也就是说适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。
一些经典的分形如：一、三分康托集1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集，或称康托尔集。
三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。
它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程三分康托集的构造过程构造出来的(如右图)。
其详细构造过程是：第一步，把闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的1/3部分段，则只剩下两个闭区间［0，1/3］和［2/3，1］。
第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：［0，1/9］，［2/9，1/3］，［2/3，7/9］和［8/9，1］。
第三步，重复删除每个小区间中间的1/3段。
如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。
二、Koch曲线1904年，瑞典数学家柯赫构造了一维，具有无限的长度，但是又小于分形。
根据分形的次数不同，生成的线，四次Koch曲线等。
下面以三次法，其它的可依此类推。
“Koch曲线”几何图形它和三分康托集一样，是一个典型的曲线也有很多种，比如三次Koch曲曲线为例，介绍Koch曲线的构造方。
Koch曲线大于日二维。
KochKoch曲线的生成过程三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形――一条线段；第二步，将这条线段中间的1/3处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的1/3处向外折起。
这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。
其图例构造过程如右图所示（迭代了5次的图形）。
自然界中如生长得枝枝岔岔的树木，高低不平的山脉，弯弯曲曲的河流与海岸线。
分形的量化——分数维
1. 欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效——如何研究分形？维数是几何学和空间理论的基本概念。
欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
2. 维数观念的历史回顾（1）传统的欧氏维数欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。
在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。
要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。
相应地，直线的维数为1，点的维数为0。
这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。
它的值为整数。
（2）传统维数观念的危机（1890年）（3）维数研究的重要成果——拓扑维数这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。
拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。
比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。
画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。
在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。
可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。
拓扑维数Dt的值也为整数。
（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分形与分形维数
分类号O469 学校代码10495ＵＤＣ530 学号0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平教授学科门类：工学专业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuhan University of Science and EngineeringM. S. DissertationThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-pingApril 2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。
特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。
同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。
（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。
简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。
本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。
分形分维ppt
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
第二章 分形分形维数对复杂性2012
