热传导方程有限容积法的MATLAB实现
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第 ３ 卷 第 ６期 ５
２１ ０ １年 １ ２月
武汉 理工 大学学 报 （ 交通科 学 与工程 版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｒ ａ ｈ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｏ Ｗ
（ ａ ｓ ｏ ｔｔ ｎＳ ｉ ｃ 乙Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｔｒｎ ｐ ｒ ｉ ｃ ｎ ｅ８ ｎ ｉｅ ｒ ） ａｏ ｅ ｎ
线 界 面 ， 之 间 的 区域 即为 节点 Ｐ 的控 制 容积 ， ｅ 节点 Ｗ ， Ｅ为节 点 Ｐ 的相 邻节 点． ＶＭ 通过 将守 Ｆ 恒 型 的控制 方程对 控制 容积 做积 分来 导 出离散方 程， 用有 限容积法导 出的离散方程 可 以保 证具有 守
限大 板 的瞬态传 热 分 析 是 传热 学 中经 典 问题 ， 其
数学模 型 可简 化为一 维热 传导 方程
一 ０（ ） １
恒 特性 ， 而且离 散 系数 的物理 意 义 明确 ， 目前 流 是
动 与传热问题 的数 值计算 中应用 最广的一种方法 ．
式 中： 密度 ； 』 Ｄ为 ｆ为 比热 ； 导 热 系数 ； 温 Ａ为 ０为
收 稿 日期 ：０ １ｏ —４ ２ １一９１ 薛 琼 （ ９０ ： ， 士 ， 师 ， 要 研 究 领 域 为 微分 几何 及 其 应 用 １ ８一） 女 博 讲 主
一
一
［ ）（ ） （ ： 一
（） ４
一
因为板 厚 中间 位 置 可视 为绝 热 面 ， 边界 节 取 点 Ｎ＋２的 温度 ＋ ＝ ＋ ． 。
摘 要 ： 于 有 限 容 积 法 的 核 心 思 想 ， 出 第 二 类 边 界 条 件 下 的 热 传 导 方 程 统 一 离 散 格 式 ， 用 基 推 利 Ｍ Ａ ＡＢ编 程 实 现 均 匀厚 度 的 无 限 大板 瞬 态 传 热 分 析 ， 方 程 的解 用 图 形 直 观 表 示 出来 ， 的数 ＴＬ 将 解 值 和 图形 表 明 了方 法 的 可行 性 和稳 定 性 ． 关 键 词 ： 传 导 方 程 ； 限容 积 法 ； 热 有 ＭＡＴ Ａ Ｌ Ｂ
第 ３ 卷 ５
度 ； 为时间 ； 为方 向坐标． ｔ ５ Ｃ
。 一
；
ｚ一
；ａ ｚ一 ０；Hale Waihona Puke Baiduｚ— ｎ 叫 ｚ一 ｚ
结 合 图 Ｉ所示 ， 对传 导方 程 （ ） １ 积分
一
．ｃ 一』 ｆ 捌 』 － 『 Ｐ
（ － ￣） ＝ ｄ ＝ ＝
捌
删 ； Ｓ ：
（ ＋ １ ｈ ｘ Ａ ／）
显 然式 （ ） ９ 在程 序 中稍加 修改 ， 也符 合通 用式
（ ） 另外 ， ７． 由式 （ ） ８ 得
边 界节 点 １的温度
儿＇Ｏ一 ａ） ㈤ １ ： （ 卜 ） ｏ ａ
０随 ｚ 变 化 的 型线 取 阶梯 式 ， 散项 取 一 阶 扩 导数 随时 间 ｔ 作显示 阶跃 式 ， 式 （ ） 则 ３ 变为
数 学模 型及 方 程 离 散
由于本文 主要 讨 论 数值 方 法 ， 字 大 小 已经 数
能够 充分 反映 所需 论 证 的 内容 ， 故所 有 物 理量 均
采用 统一 公 制 标 准量 纲． 析 一 个 厚 度 为 ２ 分 Ｌ一
１ 有 限容 积 法 介 绍
有 限容 积法将 所计 算 区域划 分成 一 系列控制
国 家 自然 科 学 基 金 项 目 （ 准 号 ：００ ０ ７ 、 批 １ ９ １ ６） 中央 高 校 基 本 科 研业 务 费 专项 资金 项 目 （ 准 号 ：０ １ｌ一２ ） 助 批 ２ １一ａ０ ３ 资
・
１ ７ ・ ２４
武汉理工大学学报 （ 通科学与工程版） 交
２１ ０１年
中 图法 分 类 号 ： ５ １ Ｏ ５ Ｄ Ｉｉ ． ９ ３ｊｉ ｎ １０ －８３ ２ １ ． ６ ０ １ Ｏ ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ０ ６２ ２ ． ０ １ ０ ． ４ ｓ
