利用导数求单调区间的一些大题(含答案)

例1.已知函数3

21()3

f x x ax b =

-+在2x =-处有极值. （1） 求函数()f x 的单调区间；

（2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。

例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=

，kx x g -=3

1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．

（1）、求实数k 的取值范围；

（2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

解：(1) 由3

21()3

f x x ax b =

-+，得22'()32f x x ax a =-- 令222a

'()320,=-,(0)3

f x x ax a x a a =--==>1得x

当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表：

由上述表格可知，3223

()=()()()()11333327

f x f a a a -=-----+=

+极大值 3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值

(2)由（1）可知()(,)(,)3a

f x a -∞-+∞在和上单调递增，在-a （,a ）3

上单调递减， 当3

3501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327

a a f x f a f x <≤-=

+>≥极大值极小值 a

()-y f x ∴=∞在（,+）

3

上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得 又()y f x =在(,)3a -∞-上单调递增，且2

(1)(1)0f a a a a -=-=-≤

()--y f x ∴=∞a

在（，）3上最多有一个实数根 于是，当01a <≤时，函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数

根。

解：（1）由题意x k x x f )1()(2

+-='

∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，

∴0)1()(2

>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h

令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

① 当1=k 时，0)1()(2

≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意

② 当1

由于

02

-+-k k ，即0)22)(1(2

<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0

2212k k k ，解得31-

综上，所求k 的取值范围为31-

例3（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22

21

1

ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

（2010山东理数）(22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2

()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使

12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()

2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()()()()()

2

2

'

2222

122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛

⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。 由()'

0f

x =，得121

,x x a a

=-

=。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1） 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛⎫

-∞-

⎪⎝⎭

，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫-

⎪⎝⎭

为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值2

1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()

f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

（2） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1

(+∞-a

内为增函数，在区间)1,(a

a -为减函数。故函数()f x 在11x a =-

处取得极小值2

1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。