自相似性可以是严格的，也可以是统计意义上的。严格地讲，现实中并 不存在数学意义的严格分形，自然界的大多数分形都是统计自相似的； 相似性有层次结构上的差异。数学中的分形具有无限嵌套的层次结构， 而现实中的分形只有有限层次的嵌套。只有进入到一定的层次结构以后， 才会有分形的规律（通常是幂律）； 相似性有级别（即使用生成元的次数或放大倍数）上的差异。级别最高 的是整体，最低的称为0级生成元。级别愈接近，相似性愈显著；级别 相差愈大，则相似性愈差。 分形体系有各种不同的类型，其所具有的多样性需用不同维数来刻画。分维数 是刻画分形集复杂性的有效工具。 参看以下分形图片： Fractal landscapes
i i
qi 1
ln
q i 是参数量， 式中为标度(Scaling)， Pi 是覆盖几率，当用边长为的小盒子去 覆盖分形结构时， Pi 是分形结构中某点落入小盒子的几率。当取不同值时， Dq 表示不同分维。 三、分形理论在控制领域中的应用及其前景 在信息学科中，分形理论的应用主要体现在分形图象压缩和计算机图象 生成及处理中（齐东旭93，高勇96，Forte95，Barnsley95等）。若进一步 将信息概念扩大，则在地震综合预报资料分析及市场经济预测和股市行情 分析中，也常用到分形方法（平建军93，樊重俊99等）。而在控制领域中 的应用还非常少见。即使见到，也只是在应用混沌同步及控制时顺便提一 下名词概念而已。
二、什么是分形维数 无论其起源或构造方法如何，所有的分形都具有一个重要的特征：可 通过一个特征数，即分形维数测定其不平度，复杂性或卷积度。 最早将维数从整数推广到非整数中去的是豪斯道夫（Hausdorff）和贝 西科维奇（Besicovitch）。豪斯道夫于1919年首先提出连续空间的概念， 认为空间维数不是跃变的，而是可以连续变化的，既可以是整数，也可以 是分数。而贝西科维奇则证明对任何集合S存在一个实数D，使得d维测度 对d<D为无限大而对d>D为零，这个临界的D就称为S的豪斯道夫—贝西科 维奇维数（或称分形维数），简称分维。分维是定量描写分形的重要参 数，有多种定义和计算方法。 D 一般地，把一个Df维几何物体的每维尺寸放大L倍，就得到 L 个原来的 D 几何对象，令： KL (1 1) D f ln K / ln L (1 2) 两边取对数则有： 上式中的Df即为豪斯道夫—贝西科维奇维数的定义。 也可以缩小几何对象来定义分维。把一个Ds维的几何对象等分成N个小的 几何图形，则每个小图形每维缩小为原来的r倍，而N个小图形的总和应 为： N rD 1 (1 3) Ds ln N / ln(1/ r ) (1 4) 则有： r称为局部与整体的相似比，Ds即称为相似维数。
计算机图形学之 分形几何
8.1 8.2 8.5 8.6
分形和分维 递归模型 本章小结 习题
8.1分形和分维
真实的世界并不规则，闪电不是直线，海 岸线不是弧线，云团不是球体，山峦也不是锥 体。自然界的许多对象是如此不规则和支离破 碎，以致欧氏几何学不能真实有效地再现大自 然。 为了再现真实世界，必须选择新的工具， 分形几何学应运而生。分形几何是以非规则物 体为研究对象的几何学。由于闪电、海岸线、 云团、山峦、海浪、野草、森林、火光等非规 则物体在自然界里比比皆是，因此分形几何学 又被称为描述大自然的几何学。
先绘制第一段直线，然后改变夹角，分别绘制其余3段直线
8.2.3 Peano-Hilbert曲线
意大利数学家皮亚诺（Peano， 1858～1932），通过对一些古代装饰图 案的研究，于1890年构造出一种奇怪的 平面曲线，这条曲线蜿蜒向前，一笔绘 成，并能充满整个平面。接着德国数学 家希尔伯特(Hilbert，1862～1943)于 1891年也构造出一种类型相同但比较简 单的曲线。这种曲线被称为PeanoHilbert曲线。
n＝0 n ＝2 n ＝1
Peano-Hilbert曲线的出现，当时曾令当时的 数学界大吃一惊： 它是一条曲线，但又是一个平面； 皮亚诺曲线的方程只有一个参数，但它却能确定 了一个平面；而在欧氏几何学中，确定一条曲线需
要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
8.2.4 Sierpinski垫片、地毯和海绵
分形山
8.1分形和分维
8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4
分形的诞生 分形的基本特征 分形的定义 分形维数的定义
8.1.1 分形的诞生
分形（Fractal）这个词，是由美籍法国 数学家曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot） 自己创造出来的，此词来源于拉丁文fractus， 意为不规则、支离破碎。1967年曼德尔布罗特 在美国《科学》杂志上发表了划时代的论文 《英国海岸线有多长？统计自相似与分数维》， 成为其分形思想萌芽的重要标志。1973年，在 法兰西学院讲学期间，曼德尔布罗特提出了分 形几何学的整体思想，并认为分数维是个可用 于研究许多物理现象的有力工具。1982年曼德 尔布罗特出版了《大自然的分形几何学》，引 起了学术界的广泛重视，曼德尔布罗特也因此 一举成名。
广义分形维数
广义分形维数广义分形维数是用来描述分形对象的维度的一个概念。
分形是一类具有自相似性质的几何图形，即它的一部分尺度与整体尺度相似。
广义分形维数是为了更准确地描述分形对象的复杂性而提出的概念。
在传统的几何学中，维数是用来描述一个几何图形的大小的概念。
例如，一条直线的维数是1，一个平面的维数是2，一个立体的维数是3。
但是对于分形对象来说，传统的维数概念并不适用，因为分形对象具有自相似性质，其维数不是整数。
为了解决这个问题，数学家引入了广义分形维数的概念。
广义分形维数可以分为Hausdorff维数和Minkowski维数两种。
Hausdorff 维数是用来描述一个分形对象的尺寸大小的概念，而Minkowski维数则是用来描述一个分形对象的形状复杂性的概念。
Hausdorff维数是由德国数学家Hausdorff在20世纪初提出的。
它是通过在分形对象上放置尺度不同的网格来计算的。