０ 引
言
Ｉ １ 界 ｗ ｌ 界面Ｐ ｛ 面
Ｉ ‘ Ｉ Ｉ
Ｗ
—
近年来 ， 求解 热 传 导 方 程 的数 值 方 法 取 得 了 较 大 的 进 展 ． 型 解 法 有 有 限 元 法 、 限 差 分 典 有 法 ［ 和有 限容 积 法 等． １ ＭＡＴＬ ＡＢ具 有 强 大 的科
有 限 差 分法 结 合 ＭＡＴＬ ＡＢ求 解 热 传 导方 程 ， 文
中采用 有 限控 制 容 积 Ｆ ＶＭ （ｉｉ ｏｕ ｔ— ｆ ｔ ｖ ｌｍｅｍｅｈ ｎｅ ｏ） ｄ 区域 分 解 算 法 ］ 利 用 ＭＡＴＬ ， ＡＢ编 程 实 现 均 匀厚 度无 限大 板 的瞬态传 热分 析．
Ｖｏ ＿ ５ Ｎｏ ６ ｌ３ ．
Ｄｅ ． ２ ｃ Ｏ１１
热传导方程有 限容积法 的 ＭＡＴＬ ＡＢ实现 ＊
薛 琼” 肖小峰。
（ 汉理工大学理学院” 武 汉 武 ４ ０ ７ ） （ 汉 纺 织 大 学 机 电学 院 武 汉 ３ ０ ０ 武 ４０７） ３０ ３
（ 中科 技 大 学 材 料 成 形 与 模 具 技 术 国家 重 点 实 验 室 。 武 ４ ０ ７ ） 华 疋 ３０ ４
：
ｌ
Ｉ
—
ｉ 兰
— ｌ
Ｉ
一
—
学 计算 和 图形处 理 功 能． 以方便 的绘 制 出热传 可
导 方程 数值 解 的 二维 、 维 图 形＿ ］ 从 而 更 好 的 三 ３， 理 解方 程 的物理 和数 学意 义． 前 ， 少学 者基 于 之 不
翌
图１ Ｆ ＶＭ 区域 和 节 点 的 划 分
０ １ 无 限大板 瞬态温 度场 ， ．２ 密度 ｜ ０ ， Ｄ ０ ０ 比热容 ＝８
ｃ ０ ， 热 系数 为 ４ ， 始 温 度 ＝８ ， 于 一５ ０ 导 Ｏ初 ０置 温度 ０＝２ ０的流 体 ， 体 换 热 系数 ｈ ２０ ０ 无 流 ＝ ０．
容积 ， 每个控 制容 积都 有一个 节 点代表 ， １中虚 图
２１ ０ １年 １ ２月
武汉 理工 大学学 报 （ 交通科 学 与工程 版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｒ ａ ｈ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｏ Ｗ
（ ａ ｓ ｏ ｔｔ ｎＳ ｉ ｃ 乙Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｔｒｎ ｐ ｒ ｉ ｃ ｎ ｅ８ ｎ ｉｅ ｒ ） ａｏ ｅ ｎ
线 界 面 ， 之 间 的 区域 即为 节点 Ｐ 的控 制 容积 ， ｅ 节点 Ｗ ， Ｅ为节 点 Ｐ 的相 邻节 点． ＶＭ 通过 将守 Ｆ 恒 型 的控制 方程对 控制 容积 做积 分来 导 出离散方 程， 用有 限容积法导 出的离散方程 可 以保 证具有 守
限大 板 的瞬态传 热 分 析 是 传热 学 中经 典 问题 ， 其
数学模 型 可简 化为一 维热 传导 方程
一 ０（ ） １
恒 特性 ， 而且离 散 系数 的物理 意 义 明确 ， 目前 流 是
动 与传热问题 的数 值计算 中应用 最广的一种方法 ．
式 中： 密度 ； 』 Ｄ为 ｆ为 比热 ； 导 热 系数 ； 温 Ａ为 ０为
收 稿 日期 ：０ １ｏ —４ ２ １一９１ 薛 琼 （ ９０ ： ， 士 ， 师 ， 要 研 究 领 域 为 微分 几何 及 其 应 用 １ ８一） 女 博 讲 主
一
一
［ ）（ ） （ ： 一
（） ４
一
因为板 厚 中间 位 置 可视 为绝 热 面 ， 边界 节 取 点 Ｎ＋２的 温度 ＋ ＝ ＋ ． 。
摘 要 ： 于 有 限 容 积 法 的 核 心 思 想 ， 出 第 二 类 边 界 条 件 下 的 热 传 导 方 程 统 一 离 散 格 式 ， 用 基 推 利 Ｍ Ａ ＡＢ编 程 实 现 均 匀厚 度 的 无 限 大板 瞬 态 传 热 分 析 ， 方 程 的解 用 图 形 直 观 表 示 出来 ， 的数 ＴＬ 将 解 值 和 图形 表 明 了方 法 的 可行 性 和稳 定 性 ． 关 键 词 ： 传 导 方 程 ； 限容 积 法 ； 热 有 ＭＡＴ Ａ Ｌ Ｂ
第 ３ 卷 ５
