6狭义相对论习题思考题

习题6

6-1．设固有长度m 50.20=l 的汽车，以m/s 0.30=v 的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？

解：l l =

2

112

x =-

+

22112u c ≈-，214002

1 1.25102u

l l l l m c

-∆=-=⨯=⨯。

6-2．在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了

m 105.18⨯=x 处，经历时间为s 00.1=t ∆，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S '系，c t x u 5.0/=∆∆=

利用t '∆=∆

0.866t s '∆==。

6-3．从加速器中以速度c v 8.0=飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。

解：设加速器为S 系，离子为S '系，利用：21x x x

v u v uv c

'+=

'+，

则：220.80.811x x x v u c c

v c uv c c c c

'++==='⨯+

+ 。

6-4 1000m 的高空大气层中产生了一个π介子，以速度0.8v c =飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命6

2.410s -×，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀：

有t ∆=

，∴66410t sa -∆=

=⨯

由8

6

0.8310410

9601000l v t m m -=∆=⋅⨯⋅⨯=<，∴到达不了地球；

（2）π介子静止系中的观测者认为长度收缩：

有l l =

，∴600l m == 而6

8

2.4100.8310576600s v t m m -=∆=⨯⋅⋅⨯=<，∴到达不了地球。

6-5 长度01m l =的米尺静止于'S 系中，与x ′轴的夹角'θ=30°，'S 系相对

S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45°。试求：

（1）'S 系和S 系的相对运动速度。（2）S 系中测得的米尺长度。

解：（1）米尺相对S '静止，它在,x y ''轴上的投影分别为：

0cos 0.866m x L L θ''==，0sin 0.5m y L L θ''==。

米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S 系中的观察者测得米尺在x 方

向收缩，而y

方向的长度不变，即：x L L =，y y L L '=

故

：tan y y x

x

L L L L L θ''=

=

=

。

把ο

45θ=及,y

L L ''

0.5

0.866

=，故 ：0.816v c = (2)在S 系中测得米尺长度为0.707m sin 45y L L ==︒

。

6-6 一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l ＞a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少？

解：门外观测者测得杆长为运动长度，l l =l ≤

时，可

认为能被拉进门，则：a l ≤

解得杆的运动速率至少为：u =

6-7 两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c （c 表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇？

解： O 测得相遇时间为t ∆：0200.6L t v c

∆=

= O ' 测得的是固有时t '∆：∴

t

t γ∆'∆==

88.8910s -=⨯，

或者，O '测得长度收缩：02

08.01L L L =-=β

808

0.80.820

8.8910s 0.60.6310

L t c -⨯'∆=

==⨯⨯⨯

6-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路

程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？ 解： 由长度缩短公式得：531122

0=

-⇒-='ββ

l l ，c v 5

4=

6-9．两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c 的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。

解：设宇宙船A 为S 系，测得恒星的速度为0.8x v c =，宇宙船B 为S '系，

测得恒星的速度为'

0.8x v c =-，两个飞船的相对速度为u ， 根据洛伦兹速度变换公式：'

'

2

1x x x v u

v uv c

+=+，有： 2

0.80.80.81c u

c cu -+=-+

得：0.976u c = 。

6-10．从S 系观察到有一粒子在01=t 时由m 1001=x 处以速度c

v 98.0=

x 2x 点，如在S 系(相对S 系以速度c u 96.0=沿x

方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标2211

,,,x t x t ''''各为多少？(0='=t t 时，S '与S 的原点重合)，并算出粒子相对S '系的速度。

解：利用洛仑兹变换：2u

t x t -

'=

x '=，

0.28==，有：

1122610.960100 1.14710u c

t x t s --

-⨯'===-⨯；

222220.96109.8 2.11u c t x c

t s --⨯'===； m c c c c u ut x x 14.357)96.0(1096.0100)(1222111=-⨯-=--='；

m c c c c c

u ut x x 8222

2221014.2)96.0(11096.08.9)(1⨯=-⨯-=--='；

'

8220.980.96 1.014100.96110.98x x x v u c c v u c

v c c c

--===⨯--⨯m/s 。

6-11．一飞船静长0l ，以速度u 相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为v ，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。

解：设恒星系为S 系，飞船为S '系，由题意：v

l t 0

=

'∆， ∴)

(1)1()(1)1()(122

2

0222222c

u v v c u

l c u t x c u t c u x c u t t -+=-'∆'∆+'∆=-'∆+

'∆=∆。

6-12．一个静止的0K 介子能衰变成一个+π介子和一个-

π介子，这两个π介子的速率均为c 85.0．现有一个以速率c 90.0相对于实验室运动的0

K 介子