具体来说，我们可以通过在分形对象上放置一系列的正方形网格来计算Hausdorff维数。
然后，我们可以通过改变网格的尺度来计算不同尺度下的网格数目，并绘制出网格数目与网格尺度的关系图。
通过对这个关系图进行分析，我们可以得到分形对象的Hausdorff维数。
Minkowski维数是由波兰数学家Minkowski在19世纪末提出的。
它是通过计算分形对象的体积和周长之比来计算的。
具体来说，我们可以通过在分形对象上放置一系列的圆形网格来计算Minkowski维数。
然后，我们可以通过改变网格的半径来计算不同半径下的网格数目，并绘制出网格数目与网格半径的关系图。
通过对这个关系图进行分析，我们可以得到分形对象的Minkowski维数。
通过计算分形对象的Hausdorff维数和Minkowski维数，我们可以更准确地描述分形对象的复杂性。
这不仅对于理论研究具有重要意义，也对于实际应用有着广泛的应用价值。
例如，在图像处理和模式识别中，我们可以利用广义分形维数来描述和分析图像的复杂性，从而实现图像的自动识别和分类。
第九讲 分形与分数维
积若用半径为 2 的圆去覆盖，至少需
1 1, 2 1 n n r 次迭代后， 的圆变成长半轴为 ，短半轴为 N 1 2 的椭圆，此时面
n
N ( 2 )
n
1 2
n n
个。严格讲前面可乘一有界正因子 C ( n) ，从而
9.3
D lim
则
rn 1 q e b rn
旋转自相似结构为
r eb r
（9.9）
习题
D m
k 1
m
k
m1
(9.5)
9.3
混沌吸引子的分数维
这对于任意吸引子都有意义的： 定常： 周期： 准周期：
1 0, 2 0, 3 0 m 0, D； 0
1 0, 2 0, 3 0 m 1, D； 1
1 2 0, 3 0 m 2, D 。 2
9.1
分形的描述之一 —— 分数维
D lim
0
一个集合的容量维 D定义为
ln N ( ) ln(1/ )
（9.1）
这里， 是长度尺寸，N ( )是覆盖所需的长度为
合，单元为边长 的正方形，对空间来说为边长为 的立方体。由于
单元的数目。对于平面上集
lim
ln N ( ) ln( ( ) N ( )) lim , 0 ln(1/ ) 0 ln(1/ )
1 3 32
ln 3n ln 3 D lim 1.5849 n ln 2n ln 2
类似地，
L( )
3 2 3 2 D 3 0.4150 垫片面积。 N ( ) 为Sierpinski 4 4 4
分维、分形
分维、分形分维的概念（一）我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2、4、8个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
（线段一分为二；正方形一分为四；立方体一分为八）一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
（二）当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。
那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1Koch曲线整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。
Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714…Koch雪花线的维数是1.26分形的定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）满足条件Dim(A)>dim(A) 的集合A，称为分形集。
其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。
一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。
实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，人们通常是列出分形的一系列特性来加以说明分形的特性（i）分形集具有精细的结构，“精细结构”指放大任意小的部分，里面总有更细小的结构。
三维分形维数
三维分形维数
三维分形维数是指在三维空间中，分形集合所具有的维数。
分形集合是一种具有自相似性的几何图形，其结构复杂、形态多样，无法用传统的欧几里得几何学进行描述和测量。
为了更好地理解和描述分形集合，数学家引入了分形维数的概念。
三维分形维数可以通过多种方法计算，其中最常用的方法是通过盒计数法。
盒计数法可以通过在三维空间中放置各种大小的立方体来测量分形集合的维数。
具体来讲，我们可以在分形集合上放置一些大小相同的立方体，并计算出这些立方体所占据的空间的比例。
随着立方体大小的逐渐缩小，这个比例会趋近于一个稳定的值，这个值就是分形集合的分形维数。
三维分形维数的计算对于许多领域都有重要的应用，例如图像处理、自然科学、经济学等。
在图像处理中，分形维数可以用于图像压缩和纹理分析。
在自然科学领域中，分形维数可以用于描述天体运动、地表地貌等具有分形结构的现象。
在经济学领域中，分形维数可以用于分析股票价格的波动和金融市场的稳定性。
总之，三维分形维数是一种重要的数学概念，它可以用于描述复杂的分形集合，并在各个领域中发挥着重要的作用。
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分形维数 自相似
分形维数自相似
分形维数是用来描述分形化现象的维数。
分形就是具有自相似性的物体，它们的维数不仅仅只有整数维，而是介于整数维之间的一个小数维。
自相似性是指物体的一部分和整体在某种程度上具有相似性。
例如，树的分支和整株树在形状上有很大相似性，这就是一种自相似性。
对于一个分形，我们可以使用分形维数来度量它的自相似特性。
常见的分形维数包括Hausdorff维数、Box维数等。
总之，分形维数是用来描述分形自相似性特征的一个重要概念。