度 ； 为时间 ； 为方 向坐标． ｔ ５ Ｃ
。 一
；
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；ａ ｚ一 ０；Hale Waihona Puke Baiduｚ— ｎ 叫 ｚ一 ｚ
结 合 图 Ｉ所示 ， 对传 导方 程 （ ） １ 积分
一
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（ － ￣） ＝ ｄ ＝ ＝
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删 ； Ｓ ：
（ ＋ １ ｈ ｘ Ａ ／）
显 然式 （ ） ９ 在程 序 中稍加 修改 ， 也符 合通 用式
（ ） 另外 ， ７． 由式 （ ） ８ 得
边 界节 点 １的温度
儿＇Ｏ一 ａ） ㈤ １ ： （ 卜 ） ｏ ａ
０随 ｚ 变 化 的 型线 取 阶梯 式 ， 散项 取 一 阶 扩 导数 随时 间 ｔ 作显示 阶跃 式 ， 式 （ ） 则 ３ 变为
数 学模 型及 方 程 离 散
由于本文 主要 讨 论 数值 方 法 ， 字 大 小 已经 数
能够 充分 反映 所需 论 证 的 内容 ， 故所 有 物 理量 均
采用 统一 公 制 标 准量 纲． 析 一 个 厚 度 为 ２ 分 Ｌ一
１ 有 限容 积 法 介 绍
有 限容 积法将 所计 算 区域划 分成 一 系列控制
国 家 自然 科 学 基 金 项 目 （ 准 号 ：００ ０ ７ 、 批 １ ９ １ ６） 中央 高 校 基 本 科 研业 务 费 专项 资金 项 目 （ 准 号 ：０ １ｌ一２ ） 助 批 ２ １一ａ０ ３ 资
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１ ７ ・ ２４
武汉理工大学学报 （ 通科学与工程版） 交
２１ ０１年
中 图法 分 类 号 ： ５ １ Ｏ ５ Ｄ Ｉｉ ． ９ ３ｊｉ ｎ １０ －８３ ２ １ ． ６ ０ １ Ｏ ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ０ ６２ ２ ． ０ １ ０ ． ４ ｓ
０ 引
言
Ｉ １ 界 ｗ ｌ 界面Ｐ ｛ 面
Ｉ ‘ Ｉ Ｉ
Ｗ
—
近年来 ， 求解 热 传 导 方 程 的数 值 方 法 取 得 了 较 大 的 进 展 ． 型 解 法 有 有 限 元 法 、 限 差 分 典 有 法 ［ 和有 限容 积 法 等． １ ＭＡＴＬ ＡＢ具 有 强 大 的科
有 限 差 分法 结 合 ＭＡＴＬ ＡＢ求 解 热 传 导方 程 ， 文
中采用 有 限控 制 容 积 Ｆ ＶＭ （ｉｉ ｏｕ ｔ— ｆ ｔ ｖ ｌｍｅｍｅｈ ｎｅ ｏ） ｄ 区域 分 解 算 法 ］ 利 用 ＭＡＴＬ ， ＡＢ编 程 实 现 均 匀厚 度无 限大 板 的瞬态传 热分 析．
Ｖｏ ＿ ５ Ｎｏ ６ ｌ３ ．
Ｄｅ ． ２ ｃ Ｏ１１
热传导方程有 限容积法 的 ＭＡＴＬ ＡＢ实现 ＊
薛 琼” 肖小峰。
（ 汉理工大学理学院” 武 汉 武 ４ ０ ７ ） （ 汉 纺 织 大 学 机 电学 院 武 汉 ３ ０ ０ 武 ４０７） ３０ ３
（ 中科 技 大 学 材 料 成 形 与 模 具 技 术 国家 重 点 实 验 室 。 武 ４ ０ ７ ） 华 疋 ３０ ４
：
ｌ
Ｉ
—
ｉ 兰
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—
学 计算 和 图形处 理 功 能． 以方便 的绘 制 出热传 可
导 方程 数值 解 的 二维 、 维 图 形＿ ］ 从 而 更 好 的 三 ３， 理 解方 程 的物理 和数 学意 义． 前 ， 少学 者基 于 之 不
翌
图１ Ｆ ＶＭ 区域 和 节 点 的 划 分
０ １ 无 限大板 瞬态温 度场 ， ．２ 密度 ｜ ０ ， Ｄ ０ ０ 比热容 ＝８
ｃ ０ ， 热 系数 为 ４ ， 始 温 度 ＝８ ， 于 一５ ０ 导 Ｏ初 ０置 温度 ０＝２ ０的流 体 ， 体 换 热 系数 ｈ ２０ ０ 无 流 ＝ ０．
容积 ， 每个控 制容 积都 有一个 节 点代表 ， １中虚 图