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Sierpinski 三角形的两个重要特性
1，一个非常复杂且具有精细结构的图形可以 用很少的，非常简单的规则产生。
2，取Sierpinski 三角形结构的任何一部分， 并且放大至足够倍数，就会出现与原三角形 一样的结构。这种特性称为自相似性。
具有上述两个特性的图形被称为分形图形。
7 2020/4/11
3 2020/4/11
混沌的故事
英文混沌一词 chaos 来源于希蜡词 χαος ,它含有模糊， 笼统，混乱的意思。在我国古代有许多有关混沌的故 事：
《山海经》—— “ 有神鸟，其状如黄囊，赤如丹火， 六足四翼，混沌无面目，只识歌舞，实惟帝江也。” 混沌便是中华民族的始祖——黄帝。
《庄子》—— 南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央 之帝为混沌。倏与忽时相遇于混沌之地，混沌待之甚 善。倏与忽谋报混沌之德，曰：“人皆有七窍，以视 听食息，此独无有，尝试凿之。”日凿一窍，七日而 混沌死。混沌是初度和谐，是原始无知无识。混沌是 宇宙的生成，哲学构架的开始。
12 2020/4/11
Koch雪花曲线
Koch雪花曲线
Von Koch (1870-1924)
13 2020/4/11
欧氏几何与分形几何
Koch曲线处处连续，但处处不 可导，其长度为无穷大。
欧氏几何是建立在公理之上的 逻辑体系。其研究的是在旋转、 平移、对称变换下各种不变的 量，如角度、长度、面积、体 积，其适用范围主要是人造的 物体。
'nombre de points.Au-delà, on ne distingue plus rien
n=1
co=.5 : si=SQR(3)/2
'cosinus et sinus de la rotation
x(0)=100:y(0)=350:x(1)=500:y(1)=350 'côtéinitial
序中的有序。一些杂乱无章,表面看似无序的现象, 其实却隐藏着丰富多彩的内涵和一定的规律性。
20世纪永远被铭记的三大科学成就是：相对论、 量子论和混沌理论。
相对论消除了关于绝对空间和时间的幻象;
量子论消除了关于可控测量过程的牛顿式的迷梦， 质疑了微观世界的物理因果律;
混沌理论则否定了包括巨观世界拉普拉 Nhomakorabea ﹙Laplace﹚式的决定型因果律,即关于决定论的可 预测性。
考虑一个填满东西的三角形，从其中间 挖掉一块，使原三角形剩下三个相等的 部分，且每一部分的面积是原来的1/4， 对这三个三角形再类似于上述作法各从 其中挖去一块，于是便得到了九个三角 形，依此类推以至无穷。
5 2020/4/11
Sierpinski 三角形
Sierpinski 三角形
6 2020/4/11
B.Mandelbrot 揭示了分形的 本质和特征。他把
1，数学中分数维的概念， 2，客观事物中一种固有的
自相似与无限可分的特征， 3，计算机强大的迭代运算
功能，
结合起来，从而形成了分形 几何的概念。分形概念的提 出，为准确地描述客观世界 和自然景观提供了一个有效 的数学模型和工具。
B.Mandelbrot
先画一个等边三角形，把边长为原来三角形 边长的三分之一的小等边三角形选放在原来 三角形的三条边上，由此得到一个六角星； 再将这个六角星的每个角上的小等边三角形 按上述同样方法变成一个小六角星……如此 一直进行下去，就得到了雪花的形状。雪花 的每一部分经过放大都可以与它的整体一模 一样。这个被称作数学怪物科赫曲线恰是分 形图形自相似的例子。
Sierpinski 三角形
Sierpinski 三角形
8 2020/4/11
分形图形
分形 “ Fractal “ 这个名词出自拉 丁语 ” Fractus” 其意为 “碎化， 分裂”。
1975年美国 IBM 公司的 B.Mandelbrot 创造出分形这一名词。
9 2020/4/11
分形几何的概念的提出
'on boucle en décroissant 'sinon on écrase les valeurs
WHILE 1
CLS MOVETO x(0),y(0)
FOR i=1 TO n
'point de départ, puis 1, 4, 16,..., ..., 4n points
LINETO x(i),y(i) NEXT i
WHILE INKEY$="":WEND FOR i=n TO 1 STEP -1 x(4*i)=x(i):y(4*i)=y(i) NEXT i
---分形在数字全息显示中的应用
王天及 中国科学院广州电子技术研究所
1 2020/4/11
要目
混沌和分形的概念的引入 分形理论的数学基础知识 分形所描述的自然现象 分形图形的产生 分形图形在数字全息显示中的应用.
2 2020/4/11
混沌与分形Chaos & Fractal
什么是混沌? 混沌是一种非周期性的动力学过程,混沌是研究无
分形几何由递归、迭代生成， 主要适用于自然界中形态复杂 的物体。分形几何不再以分离 的眼光看待分形中的点、线、 面，而是把它看成一个整体。
14 2020/4/11
Koch = Programme BASIC
Koch
= Programme BASIC = DIM x(4096),y(4096)
混沌是由确定性的规律生成，它是一种对初始条件非 常敏感并有依赖性和回复性的非周期运动。
4 2020/4/11
混沌现象的例子 --- Sierpinski 三角形
二十世纪初，人们发现了 Sierpinski 三 角形，它是根据一个很简单的规则，作 一些简单的计算，所绘出的一幅奇妙的 三角形图案。
10 2020/4/11
分形图形的自相似性
分形图形可看成是一种 与整体有相似性的若干 局部所构成的图形。
它的任何一局部都与整 体有严格的几何相似性， 即比例的自相似性，并 且在任意尺度上有无穷 细节的精细结构和无限 可分。
11 2020/4/11
Koch雪花曲线---分形的自相似性
1904年瑞典数学家科赫(H.von Koch 18701924) 提出一种描述雪花的方法: